Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.5. При каком положительном значении параметра $a$ модуль данного числа равен 10:

а) $a + 8i;$

б) $2a + ai;$

в) $(a + 1) + (a - 1)i;$

г) $a + \frac{50i}{a}?$

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль каждого из данных чисел равен 10, а параметр $a$ — положительное число ($a>0$). Это означает, что для каждого случая мы будем решать уравнение $\sqrt{x^2 + y^2} = 10$, или, что эквивалентно, $x^2 + y^2 = 100$.

а) Для комплексного числа $z = a + 8i$ действительная часть $x = a$, а мнимая часть $y = 8$.

Подставим эти значения в уравнение для квадрата модуля:

$a^2 + 8^2 = 100$

$a^2 + 64 = 100$

$a^2 = 100 - 64$

$a^2 = 36$

Поскольку по условию $a > 0$, извлекаем положительный корень:

$a = \sqrt{36} = 6$

Ответ: $a=6$.

б) Для комплексного числа $z = 2a + ai$ действительная часть $x = 2a$, а мнимая часть $y = a$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(2a)^2 + a^2 = 100$

$4a^2 + a^2 = 100$

$5a^2 = 100$

$a^2 = \frac{100}{5}$

$a^2 = 20$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $a=2\sqrt{5}$.

в) Для комплексного числа $z = (a + 1) + (a - 1)i$ действительная часть $x = a + 1$, а мнимая часть $y = a - 1$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a^2 + 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) = 100$

$2a^2 + 2 = 100$

$2a^2 = 98$

$a^2 = 49$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{49} = 7$

Ответ: $a=7$.

г) Для комплексного числа $z = a + \frac{50i}{a}$ действительная часть $x = a$, а мнимая часть $y = \frac{50}{a}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$a^2 + (\frac{50}{a})^2 = 100$

$a^2 + \frac{2500}{a^2} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (это возможно, так как $a > 0$):

$a^4 + 2500 = 100a^2$

$a^4 - 100a^2 + 2500 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = a^2$. Поскольку $a > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 100t + 2500 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(t - 50)^2 = 0$

$t - 50 = 0$

$t = 50$

Вернемся к исходной переменной:

$a^2 = 50$

Так как $a > 0$:

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $a=5\sqrt{2}$.

Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих заданному условию:

34.6. a) $|z| = 3;$

б) $|z - 1| = 3;$

в) $|z + 2| = 3;$

г) $|z + 3i| = 3.$

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re}(z)$ – действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ – мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Выражение $|z_1 - z_2|$ геометрически означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z_1$ и $z_2$. Уравнение вида $|z - z_0| = R$ задает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$.

а) $|z| = 3$

Это уравнение можно записать как $|z - 0| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до начала координат (числа 0) равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + y^2 = 3^2$ или $x^2 + y^2 = 9$. Это каноническое уравнение окружности.

Ответ: Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 3.

б) $|z - 1| = 3$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $1$ (т.е. точки $(1, 0)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$.

Тогда $|z - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $(x - 1)^2 + y^2 = 3^2$ или $(x - 1)^2 + y^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

в) $|z + 2| = 3$

Перепишем уравнение как $|z - (-2)| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $-2$ (т.е. точки $(-2, 0)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z + 2 = (x + iy) + 2 = (x + 2) + iy$.

Тогда $|z + 2| = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $(x + 2)^2 + y^2 = 3^2$ или $(x + 2)^2 + y^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 3.

г) $|z + 3i| = 3$

Перепишем уравнение как $|z - (-3i)| = 3$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $-3i$ (т.е. точки $(0, -3)$), равно 3. Таким образом, это окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 3.

Алгебраически: $z + 3i = (x + iy) + 3i = x + i(y + 3)$.

Тогда $|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 3$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ или $x^2 + (y + 3)^2 = 9$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 3.

34.7. a) $|z - i| = 1$;

б) $|z + 2i| = 2$;

В) $|z - 1 - i| = \sqrt{2}$;

Г) $|z + 4 + 3i| = 5$.

а) Данное уравнение $|z - i| = 1$ имеет вид $|z - z_0| = R$, который на комплексной плоскости описывает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$.

