Страница 193, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.33. По заданному сопряжённому числу $\bar{z}$ восстановите комплексное число $z$ и вычислите произведение $z\bar{z}$ и частное $\frac{z}{\bar{z}}$:

а) $\bar{z} = 2i;$

б) $\bar{z} = -3i;$

в) $\bar{z} = 1 - i;$

г) $\bar{z} = -1 + 3i.$

Для решения задачи воспользуемся следующими определениями. Если комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$, то сопряженное ему число $\bar{z}$ равно $a - bi$. Чтобы восстановить исходное число $z$ по его сопряженному $\bar{z}$, нужно взять сопряженное к $\bar{z}$, то есть $z = \bar{\bar{z}} = a + bi$.

Произведение комплексного числа на сопряженное ему равно $z\bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$.

Частное двух комплексных чисел вычисляется путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

а)

Дано сопряженное число $\bar{z} = 2i$. В алгебраической форме это $0 + 2i$.

1. Восстановим комплексное число $z$. Для этого изменим знак у мнимой части $\bar{z}$:
$z = 0 - 2i = -2i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (-2i)(2i) = -4i^2 = -4(-1) = 4$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{-2i}{2i} = -1$.

Ответ: $z = -2i$; $z\bar{z} = 4$; $\frac{z}{\bar{z}} = -1$.

б)

Дано сопряженное число $\bar{z} = -3i$. В алгебраической форме это $0 - 3i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = 0 + 3i = 3i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (3i)(-3i) = -9i^2 = -9(-1) = 9$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{3i}{-3i} = -1$.

Ответ: $z = 3i$; $z\bar{z} = 9$; $\frac{z}{\bar{z}} = -1$.

в)

Дано сопряженное число $\bar{z} = 1 - i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = 1 + i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$.

Ответ: $z = 1+i$; $z\bar{z} = 2$; $\frac{z}{\bar{z}} = i$.

г)

Дано сопряженное число $\bar{z} = -1 + 3i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = -1 - 3i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (-1 - 3i)(-1 + 3i) = (-1)^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{-1 - 3i}{-1 + 3i} = \frac{(-1 - 3i)(-1 - 3i)}{(-1 + 3i)(-1 - 3i)} = \frac{(-1)^2 + 2(-1)(-3i) + (3i)^2}{(-1)^2 - (3i)^2} = \frac{1 + 6i + 9i^2}{1 - 9i^2} = \frac{1 + 6i - 9}{1+9} = \frac{-8 + 6i}{10} = -\frac{8}{10} + \frac{6}{10}i = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $z = -1 - 3i$; $z\bar{z} = 10$; $\frac{z}{\bar{z}} = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

32.34. Дано: $z_1 = 1 - i$; $z_2 = 4 + i$. Найдите:

а) $\frac{z_1}{\overline{z_2}}$;

б) $\frac{z_1^2}{(\overline{z_2})^2}$;

в) $\frac{\overline{z_1}}{z_2}$;

г) $\frac{(\overline{z_1})^2}{z_2}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 1 - i$ и $z_2 = 4 + i$. Для решения задач нам также понадобятся комплексно-сопряженные к ним числа: $\bar{z_1} = 1 + i$ и $\bar{z_2} = 4 - i$.

а) $\frac{z_1}{\bar{z_2}}$.Подставим значения $z_1 = 1 - i$ и $\bar{z_2} = 4 - i$. Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $4 + i$. В результате получим:$\frac{1 - i}{4 - i} = \frac{(1 - i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)} = \frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot i - i \cdot 4 - i^2}{4^2 - i^2} = \frac{4 + i - 4i - (-1)}{16 - (-1)} = \frac{5 - 3i}{17} = \frac{5}{17} - \frac{3}{17}i$.
Ответ: $\frac{5}{17} - \frac{3}{17}i$.

б) $\frac{z_1^2}{(\bar{z_2})^2}$.Это выражение равно $(\frac{z_1}{\bar{z_2}})^2$, поэтому мы можем возвести в квадрат результат, полученный в пункте а):$(\frac{5}{17} - \frac{3}{17}i)^2 = \frac{1}{17^2}(5 - 3i)^2 = \frac{1}{289}(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3i + (3i)^2) = \frac{1}{289}(25 - 30i + 9i^2) = \frac{1}{289}(25 - 30i - 9) = \frac{16 - 30i}{289} = \frac{16}{289} - \frac{30}{289}i$.
Ответ: $\frac{16}{289} - \frac{30}{289}i$.

