Страница 202, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.83. a) $z = z_1 z_2;$

б) $z = (z_1)^2 z_2;$

В) $z = z_1 (z_2)^3;$

Г) $z = (z_1)^5 (z_2)^3.$

Для решения данных задач необходимо выполнить операции умножения и возведения в степень комплексных чисел. Поскольку конкретные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ не заданы, решение будет представлено в общем виде с использованием основных формул и правил действий с комплексными числами.

Комплексные числа можно представить в двух формах:

• Алгебраическая форма: $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, $b$ – мнимая часть, $i$ – мнимая единица ($i^2 = -1$). Пусть $z_1 = a_1 + b_1 i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$.
• Тригонометрическая и показательная формы: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i\varphi}$, где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ – модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ – его аргумент. Пусть $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$.

Для операций умножения и возведения в степень, особенно в высокие степени, значительно удобнее использовать тригонометрическую или показательную форму.

а) $z = z_1 z_2$

Чтобы найти произведение двух комплексных чисел, нужно перемножить их по правилам умножения многочленов (в алгебраической форме) или перемножить их модули и сложить аргументы (в тригонометрической форме).

В алгебраической форме:
$z = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$.

В тригонометрической форме:
$z = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \cdot r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

В показательной форме (что эквивалентно тригонометрической):
$z = (r_1 e^{i\varphi_1})(r_2 e^{i\varphi_2}) = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$.

Ответ: В алгебраической форме $z = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$; в тригонометрической форме $z = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

б) $z = (z_1)^2 z_2$

Сначала необходимо возвести число $z_1$ в квадрат, а затем результат умножить на $z_2$. Для возведения в степень используется формула бинома Ньютона (в алгебраической форме) или формула Муавра (в тригонометрической форме).

Шаг 1: Возведение $z_1$ в квадрат.
В алгебраической форме: $(z_1)^2 = (a_1 + b_1 i)^2 = a_1^2 + 2a_1 b_1 i + (b_1 i)^2 = (a_1^2 - b_1^2) + (2a_1 b_1)i$.
В тригонометрической форме (формула Муавра): $(z_1)^2 = [r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)]^2 = r_1^2 (\cos(2\varphi_1) + i \sin(2\varphi_1))$.

Шаг 2: Умножение результата на $z_2$.
В алгебраической форме: $z = ((a_1^2 - b_1^2) + (2a_1 b_1)i) (a_2 + b_2 i) = ((a_1^2 - b_1^2)a_2 - 2a_1 b_1 b_2) + i((a_1^2 - b_1^2)b_2 + 2a_1 b_1 a_2)$.
В тригонометрической форме: $z = (r_1^2 (\cos(2\varphi_1) + i \sin(2\varphi_1))) \cdot (r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)) = r_1^2 r_2 (\cos(2\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(2\varphi_1 + \varphi_2))$.

Ответ: В алгебраической форме $z = (a_1^2 a_2 - b_1^2 a_2 - 2a_1 b_1 b_2) + i(a_1^2 b_2 - b_1^2 b_2 + 2a_1 b_1 a_2)$; в тригонометрической форме $z = r_1^2 r_2 (\cos(2\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(2\varphi_1 + \varphi_2))$.

в) $z = z_1 (z_2)^3$

Здесь сначала возводим в куб число $z_2$, а затем умножаем $z_1$ на полученный результат. Формула Муавра: $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.

Шаг 1: Возведение $z_2$ в куб.
В алгебраической форме: $(z_2)^3 = (a_2 + b_2 i)^3 = a_2^3 + 3a_2^2(b_2 i) + 3a_2(b_2 i)^2 + (b_2 i)^3 = (a_2^3 - 3a_2 b_2^2) + (3a_2^2 b_2 - b_2^3)i$.
В тригонометрической форме: $(z_2)^3 = [r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)]^3 = r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))$.

Шаг 2: Умножение $z_1$ на результат.
В алгебраической форме: $z = (a_1 + b_1 i) ((a_2^3 - 3a_2 b_2^2) + (3a_2^2 b_2 - b_2^3)i)$. Раскрытие скобок приведет к громоздкому выражению, поэтому тригонометрическая форма предпочтительнее.
В тригонометрической форме: $z = (r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)) \cdot (r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))) = r_1 r_2^3 (\cos(\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

Ответ: В тригонометрической форме $z = r_1 r_2^3 (\cos(\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

г) $z = (z_1)^5 (z_2)^3$

В этом случае необходимо возвести $z_1$ в пятую степень, $z_2$ – в третью, и затем перемножить результаты. Использование алгебраической формы крайне затруднительно из-за высоких степеней. Тригонометрическая форма значительно упрощает вычисления.