В этом уравнении $z_0 = i$ и $R = 1$. Таким образом, уравнение задает окружность с центром в точке, соответствующей комплексному числу $i$ (координаты $(0, 1)$ на плоскости), и радиусом, равным $1$.

Чтобы найти уравнение в декартовых координатах, представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$. Подставим это в исходное уравнение:

$| (x + yi) - i | = 1$

$| x + (y-1)i | = 1$

Используя определение модуля комплексного числа $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$, получаем:

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 1$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $1$.

б) Уравнение $|z + 2i| = 2$ можно переписать в стандартном виде $|z - z_0| = R$, вынеся минус за скобки: $|z - (-2i)| = 2$.

Здесь центр окружности $z_0 = -2i$ (что соответствует точке с координатами $(0, -2)$), а радиус $R = 2$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) + 2i | = 2$

$| x + (y+2)i | = 2$

По определению модуля:

$\sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности в декартовых координатах:

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $2$.

в) Уравнение $|z - 1 - i| = \sqrt{2}$ перепишем в виде $|z - (1 + i)| = \sqrt{2}$.

Это уравнение окружности с центром в точке $z_0 = 1 + i$ (координаты $(1, 1)$) и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) - 1 - i | = \sqrt{2}$

$| (x-1) + (y-1)i | = \sqrt{2}$

По определению модуля:

$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

г) Уравнение $|z + 4 + 3i| = 5$ перепишем как $|z - (-4 - 3i)| = 5$.

Это уравнение окружности с центром в точке $z_0 = -4 - 3i$ (координаты $(-4, -3)$) и радиусом $R = 5$.

Представим $z$ в виде $z = x + yi$:

$| (x + yi) + 4 + 3i | = 5$

$| (x+4) + (y+3)i | = 5$

По определению модуля:

$\sqrt{(x+4)^2 + (y+3)^2} = 5$

Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:

$(x+4)^2 + (y+3)^2 = 25$

Ответ: Окружность с центром в точке $(-4, -3)$ и радиусом $5$.

34.8. Про комплексное число $z$ известно, что $\text{Re } z = 3$ или $\text{Re } z = 6$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

а) $|z| = 3;$

б) $|z| = 4;$

в) $|z| = 6;$

г) $|z| = 10?$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Модуль комплексного числа определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию задачи, действительная часть числа $z$ может принимать два значения: $x = 3$ или $x = 6$. Нам нужно найти количество таких чисел $z$ для каждого из заданных значений модуля $|z|$.

Условие $|z| = R$ эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда мы можем выразить мнимую часть $y$: $y^2 = R^2 - x^2$, что дает $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Для существования действительного решения для $y$ (и, следовательно, для существования комплексного числа $z$), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $R^2 - x^2 \ge 0$, или $R \ge |x|$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Дано $|z| = 3$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = |z|^2 - x^2 = 3^2 - 3^2 = 0$. Уравнение имеет одно решение $y = 0$. Это соответствует одному комплексному числу $z = 3 + 0i = 3$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = |z|^2 - x^2 = 3^2 - 6^2 = 9 - 36 = -27$. Так как $y^2 < 0$, действительных решений для $y$ нет.

Суммируя оба случая, получаем одно такое комплексное число.

Ответ: 1

Дано $|z| = 4$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{7}$ и $y = -\sqrt{7}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i\sqrt{7}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{7}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 4^2 - 6^2 = 16 - 36 = -20$. Действительных решений для $y$ нет.

Всего существует два таких комплексных числа.

Ответ: 2

Дано $|z| = 6$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ и $y = -3\sqrt{3}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i3\sqrt{3}$ и $z_2 = 3 - i3\sqrt{3}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 6^2 - 6^2 = 36 - 36 = 0$. Уравнение имеет одно решение $y = 0$. Это соответствует одному комплексному числу $z = 6 + 0i = 6$.

Всего существует $2 + 1 = 3$ таких комплексных числа.

Ответ: 3

Дано $|z| = 10$.

1. Если $\text{Re } z = x = 3$: $y^2 = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{91}$ и $y = -\sqrt{91}$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_1 = 3 + i\sqrt{91}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{91}$.

2. Если $\text{Re } z = x = 6$: $y^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Уравнение имеет два решения: $y = \sqrt{64} = 8$ и $y = -8$. Это соответствует двум комплексным числам: $z_3 = 6 + 8i$ и $z_4 = 6 - 8i$.