в) $\frac{\bar{z_1}}{z_2}$.Подставим значения $\bar{z_1} = 1 + i$ и $z_2 = 4 + i$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $4 - i$:$\frac{1 + i}{4 + i} = \frac{(1 + i)(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)} = \frac{1 \cdot 4 - 1 \cdot i + i \cdot 4 - i^2}{4^2 - i^2} = \frac{4 - i + 4i - (-1)}{16 - (-1)} = \frac{5 + 3i}{17} = \frac{5}{17} + \frac{3}{17}i$.
Ответ: $\frac{5}{17} + \frac{3}{17}i$.

г) $\frac{(\bar{z_1})^2}{z_2}$.Сначала вычислим числитель: $(\bar{z_1})^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Теперь разделим результат на $z_2$: $\frac{2i}{4 + i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4-i$:$\frac{2i(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)} = \frac{8i - 2i^2}{4^2 - i^2} = \frac{8i - 2(-1)}{16 - (-1)} = \frac{2 + 8i}{17} = \frac{2}{17} + \frac{8}{17}i$.
Ответ: $\frac{2}{17} + \frac{8}{17}i$.

32.35. Дано: $z_1 = 3 + 2i$; $z_2 = -2 + 3i$. Найдите:

a) $\frac{z_1 - z_2}{\overline{z_1}}$;

б) $\frac{(z_1 + z_2)^2}{\overline{z_1} - \overline{z_2}}$;

В) $\frac{z_2}{z_2 + \overline{z_1}}$;

Г) $\frac{z_2 - 2\overline{z_1}}{(\overline{z_2} + z_1)^3}$.

Дано: $z_1 = 3 + 2i$, $z_2 = -2 + 3i$.

Тогда комплексно-сопряженные числа равны: $\bar{z_1} = 3 - 2i$, $\bar{z_2} = -2 - 3i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_1 - z_2}{\bar{z_1}}$.
1. Найдём разность в числителе:
$z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-2 + 3i) = 3 + 2i + 2 - 3i = (3+2) + (2-3)i = 5 - i$.
2. Выполним деление, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $3 + 2i$:
$\frac{5 - i}{3 - 2i} = \frac{(5 - i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{15 + 10i - 3i - 2i^2}{3^2 + 2^2} = \frac{15 + 7i - 2(-1)}{9 + 4} = \frac{17 + 7i}{13} = \frac{17}{13} + \frac{7}{13}i$.

Ответ: $\frac{17}{13} + \frac{7}{13}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{(z_1 + z_2)^2}{\bar{z_1} - \bar{z_2}}$.
1. Найдём сумму $z_1 + z_2$:
$z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (-2 + 3i) = (3-2) + (2+3)i = 1 + 5i$.
2. Возведём сумму в квадрат (числитель):
$(1 + 5i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 5i + (5i)^2 = 1 + 10i + 25i^2 = 1 + 10i - 25 = -24 + 10i$.
3. Найдём разность в знаменателе:
$\bar{z_1} - \bar{z_2} = (3 - 2i) - (-2 - 3i) = 3 - 2i + 2 + 3i = (3+2) + (-2+3)i = 5 + i$.
4. Выполним деление:
$\frac{-24 + 10i}{5 + i} = \frac{(-24 + 10i)(5 - i)}{(5 + i)(5 - i)} = \frac{-120 + 24i + 50i - 10i^2}{5^2 + 1^2} = \frac{-120 + 74i + 10}{26} = \frac{-110 + 74i}{26}$.
Сократим дробь на 2:
$\frac{-55 + 37i}{13} = -\frac{55}{13} + \frac{37}{13}i$.

Ответ: $-\frac{55}{13} + \frac{37}{13}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_2}{z_2 + \bar{z_1}}$.
1. Найдём сумму в знаменателе:
$z_2 + \bar{z_1} = (-2 + 3i) + (3 - 2i) = (-2+3) + (3-2)i = 1 + i$.
2. Выполним деление, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, то есть на $1 - i$:
$\frac{-2 + 3i}{1 + i} = \frac{(-2 + 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2 + 2i + 3i - 3i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{-2 + 5i - 3(-1)}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Вычислим значение выражения $\frac{z_2 - 2\bar{z_1}}{(\bar{z_2} + z_1)^3}$.
1. Найдём числитель:
$z_2 - 2\bar{z_1} = (-2 + 3i) - 2(3 - 2i) = -2 + 3i - 6 + 4i = -8 + 7i$.
2. Найдём основание степени в знаменателе:
$\bar{z_2} + z_1 = (-2 - 3i) + (3 + 2i) = (-2+3) + (-3+2)i = 1 - i$.
3. Возведём в куб, чтобы найти знаменатель:
$(1 - i)^3 = (1 - i)^2(1 - i) = (1 - 2i + i^2)(1 - i) = (1 - 2i - 1)(1 - i) = (-2i)(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i$.
4. Выполним деление:
$\frac{-8 + 7i}{-2 - 2i} = \frac{(-8 + 7i)(-2 + 2i)}{(-2 - 2i)(-2 + 2i)} = \frac{16 - 16i - 14i + 14i^2}{(-2)^2 + (-2)^2} = \frac{16 - 30i - 14}{4 + 4} = \frac{2 - 30i}{8}$.
Сократим дробь на 2:
$\frac{1 - 15i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{15}{4}i$.

