Страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.29. a) $6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right);$

б) $(-5 - 5i) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

в) $0,3 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) \cdot 20 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

г) $\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot (2 + 2\sqrt{3}i).$

а) Для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)$, используется формула: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i \sin(\phi_1 + \phi_2))$.

В данном примере имеем $z_1 = 6(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3})$ и $z_2 = \frac{1}{3}(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Модули чисел равны $r_1 = 6$ и $r_2 = \frac{1}{3}$. Аргументы равны $\phi_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Вычислим модуль произведения: $r = r_1 \cdot r_2 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.

Вычислим аргумент произведения: $\phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, произведение в тригонометрической форме равно $2(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2})$.

Для получения ответа в алгебраической форме, вычислим значения синуса и косинуса: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Подставим эти значения: $2(0 + i \cdot 1) = 2i$.

Ответ: $2i$.

б) В этом примере одно число дано в алгебраической форме $z_1 = -5 - 5i$, а другое в тригонометрической $z_2 = \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}$. Для их умножения представим число $z_1$ в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r_1$: $r_1 = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\phi_1$. Так как $\cos \phi_1 = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \phi_1 = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, точка, соответствующая числу, лежит в третьей четверти. Следовательно, $\phi_1 = -\frac{3\pi}{4}$.

Итак, $z_1 = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

Число $z_2$ имеет модуль $r_2=1$ и аргумент $\phi_2=\frac{\pi}{4}$.

Теперь перемножим числа: $z_1 z_2 = (5\sqrt{2} \cdot 1) (\cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{2\pi}{4}) + i \sin(-\frac{2\pi}{4})) = 5\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Преобразуем результат в алгебраическую форму. Зная, что $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$5\sqrt{2}(0 + i(-1)) = -5\sqrt{2}i$.

Ответ: $-5\sqrt{2}i$.

в) Оба числа даны в тригонометрической форме: $z_1 = 0,3(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i \sin(-\frac{\pi}{12}))$ и $z_2 = 20(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4})$.

Модули равны $r_1 = 0,3$ и $r_2 = 20$. Аргументы равны $\phi_1 = -\frac{\pi}{12}$ и $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$.

Модуль произведения: $r = r_1 \cdot r_2 = 0,3 \cdot 20 = 6$.

Аргумент произведения: $\phi = \phi_1 + \phi_2 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Произведение в тригонометрической форме: $6(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6})$.

Преобразуем в алгебраическую форму, используя $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$6(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} + 3i$.

Ответ: $3\sqrt{3} + 3i$.

г) Даны числа $z_1 = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6})$ и $z_2 = 2 + 2\sqrt{3}i$. Представим число $z_2$ в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r_2$: $r_2 = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\phi_2$: $\cos \phi_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\sin \phi_2 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка лежит в первой четверти, значит $\phi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z_2 = 4(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3})$.

У числа $z_1$ модуль $r_1 = \sqrt{3}$ и аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Перемножим числа: $z_1 z_2 = (\sqrt{3} \cdot 4) (\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})) = 4\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 4\sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{6} + i \sin\frac{3\pi}{6}) = 4\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2})$.

Преобразуем в алгебраическую форму: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

$4\sqrt{3}(0 + i \cdot 1) = 4\sqrt{3}i$.

Ответ: $4\sqrt{3}i$.

34.30. a) $8 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) : 4 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right);$

б) $(10 + 10i) : \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \right);$

в) $12 \left( \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) : 0,3 \left( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \right);$

г) $16 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) : (4 - 4\sqrt{3}i).$

а) Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$ используется формула: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)) $$ В данном случае $z_1 = 8\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i \sin\frac{7\pi}{12}\right)$ и $z_2 = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$. Их модули и аргументы: $r_1 = 8, \varphi_1 = \frac{7\pi}{12}$ и $r_2 = 4, \varphi_2 = -\frac{\pi}{4}$. Находим отношение модулей: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{4} = 2$. Находим разность аргументов: $\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{7\pi}{12} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{7\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$. Результат деления в тригонометрической форме: $$ 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right) $$ Переведем его в алгебраическую форму, подставив значения косинуса и синуса: $$ 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i $$ Ответ: $-\sqrt{3} + i$.

