Страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.19. а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (n + 1) + \frac{3}{n}i.$

б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гиперболе; составьте уравнение гиперболы.

в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс.

г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.

а)

Комплексное число вида $z = x + iy$ изображается на координатной плоскости точкой с координатами $(x, y)$. В данном случае $z_n = (n + 1) + \frac{3}{n}i$. Следовательно, действительная часть числа соответствует координате $x_n = n + 1$, а мнимая часть — координате $y_n = \frac{3}{n}$.

Вычислим координаты точек для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

• При $n=1$: $x_1 = 1+1 = 2$, $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка $Z_1(2; 3)$.
• При $n=2$: $x_2 = 2+1 = 3$, $y_2 = \frac{3}{2} = 1,5$. Точка $Z_2(3; 1,5)$.
• При $n=3$: $x_3 = 3+1 = 4$, $y_3 = \frac{3}{3} = 1$. Точка $Z_3(4; 1)$.
• При $n=4$: $x_4 = 4+1 = 5$, $y_4 = \frac{3}{4} = 0,75$. Точка $Z_4(5; 0,75)$.
• При $n=5$: $x_5 = 5+1 = 6$, $y_5 = \frac{3}{5} = 0,6$. Точка $Z_5(6; 0,6)$.
• При $n=6$: $x_6 = 6+1 = 7$, $y_6 = \frac{3}{6} = 0,5$. Точка $Z_6(7; 0,5)$.

Ответ: Координаты точек: $Z_1(2; 3)$, $Z_2(3; 1,5)$, $Z_3(4; 1)$, $Z_4(5; 0,75)$, $Z_5(6; 0,6)$, $Z_6(7; 0,5)$.

б)

Чтобы доказать, что все точки лежат на одной кривой, и найти ее уравнение, нужно исключить параметр $n$ из системы уравнений для координат:

$x = n + 1$

$y = \frac{3}{n}$

Из первого уравнения выразим $n$: $n = x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$y = \frac{3}{x - 1}$

Это уравнение является уравнением гиперболы. Поскольку координаты $(x_n, y_n)$ каждой точки $z_n$ удовлетворяют этому уравнению ($y_n = \frac{3}{n} = \frac{3}{(n+1)-1} = \frac{3}{x_n-1}$), все эти точки лежат на данной гиперболе.

Ответ: Уравнение гиперболы: $y = \frac{3}{x - 1}$.

в)

Расстояние от точки $(x, y)$ до оси абсцисс (оси Ox) равно $|y|$. Для наших точек $y_n = \frac{3}{n}$. Так как по условию $n$ — натуральное число, $y_n$ всегда положительно. Следовательно, расстояние равно $y_n = \frac{3}{n}$.

Чтобы найти точку, наиболее близкую к оси абсцисс, необходимо найти минимальное значение $y_n$ для $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Функция $y(n) = \frac{3}{n}$ является убывающей для $n > 0$. Значит, ее наименьшее значение на заданном множестве достигается при наибольшем значении $n$, то есть при $n=6$.

Эта точка — $z_6 = (6+1) + \frac{3}{6}i = 7 + 0,5i$.

Ответ: Точка, наиболее близкая к оси абсцисс: $z_6 = 7 + 0,5i$ или в координатах $Z_6(7; 0,5)$.

г)

Расстояние от точки $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ равно $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. Минимизация расстояния $d$ эквивалентна минимизации квадрата расстояния $d^2 = x^2 + y^2$.