Всего существует $2 + 2 = 4$ таких комплексных числа.

Ответ: 4

34.9. Про комплексное число $ \text{Re } z = 3 $ или $ \text{Im } z = 4 $. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

a) $ |z| = 3 $;

б) $ |z| = 4 $;

в) $ |z| = 5 $;

г) $ |z| = 10 $?

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. По условию, $x = 3$ или $y = 4$. Модуль комплексного числа $|z|$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, условие $|z| = R$ равносильно уравнению $x^2 + y^2 = R^2$, которое задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения двух прямых, заданных уравнениями $x=3$ и $y=4$, с окружностью $x^2 + y^2 = R^2$ для различных значений радиуса $R$. Мы будем рассматривать два случая: 1) $x=3$ и 2) $y=4$, а затем подсчитаем общее количество уникальных решений.

а) Рассмотрим случай, когда $|z| = 3$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 3^2 = 9$.

1. Если $x=3$, подставим это значение в уравнение окружности: $3^2 + y^2 = 9 \implies 9 + y^2 = 9 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$. Получаем одно решение: $z_1 = 3 + 0i = 3$.

2. Если $y=4$, подставим это значение в уравнение окружности: $x^2 + 4^2 = 9 \implies x^2 + 16 = 9 \implies x^2 = -7$. Данное уравнение не имеет действительных решений для $x$, поэтому в этом случае решений нет.

Суммируя результаты, получаем одно комплексное число, удовлетворяющее заданным условиям.

Ответ: 1.

б) Рассмотрим случай, когда $|z| = 4$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 4^2 = 16$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 16 \implies 9 + y^2 = 16 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + i\sqrt{7}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{7}$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. Получаем одно решение: $z_3 = 0 + 4i = 4i$.

Все три найденных решения ($3 + i\sqrt{7}$, $3 - i\sqrt{7}$, $4i$) различны. Таким образом, всего существует три таких комплексных числа.

Ответ: 3.

в) Рассмотрим случай, когда $|z| = 5$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + 4i$ и $z_2 = 3 - 4i$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 25 \implies x^2 + 16 = 25 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Получаем два решения: $z_3 = 3 + 4i$ и $z_4 = -3 + 4i$.

Решение $z = 3 + 4i$ встречается в обоих случаях. Это число соответствует точке пересечения прямых $x=3$ и $y=4$, которая лежит на данной окружности, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Уникальными решениями являются: $3 + 4i$, $3 - 4i$ и $-3 + 4i$. Всего их три.

Ответ: 3.

г) Рассмотрим случай, когда $|z| = 10$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 100 \implies 9 + y^2 = 100 \implies y^2 = 91 \implies y = \pm\sqrt{91}$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + i\sqrt{91}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{91}$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 100 \implies x^2 + 16 = 100 \implies x^2 = 84 \implies x = \pm\sqrt{84} = \pm 2\sqrt{21}$. Получаем два решения: $z_3 = 2\sqrt{21} + 4i$ и $z_4 = -2\sqrt{21} + 4i$.

Все четыре найденных решения различны, так как точка пересечения прямых $(3, 4)$ не лежит на окружности ($3^2 + 4^2 = 25 \neq 100$), и, следовательно, общих решений у двух случаев нет. Общее число решений равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

34.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих уравнению:

а) $ |z| = |z - 1|; $

б) $ |z - 1| = |z - 3|; $

в) $ |z - 1| = |z - i|; $

г) $ |z + 3i| = |z + 4|. $

а)

Уравнение $|z| = |z - 1|$ можно представить в виде $|z - z_1| = |z - z_2|$, где $z_1 = 0$ и $z_2 = 1$. Геометрически это уравнение задает множество точек $z$ на комплексной плоскости, которые равноудалены от двух фиксированных точек: $z_1 = 0+0i$ (начало координат) и $z_2 = 1+0i$. Таким множеством является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки. Отрезок лежит на действительной оси, а его середина находится в точке с координатой $x = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомое множество — это вертикальная прямая.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$. Подставим это в исходное уравнение: $|x + iy| = |(x - 1) + iy|$ Используя определение модуля комплексного числа $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$, получаем: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$ Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: $x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2$ $x^2 = x^2 - 2x + 1$ $2x = 1$ $x = \frac{1}{2}$

Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $Re(z) = \frac{1}{2}$.