б) Сначала представим число $z_1 = 10 + 10i$ в тригонометрической форме. Модуль числа: $r_1 = |10 + 10i| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Аргумент числа: так как $\text{Re}(z_1) > 0$ и $\text{Im}(z_1) > 0$, $\tan \varphi_1 = \frac{10}{10} = 1$, откуда $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}$. Итак, $z_1 = 10\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$. Второе число $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}\right)$. Выполним деление: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right)\right) $$ $$ \frac{z_1}{z_2} = 10\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{4}\right)\right) = 10\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ Переведем результат в алгебраическую форму: $$ 10(0 + i(-1)) = -10i $$ Ответ: $-10i$.

в) Выполним деление комплексных чисел $z_1 = 12\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right)$ и $z_2 = 0,3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)$ в тригонометрической форме. Их модули и аргументы: $r_1 = 12, \varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $r_2 = 0,3, \varphi_2 = \frac{\pi}{3}$. Находим отношение модулей: $$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{12}{0,3} = \frac{120}{3} = 40 $$ Находим разность аргументов: $$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $$ Результат деления в тригонометрической форме: $$ 40\left(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2}\right) $$ Переведем его в алгебраическую форму: $$ 40(0 + i \cdot 1) = 40i $$ Ответ: $40i$.

г) Сначала представим делитель $z_2 = 4 - 4\sqrt{3}i$ в тригонометрической форме. Модуль числа: $r_2 = |4 - 4\sqrt{3}i| = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$. Аргумент числа: $\cos \varphi_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $\sin \varphi_2 = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi_2 = -\frac{\pi}{3}$. Итак, $z_2 = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$. Делимое: $z_1 = 16\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Выполним деление: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{8}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) $$ $$ \frac{z_1}{z_2} = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right) $$ Переведем результат в алгебраическую форму: $$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i $$ Ответ: $\sqrt{3} + i$.

34.31. a) Зная, что $z = i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^2$, $z^3$, $z^9$, $z^{99}$ и найдите их аргументы.

б) Зная, что $z = -i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^5$, $z^{15}$, $z^{-25}$, $z^{-1001}$ и найдите их аргументы.

a) Дано комплексное число $z = i$. Для нахождения его степеней и их аргументов удобно представить $z$ в тригонометрической форме. Модуль числа $|z| = |i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Аргумент $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$, так как число находится на положительной части мнимой оси. Таким образом, $z = 1 \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Для возведения в степень $n$ используем формулу Муавра: $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. Так как $|z|=1$, то $z^n = \cos(\frac{n\pi}{2}) + i\sin(\frac{n\pi}{2})$.

Вычислим значения для каждого числа:

• $z = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

• $z^2 = i^2 = -1$. На комплексной плоскости это точка $(-1, 0)$.
  Аргумент: $\arg(z^2) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.

• $z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^3) = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$).

• $z^9 = i^9$. Степени $i$ циклично повторяются с периодом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$). Так как $9 = 4 \cdot 2 + 1$, то $z^9 = i^9 = i^1 = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^9) = 9 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{99} = i^{99}$. Так как $99 = 4 \cdot 24 + 3$, то $z^{99} = i^{99} = i^3 = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{99}) = 99 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{99\pi}{2} = 48\pi + \frac{3\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$).

Таким образом, все эти числа на комплексной плоскости лежат на единичной окружности в точках $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Числа на комплексной плоскости соответствуют точкам: $z=i \to (0, 1)$, $z^2=-1 \to (-1, 0)$, $z^3=-i \to (0, -1)$, $z^9=i \to (0, 1)$, $z^{99}=-i \to (0, -1)$. Их аргументы (главные значения): $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^2) = \pi$, $\arg(z^3) = \frac{3\pi}{2}$, $\arg(z^9) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{99}) = \frac{3\pi}{2}$. В общем виде аргументы равны $\phi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано комплексное число $z = -i$. Модуль числа $|z| = |-i| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$), так как число находится на отрицательной части мнимой оси. Тригонометрическая форма: $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Используем формулу Муавра: $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{2}) + i\sin(-\frac{n\pi}{2})$. Степени $(-i)$ также цикличны с периодом 4: $(-i)^1=-i, (-i)^2=-1, (-i)^3=i, (-i)^4=1$.

