Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.7. а) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2 \frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2;$

б) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2.$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} + \sin^2 x + \sin^2\frac{5x}{2} + \sin^2 2x = 2 $

Для решения применим формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. Применим ее к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$ \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} + \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{2})}{2} + \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2 $

$ \frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 5x}{2} + \frac{1 - \cos 4x}{2} = 2 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 - \cos x) + (1 - \cos 2x) + (1 - \cos 5x) + (1 - \cos 4x) = 4 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 4 - \cos x - \cos 2x - \cos 5x - \cos 4x = 4 $

$ -(\cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x) = 0 $

$ \cos x + \cos 2x + \cos 4x + \cos 5x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:

$ (\cos x + \cos 5x) + (\cos 2x + \cos 4x) = 0 $

$ 2 \cos\frac{x+5x}{2} \cos\frac{5x-x}{2} + 2 \cos\frac{2x+4x}{2} \cos\frac{4x-2x}{2} = 0 $

$ 2\cos(3x)\cos(2x) + 2\cos(3x)\cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos(3x) $ за скобки:

$ 2\cos(3x)(\cos(2x) + \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(3x) = 0 $

2) $ \cos(2x) + \cos(x) = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение. Используем формулу двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 $:

$ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \cos(x) $. Сделаем замену $ t = \cos(x) $, получим $ 2t^2 + t - 1 = 0 $. Корни этого уравнения: $ t_1 = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = -1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

Если $ \cos(x) = \frac{1}{2} $, то $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Если $ \cos(x) = -1 $, то $ x = \pi + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi j}{3}, \text{ где } j \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, мы получили две непересекающиеся серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$.

б) $ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2 $

Применим формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos 2x) + (1 + \cos 4x) + (1 + \cos 6x) + (1 + \cos 8x) = 4 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4 $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:

$ (\cos 2x + \cos 8x) + (\cos 4x + \cos 6x) = 0 $

$ 2 \cos\frac{2x+8x}{2} \cos\frac{8x-2x}{2} + 2 \cos\frac{4x+6x}{2} \cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos(5x)\cos(3x) + 2\cos(5x)\cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos(5x) $ за скобки:

$ 2\cos(5x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos(5x) = 0 $

2) $ \cos(3x) + \cos(x) = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение, применив формулу суммы косинусов:

$ 2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 2\cos(2x)\cos(x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Объединим все найденные серии решений. Проверим, не является ли серия $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ подмножеством серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $. Для этого приравняем выражения для $ x $:

$ \frac{\pi}{2} + \pi m = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $

Разделим на $ \pi $: $ \frac{1}{2} + m = \frac{1}{10} + \frac{k}{5} $.

Умножим на 10: $ 5 + 10m = 1 + 2k \implies 2k = 4 + 10m \implies k = 2 + 5m $.

Так как для любого целого $ m $ значение $ k = 2+5m $ также является целым, то серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ полностью содержится в серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две непересекающиеся серии $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} $ и $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

31.8. $tg(x - 15^\circ) ctg(x + 15^\circ) = \frac{1}{3}$

Дано тригонометрическое уравнение:

$\tg(x - 15^\circ) \ctg(x + 15^\circ) = \frac{1}{3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент тангенса не должен быть равен $90^\circ + 180^\circ n$, а аргумент котангенса не должен быть равен $180^\circ k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

1. $\cos(x - 15^\circ) \neq 0 \implies x - 15^\circ \neq 90^\circ + 180^\circ n \implies x \neq 105^\circ + 180^\circ n$.

2. $\sin(x + 15^\circ) \neq 0 \implies x + 15^\circ \neq 180^\circ k \implies x \neq -15^\circ + 180^\circ k$.

