Страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос: если $t_0$ — одно из решений уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся числовой (тригонометрической) окружностью. На числовой окружности значение $\cos t$ соответствует абсциссе (горизонтальной координате) точки, соответствующей углу $t$.

Уравнение $\cos t = \frac{1}{3}$ означает, что мы ищем все углы $t$, для которых абсцисса точки на окружности равна $\frac{1}{3}$. Для этого проведем вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

По условию, $t_0$ — это одно из решений. Это значит, что $t_0$ является углом, который соответствует одной из этих двух точек пересечения. Обозначим эту точку $P_1$.

Вторая точка пересечения, назовем ее $P_2$, симметрична точке $P_1$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Если угол, соответствующий точке $P_1$, равен $t_0$, то угол, соответствующий симметричной точке $P_2$, будет равен $-t_0$. Это следует из свойства четности функции косинус: $\cos(-t) = \cos(t)$. Таким образом, если $\cos(t_0) = \frac{1}{3}$, то и $\cos(-t_0)$ также равно $\frac{1}{3}$.

Итак, на одном обороте ($[0, 2\pi]$ или $[-\pi, \pi]$) мы нашли два угла, удовлетворяющих уравнению: $t_0$ и $-t_0$.

Функция косинус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что если мы к любому найденному решению добавим целое число полных оборотов (то есть $2\pi k$, где $k$ — любое целое число), мы вернемся в ту же точку на окружности, и значение косинуса не изменится.

Таким образом, все решения можно разбить на две серии:
1. Решения, соответствующие точке $P_1$: $t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Решения, соответствующие точке $P_2$: $t = -t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу, чтобы записать все решения уравнения.
Ответ: Все решения уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$ можно записать с помощью общей формулы: $t = \pm t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

вопрос: если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для решения этого вопроса воспользуемся понятием числовой окружности. На числовой окружности значение $\sin t$ соответствует ординате (координате по оси $y$) точки, соответствующей числу $t$.

Условие $\sin t = \frac{1}{3}$ означает, что мы ищем все точки на числовой окружности, у которых ордината равна $\frac{1}{3}$. Для этого мы можем провести горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, поскольку $-1 < \frac{1}{3} < 1$.

Пусть одна из этих точек соответствует данному решению $t_0$. Это означает, что точка $P_0$ на окружности, полученная поворотом на угол $t_0$ от начальной точки $(1, 0)$, имеет координаты $(x_0, \frac{1}{3})$.

Первая серия решений

Функция синуса является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если мы совершим любое целое число полных оборотов по окружности из точки $P_0$, мы вернемся в ту же самую точку. Следовательно, все числа (углы) вида $t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также будут решениями уравнения. Это дает нам первую серию решений:

$t = t_0 + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Вторая серия решений

Вторая точка пересечения прямой $y = \frac{1}{3}$ с окружностью симметрична точке $P_0$ относительно оси ординат ($Oy$). Если первой точке соответствует число $t_0$, то симметричной ей точке соответствует число $\pi - t_0$. Значение синуса для этого числа также будет равно $\frac{1}{3}$.

Аналогично первой серии, из-за периодичности функции синуса, все числа вида $\pi - t_0 + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), также являются решениями. Это дает нам вторую серию решений:

$t = \pi - t_0 + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Объединив эти две серии, мы получаем полный набор всех решений уравнения.

Ответ: Все решения уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, если $t_0$ — одно из решений, записываются в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = \pi - t_0 + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3. Запишите в общем виде решения уравнения $ \cos x = a $, где $ |a| \le 1 $.

Для решения тригонометрического уравнения $\cos x = a$ при условии $|a| \le 1$ необходимо найти все значения угла $x$, косинус которых равен числу $a$.

1. Определение арккосинуса. По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, одно из решений уравнения находится как $x = \arccos a$. Это решение называется главным значением.

2. Свойства функции косинус. Функция $y = \cos x$ является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, если $x_0 = \arccos a$ является решением, то и $x = -x_0 = -\arccos a$ также будет решением, так как $\cos(-\arccos a) = \cos(\arccos a) = a$.