Вычислим значения для каждого числа:

• $z = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

• $z^5 = (-i)^5$. Так как $5 = 4 \cdot 1 + 1$, то $z^5 = (-i)^1 = -i$. На комплексной плоскости это точка $(0, -1)$.
  Аргумент: $\arg(z^5) = 5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $-\frac{\pi}{2}$.

• $z^{15} = (-i)^{15}$. Так как $15 = 4 \cdot 3 + 3$, то $z^{15} = (-i)^3 = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{15}) = 15 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{15\pi}{2} = -8\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{-25} = (-i)^{-25} = \frac{1}{(-i)^{25}}$. Так как $25 = 4 \cdot 6 + 1$, то $(-i)^{25} = (-i)^1 = -i$. Тогда $z^{-25} = \frac{1}{-i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{-25}) = -25 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \frac{25\pi}{2} = 12\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

• $z^{-1001} = (-i)^{-1001} = \frac{1}{(-i)^{1001}}$. Так как $1001 = 4 \cdot 250 + 1$, то $(-i)^{1001} = (-i)^1 = -i$. Тогда $z^{-1001} = \frac{1}{-i} = i$. На комплексной плоскости это точка $(0, 1)$.
  Аргумент: $\arg(z^{-1001}) = -1001 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \frac{1001\pi}{2} = 500\pi + \frac{\pi}{2}$. Главное значение аргумента равно $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, все эти числа на комплексной плоскости лежат на единичной окружности всего в двух точках: $(0, -1)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Числа на комплексной плоскости соответствуют точкам: $z=-i \to (0, -1)$, $z^5=-i \to (0, -1)$, $z^{15}=i \to (0, 1)$, $z^{-25}=i \to (0, 1)$, $z^{-1001}=i \to (0, 1)$. Их аргументы (главные значения): $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$, $\arg(z^5) = -\frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{15}) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{-25}) = \frac{\pi}{2}$, $\arg(z^{-1001}) = \frac{\pi}{2}$. В общем виде аргументы равны $\phi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

34.32. a) Зная, что $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

б) Зная, что $z = 2 - 2\sqrt{3}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

Зная, что $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z_1$, $z_2$, $z$ и найдите аргумент указанного числа $z$:

Дано комплексное число $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$.

1. Найдем $z^2$.

$z^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}i + (\sqrt{2}i)^2 = 2 + 4i + 2i^2 = 2 + 4i - 2 = 4i$.

2. Запишем число $z$ в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент.

Для $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ имеем действительную часть $a = \sqrt{2}$ и мнимую часть $b = \sqrt{2}$.

Модуль: $r_z = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi_z = \frac{a}{r_z} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\varphi_z = \frac{b}{r_z} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_z > 0$ и $\sin\varphi_z > 0$, угол $\varphi_z$ находится в первой четверти. Отсюда $\varphi_z = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$.

3. Запишем число $z^2$ в тригонометрической форме.

Для $z^2 = 4i$ имеем $a=0, b=4$.

Модуль: $r_{z^2} = |z^2| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

Аргумент: $\cos\varphi_{z^2} = \frac{0}{4} = 0$, $\sin\varphi_{z^2} = \frac{4}{4} = 1$.

Угол $\varphi_{z^2}$ соответствует положительной мнимой полуоси, поэтому $\varphi_{z^2} = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма числа $z^2$: $z^2 = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

4. Сравним модули и аргументы.

Модули: $|z| = 2$, $|z^2| = 4$. Таким образом, $|z^2| = |z|^2$.

Аргументы: $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$, $\arg(z^2) = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arg(z^2) = 2 \cdot \arg(z)$.