Шаг 1: Возведение в степень по формуле Муавра.
$(z_1)^5 = [r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)]^5 = r_1^5 (\cos(5\varphi_1) + i \sin(5\varphi_1))$.
$(z_2)^3 = [r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)]^3 = r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))$.

Шаг 2: Умножение результатов.
$z = (r_1^5 (\cos(5\varphi_1) + i \sin(5\varphi_1))) \cdot (r_2^3 (\cos(3\varphi_2) + i \sin(3\varphi_2))) = r_1^5 r_2^3 (\cos(5\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(5\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

В показательной форме вычисления выглядят еще компактнее:
$(z_1)^5 = (r_1 e^{i\varphi_1})^5 = r_1^5 e^{i 5\varphi_1}$.
$(z_2)^3 = (r_2 e^{i\varphi_2})^3 = r_2^3 e^{i 3\varphi_2}$.
$z = (r_1^5 e^{i 5\varphi_1}) (r_2^3 e^{i 3\varphi_2}) = r_1^5 r_2^3 e^{i(5\varphi_1 + 3\varphi_2)}$.

Ответ: В тригонометрической форме $z = r_1^5 r_2^3 (\cos(5\varphi_1 + 3\varphi_2) + i \sin(5\varphi_1 + 3\varphi_2))$.

34.34. a) $z = \frac{z_1}{z_2}$;

б) $z = \frac{z_2}{z_1}$;

В) $z = \frac{z_1^2}{z_2}$;

г) $z = \frac{z_1^3}{z_2^5}$.

Зная, что $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$, изобразите на комплексной плоскости числа $z_1, z_2, z$ и найдите аргумент указанного числа $z$:

Для решения задачи представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической и показательной формах. Комплексное число $z = x + iy$ в показательной форме имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$, где $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

Найдем модуль и аргумент для $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Модуль: $|z_1| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент: $\cos\varphi_1 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_1 = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z_1 = 1 \cdot (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = e^{i\frac{\pi}{3}}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ в первом квадранте.

Найдем модуль и аргумент для $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$:

Модуль: $|z_2| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент: $\cos\varphi_2 = \frac{-\sqrt{3}/2}{1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, $z_2 = 1 \cdot (\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = e^{i\frac{5\pi}{6}}$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ во втором квадранте.

Используем свойства показательной формы для вычислений: $\frac{e^{i\varphi_a}}{e^{i\varphi_b}} = e^{i(\varphi_a - \varphi_b)}$ и $(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}$.

а) $z = \frac{z_1}{z_2}$

Вычислим $z$ в показательной форме:

$z = \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(-\frac{3\pi}{6})} = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

б) $z = \frac{z_2}{z_1}$

Вычислим $z$ в показательной форме:

$z = \frac{e^{i\frac{5\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = e^{i(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3})} = e^{i(\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6})} = e^{i\frac{3\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i = i$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(0, 1)$ на мнимой оси.

Ответ: $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

в) $z = \frac{z_1^2}{z_2}$

Сначала найдем $z_1^2$: $z_1^2 = (e^{i\frac{\pi}{3}})^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Теперь вычислим $z$:

$z = \frac{e^{i\frac{2\pi}{3}}}{e^{i\frac{5\pi}{6}}} = e^{i(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6})} = e^{i(\frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6})} = e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$.

В алгебраической форме: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ в четвертом квадранте.

Ответ: $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$.

г) $z = \frac{z_1^3}{z_2^5}$

Найдем $z_1^3$: $z_1^3 = (e^{i\frac{\pi}{3}})^3 = e^{i\pi} = -1$.

Найдем $z_2^5$: $z_2^5 = (e^{i\frac{5\pi}{6}})^5 = e^{i\frac{25\pi}{6}}$.

Аргумент $\frac{25\pi}{6}$ можно упростить, вычитая полные обороты ($2\pi$): $\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$. Таким образом, аргумент эквивалентен $\frac{\pi}{6}$. Значит, $z_2^5 = e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь вычислим $z$:

$z = \frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = e^{i(\pi - \frac{\pi}{6})} = e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.

Интересно, что $z = e^{i\frac{5\pi}{6}} = z_2$.

На комплексной плоскости:

• $z_1$ — точка $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2$ — точка $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
• $z$ — та же точка, что и $z_2$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $\arg(z) = \frac{5\pi}{6}$.