3. Периодичность функции косинус. Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$. Если $x_0$ — решение уравнения, то все углы вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также являются решениями.

4. Общая формула. Объединяя все вышесказанное, мы получаем две серии решений:

• $x = \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
• $x = -\arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии можно записать одной общей формулой, используя знак "плюс-минус":

$x = \pm \arccos a + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эта формула и представляет собой общее решение уравнения $\cos x = a$ при $|a| \le 1$.

Ответ: $x = \pm \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Запишите в общем виде решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $.

Для решения простейшего тригонометрического уравнения $ \sin x = a $, где по условию $ |a| \le 1 $, необходимо найти все углы $x$, синус которых равен числу $a$. Решение строится на использовании обратной тригонометрической функции арксинус и учете периодичности функции синус.

1. Нахождение частных решений.
По определению, арксинус числа $a$ (обозначается как $ \arcsin a $) — это угол из отрезка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $a$. То есть, $ \alpha = \arcsin a $ является одним из решений (корней) уравнения.
На тригонометрической окружности синус — это ордината (координата по оси y) точки. Для заданного значения $a$ (при $ |a| < 1 $) существуют две точки на окружности с такой ординатой. Одна соответствует углу $ \alpha = \arcsin a $, а другая — углу $ \pi - \alpha = \pi - \arcsin a $, поскольку $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $.
Таким образом, мы имеем два частных решения на одном обороте окружности: $ \arcsin a $ и $ \pi - \arcsin a $.

2. Учет периодичности.
Функция $ y = \sin x $ является периодической с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Это означает, что значения синуса повторяются через каждый полный оборот. Следовательно, к каждому найденному частному решению нужно добавить $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Это дает нам две серии решений:
$ x_1 = \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x_2 = \pi - \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

3. Общая формула.
Две полученные серии решений можно элегантно объединить в одну общую формулу. Заметим, что множитель $ (-1)^k $ равен $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$.
Рассмотрим формулу $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $:

• Если $k$ — четное, $ k = 2n $, то $ x = (-1)^{2n} \arcsin a + \pi(2n) = \arcsin a + 2\pi n $. Это совпадает с первой серией решений.
• Если $k$ — нечетное, $ k = 2n + 1 $, то $ x = (-1)^{2n+1} \arcsin a + \pi(2n+1) = -\arcsin a + 2\pi n + \pi = \pi - \arcsin a + 2\pi n $. Это совпадает со второй серией решений.

Таким образом, эта формула охватывает все корни уравнения.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

5. Запишите в общем виде решения уравнения $tg x = a$,
$ctg x = a$.

tg x = a
Решением тригонометрического уравнения $tg x = a$ является множество всех углов $x$, тангенс которых равен числу $a$.
По определению, арктангенсом числа $a$ (обозначается как $arctg\;a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, $tg(\alpha) = a$ при $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Функция тангенс является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Если $x_0$ является одним из решений уравнения $tg x = a$, то все остальные решения можно найти, прибавляя или вычитая целое число периодов $\pi$.
В качестве одного из решений $x_0$ мы берем главное значение, то есть $x_0 = arctg\;a$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения $tg x = a$ имеет вид:
$x = arctg\;a + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Эта формула справедлива для любого действительного числа $a$, так как область значений функции тангенс — это все действительные числа.
Ответ: $x = arctg\;a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ctg x = a
Решением тригонометрического уравнения $ctg x = a$ является множество всех углов $x$, котангенс которых равен числу $a$.
По определению, арккотангенсом числа $a$ (обозначается как $arcctg\;a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. То есть, $ctg(\alpha) = a$ при $0 < \alpha < \pi$.
Функция котангенс, так же как и тангенс, является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Значения котангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Если $x_0$ является одним из решений уравнения $ctg x = a$, то все остальные решения получаются добавлением к $x_0$ целого числа периодов.
В качестве одного из решений $x_0$ мы берем главное значение, то есть $x_0 = arcctg\;a$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения $ctg x = a$ имеет вид:
$x = arcctg\;a + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Эта формула, как и в случае с тангенсом, справедлива для любого действительного числа $a$.
Ответ: $x = arcctg\;a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

36.1. Пусть $z = 2(\cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^4$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^4$ принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше $\sqrt{300}$;

в) $z^8$ принадлежит третьей координатной четверти;

г) $z^8$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 100?