Для наших точек $x_n = n+1$ и $y_n = \frac{3}{n}$. Квадрат расстояния от точки $Z_n$ до начала координат равен:

$d_n^2 = (n+1)^2 + \left(\frac{3}{n}\right)^2$

Вычислим значения $d_n^2$ для всех заданных $n$:

• При $n=1$: $d_1^2 = (1+1)^2 + (\frac{3}{1})^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
• При $n=2$: $d_2^2 = (2+1)^2 + (\frac{3}{2})^2 = 3^2 + (1,5)^2 = 9 + 2,25 = 11,25$.
• При $n=3$: $d_3^2 = (3+1)^2 + (\frac{3}{3})^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$.
• При $n=4$: $d_4^2 = (4+1)^2 + (\frac{3}{4})^2 = 5^2 + (0,75)^2 = 25 + 0,5625 = 25,5625$.
• При $n=5$: $d_5^2 = (5+1)^2 + (\frac{3}{5})^2 = 6^2 + (0,6)^2 = 36 + 0,36 = 36,36$.
• При $n=6$: $d_6^2 = (6+1)^2 + (\frac{3}{6})^2 = 7^2 + (0,5)^2 = 49 + 0,25 = 49,25$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение квадрата расстояния равно $11,25$ и достигается при $n=2$.

Соответствующая точка — $z_2 = (2+1) + \frac{3}{2}i = 3 + 1,5i$.

Ответ: Точка, наиболее близкая к началу координат: $z_2 = 3 + 1,5i$ или в координатах $Z_2(3; 1,5)$.

Решите уравнение:

33.20. a) $z \operatorname{Re} z = 1;$

б) $z \operatorname{Re} z = -1;$

в) $z (\operatorname{Re} z)^2 = 1;$

г) $z (\operatorname{Re} z)^2 = -1.$

Для решения данных уравнений представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Действительная часть числа $z$ обозначается как $\text{Re } z = x$, а мнимая часть — $\text{Im } z = y$.

а) $z \text{Re } z = 1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x = 1$

$x^2 + i(xy) = 1$

Представим правую часть в виде комплексного числа: $1 = 1 + 0i$. Для равенства двух комплексных чисел их действительные и мнимые части должны быть соответственно равны. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 1 \\ xy = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = 1$ находим $x = 1$ или $x = -1$.

Подставляем эти значения во второе уравнение $xy = 0$. Поскольку в обоих случаях $x \neq 0$, то из второго уравнения следует, что $y = 0$.

Таким образом, мы получаем два решения:

1. При $x = 1$ и $y = 0$, имеем $z = 1 + 0i = 1$.

2. При $x = -1$ и $y = 0$, имеем $z = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z=1; z=-1$.

б) $z \text{Re } z = -1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x = -1$

$x^2 + i(xy) = -1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 = -1 \\ xy = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как $x = \text{Re } z$ — это действительное число, а квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система уравнений не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) $z (\text{Re } z)^2 = 1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x^2 = 1$

$x^3 + i(x^2y) = 1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^3 = 1 \\ x^2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^3 = 1$ находим единственное действительное решение $x = 1$.

Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1^2 \cdot y = 0$, откуда $y = 0$.

Таким образом, единственное решение — это $z = 1 + 0i = 1$.

Ответ: $z=1$.

г) $z (\text{Re } z)^2 = -1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x^2 = -1$

$x^3 + i(x^2y) = -1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^3 = -1 \\ x^2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^3 = -1$ находим единственное действительное решение $x = -1$.

Подставим $x=-1$ во второе уравнение: $(-1)^2 \cdot y = 0$, то есть $1 \cdot y = 0$, откуда $y = 0$.

Таким образом, единственное решение — это $z = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z=-1$.

33.21. a) $z \operatorname{Im} z = i$;

б) $z \operatorname{Im} z = -i$;

В) $z (\operatorname{Im} z)^2 = i$;

Г) $z (\operatorname{Im} z)^2 = -i$.

а) $z \text{ Im } z = i$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа ($x = \text{Re } z$, $y = \text{Im } z$). Мнимая часть числа $z$ равна $\text{Im } z = y$. Подставим это в исходное уравнение:
$(x + iy) \cdot y = i$
$xy + iy^2 = i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их для левой и правой ($0 + 1 \cdot i$) частей уравнения: $$ \begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения системы получаем $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим каждый случай:
1. Если $y = 1$, то из первого уравнения $x \cdot 1 = 0$ следует, что $x = 0$. Тогда $z = 0 + 1 \cdot i = i$.
2. Если $y = -1$, то из первого уравнения $x \cdot (-1) = 0$ следует, что $x = 0$. Тогда $z = 0 - 1 \cdot i = -i$.