34.35. a) $z = z_1z_2$;

б) $z = (z_1)^2z_2$;

В) $z = z_1(z_2)^5$;

Г) $z = (z_1)^{11}(z_2)^{10}$.

Для решения задачи представим исходные комплексные числа в тригонометрической форме. Общий вид тригонометрической формы комплексного числа $z = x + iy$ есть $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — это модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ — это его аргумент.

Для числа $z_1 = \sqrt{3} + i$ имеем:

Модуль: $r_1 = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\phi_1$ найдем из системы:

$\cos\phi_1 = \frac{x_1}{r_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\phi_1 = \frac{y_1}{r_1} = \frac{1}{2}$

Отсюда аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z_1$ это: $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Для числа $z_2 = 2 - 2i$ имеем:

Модуль: $r_2 = |2 - 2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Аргумент $\phi_2$ найдем из системы:

$\cos\phi_2 = \frac{x_2}{r_2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\phi_2 = \frac{y_2}{r_2} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда аргумент $\phi_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z_2$ это: $z_2 = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Модуль $z$: $|z| = |z_1| \cdot |z_2| = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 4\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$.

Для преобразования в алгебраическую форму найдем значения косинуса и синуса для угла $-\frac{\pi}{12}$:$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ + \sin45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) = -\sin(15^\circ) = -(\sin45^\circ\cos30^\circ - \cos45^\circ\sin30^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

$z = 4\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right) = \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}) = (\sqrt{12}+2) + i(2-\sqrt{12}) = (2\sqrt{3}+2) + i(2-2\sqrt{3})$.

Ответ: $z = (2+2\sqrt{3}) + i(2-2\sqrt{3})$.

Сначала возведем $z_1$ в квадрат, используя формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

$(z_1)^2 = 2^2(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6})) = 4(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь умножим результат на $z_2$.

Модуль $z$: $|z| = |(z_1)^2| \cdot |z_2| = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg((z_1)^2) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 8\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму:$z = 8\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i \cdot 2\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = (2\sqrt{12}+4) + i(2\sqrt{12}-4) = (4\sqrt{3}+4) + i(4\sqrt{3}-4)$.

Ответ: $z = (4+4\sqrt{3}) + i(4\sqrt{3}-4)$.

Сначала возведем $z_2$ в пятую степень по формуле Муавра.

$(z_2)^5 = (2\sqrt{2})^5(\cos(5 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + i\sin(5 \cdot (-\frac{\pi}{4}))) = (2^{3/2})^5(\cos(-\frac{5\pi}{4}) + i\sin(-\frac{5\pi}{4}))$.

Модуль: $(2\sqrt{2})^5 = 2^5 (\sqrt{2})^5 = 32 \cdot 4\sqrt{2} = 128\sqrt{2}$.

Аргумент: $-\frac{5\pi}{4}$, что эквивалентно $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4}$.

$(z_2)^5 = 128\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.

Теперь умножим $z_1$ на $(z_2)^5$.

Модуль $z$: $|z| = |z_1| \cdot |(z_2)^5| = 2 \cdot 128\sqrt{2} = 256\sqrt{2}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg(z_1) + \arg((z_2)^5) = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi+9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 256\sqrt{2}(\cos(\frac{11\pi}{12}) + i\sin(\frac{11\pi}{12}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму, зная, что $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$:$\cos(\frac{11\pi}{12}) = -\cos(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.$\sin(\frac{11\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$z = 256\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = 64\sqrt{2}(-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i(\sqrt{6}-\sqrt{2})) = 64(-\sqrt{12}-2 + i(\sqrt{12}-2)) = 64(-2\sqrt{3}-2 + i(2\sqrt{3}-2)) = -128(\sqrt{3}+1) + 128i(\sqrt{3}-1)$.

Ответ: $z = -128(1+\sqrt{3}) + i \cdot 128(\sqrt{3}-1)$.

Возводим $z_1$ в 11-ю степень и $z_2$ в 10-ю степень.

$(z_1)^{11} = 2^{11}(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}))$. Модуль $2^{11} = 2048$.

$(z_2)^{10} = (2\sqrt{2})^{10}(\cos(10 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + i\sin(10 \cdot (-\frac{\pi}{4}))) = (2^{3/2})^{10}(\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$.Модуль $(2\sqrt{2})^{10} = 2^{10}(\sqrt{2})^{10} = 2^{10} \cdot 2^5 = 2^{15} = 32768$. Аргумент $-\frac{5\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2}$.