Преобразуем уравнение, используя тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$:

$\frac{\tg(x - 15^\circ)}{\tg(x + 15^\circ)} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$3 \tg(x - 15^\circ) = \tg(x + 15^\circ)$

Выразим тангенсы через синусы и косинусы:

$3 \frac{\sin(x - 15^\circ)}{\cos(x - 15^\circ)} = \frac{\sin(x + 15^\circ)}{\cos(x + 15^\circ)}$

Перемножим уравнение крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:

$3 \sin(x - 15^\circ) \cos(x + 15^\circ) = \sin(x + 15^\circ) \cos(x - 15^\circ)$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения.

Для левой части: $\alpha = x - 15^\circ, \beta = x + 15^\circ$.

$3 \cdot \frac{1}{2}(\sin((x - 15^\circ) + (x + 15^\circ)) + \sin((x - 15^\circ) - (x + 15^\circ)))$

$\frac{3}{2}(\sin(2x) + \sin(-30^\circ)) = \frac{3}{2}(\sin(2x) - \frac{1}{2})$

Для правой части: $\alpha = x + 15^\circ, \beta = x - 15^\circ$.

$\frac{1}{2}(\sin((x + 15^\circ) + (x - 15^\circ)) + \sin((x + 15^\circ) - (x - 15^\circ)))$

$\frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(30^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \frac{1}{2})$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{3}{2}(\sin(2x) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \frac{1}{2})$

Умножим обе части на 2:

$3(\sin(2x) - \frac{1}{2}) = \sin(2x) + \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\sin(2x)$:

$3\sin(2x) - \frac{3}{2} = \sin(2x) + \frac{1}{2}$

$3\sin(2x) - \sin(2x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$2\sin(2x) = 2$

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является:

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

$45^\circ + 180^\circ k \neq 105^\circ + 180^\circ n \implies 180^\circ(k-n) \neq 60^\circ \implies k-n \neq \frac{1}{3}$. Это верно, так как разность целых чисел не может быть дробью.

$45^\circ + 180^\circ k \neq -15^\circ + 180^\circ m \implies 180^\circ(k-m) \neq -60^\circ \implies k-m \neq -\frac{1}{3}$. Это также верно.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

31.9. $8 \sin^6 x + 3 \cos 2x + 2 \cos 4x + 1 = 0.$

Дано уравнение: $8 \sin^6 x + 3 \cos 2x + 2 \cos 4x + 1 = 0$.

Для решения преобразуем все члены уравнения так, чтобы они содержали только одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента. Удобнее всего выразить все через $\cos 2x$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и формулу двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2(2x) - 1$.

Преобразуем член $8 \sin^6 x$:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Упростим:

Введем замену $t = \cos 2x$. Тогда уравнение примет вид:

Раскроем куб разности и приведем подобные слагаемые:

Вынесем общий множитель $-t^2$:

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену:

1. $\cos 2x = 0$.

Это уравнение имеет решения $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos 2x = 7$.

Данное уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1 (область значений функции $y=\cos(z)$ это отрезок $[-1, 1]$).

Таким образом, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

31.10. а) $5 \sin 3x + 2 \sin x = 0$;

б) $7 \cos 3x - 3 \cos x = 0$.

а) $5 \sin 3x + 2 \sin x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$5(3 \sin x - 4 \sin^3 x) + 2 \sin x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15 \sin x - 20 \sin^3 x + 2 \sin x = 0$

$17 \sin x - 20 \sin^3 x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (17 - 20 \sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $17 - 20 \sin^2 x = 0$

$20 \sin^2 x = 17$

$\sin^2 x = \frac{17}{20}$

Отсюда $\sin x = \pm\sqrt{\frac{17}{20}}$.

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{17}{20}}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{17}{20}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $7 \cos 3x - 3 \cos x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$7(4 \cos^3 x - 3 \cos x) - 3 \cos x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$28 \cos^3 x - 21 \cos x - 3 \cos x = 0$

$28 \cos^3 x - 24 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $4 \cos x$ за скобки:

$4 \cos x (7 \cos^2 x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $7 \cos^2 x - 6 = 0$

$7 \cos^2 x = 6$

$\cos^2 x = \frac{6}{7}$

Отсюда $\cos x = \pm\sqrt{\frac{6}{7}}$.