Ответ: $\frac{1}{4} - \frac{15}{4}i$.

32.36. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4\bar{z}_1 + z_2 = 3 - 4i \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3\bar{z}_1 - z_2 = 3 - 2i \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = 7 - 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

г) $\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2iz_1 - \bar{z}_2 = 7i \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4\bar{z}_1 + z_2 = 3 - 4i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения, чтобы получить систему с переменными $z_1$ и $\bar{z}_2$.

$\overline{4\bar{z}_1 + z_2} = \overline{3 - 4i}$

$4z_1 + \bar{z}_2 = 3 + 4i$

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4z_1 + \bar{z}_2 = 3 + 4i \end{cases}$

Из второго уравнения новой системы выразим $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3 + 4i - 4z_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5z_1 - 3(3 + 4i - 4z_1) = -9 + 5i$

$5z_1 - 9 - 12i + 12z_1 = -9 + 5i$

$17z_1 = 17i$

$z_1 = i$

Теперь найдем $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3 + 4i - 4(i) = 3 + 4i - 4i = 3$

Следовательно, $z_2 = \bar{3} = 3$.

Проверка: подставим $z_1 = i$ и $z_2 = 3$ в исходную систему.

$5(i) - 3(\bar{3}) = 5i - 9$. Верно.

$4(\bar{i}) + 3 = 4(-i) + 3 = 3 - 4i$. Верно.

Ответ: $z_1 = i, z_2 = 3$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3\bar{z}_1 - z_2 = 3 - 2i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения:

$\overline{3\bar{z}_1 - z_2} = \overline{3 - 2i}$

$3z_1 - \bar{z}_2 = 3 + 2i$

Решаем систему относительно $z_1$ и $\bar{z}_2$:

$\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3z_1 - \bar{z}_2 = 3 + 2i \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3z_1 - (3 + 2i) = 3z_1 - 3 - 2i$

Подставим в первое уравнение:

$7z_1 + 2(3z_1 - 3 - 2i) = 7 - 4i$

$7z_1 + 6z_1 - 6 - 4i = 7 - 4i$

$13z_1 = 13$

$z_1 = 1$

Теперь найдем $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3(1) - 3 - 2i = -2i$

Следовательно, $z_2 = \overline{-2i} = 2i$.

Проверка: подставим $z_1 = 1$ и $z_2 = 2i$ в исходную систему.

$7(1) + 2(\overline{2i}) = 7 + 2(-2i) = 7 - 4i$. Верно.

$3(\bar{1}) - 2i = 3 - 2i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = 2i$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = 7 - 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от первого уравнения, чтобы получить стандартную систему для $z_1$ и $z_2$.

$\overline{4\bar{z}_1 + \bar{z}_2} = \overline{7 - 6i}$

$4z_1 + z_2 = 7 + 6i$

Решаем систему:

$\begin{cases} 4z_1 + z_2 = 7 + 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $z_2$:

$z_2 = 7 + 6i - 4z_1$

Подставим во второе уравнение:

$3z_1 - 2(7 + 6i - 4z_1) = -3 - i$

$3z_1 - 14 - 12i + 8z_1 = -3 - i$

$11z_1 = 11 + 11i$

$z_1 = 1 + i$

Теперь найдем $z_2$:

$z_2 = 7 + 6i - 4(1 + i) = 7 + 6i - 4 - 4i = 3 + 2i$

Проверка: подставим $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 3 + 2i$ в исходную систему.

$4(\overline{1+i}) + (\overline{3+2i}) = 4(1-i) + (3-2i) = 4 - 4i + 3 - 2i = 7 - 6i$. Верно.