Теперь перемножим результаты.

Модуль $z$: $|z| = |(z_1)^{11}| \cdot |(z_2)^{10}| = 2^{11} \cdot 2^{15} = 2^{26}$.

Аргумент $z$: $\arg(z) = \arg((z_1)^{11}) + \arg((z_2)^{10}) = \frac{11\pi}{6} - \frac{5\pi}{2} = \frac{11\pi - 15\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма $z$: $z = 2^{26}(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

Преобразуем в алгебраическую форму:$\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.$\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z = 2^{26}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2^{25}(1 + i\sqrt{3})$.

Ответ: $z = -2^{25}(1 + i\sqrt{3})$.

34.36. a) $z = \frac{z_1}{z_2};$

б) $z = z_1^3;$

В) $z = \frac{z_1^4}{z_2^3};$

Г) $z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}.$

При решении будем исходить из того, что для данной группы задач заданы комплексные числа $z_1 = 1 - i$ и $z_2 = \sqrt{3} + i$.

а) $z = \frac{z_1}{z_2}$

Подставим значения $z_1$ и $z_2$ в выражение для $z$:

$z = \frac{1 - i}{\sqrt{3} + i}$

Для выполнения деления комплексных чисел в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = \sqrt{3} + i$ есть $\overline{z_2} = \sqrt{3} - i$.

$z = \frac{(1 - i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)}$

Выполним умножение в числителе:

$(1 - i)(\sqrt{3} - i) = 1 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot i - i \cdot \sqrt{3} + i^2 = \sqrt{3} - i - i\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} - 1) - i(1 + \sqrt{3})$

Выполним умножение в знаменателе, используя свойство $z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2+b^2$:

$(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i) = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$z = \frac{(\sqrt{3} - 1) - i(1 + \sqrt{3})}{4}$

Запишем результат в стандартной алгебраической форме $z = a + bi$:

$z = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} - i\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Ответ: $z = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} - i\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

б) $z = z_1^3$

Для возведения комплексного числа в степень удобно использовать его тригонометрическую форму $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и формулу Муавра. Найдем модуль $r_1$ и аргумент $\varphi_1$ для числа $z_1 = 1 - i$.

Модуль: $r_1 = |z_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент: $\varphi_1 = \arg(z_1)$. Точка $(1, -1)$ находится в IV координатной четверти, поэтому $\varphi_1 = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма: $z_1 = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

По формуле Муавра $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$:

$z = z_1^3 = (\sqrt{2})^3 \left(\cos\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i\sin\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-x)=\cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x)=-\sin(x)$), а также значения тригонометрических функций $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$z = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = - \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} - i\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} = -2 - 2i$

Ответ: $z = -2 - 2i$.

в) $z = \frac{z_1^4}{z_2^3}$

Для этой задачи наиболее удобно использовать показательную форму комплексных чисел $z = re^{i\varphi}$.

Для $z_1 = 1 - i$: модуль $r_1 = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{\pi}{4}$. Показательная форма: $z_1 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Для $z_2 = \sqrt{3} + i$: модуль $r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2$, аргумент $\varphi_2 = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Показательная форма: $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Вычислим числитель $z_1^4$:

$z_1^4 = \left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^4 = (\sqrt{2})^4 e^{-i\frac{4\pi}{4}} = 4e^{-i\pi} = 4(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 4(-1 + 0i) = -4$.

Вычислим знаменатель $z_2^3$:

$z_2^3 = \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 8(0 + 1i) = 8i$.

Теперь найдем частное:

$z = \frac{-4}{8i} = \frac{-1}{2i} = \frac{-1 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{-i}{2i^2} = \frac{-i}{2(-1)} = \frac{i}{2}$.

Ответ: $z = \frac{i}{2}$.

г) $z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}$

Воспользуемся показательными формами $z_1 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ и $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

$z = \frac{\left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{31}}{\left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{33}} = \frac{(\sqrt{2})^{31} e^{-i\frac{31\pi}{4}}}{2^{33} e^{i\frac{33\pi}{6}}}$

Вычислим отдельно модуль и аргумент итогового числа $z$.

Модуль: $|z| = \frac{|\sqrt{2}|^{31}}{|2|^{33}} = \frac{2^{31/2}}{2^{33}} = 2^{31/2 - 33} = 2^{15.5 - 33} = 2^{-17.5} = 2^{-35/2}$.

Аргумент: $\arg(z) = \arg(z_1^{31}) - \arg(z_2^{33}) = 31\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 33\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{31\pi}{4} - \frac{11\pi}{2} = -\frac{31\pi}{4} - \frac{22\pi}{4} = -\frac{53\pi}{4}$.