5. Изобразим числа на комплексной плоскости.

Число $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Число $z^2 = 4i$ изображается вектором из начала координат в точку $(0, 4)$.

Ответ: $z^2 = 4i$; $z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$; $z^2 = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$; $|z^2| = |z|^2$; $\arg(z^2) = 2\arg(z)$. Число $z$ находится в первой четверти на биссектрисе угла, число $z^2$ - на положительной мнимой оси.

Дано комплексное число $z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

1. Найдем $z^2$.

$z^2 = (2 - 2\sqrt{3}i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}i + (2\sqrt{3}i)^2 = 4 - 8\sqrt{3}i + 4 \cdot 3 \cdot i^2 = 4 - 8\sqrt{3}i - 12 = -8 - 8\sqrt{3}i$.

2. Запишем число $z$ в тригонометрической форме.

Для $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ имеем $a = 2, b = -2\sqrt{3}$.

Модуль: $r_z = |z| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Аргумент: $\cos\varphi_z = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_z = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_z > 0$ и $\sin\varphi_z < 0$, угол $\varphi_z$ находится в четвертой четверти. Отсюда $\varphi_z = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

3. Запишем число $z^2$ в тригонометрической форме.

Для $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ имеем $a = -8, b = -8\sqrt{3}$.

Модуль: $r_{z^2} = |z^2| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

Аргумент: $\cos\varphi_{z^2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_{z^2} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos\varphi_{z^2} < 0$ и $\sin\varphi_{z^2} < 0$, угол $\varphi_{z^2}$ находится в третьей четверти. Отсюда $\varphi_{z^2} = -\frac{2\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма числа $z^2$: $z^2 = 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

4. Сравним модули и аргументы.

Модули: $|z| = 4$, $|z^2| = 16$. Таким образом, $|z^2| = |z|^2$.

Аргументы: $\arg(z) = -\frac{\pi}{3}$, $\arg(z^2) = -\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, $\arg(z^2) = 2 \cdot \arg(z)$.

5. Изобразим числа на комплексной плоскости.

Число $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(2, -2\sqrt{3})$.

Число $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ изображается вектором из начала координат в точку $(-8, -8\sqrt{3})$.

Ответ: $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$; $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; $z^2 = 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$; $|z^2| = |z|^2$; $\arg(z^2) = 2\arg(z)$. Число $z$ находится в четвертой четверти, число $z^2$ - в третьей четверти.

В условии даны комплексные числа $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. Задание просит изобразить на комплексной плоскости числа $z_1, z_2, z$ и найти аргумент числа $z$. Определение числа $z$ в условии отсутствует. Наиболее вероятной является интерпретация, в которой $z$ является произведением $z_1$ и $z_2$, то есть $z = z_1 \cdot z_2$.

1. Найдем число $z$.

$z = z_1 \cdot z_2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)$.

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(y-x) = y^2 - x^2$, где $y = \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$z = (\frac{\sqrt{2}}{2}i)^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4}i^2 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Итак, $z = -1$.

2. Изобразим числа $z_1, z_2$ и $z$ на комплексной плоскости.

• Число $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ соответствует точке с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Число $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ соответствует точке с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Число $z = -1$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$.

Все три точки лежат на единичной окружности. Точка $z_1$ находится в первом квадранте, $z_2$ — во втором, а $z$ — на отрицательной части действительной оси.

3. Найдем аргумент числа $z$.

Для $z = -1$, действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = 0$. Точка лежит на отрицательной действительной полуоси, следовательно, ее аргумент $\arg(z) = \pi$.

Этот же результат можно получить, используя свойство аргумента произведения: $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{4}$ (из пункта а, с модулем 1).

Для $z_2$: $\cos\varphi_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\varphi_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, отсюда $\arg(z_2) = \frac{3\pi}{4}$.

$\arg(z) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: При предположении, что $z=z_1 \cdot z_2$, получаем $z=-1$. Аргумент числа $z$ равен $\pi$. На комплексной плоскости $z_1, z_2, z$ являются точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-1, 0)$ соответственно.