Исходное комплексное число задано в тригонометрической форме $z = 2(\cos(0,2\pi) + i \sin(0,2\pi))$. Его модуль $r = |z| = 2$, а аргумент $\varphi = \arg(z) = 0,2\pi$.

Для возведения комплексного числа в степень $n$ будем использовать формулу Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$. При этом модуль числа $|z^n| = r^n$, а его аргумент $\arg(z^n) = n\varphi$.

Принадлежность комплексного числа к координатной четверти определяется его аргументом $\psi$ (с точностью до $2\pi k$, где $k$ - целое число):

• I четверть: $0 < \psi < \frac{\pi}{2}$ (т.е. $0 < \psi < 0,5\pi$)
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \psi < \pi$ (т.е. $0,5\pi < \psi < \pi$)
• III четверть: $\pi < \psi < \frac{3\pi}{2}$ (т.е. $\pi < \psi < 1,5\pi$)
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \psi < 2\pi$ (т.е. $1,5\pi < \psi < 2\pi$)

а) z? принадлежит первой координатной четверти

Найдем $z^4$. По формуле Муавра:

$z^4 = 2^4(\cos(4 \cdot 0,2\pi) + i \sin(4 \cdot 0,2\pi)) = 16(\cos(0,8\pi) + i \sin(0,8\pi))$.

Аргумент числа $z^4$ равен $\arg(z^4) = 0,8\pi$.

Сравним аргумент с границами четвертей: $0,5\pi < 0,8\pi < \pi$.

Следовательно, число $z^4$ принадлежит второй координатной четверти, а не первой. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

б) z? принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше v300

Данное утверждение состоит из двух частей. Проверим каждую.

1. Как было показано в пункте а), $\arg(z^4) = 0,8\pi$, что соответствует второй координатной четверти. Эта часть верна.

2. Модуль числа $z^4$ равен $|z^4| = 2^4 = 16$. Проверим неравенство $16 < \sqrt{300}$. Возведем обе части в квадрат: $16^2 = 256$, а $(\sqrt{300})^2 = 300$. Неравенство $256 < 300$ верно, значит и $16 < \sqrt{300}$ тоже верно. Эта часть также верна.

Так как обе части утверждения верны, то и все утверждение верно.

Ответ: Верно.

в) z? принадлежит третьей координатной четверти

Найдем $z^8$. По формуле Муавра:

$z^8 = 2^8(\cos(8 \cdot 0,2\pi) + i \sin(8 \cdot 0,2\pi)) = 256(\cos(1,6\pi) + i \sin(1,6\pi))$.

Аргумент числа $z^8$ равен $\arg(z^8) = 1,6\pi$.

Сравним аргумент с границами четвертей: $1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$.

Следовательно, число $z^8$ принадлежит четвертой координатной четверти, а не третьей. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

г) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 100

Проверим обе части этого утверждения.

1. Как было показано в пункте в), $\arg(z^8) = 1,6\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти. Эта часть верна.

2. Модуль числа $z^8$ равен $|z^8| = 2^8 = 256$. Неравенство $256 > 100$ очевидно верно. Эта часть также верна.

Так как обе части утверждения верны, то и все утверждение верно.

Ответ: Верно.

36.2. Пусть $z = 3 (\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^6$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;

в) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;

г) $z^{16}$ принадлежит второй координатной четверти?

Исходное комплексное число задано в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i \sin\varphi)$, где его модуль $r = 3$, а его аргумент $\varphi = 0,3\pi$.

Для возведения комплексного числа в степень $n$ используется формула Муавра:$z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.При этом модуль нового числа равен $|z^n| = r^n$, а его аргумент равен $\arg(z^n) = n\varphi$.