Приведем аргумент к главному значению (в интервале $(-\pi, \pi]$) путем прибавления целого числа оборотов $2\pi$:

$-\frac{53\pi}{4} + k \cdot 2\pi$. Так как $-\frac{53}{4} = -13.25$, для попадания в нужный интервал нужно прибавить $14\pi$ (т.е. $k=7$).

$\arg(z) = -\frac{53\pi}{4} + 14\pi = -\frac{53\pi}{4} + \frac{56\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь запишем число $z$ в показательной форме и переведем в алгебраическую:

$z = 2^{-35/2} e^{i\frac{3\pi}{4}} = 2^{-35/2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.

Подставляем значения косинуса и синуса:

$z = 2^{-35/2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2^{-35/2} \cdot 2^{-1/2}(-1+i) = 2^{-35/2 - 1/2}(-1+i) = 2^{-36/2}(-1+i) = 2^{-18}(-1+i)$.

$z = \frac{-1+i}{2^{18}}$.

Ответ: $z = \frac{-1+i}{2^{18}}$ (или $z = \frac{-1+i}{262144}$).

34.37. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на $z$. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если:

а) $z = i$;

б) $z = -3i$;

в) $z = 1 - \sqrt{3}i$;

г) $z = 3 - i$.

Пусть исходное множество комплексных чисел, действительная часть которых равна -4, обозначается как $W$. Любое число $w$ из этого множества можно представить в виде $w = -4 + yi$, где $y$ — любое действительное число ($y \in \mathbb{R}$). На комплексной плоскости это множество точек $(x, y)$ образует вертикальную прямую, заданную уравнением $x = -4$.

Мы умножаем каждое число $w$ на заданное комплексное число $z$. Полученное число $w'$ будет равно $w' = w \cdot z$. Пусть $w' = x' + y'i$. Наша задача — найти, какое множество точек $(x', y')$ образуют числа $w'$ для каждого случая.

а) z = i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot i = -4i + yi^2 = -4i - y = -y - 4i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = \text{Re}(w') = -y$

$y' = \text{Im}(w') = -4$

Поскольку $y$ может принимать любое действительное значение, $x' = -y$ также может принимать любое действительное значение. При этом мнимая часть $y'$ всегда равна -4. Таким образом, полученное множество чисел на комплексной плоскости представляет собой горизонтальную прямую, заданную уравнением $y' = -4$.

Геометрически умножение на $z=i$ соответствует повороту на угол $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) против часовой стрелки. Поворот вертикальной прямой $x=-4$ на 90° дает горизонтальную прямую $y=-4$.

Ответ: Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = -4$.

б) z = -3i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (-3i) = (-4)(-3i) + (yi)(-3i) = 12i - 3yi^2 = 12i + 3y = 3y + 12i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = \text{Re}(w') = 3y$

$y' = \text{Im}(w') = 12$

Поскольку $y$ может принимать любое действительное значение, $x' = 3y$ также может принимать любое действительное значение. Мнимая часть $y'$ всегда равна 12. Следовательно, полученное множество чисел — это горизонтальная прямая $y' = 12$.

Геометрически умножение на $z=-3i$ соответствует повороту на угол $-\frac{\pi}{2}$ (или 90° по часовой стрелке) и растяжению в 3 раза (так как $|-3i|=3$). Поворот вертикальной прямой $x=-4$ на -90° дает горизонтальную прямую. Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(-4) \cdot (-3i) = 12i$, то есть $(0, 12)$. Таким образом, мы получаем прямую $y=12$.

Ответ: Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = 12$.

в) z = 1 - iv3

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (1 - i\sqrt{3}) = -4(1 - i\sqrt{3}) + yi(1 - i\sqrt{3}) = -4 + 4i\sqrt{3} + yi - y\sqrt{3}i^2$

$w' = -4 + 4i\sqrt{3} + yi + y\sqrt{3} = (-4 + y\sqrt{3}) + (y + 4\sqrt{3})i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = -4 + y\sqrt{3}$

$y' = y + 4\sqrt{3}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = y' - 4\sqrt{3}$. Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы найти связь между $x'$ и $y'$:

$x' = -4 + (y' - 4\sqrt{3})\sqrt{3} = -4 + y'\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2 = -4 + y'\sqrt{3} - 12 = y'\sqrt{3} - 16$

Получаем уравнение прямой: $x' = y'\sqrt{3} - 16$, или $x' - y'\sqrt{3} + 16 = 0$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$.