$3(1+i) - 2(3+2i) = 3 + 3i - 6 - 4i = -3 - i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 1 + i, z_2 = 3 + 2i$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2iz_1 - \bar{z}_2 = 7i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения:

$\overline{2iz_1 - \bar{z}_2} = \overline{7i}$

$-2i\bar{z}_1 - z_2 = -7i$, что эквивалентно $2i\bar{z}_1 + z_2 = 7i$.

Решаем систему относительно $\bar{z}_1$ и $z_2$:

$\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2i\bar{z}_1 + z_2 = 7i \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $z_2$:

$z_2 = 7i - 2i\bar{z}_1$

Подставим в первое уравнение:

$i\bar{z}_1 + 2(7i - 2i\bar{z}_1) = 3 + 8i$

$i\bar{z}_1 + 14i - 4i\bar{z}_1 = 3 + 8i$

$-3i\bar{z}_1 = 3 - 6i$

$\bar{z}_1 = \frac{3 - 6i}{-3i} = \frac{3}{-3i} - \frac{6i}{-3i} = -\frac{1}{i} + 2 = i + 2 = 2 + i$

Следовательно, $z_1 = \overline{2 + i} = 2 - i$.

Теперь найдем $z_2$:

$z_2 = 7i - 2i\bar{z}_1 = 7i - 2i(2 + i) = 7i - 4i - 2i^2 = 3i - 2(-1) = 2 + 3i$

Проверка: подставим $z_1 = 2 - i$ и $z_2 = 2 + 3i$ в исходную систему.

$i(\overline{2-i}) + 2(2+3i) = i(2+i) + 4 + 6i = 2i + i^2 + 4 + 6i = -1 + 4 + 8i = 3 + 8i$. Верно.

$2i(2-i) - (\overline{2+3i}) = 4i - 2i^2 - (2-3i) = 4i + 2 - 2 + 3i = 7i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 2 - i, z_2 = 2 + 3i$.

32.37. Среди корней уравнения $z^2 + (\bar{z})^2 = 8$ укажите все корни:

а) с нулевой мнимой частью;

б) с мнимой частью, равной 1;

в) у которых действительная часть равна мнимой части;

г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ – действительная часть, а $y$ – мнимая часть. Комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение $z^2 + (\bar{z})^2 = 8$:

$(x + iy)^2 + (x - iy)^2 = 8$

Раскроем квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2ixy + (iy)^2) + (x^2 - 2ixy + (iy)^2) = 8$

Учитывая, что $i^2 = -1$, получим:

$(x^2 + 2ixy - y^2) + (x^2 - 2ixy - y^2) = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2y^2 = 8$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - y^2 = 4$

Это уравнение связывает действительную ($x$) и мнимую ($y$) части любого корня исходного уравнения. Теперь, используя это соотношение, найдем корни для каждого из заданных условий.

а) с нулевой мнимой частью;

Условие "нулевая мнимая часть" означает, что $y = 0$. Подставим это значение в наше уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - 0^2 = 4$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, получаем два корня: $z_1 = 2 + 0i = 2$ и $z_2 = -2 + 0i = -2$.

Ответ: $z = 2$, $z = -2$.

б) с мнимой частью, равной 1;

В этом случае мнимая часть $y = 1$. Подставим это значение в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - 1^2 = 4$

$x^2 - 1 = 4$

$x^2 = 5$

Отсюда $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Получаем два корня: $z_1 = \sqrt{5} + i$ и $z_2 = -\sqrt{5} + i$.

Ответ: $z = \sqrt{5} + i$, $z = -\sqrt{5} + i$.

в) у которых действительная часть равна мнимой части;

Это условие означает, что $x = y$. Подставим это соотношение в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - x^2 = 4$

$0 = 4$

Получили неверное равенство. Это означает, что корней, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: таких корней нет.

г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

По условию, $x = 3y$ и $y > 0$. Подставим $x = 3y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$(3y)^2 - y^2 = 4$

$9y^2 - y^2 = 4$

$8y^2 = 4$

$y^2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Извлекая корень, получаем $y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как по условию мнимая часть положительна ($y > 0$), выбираем значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем соответствующую действительную часть $x$:

$x = 3y = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомый корень равен $z = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

32.38. Среди корней уравнения $\bar{z} + 1 = \frac{1}{z + 1}$ найдите корень:

а) у которого действительная часть наименьшая;

б) у которого мнимая часть наименьшая;

в) который ближе всего расположен к началу координат;

г) который ближе всего расположен к числу $i$.