Координатная четверть, которой принадлежит комплексное число, определяется его аргументом $\theta$ (обычно приведенным к интервалу $[0, 2\pi)$):

• I четверть: $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
• III четверть: $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

а) z? принадлежит первой координатной четверти;

Найдем $z^6$ по формуле Муавра, где $n=6$.Модуль: $|z^6| = 3^6 = 729$.Аргумент: $\arg(z^6) = 6 \cdot 0,3\pi = 1,8\pi$.Таким образом, $z^6 = 729(\cos(1,8\pi) + i \sin(1,8\pi))$.Сравним аргумент $1,8\pi$ с границами четвертей: $1,5\pi < 1,8\pi < 2\pi$.Это означает, что число $z^6$ находится в IV координатной четверти.Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;

Из пункта а) мы уже знаем, что $z^6$ принадлежит IV координатной четверти, так как его аргумент равен $1,8\pi$. Эта часть утверждения верна.Модуль $z^6$ равен $3^6 = 729$.Проверим вторую часть утверждения: "его модуль больше 1000". Неравенство $729 > 1000$ является ложным.Так как одна из частей утверждения ложна, всё утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;

Как мы установили ранее, $z^6$ принадлежит IV координатной четверти, и его модуль равен $729$.Первая часть утверждения верна.Проверим вторую часть: "его модуль меньше 750". Неравенство $729 < 750$ является истинным.Поскольку обе части утверждения верны, всё утверждение верно.

Ответ: верно.

г) z?? принадлежит второй координатной четверти?

Найдем $z^{16}$ по формуле Муавра, где $n=16$.Аргумент: $\arg(z^{16}) = 16 \cdot 0,3\pi = 4,8\pi$.Чтобы определить четверть, найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi$):$4,8\pi - 2 \cdot 2\pi = 4,8\pi - 4\pi = 0,8\pi$.Сравним полученный аргумент $0,8\pi$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < 0,8\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,8\pi < 1\pi$).Это соответствует II координатной четверти.Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

36.3. Пусть $z = \cos 0.19\pi + i \sin 0.19\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены во второй или в четвёртой координатной четверти?

Дано комплексное число в тригонометрической форме $z = \cos(0,19\pi) + i \sin(0,19\pi)$. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 0,19\pi$.Мы рассматриваем множество чисел $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$.

Для нахождения степеней числа $z^n$ воспользуемся формулой Муавра:$z^n = (\cos\varphi + i \sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$.

В нашем случае $\varphi = 0,19\pi$, поэтому $z^n = \cos(n \cdot 0,19\pi) + i \sin(n \cdot 0,19\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = n \cdot 0,19\pi$.Положение комплексного числа на плоскости определяется его аргументом. Границы координатных четвертей определяются углами $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. В десятичной форме это $0,5\pi$, $1\pi$, $1,5\pi$, $2\pi$.

Комплексное число расположено выше оси абсцисс (вещественной оси), если его мнимая часть положительна. Для числа $z^n = \cos(n \cdot 0,19\pi) + i \sin(n \cdot 0,19\pi)$ это означает, что $\sin(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в первой или второй четверти, то есть $0 < \arg(z^n) < \pi$ (с точностью до периода $2\pi$).Подставим выражение для аргумента: $0 < n \cdot 0,19\pi < \pi$.Разделим неравенство на $0,19\pi$: $0 < n < \frac{1}{0,19}$.Так как $\frac{1}{0,19} \approx 5,26$, то целые значения $n$ из диапазона $\{1, 2, \dots, 10\}$, удовлетворяющие этому условию, это $n = 1, 2, 3, 4, 5$.Следовательно, это числа $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.
Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.