г) z = 3 - i

Найдем произведение $w' = w \cdot z$:

$w' = (-4 + yi) \cdot (3 - i) = -4(3 - i) + yi(3 - i) = -12 + 4i + 3yi - yi^2$

$w' = -12 + 4i + 3yi + y = (-12 + y) + (4 + 3y)i$

Действительная и мнимая части полученного числа $w'$ равны:

$x' = y - 12$

$y' = 3y + 4$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x' + 12$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$y' = 3(x' + 12) + 4 = 3x' + 36 + 4 = 3x' + 40$

Получаем уравнение прямой: $y' = 3x' + 40$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = 3x + 40$.

34.38. Зная, что $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = -1 + 7i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $zz_1$, $zz_2$, $zz_3$, если:

а) $z = i$;

б) $z = 2i$;

в) $z = -i$;

г) $z = 1 - i$.

Исходные вершины треугольника на комплексной плоскости соответствуют точкам $A(2, 1)$, $B(4, 3)$ и $C(-1, 7)$. Умножение комплексного числа на другое комплексное число $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ геометрически означает поворот на угол $\varphi$ и растяжение (гомотетию) с коэффициентом $r = |z|$ относительно начала координат. Для каждого случая найдем новые вершины треугольника $A'$, $B'$, $C'$.

а) z = i;

Умножаем на $z = i$. Модуль $|z| = |i| = 1$, аргумент $arg(z) = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = i \cdot (2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i$. Координаты точки $A'(-1, 2)$.
• $B' = z \cdot z_2 = i \cdot (4 + 3i) = 4i + 3i^2 = -3 + 4i$. Координаты точки $B'(-3, 4)$.
• $C' = z \cdot z_3 = i \cdot (-1 + 7i) = -i + 7i^2 = -7 - i$. Координаты точки $C'(-7, -1)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(-1, 2)$, $B'(-3, 4)$, $C'(-7, -1)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(-1, 2)$, $(-3, 4)$, $(-7, -1)$.

б) z = 2i;

Умножаем на $z = 2i$. Модуль $|z| = |2i| = 2$, аргумент $arg(z) = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки и растяжением в 2 раза относительно начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = 2i \cdot (2 + i) = 4i + 2i^2 = -2 + 4i$. Координаты точки $A'(-2, 4)$.
• $B' = z \cdot z_2 = 2i \cdot (4 + 3i) = 8i + 6i^2 = -6 + 8i$. Координаты точки $B'(-6, 8)$.
• $C' = z \cdot z_3 = 2i \cdot (-1 + 7i) = -2i + 14i^2 = -14 - 2i$. Координаты точки $C'(-14, -2)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(-2, 4)$, $B'(-6, 8)$, $C'(-14, -2)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(-2, 4)$, $(-6, 8)$, $(-14, -2)$.

в) z = -i;

Умножаем на $z = -i$. Модуль $|z| = |-i| = 1$, аргумент $arg(z) = -90^\circ$ или $-\frac{\pi}{2}$. Это преобразование является поворотом на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = -i \cdot (2 + i) = -2i - i^2 = 1 - 2i$. Координаты точки $A'(1, -2)$.
• $B' = z \cdot z_2 = -i \cdot (4 + 3i) = -4i - 3i^2 = 3 - 4i$. Координаты точки $B'(3, -4)$.
• $C' = z \cdot z_3 = -i \cdot (-1 + 7i) = i - 7i^2 = 7 + i$. Координаты точки $C'(7, 1)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(1, -2)$, $B'(3, -4)$, $C'(7, 1)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(1, -2)$, $(3, -4)$, $(7, 1)$.

г) z = 1 - i.

Умножаем на $z = 1 - i$. Модуль $|z| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $arg(z) = -45^\circ$ или $-\frac{\pi}{4}$. Это преобразование является поворотом на $45^\circ$ по часовой стрелке и растяжением в $\sqrt{2}$ раз относительно начала координат.

Найдем новые вершины:

• $A' = z \cdot z_1 = (1 - i) \cdot (2 + i) = 2 + i - 2i - i^2 = 2 - i - (-1) = 3 - i$. Координаты точки $A'(3, -1)$.
• $B' = z \cdot z_2 = (1 - i) \cdot (4 + 3i) = 4 + 3i - 4i - 3i^2 = 4 - i - 3(-1) = 7 - i$. Координаты точки $B'(7, -1)$.
• $C' = z \cdot z_3 = (1 - i) \cdot (-1 + 7i) = -1 + 7i + i - 7i^2 = -1 + 8i - 7(-1) = 6 + 8i$. Координаты точки $C'(6, 8)$.