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

31.11. a) $3|\cos x| + 2 \cos x = 5|\sin x| - 3 \sin x$;

б) $7|\cos x| - 4 \cos x = 3|\sin x| + 2 \sin x$.

а) Для решения уравнения $3|\cos x| + 2\cos x = 5|\sin x| - 3\sin x$ необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули в зависимости от знаков $\cos x$ и $\sin x$ в координатных четвертях.
1. Первая четверть ($ \cos x \ge 0, \sin x \ge 0 $): Уравнение принимает вид $3\cos x + 2\cos x = 5\sin x - 3\sin x$, что упрощается до $5\cos x = 2\sin x$. Если $\cos x \ne 0$, то $\mathrm{tg}\,x = \frac{5}{2}$. Решение $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2}$ принадлежит первой четверти. Серия решений для этого случая: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Вторая четверть ($ \cos x < 0, \sin x > 0 $): Уравнение становится $3(-\cos x) + 2\cos x = 5\sin x - 3\sin x$, что дает $-\cos x = 2\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{1}{2}$. Решение во второй четверти имеет вид $x = \pi + \mathrm{arctg}\,(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Третья четверть ($ \cos x < 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $3(-\cos x) + 2\cos x = 5(-\sin x) - 3\sin x$, что дает $-\cos x = -8\sin x$ или $\cos x = 8\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = \frac{1}{8}$. Решение в третьей четверти имеет вид $x = \pi + \mathrm{arctg}\,\frac{1}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Четвертая четверть ($ \cos x > 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $3\cos x + 2\cos x = 5(-\sin x) - 3\sin x$, что дает $5\cos x = -8\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{5}{8}$. Решение в четвертой четверти имеет вид $x = \mathrm{arctg}\,(-\frac{5}{8}) + 2\pi k = -\mathrm{arctg}\,\frac{5}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка на координатных осях, где $\sin x=0$ или $\cos x=0$, не дает решений. Объединяя все найденные серии решений, получаем ответ.
Ответ: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{2} + 2\pi k; x = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{2} + 2\pi k; x = \pi + \mathrm{arctg}\,\frac{1}{8} + 2\pi k; x = -\mathrm{arctg}\,\frac{5}{8} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $7|\cos x| - 4\cos x = 3|\sin x| + 2\sin x$ также рассмотрим четыре случая.
1. Первая четверть ($ \cos x \ge 0, \sin x \ge 0 $): Уравнение принимает вид $7\cos x - 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x$, что упрощается до $3\cos x = 5\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = \frac{3}{5}$. Серия решений: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{3}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Вторая четверть ($ \cos x < 0, \sin x > 0 $): Уравнение становится $7(-\cos x) - 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x$, что дает $-11\cos x = 5\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -\frac{11}{5}$. Решения в этой четверти: $x = \pi + \mathrm{arctg}\,(-\frac{11}{5}) + 2\pi k = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{11}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. Третья четверть ($ \cos x < 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $7(-\cos x) - 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x$, что дает $-11\cos x = -\sin x$ или $11\cos x = \sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = 11$. Решения в этой четверти: $x = \pi + \mathrm{arctg}\,11 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Четвертая четверть ($ \cos x > 0, \sin x < 0 $): Уравнение становится $7\cos x - 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x$, что дает $3\cos x = -\sin x$. Отсюда $\mathrm{tg}\,x = -3$. Решения в этой четверти: $x = \mathrm{arctg}\,(-3) + 2\pi k = -\mathrm{arctg}\,3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка на осях не дает решений. Объединяя все серии, получаем ответ.
Ответ: $x = \mathrm{arctg}\,\frac{3}{5} + 2\pi k; x = \pi - \mathrm{arctg}\,\frac{11}{5} + 2\pi k; x = \pi + \mathrm{arctg}\,11 + 2\pi k; x = -\mathrm{arctg}\,3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

31.12. a) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2}\sin x = 8 \cos \frac{x}{2}$;

б) $\frac{7}{4}\cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}$.

а) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin x = 8 \cos \frac{x}{2}$

Для начала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $\frac{x}{2}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} (2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) = 8 \cos \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 8 \cos \frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{2} (4 \cos^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

2) $4 \cos^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$4(1 - \sin^2 \frac{x}{2}) + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

$4 - 4 \sin^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 8 = 0$

$-4 \sin^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} - 4 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$.

Корни уравнения: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$.

$t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$. Этот корень не подходит, так как $\sqrt{2} > 1$.

$t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вернемся к замене:

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}$

Приведем все функции к аргументу $\frac{x}{4}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае $\frac{x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{4}$, поэтому $\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$

Перенесем все члены в правую часть:

$\cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} - \frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{4}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{4} (\cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4}) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{4} = 0$

2) $\cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4} = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos \frac{x}{4} = 0$

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$(1 - \sin^2 \frac{x}{4}) + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{7}{4} = 0$

$-\sin^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} - \frac{3}{4} = 0$

Умножим уравнение на -4:

$4 \sin^2 \frac{x}{4} - 8 \sin \frac{x}{4} + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin \frac{x}{4}$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}$.

$t_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{3}{2} > 1$.

$t_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене:

$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{4\pi}{6} + 4\pi k = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi + 4\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

31.13. $\cos^4 x + \sin^4 x - \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0.$

Для решения данного уравнения, начнем с преобразования выражения $\cos^4 x + \sin^4 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, выделим полный квадрат:

$\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$, откуда следует, что $2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.

Теперь заменим эту часть в исходном уравнении:

$(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x) - \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$1 - \sin 2x + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) \sin^2 2x = 0$

$1 - \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x = 0$.

Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения:

$\frac{1}{4} \sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{4} t^2 - t + 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$t^2 - 4t + 4 = 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(t - 2)^2 = 0$.

Корень этого уравнения: $t = 2$.

Теперь вернемся к замене:

$\sin 2x = 2$.

Область значений функции $y = \sin(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку значение 2 не входит в этот отрезок, уравнение $\sin 2x = 2$ не имеет действительных решений.

Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

31.14. a) $ \cos 4x + 5 \cos^2 x = 0,75 $

б) $ \cos 4x + 3 \sin^2 x = 0,25 $

а) $\cos 4x + 5 \cos^2 x = 0,75$

Для решения этого уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу. Удобнее всего привести все к аргументу $2x$. Для этого воспользуемся формулами двойного угла и понижения степени:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

2. Формула понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

3. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,75 = \frac{3}{4}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2\cos^2(2x) - 1) + 5 \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = \frac{3}{4}$

Введем замену переменной. Пусть $y = \cos 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$2y^2 - 1 + \frac{5(1 + y)}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4(2y^2 - 1) + 4 \cdot \frac{5(1 + y)}{2} = 4 \cdot \frac{3}{4}$

$8y^2 - 4 + 10(1 + y) = 3$

$8y^2 - 4 + 10 + 10y = 3$

$8y^2 + 10y + 6 = 3$

$8y^2 + 10y + 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$y_1 = \frac{-10 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-10 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

Теперь вернемся к замене $y = \cos 2x$ и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = -\frac{3}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 4x + 3 \sin^2 x = 0,25$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, приведя все функции к аргументу $2x$. Используем формулы:

1. $\cos 4x = 2\cos^2(2x) - 1$.