Проверка:
Для $z=i$: $i \cdot \text{Im}(i) = i \cdot 1 = i$. Верно.
Для $z=-i$: $(-i) \cdot \text{Im}(-i) = (-i) \cdot (-1) = i$. Верно.

Ответ: $z=i$, $z=-i$.

б) $z \text{ Im } z = -i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $\text{Im } z = y$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y = -i$
$xy + iy^2 = 0 - 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = -1 \end{cases} $$ Второе уравнение $y^2 = -1$ не имеет решений среди действительных чисел, в то время как мнимая часть комплексного числа $y = \text{Im } z$ по определению является действительным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) $z (\text{Im } z)^2 = i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $(\text{Im } z)^2 = y^2$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y^2 = i$
$xy^2 + iy^3 = 0 + 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует единственное действительное решение $y = 1$. Подставляем это значение в первое уравнение: $x \cdot (1)^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, единственное решение $z = 0 + 1 \cdot i = i$.
Проверка: $i \cdot (\text{Im } i)^2 = i \cdot (1)^2 = i$. Верно.

Ответ: $z = i$.

г) $z (\text{Im } z)^2 = -i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $(\text{Im } z)^2 = y^2$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y^2 = -i$
$xy^2 + iy^3 = 0 - 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = -1 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует единственное действительное решение $y = -1$. Подставляем это значение в первое уравнение: $x \cdot (-1)^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, единственное решение $z = 0 - 1 \cdot i = -i$.
Проверка: $(-i) \cdot (\text{Im } (-i))^2 = (-i) \cdot (-1)^2 = -i \cdot 1 = -i$. Верно.

Ответ: $z = -i$.

33.22. a) $z \operatorname{Re} z = \bar{z} \operatorname{Im} \bar{z};$

б) $z \operatorname{Re} \bar{z} = \bar{z} \operatorname{Im} z;$

В) $z \operatorname{Im} \bar{z} = \bar{z} \operatorname{Re} z;$

Г) $z \operatorname{Re} z = \bar{z} \operatorname{Re} \bar{z}.$

33.23. а) $z \operatorname{Re}(z - 4) = i - 4;$

б) $z \operatorname{Im}(z + 2i) = 7 - i;$

в) $\overline{z}(\operatorname{Re} z - 6) = 21i - 9;$

г) $\overline{z}(\operatorname{Im} z + 4) = 10 + 4i.$

а) $z \text{Re}(z - 4) = i - 4$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

Найдем действительную часть выражения $z - 4$:
$z - 4 = (x + yi) - 4 = (x - 4) + yi$.
Следовательно, $\text{Re}(z - 4) = x - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:
$(x + yi)(x - 4) = -4 + i$.

Раскроем скобки в левой части:
$x(x - 4) + y(x - 4)i = -4 + i$.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} x(x - 4) = -4 \\ y(x - 4) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 4x = -4$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
Отсюда $x = 2$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение:
$y(2 - 4) = 1$
$-2y = 1$
$y = -1/2$.

Таким образом, искомое комплексное число $z = x + yi = 2 - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $z = 2 - \frac{1}{2}i$.

б) $z \text{Im}(z + 2i) = 7 - i$

Пусть $z = x + yi$.

Найдем мнимую часть выражения $z + 2i$:
$z + 2i = (x + yi) + 2i = x + (y + 2)i$.
Следовательно, $\text{Im}(z + 2i) = y + 2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(x + yi)(y + 2) = 7 - i$.

Раскроем скобки:
$x(y + 2) + y(y + 2)i = 7 - i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(y + 2) = 7 \\ y(y + 2) = -1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:
$y^2 + 2y = -1$
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
Отсюда $y = -1$.