Сначала решим данное уравнение. Пусть $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - iy$.

Исходное уравнение: $\bar{z} + 1 = \frac{1}{z+1}$.

Область допустимых значений: $z+1 \neq 0$, то есть $z \neq -1$.

Подставим $z$ и $\bar{z}$ в уравнение:

$(x - iy) + 1 = \frac{1}{(x + iy) + 1}$

$(x+1) - iy = \frac{1}{(x+1) + iy}$

Умножим обе части на $(x+1) + iy$ (так как $z \neq -1$, то это выражение не равно нулю):

$((x+1) - iy)((x+1) + iy) = 1$

Используя формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и то, что $i^2=-1$, получаем:

$(x+1)^2 - (iy)^2 = 1$

$(x+1)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности в комплексной плоскости с центром в точке $C(-1, 0)$ (что соответствует комплексному числу $z_c = -1$) и радиусом $R=1$.

Таким образом, множество корней уравнения — это все точки на окружности с центром в $z_c = -1$ и радиусом 1.

а) у которого действительная часть наименьшая;

Действительная часть комплексного числа $z = x+iy$ — это координата $x$. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2 + y^2 = 1$ с наименьшим значением $x$. Для окружности с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1, значения $x$ лежат в диапазоне $[x_c - R, x_c + R] = [-1-1, -1+1] = [-2, 0]$.

Наименьшее значение $x$ равно $-2$. Это достигается, когда $y=0$. Подставив $x=-2$ в уравнение окружности, получаем $(-2+1)^2 + y^2 = 1 \implies (-1)^2 + y^2 = 1 \implies 1+y^2=1 \implies y=0$.

Таким образом, искомый корень — это $z = x + iy = -2 + i \cdot 0 = -2$.

Ответ: $z = -2$.

б) у которого мнимая часть наименьшая;

Мнимая часть комплексного числа $z = x+iy$ — это координата $y$. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2 + y^2 = 1$ с наименьшим значением $y$. Для окружности с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1, значения $y$ лежат в диапазоне $[y_c - R, y_c + R] = [0-1, 0+1] = [-1, 1]$.

Наименьшее значение $y$ равно $-1$. Это достигается, когда $x$ равен абсциссе центра, то есть $x=-1$. Подставив $y=-1$ в уравнение окружности, получаем $(x+1)^2 + (-1)^2 = 1 \implies (x+1)^2 + 1 = 1 \implies (x+1)^2=0 \implies x=-1$.

Таким образом, искомый корень — это $z = x + iy = -1 + i \cdot (-1) = -1 - i$.

Ответ: $z = -1 - i$.

в) который ближе всего расположен к началу координат;

Расстояние от корня $z = x+iy$ до начала координат $(0,0)$ равно $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Нам нужно найти точку на окружности $(x+1)^2+y^2=1$, для которой это расстояние минимально.

Геометрически, начало координат, точка $(0,0)$, удовлетворяет уравнению окружности: $(0+1)^2+0^2=1^2=1$. Это означает, что начало координат лежит на самой окружности.

Следовательно, расстояние до начала координат для этого корня равно 0, что является наименьшим возможным расстоянием. Этот корень — $z=0$.

Ответ: $z = 0$.

г) который ближе всего расположен к числу i.

Нам нужно найти корень $z$, для которого расстояние $|z - i|$ минимально. Числу $i$ соответствует точка $P(0,1)$ на комплексной плоскости. Мы ищем точку на окружности $(x+1)^2+y^2=1$ (с центром $C(-1,0)$ и радиусом $R=1$), ближайшую к точке $P(0,1)$.

Геометрически, ближайшая точка на окружности к внешней точке $P$ лежит на прямой, соединяющей центр окружности $C$ и точку $P$.

Уравнение прямой, проходящей через $C(-1,0)$ и $P(0,1)$, имеет вид $y = x+1$.

Найдем точки пересечения этой прямой с окружностью, подставив $y=x+1$ в уравнение окружности:

$(x+1)^2 + (x+1)^2 = 1$

$2(x+1)^2 = 1$

$(x+1)^2 = \frac{1}{2}$

$x+1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Соответствующие значения $y$ равны $y = x+1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем две точки пересечения: $z_1 = (-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $z_2 = (-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точка $P(0,1)$ находится "сверху-справа" от центра окружности $C(-1,0)$. Ближайшей к ней будет точка пересечения с положительной мнимой частью, то есть $z_1$.

Таким образом, искомый корень — это $z = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.