Комплексное число расположено правее оси ординат (мнимой оси), если его действительная часть положительна. Для числа $z^n$ это означает, что $\cos(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в первой или четвертой четверти, то есть $0 < \arg(z^n) < \frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2} < \arg(z^n) < 2\pi$.Рассмотрим два случая:
1) $0 < n \cdot 0,19\pi < 0,5\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $0 < n < \frac{0,5}{0,19} \approx 2,63$. Целые значения $n$: $1, 2$.
2) $1,5\pi < n \cdot 0,19\pi < 2\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{1,5}{0,19} < n < \frac{2}{0,19}$, что примерно равно $7,89 < n < 10,52$. Целые значения $n$: $8, 9, 10$.
Объединяя оба случая, получаем $n = 1, 2, 8, 9, 10$.Следовательно, это числа $z, z^2, z^8, z^9, z^{10}$.
Ответ: $z, z^2, z^8, z^9, z^{10}$.

Комплексное число расположено в первой координатной четверти, если и действительная, и мнимая части положительны. Это означает, что $\cos(n \cdot 0,19\pi) > 0$ и $\sin(n \cdot 0,19\pi) > 0$.Это условие выполняется, когда аргумент числа находится в интервале $0 < \arg(z^n) < \frac{\pi}{2}$.$0 < n \cdot 0,19\pi < 0,5\pi$.Разделив на $0,19\pi$, получим $0 < n < \frac{0,5}{0,19} \approx 2,63$.Целые значения $n$ из заданного диапазона: $1, 2$.Следовательно, это числа $z, z^2$.
Ответ: $z, z^2$.

Комплексное число расположено во второй четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая положительна ($\frac{\pi}{2} < \arg(z^n) < \pi$).Комплексное число расположено в четвертой четверти, если его действительная часть положительна, а мнимая отрицательна ($\frac{3\pi}{2} < \arg(z^n) < 2\pi$).Рассмотрим оба случая:
1) Вторая четверть: $\frac{\pi}{2} < n \cdot 0,19\pi < \pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{0,5}{0,19} < n < \frac{1}{0,19}$, что примерно равно $2,63 < n < 5,26$. Целые значения $n$: $3, 4, 5$.
2) Четвертая четверть: $\frac{3\pi}{2} < n \cdot 0,19\pi < 2\pi$. Разделив на $0,19\pi$, получим $\frac{1,5}{0,19} < n < \frac{2}{0,19}$, что примерно равно $7,89 < n < 10,52$. Целые значения $n$: $8, 9, 10$.
Объединяя оба случая, получаем $n = 3, 4, 5, 8, 9, 10$.Следовательно, это числа $z^3, z^4, z^5, z^8, z^9, z^{10}$.
Ответ: $z^3, z^4, z^5, z^8, z^9, z^{10}$.

36.4. Пусть $z = 2(\cos 0.21\pi + i \sin 0.21\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?

Дано комплексное число $z$ в тригонометрической форме: $z = 2(\cos(0,21\pi) + i\sin(0,21\pi))$.

Его модуль равен $r = |z| = 2$, а аргумент $\varphi = \arg(z) = 0,21\pi$.

Степени числа $z$ находятся по формуле Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Для нашего случая формула имеет вид: $z^n = 2^n(\cos(n \cdot 0,21\pi) + i\sin(n \cdot 0,21\pi))$.

Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = 2^n$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = 0,21n\pi$.

Рассматривается множество чисел $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$, что соответствует натуральным значениям $n$ от 1 до 10.

а) расположены во второй координатной четверти;

Комплексное число расположено во второй координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$. С учетом периодичности аргумента, для $\arg(z^n) = 0,21n\pi$ должно выполняться условие:

$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 0,21n\pi < \pi + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Сократим неравенство на $\pi$ и разделим все части на 0,21:

$\frac{0,5 + 2k}{0,21} < n < \frac{1 + 2k}{0,21}$.

Будем подставлять целые значения $k$ и находить соответствующие натуральные $n$ в диапазоне от 1 до 10.

При $k=0$:

$\frac{0,5}{0,21} < n < \frac{1}{0,21} \implies 2,38... < n < 4,76...$

Отсюда получаем целые значения $n=3$ и $n=4$.

При $k=1$:

$\frac{0,5 + 2}{0,21} < n < \frac{1 + 2}{0,21} \implies \frac{2,5}{0,21} < n < \frac{3}{0,21} \implies 11,9... < n < 14,2...$

В этом интервале нет целых $n$ от 1 до 10. Дальнейшие значения $k$ также не дадут решений в нужном диапазоне.