Подставим $y = -1$ в первое уравнение:
$x(-1 + 2) = 7$
$x(1) = 7$
$x = 7$.

Таким образом, $z = x + yi = 7 - i$.

Ответ: $z = 7 - i$.

в) $\bar{z}(\text{Re} z - 6) = 21i - 9$

Пусть $z = x + yi$. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - yi$, а действительная часть $\text{Re} z = x$.

Подставим эти выражения в уравнение:
$(x - yi)(x - 6) = -9 + 21i$.

Раскроем скобки:
$x(x - 6) - y(x - 6)i = -9 + 21i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(x - 6) = -9 \\ -y(x - 6) = 21 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:
$x^2 - 6x = -9$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x = 3$.

Подставим $x = 3$ во второе уравнение:
$-y(3 - 6) = 21$
$-y(-3) = 21$
$3y = 21$
$y = 7$.

Таким образом, $z = x + yi = 3 + 7i$.

Ответ: $z = 3 + 7i$.

г) $\bar{z}(\text{Im} z + 4) = 10 + 4i$

Пусть $z = x + yi$. Тогда $\bar{z} = x - yi$, а мнимая часть $\text{Im} z = y$.

Подставим выражения в уравнение:
$(x - yi)(y + 4) = 10 + 4i$.

Раскроем скобки:
$x(y + 4) - y(y + 4)i = 10 + 4i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(y + 4) = 10 \\ -y(y + 4) = 4 \end{cases}$

Решим второе уравнение:
$-y^2 - 4y = 4$
$y^2 + 4y + 4 = 0$
$(y + 2)^2 = 0$
Отсюда $y = -2$.

Подставим $y = -2$ в первое уравнение:
$x(-2 + 4) = 10$
$2x = 10$
$x = 5$.

Таким образом, $z = x + yi = 5 - 2i$.

Ответ: $z = 5 - 2i$.

34.1. a) $6 - 8i$;

б) $20 + 21i$;

В) $i(2 + i)$;

Г) $(3 - i)(2 + i)$.

Для решения задачи необходимо найти квадратный корень из заданных комплексных чисел. Для комплексного числа $z = a + bi$ его квадратный корень $w = x + yi$ можно найти, решив уравнение $w^2 = z$, что эквивалентно системе уравнений для действительных чисел $x$ и $y$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases}$

Решение этой системы можно найти по формулам:

$x = \pm \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Знак $y$ выбирается в соответствии со знаком $b$ из уравнения $2xy=b$: если $b > 0$, то знаки $x$ и $y$ совпадают; если $b < 0$, то знаки $x$ и $y$ противоположны.

а) 6 – 8i;

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = 6 - 8i$. Здесь $a=6$, $b=-8$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь найдем значения для $x$ и $y$ по формулам:

$x = \pm \sqrt{\frac{6 + 10}{2}} = \pm \sqrt{\frac{16}{2}} = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-6 + 10}{2}} = \pm \sqrt{\frac{4}{2}} = \pm \sqrt{2}$.

Так как $b = -8 < 0$, знаки у $x$ и $y$ должны быть противоположными. Выбираем соответствующие пары:

Первый корень: $2\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Второй корень: $-2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm(2\sqrt{2} - i\sqrt{2})$.

б) 20 + 21i;

Найдем квадратный корень из $z = 20 + 21i$. Здесь $a=20$, $b=21$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{20 + 29}{2}} = \pm \sqrt{\frac{49}{2}} = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-20 + 29}{2}} = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Так как $b = 21 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Второй корень: $-\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\left(\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$.

в) i(2 + i);

Сначала упростим выражение: $i(2 + i) = 2i + i^2 = 2i - 1 = -1 + 2i$.

Найдем квадратный корень из $z = -1 + 2i$. Здесь $a=-1$, $b=2$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

Так как $b = 2 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.

Второй корень: $-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.

Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\right)$.

г) (3 – i)(2 + i).