Чтобы изобразить треугольник, нужно на комплексной плоскости отметить точки $A'(3, -1)$, $B'(7, -1)$, $C'(6, 8)$ и соединить их отрезками.

Ответ: Вершины треугольника находятся в точках $(3, -1)$, $(7, -1)$, $(6, 8)$.

34.39. Зная, что $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $\frac{z_1}{z}$, $\frac{z_2}{z}$, $\frac{z_3}{z}$, если:

а) $z = i$;

б) $z = 2i$;

в) $z = -i$;

г) $z = 1 - i$.

Для решения задачи нам даны три комплексных числа: $z_1 = 2 - i$, $z_2 = 4 + 3i$ и $z_3 = -2 + 5i$. Вершины искомого треугольника задаются как отношения этих чисел к заданному комплексному числу $z$. Найдем координаты этих вершин для каждого случая.

а) $z = i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_1, B_1, C_1$, которые соответствуют комплексным числам $\frac{z_1}{z}, \frac{z_2}{z}, \frac{z_3}{z}$.

Вершина $A_1$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{i}$. Для деления умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $-i$:
$\frac{(2 - i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i + i^2}{-i^2} = \frac{-2i - 1}{1} = -1 - 2i$.
Координаты точки $A_1$ на комплексной плоскости: $(-1, -2)$.

Вершина $B_1$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{i} = \frac{(4 + 3i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-4i - 3i^2}{1} = \frac{-4i + 3}{1} = 3 - 4i$.
Координаты точки $B_1$: $(3, -4)$.

Вершина $C_1$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{2i - 5i^2}{1} = \frac{2i + 5}{1} = 5 + 2i$.
Координаты точки $C_1$: $(5, 2)$.

Таким образом, для $z=i$ треугольник имеет вершины в точках $A_1(-1, -2)$, $B_1(3, -4)$ и $C_1(5, 2)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(-1, -2)$, $(3, -4)$, $(5, 2)$.

б) $z = 2i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_2, B_2, C_2$.

Вершина $A_2$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{2i} = \frac{(2 - i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{-4i + 2i^2}{-4i^2} = \frac{-4i - 2}{4} = -\frac{1}{2} - i$.
Координаты точки $A_2$: $(-\frac{1}{2}, -1)$.

Вершина $B_2$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{2i} = \frac{(4 + 3i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{-8i - 6i^2}{4} = \frac{-8i + 6}{4} = \frac{3}{2} - 2i$.
Координаты точки $B_2$: $(\frac{3}{2}, -2)$.

Вершина $C_2$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{2i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot (-2i)}{2i \cdot (-2i)} = \frac{4i - 10i^2}{4} = \frac{4i + 10}{4} = \frac{5}{2} + i$.
Координаты точки $C_2$: $(\frac{5}{2}, 1)$.

Таким образом, для $z=2i$ треугольник имеет вершины в точках $A_2(-\frac{1}{2}, -1)$, $B_2(\frac{3}{2}, -2)$ и $C_2(\frac{5}{2}, 1)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(-\frac{1}{2}, -1)$, $(\frac{3}{2}, -2)$, $(\frac{5}{2}, 1)$.

в) $z = -i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_3, B_3, C_3$.

Вершина $A_3$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{-i}$. Умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{(2 - i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{2i - i^2}{-i^2} = \frac{2i + 1}{1} = 1 + 2i$.
Координаты точки $A_3$: $(1, 2)$.

Вершина $B_3$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{-i} = \frac{(4 + 3i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{4i + 3i^2}{1} = \frac{4i - 3}{1} = -3 + 4i$.
Координаты точки $B_3$: $(-3, 4)$.

Вершина $C_3$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{-i} = \frac{(-2 + 5i) \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{-2i + 5i^2}{1} = \frac{-2i - 5}{1} = -5 - 2i$.
Координаты точки $C_3$: $(-5, -2)$.

Таким образом, для $z=-i$ треугольник имеет вершины в точках $A_3(1, 2)$, $B_3(-3, 4)$ и $C_3(-5, -2)$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(1, 2)$, $(-3, 4)$, $(-5, -2)$.

г) $z = 1 - i$

Найдем координаты вершин треугольника $A_4, B_4, C_4$. Комплексно-сопряженное к $z$ есть $\bar{z} = 1+i$. Произведение $z \cdot \bar{z} = (1-i)(1+i) = 1^2 - (i^2) = 1+1=2$.