Таким образом, во второй четверти расположены числа $z^3$ и $z^4$.

Ответ: $z^3, z^4$.

б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;

Комплексное число находится внутри круга радиуса 500, если его модуль меньше 500. Модуль числа $z^n$ равен $|z^n| = 2^n$. Решим неравенство:

$2^n < 500$ для $n \in \{1, 2, ..., 10\}$.

Вычислим степени двойки:

$2^1 = 2 < 500$

$2^2 = 4 < 500$

$2^3 = 8 < 500$

$2^4 = 16 < 500$

$2^5 = 32 < 500$

$2^6 = 64 < 500$

$2^7 = 128 < 500$

$2^8 = 256 < 500$

$2^9 = 512 > 500$

$2^{10} = 1024 > 500$

Неравенство выполняется для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7, z^8$.

в) расположены в первой координатной четверти;

Комплексное число расположено в первой координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности, для $\arg(z^n) = 0,21n\pi$ должно выполняться условие:

$2k\pi < 0,21n\pi < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Разделив на $0,21\pi$, получим:

$\frac{2k}{0,21} < n < \frac{0,5 + 2k}{0,21}$.

При $k=0$:

$0 < n < \frac{0,5}{0,21} \implies 0 < n < 2,38...$

Целые значения $n$: $1, 2$.

При $k=1$:

$\frac{2}{0,21} < n < \frac{2,5}{0,21} \implies 9,52... < n < 11,9...$

Целое значение $n$: $10$.

При $k=2$ и более, значения $n$ будут выходить за пределы диапазона от 1 до 10.

Таким образом, в первой четверти расположены числа, для которых $n \in \{1, 2, 10\}$.

Ответ: $z, z^2, z^{10}$.

г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?

Необходимо выполнение двух условий одновременно.

1. Расположение правее оси ординат. Это означает, что число находится в первой или четвертой координатной четверти, то есть его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности:

$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 0,21n\pi < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{-0,5 + 2k}{0,21} < n < \frac{0,5 + 2k}{0,21}$.

При $k=0$: $\frac{-0,5}{0,21} < n < \frac{0,5}{0,21} \implies -2,38... < n < 2,38...$. Целые $n \in \{1, ..., 10\}$: $1, 2$.

При $k=1$: $\frac{1,5}{0,21} < n < \frac{2,5}{0,21} \implies 7,14... < n < 11,9...$. Целые $n \in \{1, ..., 10\}$: $8, 9, 10$.

При $k=2$ и более, решения будут вне диапазона $n$.

Итак, первому условию удовлетворяют $n \in \{1, 2, 8, 9, 10\}$.

2. Расположение вне круга радиуса 500. Модуль числа должен быть больше 500:

$|z^n| > 500 \implies 2^n > 500$.

Как мы выяснили в пункте б), это неравенство выполняется для $n=9$ и $n=10$.

Для выполнения обоих условий найдем пересечение полученных множеств значений $n$: $\{1, 2, 8, 9, 10\} \cap \{9, 10\} = \{9, 10\}$.

Следовательно, оба условия выполняются для чисел $z^9$ и $z^{10}$.

Ответ: $z^9, z^{10}$.

36.5. Пусть $z = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \dots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей;

г) расположены ниже биссектрисы второй и четвёртой координатной четвертей?