2. Формула понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

3. $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставляем в уравнение:

$(2\cos^2(2x) - 1) + 3 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = \frac{1}{4}$

Сделаем замену $y = \cos 2x$:

$2y^2 - 1 + \frac{3(1 - y)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4(2y^2 - 1) + 4 \cdot \frac{3(1 - y)}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4}$

$8y^2 - 4 + 6(1 - y) = 1$

$8y^2 - 4 + 6 - 6y = 1$

$8y^2 - 6y + 2 = 1$

$8y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 = 2^2$

$y_1 = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{6 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Возвращаемся к замене $y = \cos 2x$:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

31.15. $2\sin^3 x - \cos 2x = \sin x$

Для решения уравнения $2\sin^3x - \cos(2x) = \sin x$ приведем все его члены к одной тригонометрической функции. Наиболее удобно выразить всё через $\sin x$. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$2\sin^3x - (1 - 2\sin^2x) = \sin x$

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2\sin^3x - 1 + 2\sin^2x - \sin x = 0$

$2\sin^3x + 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

Для упрощения введём замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как значения синуса ограничены отрезком $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ должно выполняться условие $t \in [-1, 1]$. Уравнение примет вид кубического уравнения относительно $t$:

$2t^3 + 2t^2 - t - 1 = 0$

Решим это уравнение методом группировки слагаемых:

$(2t^3 + 2t^2) - (t + 1) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2t^2(t + 1) - 1(t + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(t + 1)$:

$(2t^2 - 1)(t + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $t + 1 = 0$, откуда $t = -1$.

2) $2t^2 - 1 = 0$, откуда $2t^2 = 1$, $t^2 = \frac{1}{2}$, и, следовательно, $t = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все найденные значения $t$ ($-1$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$) принадлежат отрезку $[-1, 1]$, следовательно, все они являются решениями уравнения для $t$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.

В первом случае, при $t = -1$, получаем:

$\sin x = -1$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения, корни которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Во втором случае, при $t = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение можно решить, объединив два случая в один: $\sin^2 x = \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для решения уравнения $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим вторую серию корней для $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi j}{2}$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Объединив обе серии корней, получаем полное решение исходного уравнения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi j}{2}, j \in \mathbb{Z}$.

31.16. $ \text{tg} x + \text{ctg} x = 3 + \cos 4x. $

Исходное уравнение: $ \tg x + \ctg x = 3 + \cos 4x $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $ \tg x $ определен, когда $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $. Котангенс $ \ctg x $ определен, когда $ \sin x \ne 0 $, то есть $ x \ne \pi k, k \in Z $. Объединяя эти условия, получаем, что $ \sin x \cos x \ne 0 $, что эквивалентно $ \frac{1}{2}\sin 2x \ne 0 $, или $ \sin 2x \ne 0 $. Это означает, что $ 2x \ne \pi m $, то есть $ x \ne \frac{\pi m}{2} $ для любого целого $ m $.

Преобразуем левую часть уравнения, используя определения тангенса и котангенса:
$ \tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, получаем:
$ \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} $.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2\sin^2 2x $.
Правая часть принимает вид:
$ 3 + \cos 4x = 3 + (1 - 2\sin^2 2x) = 4 - 2\sin^2 2x $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$ \frac{2}{\sin 2x} = 4 - 2\sin^2 2x $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \sin 2x $. Учитывая ОДЗ ($ \sin 2x \ne 0 $) и область значений синуса, имеем $ y \in [-1, 1], y \ne 0 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{2}{y} = 4 - 2y^2 $.
Умножим обе части на $ y $ (так как $ y \ne 0 $):
$ 2 = 4y - 2y^3 $.
Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:
$ 2y^3 - 4y + 2 = 0 $
$ y^3 - 2y + 1 = 0 $.