Вершина $A_4$: $\frac{z_1}{z} = \frac{2 - i}{1 - i} = \frac{(2 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i - i - i^2}{2} = \frac{2+i+1}{2} = \frac{3+i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.
Координаты точки $A_4$: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.

Вершина $B_4$: $\frac{z_2}{z} = \frac{4 + 3i}{1 - i} = \frac{(4 + 3i)(1 + i)}{2} = \frac{4 + 4i + 3i + 3i^2}{2} = \frac{4 + 7i - 3}{2} = \frac{1 + 7i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$.
Координаты точки $B_4$: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.

Вершина $C_4$: $\frac{z_3}{z} = \frac{-2 + 5i}{1 - i} = \frac{(-2 + 5i)(1 + i)}{2} = \frac{-2 - 2i + 5i + 5i^2}{2} = \frac{-2 + 3i - 5}{2} = \frac{-7 + 3i}{2} = -\frac{7}{2} + \frac{3}{2}i$.
Координаты точки $C_4$: $(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.

Таким образом, для $z=1-i$ треугольник имеет вершины в точках $A_4(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, $B_4(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ и $C_4(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.
Ответ: Вершины треугольника - это точки с координатами $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$, $(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$.

34.40. Для числа $z = \cos (0,11\pi) + i \sin (0,11\pi)$ укажите наименьшее натуральное число $n$, при котором:

a) $arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$;

в) $arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$;

б) $arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$;

г) $arg(z^n) < 0$.

Данное комплексное число $z = \cos(0,11\pi) + i \sin(0,11\pi)$ представлено в тригонометрической форме. Его модуль $|z| = 1$, а аргумент $\arg(z) = 0,11\pi$. Согласно формуле Муавра, $n$-я степень числа $z$ равна: $z^n = (\cos(0,11\pi) + i \sin(0,11\pi))^n = \cos(n \cdot 0,11\pi) + i \sin(n \cdot 0,11\pi)$. Следовательно, аргумент числа $z^n$ можно вычислить как $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z) = 0,11n\pi$. Наша задача — найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняются указанные условия.

a)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{\pi}{4}$ Разделим обе части на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знак неравенства не меняется): $0,11n > \frac{1}{4}$ $0,11n > 0,25$ Теперь найдем $n$: $n > \frac{0,25}{0,11} = \frac{25}{11} \approx 2,27$ Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наименьшее целое число, большее $2,27$, это $n=3$.

Ответ: 3

б)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{\pi}{2}$ Разделим обе части на $\pi$: $0,11n > \frac{1}{2}$ $0,11n > 0,5$ Найдем $n$: $n > \frac{0,5}{0,11} = \frac{50}{11} \approx 4,54$ Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=5$.

Ответ: 5

в)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$. Составим неравенство: $0,11n\pi > \frac{5\pi}{6}$ Разделим обе части на $\pi$: $0,11n > \frac{5}{6}$ Найдем $n$: $n > \frac{5/6}{0,11} = \frac{5/6}{11/100} = \frac{5 \cdot 100}{6 \cdot 11} = \frac{500}{66} = \frac{250}{33} \approx 7,57$ Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=8$.

Ответ: 8

г)

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $\arg(z^n) < 0$. Аргумент $0,11n\pi$ положителен для любого натурального $n$. Условие $\arg(z^n) < 0$ означает, что главный аргумент числа $z^n$ должен быть отрицательным. Это происходит, когда точка, представляющая $z^n$ на комплексной плоскости, находится в нижней полуплоскости (в 3-й или 4-й четверти). Для этого угол $0,11n\pi$ должен лежать в интервале вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ для некоторого целого $k$. Чтобы найти наименьшее натуральное $n$, рассмотрим случай $k=0$: $\pi < 0,11n\pi < 2\pi$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $1 < 0,11n < 2$ Рассмотрим левую часть двойного неравенства: $1 < 0,11n$ $n > \frac{1}{0,11} = \frac{100}{11} \approx 9,09$ Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому условию, — это $n=10$. Проверим, выполняется ли для $n=10$ правая часть неравенства $0,11n < 2$: $0,11 \cdot 10 = 1,1$, и $1,1 < 2$. Так как $1 < 1,1 < 2$, условие выполняется. При $n=10$ аргумент $1,1\pi$ находится в третьей четверти, а главный аргумент равен $1,1\pi - 2\pi = -0,9\pi$, что меньше нуля.

Ответ: 10