Данное комплексное число $z = \cos(0,17\pi) + i \sin(0,17\pi)$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $|z|=1$, а аргумент $\arg(z) = 0,17\pi$.Мы рассматриваем множество чисел $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^{10}\}$.По формуле Муавра, для любого натурального числа $k$ имеем:$z^k = (\cos(0,17\pi) + i \sin(0,17\pi))^k = \cos(0,17k\pi) + i \sin(0,17k\pi)$.Таким образом, для каждого числа $z^k$ из множества, его модуль $|z^k|=1$, а аргумент $\arg(z^k) = 0,17k\pi$. Все эти числа лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.Положение числа $z^k = x_k + iy_k$ на комплексной плоскости определяется его аргументом $\theta_k = 0,17k\pi$.$x_k = \cos(\theta_k) = \cos(0,17k\pi)$$y_k = \sin(\theta_k) = \sin(0,17k\pi)$

Число расположено выше оси абсцисс (оси Re), если его мнимая часть положительна, то есть $y_k > 0$.$Im(z^k) = \sin(0,17k\pi) > 0$.Синус положителен для углов в первой и второй координатных четвертях, то есть когда $0 < \arg(z^k) < \pi$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых выполняется неравенство:$0 < 0,17k\pi < \pi$Разделим все части на $\pi$:$0 < 0,17k < 1$Разделим на $0,17$:$0 < k < \frac{1}{0,17} \approx 5,88$Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5$.

Число расположено правее оси ординат (оси Im), если его действительная часть положительна, то есть $x_k > 0$.$Re(z^k) = \cos(0,17k\pi) > 0$.Косинус положителен для углов в первой и четвертой координатных четвертях, то есть когда $-\frac{\pi}{2} < \arg(z^k) < \frac{\pi}{2}$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых выполняется:$2m\pi - \frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < 2m\pi + \frac{\pi}{2}$ для некоторого целого $m$.При $m=0$:$-\frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < \frac{\pi}{2} \implies -0,5 < 0,17k < 0,5 \implies -\frac{0,5}{0,17} < k < \frac{0,5}{0,17} \implies -2,94 \approx -\frac{0,5}{0,17} < k < \frac{0,5}{0,17} \approx 2,94$.Так как $k \ge 1$, получаем $k = 1, 2$.При $m=1$:$2\pi - \frac{\pi}{2} < 0,17k\pi < 2\pi + \frac{\pi}{2} \implies 1,5\pi < 0,17k\pi < 2,5\pi \implies 1,5 < 0,17k < 2,5 \implies \frac{1,5}{0,17} < k < \frac{2,5}{0,17} \implies 8,82 \approx \frac{1,5}{0,17} < k < \frac{2,5}{0,17} \approx 14,7$.Целые значения $k$ из нашего диапазона: $9, 10$.

Ответ: $z, z^2, z^9, z^{10}$.

Биссектриса первой и третьей четвертей задается уравнением $y=x$. Условие "выше биссектрисы" означает $y_k > x_k$.$Im(z^k) > Re(z^k) \implies \sin(0,17k\pi) > \cos(0,17k\pi)$.Это неравенство выполняется для углов, лежащих в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых:$\frac{\pi}{4} < 0,17k\pi < \frac{5\pi}{4}$Разделим на $\pi$:$0,25 < 0,17k < 1,25$Разделим на $0,17$:$\frac{0,25}{0,17} < k < \frac{1,25}{0,17} \implies 1,47 \approx \frac{0,25}{0,17} < k < \frac{1,25}{0,17} \approx 7,35$.Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Ответ: $z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7$.

Биссектриса второй и четвёртой четвертей задается уравнением $y=-x$. Условие "ниже биссектрисы" означает $y_k < -x_k$.$Im(z^k) < -Re(z^k) \implies \sin(0,17k\pi) < -\cos(0,17k\pi) \implies \sin(0,17k\pi) + \cos(0,17k\pi) < 0$.Это неравенство выполняется для углов, лежащих в интервале $(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4})$ (с точностью до периода $2\pi$).Ищем такие целые $k \in \{1, 2, \ldots, 10\}$, для которых:$\frac{3\pi}{4} < 0,17k\pi < \frac{7\pi}{4}$Разделим на $\pi$:$0,75 < 0,17k < 1,75$Разделим на $0,17$:$\frac{0,75}{0,17} < k < \frac{1,75}{0,17} \implies 4,41 \approx \frac{0,75}{0,17} < k < \frac{1,75}{0,17} \approx 10,29$.Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Ответ: $z^5, z^6, z^7, z^8, z^9, z^{10}$.