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Легко заметить, что $ y=1 $ является корнем, так как $ 1^3 - 2(1) + 1 = 0 $. Разделим многочлен $ y^3 - 2y + 1 $ на $ (y-1) $:
$ (y^3 - 2y + 1) : (y - 1) = y^2 + y - 1 $.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$ (y - 1)(y^2 + y - 1) = 0 $.
Отсюда получаем два уравнения:
1) $ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 $.
2) $ y^2 + y - 1 = 0 $. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5 $.
$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Итак, мы получили три корня для $ y $: $ y_1 = 1 $, $ y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $, $ y_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $ y \in [-1, 1], y \ne 0 $:
- $ y_1 = 1 $. Удовлетворяет условию.
- $ y_2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx \frac{2.236-1}{2} \approx 0.618 $. Удовлетворяет условию, так как $ -1 < 0.618 < 1 $.
- $ y_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-2.236}{2} \approx -1.618 $. Не удовлетворяет условию, так как $ -1.618 < -1 $.
Следовательно, у нас есть два возможных значения для $ \sin 2x $.

Вернемся к исходной переменной $ x $.
Рассмотрим первый случай: $ \sin 2x = 1 $.
$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in Z $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ ($ x \ne \frac{\pi m}{2} $).

Рассмотрим второй случай: $ \sin 2x = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Общее решение для уравнения $ \sin \alpha = a $ ($ |a| \le 1 $) имеет вид $ \alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in Z $.
$ 2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi k, \text{ где } k \in Z $.
$ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, поскольку $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} \ne 0 $, значит $ \sin 2x \ne 0 $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $; $ x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in Z $.

31.17. Решите уравнение $2 \sin x - 3 \cos x = 3$ двумя способами:

а) с помощью универсальной подстановки $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$;

б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $\frac{x}{2}$.

а) с помощью универсальной подстановки $u = \tg\frac{x}{2}$

Для решения уравнения $2\sin x - 3\cos x = 3$ воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Выразим $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла $u = \tg\frac{x}{2}$:
$\sin x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1+u^2}$
$\cos x = \frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Данная подстановка определена не для всех $x$. Она не работает, когда $\tg\frac{x}{2}$ не существует, то есть при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что соответствует $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Необходимо отдельно проверить, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Подставим $x = \pi + 2\pi k$ в уравнение:
$2\sin(\pi + 2\pi k) - 3\cos(\pi + 2\pi k) = 2\sin(\pi) - 3\cos(\pi) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$.
$3 = 3$.
Равенство верное, значит, $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ является одной из серий решений.

Теперь найдем остальные решения, подставив выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $u$ в исходное уравнение:
$2\left(\frac{2u}{1+u^2}\right) - 3\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$ (это выражение всегда положительно, так как $u^2 \ge 0$):
$2(2u) - 3(1-u^2) = 3(1+u^2)$
$4u - 3 + 3u^2 = 3 + 3u^2$

Сократим $3u^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:
$4u - 3 = 3$
$4u = 6$
$u = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Выполним обратную замену:
$\tg\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя две найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $\frac{x}{2}$

Для приведения уравнения к однородному виду используем формулы двойного угла для $\sin x$ и $\cos x$, а также представим число $3$ в правой части с помощью основного тригонометрического тождества:
$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$
$3 = 3 \cdot 1 = 3\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение $2\sin x - 3\cos x = 3$:
$2\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right) - 3\left(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}\right) = 3\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)$

Раскроем скобки:
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} = 3\sin^2\frac{x}{2} + 3\cos^2\frac{x}{2}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} = 0$
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 6\cos^2\frac{x}{2} = 0$

Получили однородное уравнение второй степени. Вынесем общий множитель $2\cos\frac{x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2} - 3\cos\frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $2\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin\frac{x}{2} - 3\cos\frac{x}{2} = 0$
Это однородное уравнение первой степени. Заметим, что $\cos\frac{x}{2} \ne 0$ (иначе из уравнения следовало бы, что и $\sin\frac{x}{2}=0$, что невозможно). Поэтому можно разделить обе части на $\cos\frac{x}{2}$:
$2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} - 3\frac{\cos\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = 0$
$2\tg\frac{x}{2} - 3 = 0$
$\tg\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

31.18. a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2;$

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1.$

a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha = c$. Для его решения удобно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. В данном случае $\alpha = 2x$.