б)

Уравнение $|z - 1| = |z - 3|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 1$ и $z_2 = 3$. Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку на действительной оси, соединяющему точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Середина этого отрезка находится в точке $x = \frac{1+3}{2} = 2$. Таким образом, искомое множество — это вертикальная прямая.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|(x - 1) + iy| = |(x - 3) + iy|$ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$ Возводим обе части в квадрат: $(x - 1)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + y^2$ $x^2 - 2x + 1 = x^2 - 6x + 9$ $4x = 8$ $x = 2$

Ответ: Множество точек представляет собой вертикальную прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $Re(z) = 2$.

в)

Уравнение $|z - 1| = |z - i|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 1$ (координаты $(1, 0)$) и $z_2 = i$ (координаты $(0, 1)$). Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$. Середина отрезка имеет координаты $(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Угловой коэффициент отрезка равен $k_1 = \frac{1-0}{0-1} = -1$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $k_2 = -\frac{1}{k_1} = 1$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ с угловым коэффициентом $1$, имеет вид $y - \frac{1}{2} = 1 \cdot (x - \frac{1}{2})$, что упрощается до $y=x$.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|(x - 1) + iy| = |x + (y - 1)i|$ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$ Возводим обе части в квадрат: $(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$ $x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$ $-2x = -2y$ $x = y$

Ответ: Множество точек представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $y = x$, или $Im(z) = Re(z)$.

г)

Уравнение $|z + 3i| = |z + 4|$ можно переписать как $|z - (-3i)| = |z - (-4)|$. Оно описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) и $z_2 = -4$ (координаты $(-4, 0)$). Геометрически, это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(0, -3)$ и $(-4, 0)$.

Алгебраически, пусть $z = x + iy$: $|x + (y + 3)i| = |(x + 4) + iy|$ $\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2}$ Возводим обе части в квадрат: $x^2 + (y + 3)^2 = (x + 4)^2 + y^2$ $x^2 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 8x + 16 + y^2$ $6y + 9 = 8x + 16$ $6y = 8x + 7$ $y = \frac{8}{6}x + \frac{7}{6}$ $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{6}$

Ответ: Множество точек представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{6}$.

34.11. Число $z$ задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

а) $z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4};$

б) $z = \cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3};$

в) $z = \cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4};$

г) $z = \cos \frac{101\pi}{6} + i \sin \frac{101\pi}{6}.$

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа $z$ имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r \ge 0$ — модуль числа, а $\varphi$ — его главный аргумент, который обычно выбирается из промежутка $(-\pi, \pi]$. Во всех данных задачах модуль $r=1$. Задача сводится к нахождению главного значения аргумента $\varphi$ путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое число) из заданного угла, чтобы результат попал в указанный промежуток.

а) Для числа $z = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}$ задан аргумент $\theta = \frac{7\pi}{4}$. Чтобы найти главный аргумент, вычтем из $\theta$ один полный оборот $2\pi$, так как $\frac{7\pi}{4}$ близко к $2\pi$. Получаем: $\varphi = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi - 8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$

б) Для числа $z = \cos\frac{10\pi}{3} + i\sin\frac{10\pi}{3}$ задан аргумент $\theta = \frac{10\pi}{3}$. Представим $\frac{10\pi}{3}$ как $\frac{12\pi - 2\pi}{3} = 4\pi - \frac{2\pi}{3}$. Вычитая два полных оборота ($4\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{10\pi}{3} - 4\pi = \frac{10\pi - 12\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})$

в) Для числа $z = \cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}$ задан аргумент $\theta = \frac{9\pi}{4}$. Представим $\frac{9\pi}{4}$ как $\frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$. Вычитая один полный оборот ($2\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi - 8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$

г) Для числа $z = \cos\frac{101\pi}{6} + i\sin\frac{101\pi}{6}$ задан аргумент $\theta = \frac{101\pi}{6}$. Представим $\frac{101\pi}{6}$ как $\frac{96\pi + 5\pi}{6} = \frac{96\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 16\pi + \frac{5\pi}{6}$. Вычитая восемь полных оборотов ($16\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{101\pi}{6} - 16\pi = \frac{101\pi - 96\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})$