Сначала упростим выражение: $(3 - i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i - i \cdot 2 - i^2 = 6 + 3i - 2i - (-1) = 7 + i$.

Найдем квадратный корень из $z = 7 + i$. Здесь $a=7$, $b=1$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-7 + 5\sqrt{2}}{2}}$.

Так как $b = 1 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}$.

Второй корень: $-\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}$.

Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}\right)$.

34.2. a) $\frac{2}{i}$;

б) $-\frac{3}{i}$;

В) $\frac{i+1}{i}$;

Г) $\frac{i}{i+1}$.

а) Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{i}$ на $i$.

$\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i}{i^2}$

По определению мнимой единицы $i^2 = -1$. Подставив это значение, получим:

$\frac{2i}{-1} = -2i$

Ответ: $-2i$.

б) Аналогично предыдущему пункту, выполним преобразование для выражения $-\frac{3}{i}$. Умножим числитель и знаменатель на $i$.

$-\frac{3}{i} = \frac{-3 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-3i}{i^2}$

Используя свойство $i^2 = -1$, находим:

$\frac{-3i}{-1} = 3i$

Ответ: $3i$.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{i+1}{i}$, умножим числитель и знаменатель на $i$.

$\frac{i+1}{i} = \frac{(i+1) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i^2 + i}{i^2}$

Подставляем $i^2 = -1$:

$\frac{-1 + i}{-1} = \frac{-1}{-1} + \frac{i}{-1} = 1 - i$

Ответ: $1-i$.

г) В выражении $\frac{i}{i+1}$ знаменатель является комплексным числом $1+i$. Чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю число, то есть на $1-i$.

$\frac{i}{i+1} = \frac{i}{1+i} = \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: $i(1-i) = i - i^2 = i - (-1) = 1+i$.
Знаменатель: $(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

Таким образом, получаем:

$\frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

34.3. Для комплексных чисел $z_1 = 12 - 5i$ и $z_2 = 3 + 4i$:

а) найдите $|z_1|$ и $|z_2|$;

б) вычислите $z_1z_2$ и проверьте равенство $|z_1z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$;

в) вычислите $\frac{1}{z_1}$ и проверьте равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$;

г) вычислите $\frac{z_1}{z_2}$ и проверьте равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 12 - 5i$ и $z_2 = 3 + 4i$.

а) найдите $|z_1|$ и $|z_2|$

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для числа $z_1 = 12 - 5i$ действительная часть $a_1 = 12$, а мнимая часть $b_1 = -5$. Вычисляем его модуль:

$|z_1| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Для числа $z_2 = 3 + 4i$ действительная часть $a_2 = 3$, а мнимая часть $b_2 = 4$. Вычисляем его модуль:

$|z_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $|z_1| = 13$, $|z_2| = 5$.

б) вычислите $z_1 z_2$ и проверьте равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

Сначала вычислим произведение $z_1 z_2$:

$z_1 z_2 = (12 - 5i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i - 5i \cdot 3 - 5i \cdot 4i = 36 + 48i - 15i - 20i^2$.

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$z_1 z_2 = 36 + (48 - 15)i - 20(-1) = 36 + 33i + 20 = 56 + 33i$.

Теперь найдем модуль произведения $|z_1 z_2|$:

$|z_1 z_2| = |56 + 33i| = \sqrt{56^2 + 33^2} = \sqrt{3136 + 1089} = \sqrt{4225} = 65$.

Далее, вычислим произведение модулей $|z_1| \cdot |z_2|$, используя значения из пункта а):

$|z_1| \cdot |z_2| = 13 \cdot 5 = 65$.

Проверяем равенство: $65 = 65$. Равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ выполняется.

Ответ: $z_1 z_2 = 56 + 33i$; равенство подтверждено, так как $65 = 65$.

в) вычислите $\frac{1}{z_1}$ и проверьте равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$

Чтобы вычислить $\frac{1}{z_1}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $12 + 5i$:

$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{12 - 5i} = \frac{1 \cdot (12 + 5i)}{(12 - 5i)(12 + 5i)} = \frac{12 + 5i}{12^2 - (5i)^2} = \frac{12 + 5i}{144 - 25i^2} = \frac{12 + 5i}{144 + 25} = \frac{12 + 5i}{169} = \frac{12}{169} + \frac{5}{169}i$.

Теперь найдем модуль полученного числа $|\frac{1}{z_1}|$:

$|\frac{1}{z_1}| = |\frac{12}{169} + \frac{5}{169}i| = \sqrt{(\frac{12}{169})^2 + (\frac{5}{169})^2} = \sqrt{\frac{144}{169^2} + \frac{25}{169^2}} = \sqrt{\frac{144 + 25}{169^2}} = \sqrt{\frac{169}{169^2}} = \sqrt{\frac{1}{169}} = \frac{1}{13}$.

Теперь вычислим правую часть равенства $\frac{1}{|z_1|}$, используя значение $|z_1|=13$ из пункта а):

$\frac{1}{|z_1|} = \frac{1}{13}$.

Проверяем равенство: $\frac{1}{13} = \frac{1}{13}$. Равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$ выполняется.

Ответ: $\frac{1}{z_1} = \frac{12}{169} + \frac{5}{169}i$; равенство подтверждено, так как $\frac{1}{13} = \frac{1}{13}$.

г) вычислите $\frac{z_1}{z_2}$ и проверьте равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

Чтобы вычислить частное $\frac{z_1}{z_2}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $z_2$, то есть на $3 - 4i$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{12 - 5i}{3 + 4i} = \frac{(12 - 5i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{12 \cdot 3 - 12 \cdot 4i - 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i}{3^2 - (4i)^2} = \frac{36 - 48i - 15i + 20i^2}{9 - 16i^2} = \frac{36 - 63i - 20}{9 + 16} = \frac{16 - 63i}{25} = \frac{16}{25} - \frac{63}{25}i$.

Теперь найдем модуль частного $|\frac{z_1}{z_2}|$:

$|\frac{z_1}{z_2}| = |\frac{16}{25} - \frac{63}{25}i| = \sqrt{(\frac{16}{25})^2 + (-\frac{63}{25})^2} = \sqrt{\frac{256}{625} + \frac{3969}{625}} = \sqrt{\frac{256 + 3969}{625}} = \sqrt{\frac{4225}{625}} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$.

Теперь вычислим правую часть равенства $\frac{|z_1|}{|z_2|}$, используя значения из пункта а):

$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{13}{5}$.

Проверяем равенство: $\frac{13}{5} = \frac{13}{5}$. Равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ выполняется.

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} - \frac{63}{25}i$; равенство подтверждено, так как $\frac{13}{5} = \frac{13}{5}$.

34.4. Для комплексных чисел $z_1 = 3 - i$ и $z_2 = 1 + 2i$:

а) найдите $|\overline{z_1}|$ и $|\overline{z_2}|$ и проверьте равенства $|\overline{z_1}| = |z_1|$ и $|\overline{z_2}| = |z_2|;

б) проверьте неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|;$

в) вычислите $\overline{z_1 z_2}$ и проверьте равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}|;

г) проверьте неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|.$

а) Даны комплексные числа $z_1 = 3 - i$ и $z_2 = 1 + 2i$.
Сначала найдем комплексно-сопряженные числа к данным. Для комплексного числа $z = a + bi$ сопряженным является $\bar{z} = a - bi$.
$\bar{z}_1 = \overline{3 - i} = 3 + i$.
$\bar{z}_2 = \overline{1 + 2i} = 1 - 2i$.
Теперь найдем модули этих сопряженных чисел. Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$|\bar{z}_1| = |3 + i| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$|\bar{z}_2| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Для проверки равенств вычислим модули исходных чисел:
$|z_1| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$|z_2| = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Проверим равенства:
Для первого числа: $|\bar{z}_1| = \sqrt{10}$ и $|z_1| = \sqrt{10}$. Таким образом, равенство $|\bar{z}_1| = |z_1|$ выполняется.
Для второго числа: $|\bar{z}_2| = \sqrt{5}$ и $|z_2| = \sqrt{5}$. Таким образом, равенство $|\bar{z}_2| = |z_2|$ выполняется.
Ответ: $|\bar{z}_1| = \sqrt{10}$, $|\bar{z}_2| = \sqrt{5}$. Равенства $|\bar{z}_1| = |z_1|$ и $|\bar{z}_2| = |z_2|$ верны.

б) Проверим неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$, известное как неравенство треугольника.
Сначала найдем сумму чисел $z_1$ и $z_2$:
$z_1 + z_2 = (3 - i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (-1 + 2)i = 4 + i$.
Вычислим модуль этой суммы (левая часть неравенства):
$|z_1 + z_2| = |4 + i| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Теперь вычислим сумму модулей (правая часть неравенства), используя значения, найденные в пункте а):
$|z_1| + |z_2| = \sqrt{10} + \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли неравенство $\sqrt{17} < \sqrt{10} + \sqrt{5}$.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат для сравнения:
$(\sqrt{17})^2 = 17$.
$(\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{50} + 5 = 15 + 2\sqrt{25 \cdot 2} = 15 + 10\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $17 < 15 + 10\sqrt{2}$.
Вычтем 15 из обеих частей: $2 < 10\sqrt{2}$.
Разделим обе части на 2: $1 < 5\sqrt{2}$.
Это неравенство верно, так как $(5\sqrt{2})^2 = 50$, а $1^2 = 1$, и $1 < 50$.
Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$ выполняется, так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, а $\sqrt{10} + \sqrt{5} \approx 3.16 + 2.24 = 5.4$.

в) Вычислим $\overline{z_1 z_2}$ и проверим равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2|$.
Сначала найдем произведение $z_1 z_2$:
$z_1 z_2 = (3 - i)(1 + 2i) = 3(1) + 3(2i) - i(1) - i(2i) = 3 + 6i - i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 5 + 5i$.
Теперь найдем комплексно-сопряженное число к этому произведению:
$\overline{z_1 z_2} = \overline{5 + 5i} = 5 - 5i$.
Найдем модуль левой части равенства:
$|\overline{z_1 z_2}| = |5 - 5i| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Теперь вычислим правую часть равенства, используя модули, найденные в пункте а):
$|\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Сравнивая левую и правую части, получаем $5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Равенство подтверждается.
Ответ: $\overline{z_1 z_2} = 5 - 5i$. Равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2|$ верно.

г) Проверим неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|$.
Сначала найдем разность $z_1 - z_2$:
$z_1 - z_2 = (3 - i) - (1 + 2i) = (3 - 1) + (-1 - 2)i = 2 - 3i$.
Вычислим модуль этой разности (левая часть неравенства):
$|z_1 - z_2| = |2 - 3i| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Теперь вычислим разность модулей (правая часть неравенства), используя значения из пункта а):
$|z_1| - |z_2| = \sqrt{10} - \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли неравенство $\sqrt{13} > \sqrt{10} - \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{10} > \sqrt{5}$, правая часть положительна. Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{13})^2 = 13$.
$(\sqrt{10} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 - 2\sqrt{50} + 5 = 15 - 10\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $13 > 15 - 10\sqrt{2}$.
Преобразуем неравенство: $10\sqrt{2} > 15 - 13$, что дает $10\sqrt{2} > 2$, или $5\sqrt{2} > 1$.
Это неравенство очевидно верно, так как $(5\sqrt{2})^2 = 50$, а $1^2 = 1$, и $50 > 1$.
Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|$ выполняется, так как $\sqrt{13} \approx 3.61$, а $\sqrt{10} - \sqrt{5} \approx 3.16 - 2.24 = 0.92$.