Воспользуемся формулами универсальной подстановки через тангенс половинного угла. Пусть $t = \tan(\frac{2x}{2}) = \tan x$.

Эта подстановка требует, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $2x = \pi + 2\pi n$. Тогда $\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi n) = 0$ и $\cos(2x) = \cos(\pi + 2\pi n) = -1$. Подставив в уравнение, получим $3 \cdot 0 + (-1) = 2$, что является неверным равенством ($-1 \neq 2$). Следовательно, мы не теряем корней при использовании этой подстановки.

Выразим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через $t = \tan x$:

$\sin 2x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно):

$6t + 1 - t^2 = 2(1+t^2)$

$6t + 1 - t^2 = 2 + 2t^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Мы получили два значения для $t$: $t_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $t_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = \tan x$ для каждого корня:

1) $\tan x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \implies x = \arctan\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$.

2) $\tan x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \implies x = \arctan\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$.

Ответ: $x = \arctan\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$; $x = \arctan\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$

Перепишем уравнение в виде $2 \sin 4x + \cos 4x = 1$. Это также линейное тригонометрическое уравнение, где аргумент $\alpha = 4x$.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(\frac{4x}{2}) = \tan(2x)$.

Эта подстановка требует, чтобы $\cos(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями. Если $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $4x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\sin(4x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$ и $\cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$. Подставив в уравнение, получим $-1 + 2 \cdot 0 = 1$, что неверно ($-1 \neq 1$). Следовательно, при использовании данной подстановки корни не теряются.

Выразим $\sin 4x$ и $\cos 4x$ через $t = \tan(2x)$:

$\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{1-t^2}{1+t^2} + 2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) = 1$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$1 - t^2 + 4t = 1 + t^2$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:

$2t^2 - 4t = 0$

Вынесем общий множитель $2t$ за скобки:

$2t(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$2t=0 \implies t=0$

$t-2=0 \implies t=2$

Теперь выполним обратную подстановку $t = \tan(2x)$:

1) $\tan(2x) = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan(2x) = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

31.19. $ \sin 2x + \operatorname{tg} x = 2. $

Исходное уравнение: $ \sin 2x + \tg x = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для решения уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами, чтобы выразить все члены через одну функцию. Удобно использовать выражение синуса двойного угла через тангенс: $ \sin 2x = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$ \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} + \tg x = 2 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \tg x $. Уравнение примет вид:$ \frac{2t}{1 + t^2} + t = 2 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ 1 + t^2 $. Так как $ 1 + t^2 > 0 $ для любого действительного значения $ t $, это преобразование является равносильным и не приводит к появлению посторонних корней.

$ 2t + t(1 + t^2) = 2(1 + t^2) $

Раскроем скобки:$ 2t + t + t^3 = 2 + 2t^2 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить кубическое уравнение:$ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. По теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-2). Проверим возможные корни: $ \pm 1, \pm 2 $.Подставим $ t = 1 $:$ (1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 $.Следовательно, $ t = 1 $ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 $ на $ (t - 1) $ (например, используя деление столбиком), чтобы найти остальные корни.$ (t^3 - 2t^2 + 3t - 2) \div (t - 1) = t^2 - t + 2 $.

Таким образом, уравнение можно записать в виде произведения:$ (t - 1)(t^2 - t + 2) = 0 $

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $ t - 1 = 0 \implies t = 1 $.

2) $ t^2 - t + 2 = 0 $.Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $.Поскольку дискриминант $ D < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным решением для $ t $ является $ t = 1 $.

Теперь выполним обратную замену:$ \tg x = 1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:$ x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $), так как $ \frac{\pi}{4} + \pi n $ никогда не равно $ \frac{\pi}{2} + \pi k $ для любых целых $ n $ и $ k $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

31.20. Применив подстановку $y = \cos x - \sin x$, решите уравнение $4 - 4(\cos x - \sin x) = \sin 2x$.

Для решения уравнения $4 - 4(\cos x - \sin x) = \sin 2x$ применим предложенную замену $y = \cos x - \sin x$.

Сначала выразим $\sin 2x$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (\cos x - \sin x)^2$

$y^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$y^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x) - (2\sin x \cos x)$

$y^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда находим выражение для $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - y^2$

Теперь подставим $y$ и $1 - y^2$ в исходное уравнение:

$4 - 4y = 1 - y^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 4 - 1 = 0$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 1$, $y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1. $y = 3$

$\cos x - \sin x = 3$

Чтобы решить это уравнение, преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 3$

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно записать так:

$\sqrt{2}(\cos x \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin x \sin(\frac{\pi}{4})) = 3$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 3$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{3}{\sqrt{2}} > 1$, а область значений функции косинуса $[-1, 1]$, это уравнение не имеет решений.

2. $y = 1$

$\cos x - \sin x = 1$

Преобразуем аналогично предыдущему случаю:

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разобьем на два случая:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $2\pi n, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

31.21. Решите уравнение:

a) $ \sin x \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x $;

б) $ 5 \sin 2x - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $.

а) $ \sin x \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin x \cos x + 6 \cos x - 6 \sin x + 6 = 0 $

Сгруппируем члены уравнения так, чтобы выделить общие множители:

$ \sin x \cos x - 6(\sin x - \cos x) + 6 = 0 $

Данный вид уравнения удобно решать с помощью введения замены. Пусть $ t = \sin x - \cos x $. Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 - 2 \sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = 1 - t^2 \implies \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $

Подставим $ t $ и выражение для $ \sin x \cos x $ в исходное уравнение, преобразованное к виду $ \sin x \cos x - 6(\sin x - \cos x) + 6 = 0 $:

$ \frac{1 - t^2}{2} - 6t + 6 = 0 $

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$ 1 - t^2 - 12t + 12 = 0 $

$ -t^2 - 12t + 13 = 0 $

Умножим на -1 для удобства:

$ t^2 + 12t - 13 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -13 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \sin x - \cos x = 1 $

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) $:

$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Применяем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это дает две серии решений:

• $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
• $ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin x - \cos x = -13 $

Область значений выражения $ a \sin x + b \cos x $ есть отрезок $ [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] $. Для $ \sin x - \cos x $ область значений равна $ [-\sqrt{1^2+(-1)^2}, \sqrt{1^2+(-1)^2}] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Поскольку $ -13 < -\sqrt{2} $, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

б) $ 5 \sin 2x - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 5(2 \sin x \cos x) - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $

$ 10 \sin x \cos x - 11 \cos x - 11 \sin x + 7 = 0 $

Перенесем слагаемые с синусом и косинусом в правую часть:

$ 10 \sin x \cos x + 7 = 11 \sin x + 11 \cos x $

$ 10 \sin x \cos x + 7 = 11(\sin x + \cos x) $

Этот вид уравнения удобно решать с помощью введения замены. Пусть $ t = \sin x + \cos x $. Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 \implies \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $

Подставим $ t $ и выражение для $ \sin x \cos x $ в уравнение:

$ 10\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) + 7 = 11t $

$ 5(t^2 - 1) + 7 = 11t $

$ 5t^2 - 5 + 7 = 11t $

$ 5t^2 - 11t + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $

$ t_2 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Выполним обратную замену:

1) $ \sin x + \cos x = 2 $

Область значений выражения $ \sin x + \cos x $ равна $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Поскольку $ 2 > \sqrt{2} $, это уравнение решений не имеет.

2) $ \sin x + \cos x = \frac{1}{5} $

Используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Применяем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $:

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Решение этого уравнения:

$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $