Страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение функции $y = \arcsin x$.

1.

Функция $y = \arcsin x$ (читается "арксинус икс") является обратной тригонометрической функцией к функции $y = \sin x$.

Поскольку функция $y = \sin x$ периодическая, она принимает одинаковые значения при разных значениях аргумента (например, $\sin 0 = \sin \pi = \sin 2\pi = 0$). Это означает, что функция не является взаимно-однозначной (монотонной) на всей своей области определения. Для того чтобы у функции существовала обратная, необходимо рассмотреть ее на таком промежутке, где она монотонна. По общепринятому соглашению для функции синуса выбирается отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке $y = \sin x$ строго возрастает и принимает все значения от $-1$ до $1$ ровно по одному разу.

Функция, обратная к функции $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и называется арксинусом.

Определение. Арксинусом числа $a$ называется такое число (угол) $y$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Символически это определение можно записать так:$y = \arcsin a$ равносильно выполнению двух условий одновременно:

Из определения следуют основные свойства функции $y = \arcsin x$:

• Область определения (допустимые значения $x$): $D(\arcsin) = [-1, 1]$, так как синус любого угла может принимать значения только в этом диапазоне.
• Область значений (значения, которые принимает сама функция): $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Например, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Другой пример: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Функция $y=\arcsin x$ — это функция, обратная к функции $y=\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Арксинусом числа $x$ (при $|x| \le 1$) называется такое число $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin y = x$.

2. Как связаны между собой числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin (-a) $, где $ |a| \le 1 $?

Для того чтобы определить связь между $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $, воспользуемся определением арксинуса. Условие $ |a| \le 1 $ гарантирует, что арксинус существует как для числа $ a $, так и для $ -a $.

Пусть $ x = \arcsin a $. По определению арксинуса, это эквивалентно двум условиям:

1. $ \sin x = a $

2. $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $

Теперь пусть $ y = \arcsin(-a) $. Аналогично, по определению, это означает:

1. $ \sin y = -a $

2. $ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} $

Подставим $ a = \sin x $ из первого равенства в равенство $ \sin y = -a $:

$ \sin y = -\sin x $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ -\sin x = \sin(-x) $. Тогда наше уравнение принимает вид:

$ \sin y = \sin(-x) $

Теперь рассмотрим, в каком промежутке находится значение $ -x $. Так как $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $, то, умножив все части неравенства на -1, получим $ \frac{\pi}{2} \ge -x \ge -\frac{\pi}{2} $, или, что то же самое, $ -\frac{\pi}{2} \le -x \le \frac{\pi}{2} $.

Таким образом, оба угла, $ y $ и $ -x $, принадлежат отрезку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. На этом отрезке функция синус является строго монотонной (возрастающей). Поэтому из равенства синусов $ \sin y = \sin(-x) $ следует и равенство самих аргументов:

$ y = -x $

Вспоминая наши обозначения $ x = \arcsin a $ и $ y = \arcsin(-a) $, получаем итоговое соотношение:

$ \arcsin(-a) = -\arcsin a $

Это свойство означает, что арксинус является нечетной функцией, а числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $ являются противоположными для любого $ a $ из области определения.

Ответ: Числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $ связаны соотношением $ \arcsin(-a) = -\arcsin a $. Они являются противоположными числами, так как функция арксинус нечетная.

3. Как с помощью графика функции $y = \sin x$ построить график функции $y = \arcsin x$?

Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$. По общему правилу, график обратной функции можно получить, отразив график исходной функции симметрично относительно прямой $y = x$.

Однако функция $y = \sin x$ является периодической и, следовательно, не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Это означает, что для одного значения $y$ существует бесконечно много значений $x$. Чтобы можно было определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения $y = \sin x$ таким интервалом, на котором она будет монотонной (то есть, либо только возрастать, либо только убывать).

По стандартному определению, для функции арксинус выбирается участок монотонного возрастания функции $y = \sin x$. Таким участком является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $y = \sin x$ принимает все свои значения от -1 до 1 ровно по одному разу.

Таким образом, алгоритм построения графика $y = \arcsin x$ с помощью графика $y = \sin x$ следующий:

1. Строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду).
2. На этом графике выделяем (оставляем) только ту часть, которая соответствует отрезку $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Эта часть графика проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(0, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
3. Строим в той же системе координат прямую $y = x$ (биссектрису I и III координатных четвертей).
4. Отражаем выделенный на шаге 2 участок графика $y = \sin x$ симметрично относительно прямой $y = x$.

В результате этого симметричного отражения каждая точка $(a, b)$ на графике синуса переходит в точку $(b, a)$ на графике арксинуса. Например:

• Точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ с графика $y = \sin x$ переходит в точку $(1, \frac{\pi}{2})$ на графике $y = \arcsin x$.
• Точка $(0, 0)$ лежит на прямой $y=x$, поэтому она остается на месте.
• Точка $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ с графика $y = \sin x$ переходит в точку $(-1, -\frac{\pi}{2})$ на графике $y = \arcsin x$.

Полученная кривая, проходящая через точки $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{2})$, и есть искомый график функции $y = \arcsin x$. Область определения этой функции — отрезок $[-1; 1]$, а область значений — отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arcsin x$ необходимо взять график функции $y = \sin x$, ограниченный отрезком $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, и выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y = x$.

4. Сформулируйте определение функции $y = \arccos x$.

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является одной из обратных тригонометрических функций. Она определяется как функция, обратная к функции косинуса ($y = \cos x$).

Поскольку функция $y = \cos x$ является периодической, она не является взаимно однозначной на всей своей области определения. Чтобы определить для нее обратную функцию, необходимо сузить ее область определения до интервала, на котором она монотонна. Стандартно для этого выбирают отрезок $[0, \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ монотонно убывает и принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.

Определение:
Арккосинусом числа $a$ называется такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Косинус этого числа $\alpha$ равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$.
2. Это число $\alpha$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Таким образом, запись $y = \arccos x$ равносильна одновременному выполнению двух условий: $\cos y = x$ и $0 \le y \le \pi$.

Из этого определения следуют основные свойства функции $y = \arccos x$:
Область определения: $D(f) = [-1, 1]$. Арккосинус можно вычислить только для чисел, модуль которых не превышает 1.
Область значений: $E(f) = [0, \pi]$. Результатом вычисления арккосинуса всегда является число (угол в радианах) из отрезка от 0 до $\pi$.

Примеры:
$\arccos(1) = 0$, так как $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0, \pi]$.
$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$.
$\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.

Ответ: Функция $y = \arccos x$ — это функция, обратная к функции $y = \cos x$, рассматриваемой на промежутке $[0, \pi]$. Формальное определение: арккосинусом числа $x$ (где $x \in [-1, 1]$) называется такое число $y$, что одновременно выполняются два условия: 1) $\cos y = x$ и 2) $0 \le y \le \pi$.

5. Как с помощью графика функции $y = \cos x$ построить график функции $y = \arccos x$?

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является обратной к функции $y = \cos x$ (косинус). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. Однако, поскольку функция косинуса периодическая, для нахождения обратной функции необходимо сначала ограничить ее область определения так, чтобы на ней функция была монотонной.

Для определения функции арккосинуса в качестве основной (главного значения) выбирают участок графика $y = \cos x$, на котором она монотонно убывает. Стандартным выбором является отрезок $[0, \pi]$.
На отрезке $x \in [0, \pi]$ функция $y = \cos x$ непрерывна и монотонно убывает, принимая по одному разу все значения из отрезка $[-1, 1]$. Это гарантирует существование однозначной обратной функции.

Построение графика функции $y = \arccos x$ выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. На этом графике выделяем часть, которая соответствует области определения $x \in [0, \pi]$. Этот фрагмент кривой начинается в точке $(0, 1)$, пересекает ось абсцисс в точке $(\pi/2, 0)$ и заканчивается в точке $(\pi, -1)$.
3. Строим в той же системе координат прямую $y = x$, которая является осью симметрии для графиков взаимно обратных функций.
4. Выполняем симметричное отражение выделенного фрагмента графика $y = \cos x$ относительно прямой $y = x$.

Полученная в результате отражения кривая и есть график функции $y = \arccos x$.

Из построения следует, что:

• Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$ (бывшая область значений для $y = \cos x$).
• Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$ (бывшая область определения для $y = \cos x$).
• График $y = \arccos x$ является убывающей функцией и проходит через ключевые точки $(1, 0)$, $(0, \pi/2)$ и $(-1, \pi)$, которые симметричны точкам $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$ и $(\pi, -1)$ на графике косинуса.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arccos x$ с помощью графика $y = \cos x$, необходимо сначала выделить на графике косинуса участок, соответствующий отрезку $x \in [0, \pi]$ (на котором функция монотонна). Затем этот участок графика нужно симметрично отразить относительно прямой $y=x$. Полученная в результате отражения кривая и будет являться искомым графиком функции $y = \arccos x$.

6. Как связаны между собой числа $\arccos a$ и $\arccos (-a)$, где $|a| \le 1$?

Чтобы установить связь между числами $arccos(a)$ и $arccos(-a)$, мы воспользуемся определением арккосинуса и основными тригонометрическими тождествами.

По определению, $y = arccos(x)$ является таким углом $y$, что $cos(y) = x$ и $0 \le y \le \pi$. Условие $|a| \le 1$ обеспечивает, что арккосинусы от $a$ и $-a$ определены.

1. Обозначим $\alpha = arccos(a)$.
Из определения следует, что $cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

2. Обозначим $\beta = arccos(-a)$.
Из определения следует, что $cos(\beta) = -a$ и $0 \le \beta \le \pi$.

3. Теперь свяжем эти два выражения. Подставим $a$ из пункта 1 в равенство из пункта 2:
$cos(\beta) = -(cos(\alpha))$.

4. Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $cos(\pi - x) = -cos(x)$.
Применив эту формулу к нашему равенству, получаем:
$cos(\beta) = cos(\pi - \alpha)$.

5. Мы знаем, что оба угла, $\beta$ и $\alpha$, находятся в диапазоне $[0, \pi]$. Проверим, в каком диапазоне находится угол $\pi - \alpha$:
Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то умножив на -1, получим $0 \ge -\alpha \ge -\pi$, или $-\pi \le -\alpha \le 0$.
Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим $\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$, что дает $0 \le \pi - \alpha \le \pi$.

6. Итак, мы имеем равенство $cos(\beta) = cos(\pi - \alpha)$, причем оба угла, $\beta$ и $\pi - \alpha$, принадлежат отрезку $[0, \pi]$. На этом отрезке функция косинуса является строго убывающей, а значит, инъективной (каждое значение принимается только один раз). Следовательно, из равенства косинусов углов следует равенство самих углов:
$\beta = \pi - \alpha$.

7. Наконец, подставим обратно исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$:
$arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Это соотношение можно также записать в симметричной форме: $arccos(a) + arccos(-a) = \pi$.

Ответ: Числа $arccos(a)$ и $arccos(-a)$ связаны соотношением $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$ или, что эквивалентно, $arccos(a) + arccos(-a) = \pi$.

7. Сформулируйте определение функции $y = \text{arcctg} x$.

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс икс) является одной из обратных тригонометрических функций. Она является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$ (тангенс икс).

Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая, для получения однозначной обратной функции ее рассматривают на интервале монотонности. В качестве такого основного интервала выбирают интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция тангенса является строго возрастающей и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Следовательно, для нее можно определить обратную функцию, которая и называется арктангенсом.

Определение: Арктангенсом числа $x$ (обозначается $\operatorname{arctg} x$) называется такое число (угол в радианах) $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Это определение можно формально записать в виде равносильного утверждения:
$y = \operatorname{arctg} x \iff \begin{cases} \operatorname{tg} y = x \\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Это означает, что запись $y = \operatorname{arctg} x$ эквивалентна системе из двух условий:

1. Тангенс угла $y$ должен быть равен $x$.
2. Угол $y$ должен строго принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Основные свойства функции $y = \operatorname{arctg} x$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (или $R$), то есть арктангенс можно вычислить для любого действительного числа $x$.

Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что результат функции арктангенс всегда лежит в этом интервале, не включая его концы.

Четность: Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Асимптоты: График функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Арктангенсом числа $x$ (пишется $\operatorname{arctg} x$) называется такое число $y$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям: $\operatorname{tg} y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

8. Сформулируйте определение функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

8.

Функция $y = \text{arcctg } x$ (читается как «арккотангенс икс») — это функция, обратная к тригонометрической функции $y = \text{ctg } x$ (котангенс).

Поскольку функция $y = \text{ctg } x$ является периодической, она не является взаимно однозначной (монотонной) на всей своей области определения. Чтобы определить для нее обратную функцию, необходимо ограничить область определения котангенса таким интервалом, на котором он монотонно убывает и принимает все свои возможные значения. Для функции арккотангенса в качестве такого интервала (который называется главной областью значений) стандартно выбирают $(0, \pi)$.

Таким образом, определение функции $y = \text{arcctg } x$ можно сформулировать следующим образом:
Арккотангенсом числа $x$ называется такое число $y$ (угол в радианах) из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Формально это определение записывается в виде равносильной системы условий:
$y = \text{arcctg } x \iff \begin{cases} \text{ctg } y = x \\ 0 < y < \pi \end{cases}$

Из данного определения следуют основные характеристики функции:
Область определения функции $y = \text{arcctg } x$: все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
Область значений функции $y = \text{arcctg } x$: интервал $(0, \pi)$, то есть $y \in (0, \pi)$.

Ответ: Арккотангенсом числа $x$ называется такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg } y = x$.

9. Как связаны между собой числа $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$?

Для того чтобы установить связь между числами $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$, воспользуемся определением арктангенса и свойством нечетности функции тангенс.

По определению, арктангенс числа $x$ ($\operatorname{arctg} x$) — это такое число (угол) $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Формально:

$y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим выражение $y = \operatorname{arctg}(-a)$.

Согласно определению, это равенство эквивалентно двум условиям:

1. $\operatorname{tg} y = -a$
2. $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Преобразуем первое равенство, умножив обе его части на -1:

$-\operatorname{tg} y = a$

Функция тангенс является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ из области ее определения выполняется тождество $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

Применим это свойство к левой части нашего равенства:

$\operatorname{tg}(-y) = a$

Теперь рассмотрим, в каком интервале лежит угол $-y$. Поскольку $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то, умножив все части двойного неравенства на -1, получим:

$-(-\frac{\pi}{2}) > -y > -\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} > -y > -\frac{\pi}{2}$

Или, в более привычной записи: $-y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, мы получили, что тангенс угла $(-y)$ равен $a$, и сам угол $(-y)$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это в точности соответствует определению арктангенса числа $a$:

$-y = \operatorname{arctg} a$

Снова умножим на -1, чтобы выразить $y$:

$y = -\operatorname{arctg} a$

Вспоминая, что в самом начале мы обозначили $y = \operatorname{arctg}(-a)$, получаем итоговое соотношение:

$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$

Это равенство означает, что арктангенс, как и тангенс, является нечетной функцией.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

10. Как связаны между собой числа $ \text{arcctg } a $ и $ \text{arcctg } (-a) $?

Чтобы установить связь между числами $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$, воспользуемся определением функции арккотангенса и свойствами котангенса.

Функция $y = arcctg(x)$ (арккотангенс числа $x$) определяется как число $y$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $ctg(y) = x$.

Обозначим $y = arcctg(-a)$. Согласно определению арккотангенса, это означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $ctg(y) = -a$
2. $0 < y < \pi$

Используем известное тригонометрическое тождество для котангенса, которое связывает значения функции для противоположных углов (смежных с $\pi$): $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Из первого условия $ctg(y) = -a$ мы можем выразить $a$: $a = -ctg(y)$.

Применив указанное выше тождество, получим: $a = ctg(\pi - y)$.

Теперь необходимо убедиться, что угол $\pi - y$ принадлежит области значений арккотангенса, то есть интервалу $(0, \pi)$. Мы знаем, что $0 < y < \pi$. Умножим это двойное неравенство на $-1$, что приведет к изменению знаков неравенства: $ -\pi < -y < 0 $

Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства: $ \pi - \pi < \pi - y < \pi + 0 $

В результате получаем: $0 < \pi - y < \pi$.

Итак, мы имеем угол $z = \pi - y$, для которого $ctg(z) = a$ и $z$ лежит в интервале $(0, \pi)$. Это в точности соответствует определению арккотангенса от числа $a$. Следовательно: $ \pi - y = arcctg(a) $

Вспоминая, что мы изначально обозначили $y = arcctg(-a)$, подставляем это выражение в полученное равенство: $ \pi - arcctg(-a) = arcctg(a) $

Это и есть искомая связь. Её также можно записать в симметричной форме, выразив сумму арккотангенсов: $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.

Ответ: Числа $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$ связаны соотношением $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, или, что эквивалентно, $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.

11. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = \text{arctg} x$.

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции при удалении его ветвей в бесконечность. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Рассмотрим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

1. Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Область определения функции арккотангенс — это все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ непрерывна на всей своей области определения. Следовательно, у графика функции вертикальные асимптоты отсутствуют.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты

Горизонтальные асимптоты — это прямые вида $y = b$, где $b$ является пределом функции при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$.

Найдем предел функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности:

По определению арккотангенса, если $y = \operatorname{arcctg} x$, то $x = \operatorname{ctg} y$, причем область значений арккотангенса $y \in (0; \pi)$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, котангенс $y$ также стремится к $+\infty$. В интервале $(0; \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $0$ (справа). Таким образом:

Это означает, что прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$.

Теперь найдем предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности:

Когда $x$ стремится к $-\infty$, котангенс $y$ также стремится к $-\infty$. В интервале $(0; \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $\pi$ (слева). Таким образом:

Это означает, что прямая $y=\pi$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Поскольку существуют горизонтальные асимптоты при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, наклонные асимптоты (вида $y = kx + b$, где $k \neq 0$) отсутствуют. Проверка это подтверждает, так как коэффициент $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\operatorname{arcctg} x}{x} = 0$.

Итак, график функции $y = \operatorname{arcctg} x$ имеет две горизонтальные асимптоты.

Ответ: $y = 0$ и $y = \pi$.

12. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = \text{arcctg } x.$

Для нахождения асимптот графика функции необходимо исследовать поведение функции на границах её области определения и на бесконечности. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{arcctg} x$.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты могут существовать только в точках разрыва функции. Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Так как функция непрерывна на всей своей области определения, у неё нет вертикальных асимптот.

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты — это прямые вида $y = b$, где $b$ является пределом функции при стремлении $x$ к $+\infty$ или $-\infty$.

Найдем предел функции при $x \to +\infty$:
$ \lim_{x \to +\infty} \operatorname{arcctg} x $

По определению, $y = \operatorname{arcctg} x$ — это такое число $y \in (0, \pi)$, что $\operatorname{ctg} y = x$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, значение $\operatorname{ctg} y$ также стремится к $+\infty$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $0$.
Следовательно, $ \lim_{x \to +\infty} \operatorname{arcctg} x = 0 $.
Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$.

Теперь найдем предел функции при $x \to -\infty$:
$ \lim_{x \to -\infty} \operatorname{arcctg} x $

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение $\operatorname{ctg} y$ также стремится к $-\infty$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $\pi$.
Следовательно, $ \lim_{x \to -\infty} \operatorname{arcctg} x = \pi $.
Прямая $y=\pi$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Наклонные асимптоты

Наклонные асимптоты имеют вид $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Если $k=0$, то наклонная асимптота является горизонтальной, которую мы уже нашли.

$ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\operatorname{arcctg} x}{x} $

Поскольку функция $\operatorname{arcctg} x$ ограничена (ее значения лежат в интервале $(0, \pi)$), а знаменатель $x$ стремится к бесконечности, предел этого отношения равен нулю:
$k = 0$.

Это подтверждает, что у функции существуют только горизонтальные асимптоты и нет других наклонных асимптот.

Итак, у графика функции $y = \operatorname{arcctg} x$ есть две горизонтальные асимптоты.

Ответ: $y=0$ и $y=\pi$.

Решите уравнение:

30.16. а) $ \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2} $;

б) $ \sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2} $;

в) $ \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0 $;

г) $ \sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1 $.

а) $ \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2} $
Данное уравнение имеет вид $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Коэффициенты при синусе и косинусе: $a = \sqrt{3}$, $b = 1$.
Найдем вспомогательный множитель: $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3}) $. Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) \cos 2x + \sin(\frac{\pi}{3}) \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:
$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его:
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
Рассмотрим два случая:
1) $ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n $
2) $ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{24} + \pi n $
Ответ: $ x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2} $
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = 1, b = -1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 5x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 5x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Заметим, что $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $. Подставим:
$ \sin 5x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos 5x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(5x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Решим это уравнение:
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ 5x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{2} + 1 = 0 $
Перенесем 1 в правую часть: $ \cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{2} = -1 $.
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = -\sqrt{3}, b = 1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $
Заменим коэффициенты на значения косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{3} $:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) \cos\frac{x}{2} - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $
Применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $:
$ \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Решим полученное уравнение:
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Рассмотрим два случая:
1) $ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n $
2) $ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = -\pi + 2\pi n \implies x = -2\pi + 4\pi n $
Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = -2\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = 1 $
Это уравнение вида $ a \sin(kx) + b \cos(kx) = c $, где $ a = 1, b = 1 $.
Вспомогательный множитель: $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{x}{3} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заменим коэффициенты: $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $:
$ \sin\frac{x}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решим уравнение:
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $
Рассмотрим случаи для четных и нечетных $ k $:
1) $ k = 2n $ (четное): $ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies \frac{x}{3} = 2\pi n \implies x = 6\pi n $
2) $ k = 2n+1 $ (нечетное): $ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) \implies \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n $
Ответ: $ x = 6\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

30.17. а) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5;$

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0;$

г) $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5.$

а) $4 \sin x - 3 \cos x = 5$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -3$, $c = 5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|5| \le 5$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{4}{5})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \sin x - \sin \phi \cos x = 1$

Применяя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x - \phi) = 1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5$

Это уравнение вида $a \sin(2x) + b \cos(2x) = c$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = 2,5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|2,5| \le 5$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = 0,5$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{4}{5})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\sin \phi \sin 2x + \cos \phi \cos 2x = 0,5$

Применяя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:

$\cos(2x - \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$2x - \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\phi}{2} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{4}{5}\right) \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$12 \sin x + 5 \cos x = -13$

Коэффициенты: $a = 12$, $b = 5$, $c = -13$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|-13| \le 13$), уравнение имеет решения. Разделим обе части уравнения на 13:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{12}{13}$ и $\sin \phi = \frac{5}{13}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{12}{13})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x = -1$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \phi) = -1$

Решением этого уравнения является:

$x + \phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\phi - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = -\arccos\left(\frac{12}{13}\right) - \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $5 \cos\frac{x}{2} - 12 \sin\frac{x}{2} = 6,5$

Это уравнение вида $a \sin(\frac{x}{2}) + b \cos(\frac{x}{2}) = c$. Перепишем его для удобства:

$-12 \sin\frac{x}{2} + 5 \cos\frac{x}{2} = 6,5$

Коэффициенты: $a = -12$, $b = 5$, $c = 6,5$.

Вычислим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Поскольку $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ ($|6,5| \le 13$), уравнение имеет решения. Разделим обе части исходного уравнения на 13:

$\frac{5}{13} \cos\frac{x}{2} - \frac{12}{13} \sin\frac{x}{2} = \frac{6,5}{13}$

$\frac{5}{13} \cos\frac{x}{2} - \frac{12}{13} \sin\frac{x}{2} = 0,5$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Тогда $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Уравнение можно переписать в виде:

$\cos \phi \cos\frac{x}{2} - \sin \phi \sin\frac{x}{2} = 0,5$

Применяя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получаем:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \phi\right) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$\frac{x}{2} + \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -2\phi \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Подставляя значение $\phi$, получаем ответ.

Ответ: $x = -2\arccos\left(\frac{5}{13}\right) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.18. a) $ \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \sin 3x; $

б) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \cos 3x; $

в) $ \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x; $

г) $ \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin 4x. $

а) Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла.
Выражение вида $a \sin \alpha - b \cos \alpha$ можно представить как $R \sin(\alpha - \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Для левой части $\sin 2x - \cos 2x$ имеем $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать в виде:
$\sqrt{2}(\sin 2x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos 2x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4})$.
Исходное уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 3x$
$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin 3x$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) Аргументы синусов равны с точностью до периода $2\pi k$:
$3x = 2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) Сумма аргументов синусов равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi k$:
$3x + (2x - \frac{\pi}{4}) = \pi + 2\pi k$
$5x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) Преобразуем левую часть уравнения $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\cos 3x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=\sqrt{3}, b=1$. $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то:
$2(\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6})) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$.
Уравнение принимает вид:
$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = 2\cos 3x$
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos 3x$
Используя формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, получаем:
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$.
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$
$4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$4x = \frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k$
$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k$
$-2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{3} - \pi k$ или $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) Преобразуем левую часть уравнения $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}\cos x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=1, b=1$. $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x)$.
Представим выражение в виде косинуса разности:
$\sqrt{2}(\cos 5x \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin 5x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\cos(5x - \frac{\pi}{4})$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos x$
$\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = \cos x$
Равенство $\cos \alpha = \cos \beta$ выполняется, когда $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$.
1) $5x - \frac{\pi}{4} = x + 2\pi k$
$4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $5x - \frac{\pi}{4} = -x + 2\pi k$
$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) Преобразуем левую часть уравнения $\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2\sin 4x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=1, b=\sqrt{3}$. $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$2(\sin 2x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{3})) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$.
Уравнение принимает вид:
$2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = 2\sin 4x$
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin 4x$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $4x = 2x + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $4x = \pi - (2x + \frac{\pi}{3}) + 2\pi k$
$4x = \pi - 2x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$6x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

30.19. a) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0;$

б) $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0.$

а)

Дано уравнение: $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$.

Сначала преобразуем выражение $\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$ с помощью метода введения вспомогательного угла.

Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x + \frac{1}{2} \sin 5x)$.

Заметим, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Тогда выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$2(\sin(\frac{\pi}{3}) \cos 5x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin 5x) = 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$2 \sin 17x + 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Разделим обе части на 2:

$\sin 17x + \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Используем формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$:

$2 \sin(\frac{17x + 5x + \frac{\pi}{3}}{2}) \cos(\frac{17x - (5x + \frac{\pi}{3})}{2}) = 0$.

$2 \sin(\frac{22x + \frac{\pi}{3}}{2}) \cos(\frac{12x - \frac{\pi}{3}}{2}) = 0$.

$\sin(11x + \frac{\pi}{6}) \cos(6x - \frac{\pi}{6}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(11x + \frac{\pi}{6}) = 0$

$11x + \frac{\pi}{6} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$11x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = 0$

$6x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$6x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n$

$6x = \frac{3\pi + \pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{2\pi}{18} + \frac{\pi n}{6} = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$.

Перенесем слагаемое $13 \sin 3x$ в правую часть:

$5 \sin x - 12 \cos x = -13 \sin 3x$.

Преобразуем левую часть $5 \sin x - 12 \cos x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$13(\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x) = -13 \sin 3x$.

Разделим обе части на 13:

$\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x = -\sin 3x$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. (Такой угол существует, так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{169}{169} = 1$). Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$.

Тогда левая часть уравнения принимает вид:

$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x$.

По формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ это выражение равно $\sin(x - \alpha)$.

Уравнение становится:

$\sin(x - \alpha) = -\sin 3x$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-A) = -\sin A$, получаем:

$\sin(x - \alpha) = \sin(-3x)$.

Равенство $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $A = x - \alpha$ и $B = -3x$.

1) $x - \alpha = -3x + 2\pi k$

$4x = \alpha + 2\pi k$

$x = \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \alpha = \pi - (-3x) + 2\pi n$

$x - \alpha = \pi + 3x + 2\pi n$

$-2x = \pi + \alpha + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} - \pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то $-n$ тоже любое целое, и эту серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arccos(\frac{5}{13}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(\frac{5}{13}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

30.20. a) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Преобразуем левую и правую части уравнения, приводя их к одному аргументу.

Выражение в скобках в левой части преобразуем по формуле вспомогательного угла: $a \sin x + b \cos x = R \cos(x-\alpha)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\alpha = \frac{b}{R}$, $\sin\alpha = \frac{a}{R}$.

Для $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ имеем $a=1, b=\sqrt{3}$. Тогда $R=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin x + \cos(\frac{\pi}{6})\cos x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Правую часть уравнения преобразуем, используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(-(x - \frac{\pi}{6})) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2\cos(x - \frac{\pi}{6}))^2 - 5 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

$4\cos^2(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x - \frac{\pi}{6}) - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ и $t_2 = \frac{1 - 9}{8} = -1$.

Корень $t_1 = \frac{5}{4} > 1$, он не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, следовательно, является посторонним.

Рассмотрим второй корень $t_2 = -1$.

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = -1$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos(x + \frac{\pi}{3})$

Преобразуем выражение в скобках в левой части с помощью метода вспомогательного угла:

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x) = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Тогда левая часть уравнения примет вид:

$(2\sin(x - \frac{\pi}{6}))^2 + 1 = 4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 1$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$4 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x - \frac{\pi}{3}\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) = 4 \sin(-(x - \frac{\pi}{6})) = -4\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные части в уравнение:

$4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 1 = -4\sin(x - \frac{\pi}{6})$.

Перенесем все члены в левую часть:

$4\sin^2(x - \frac{\pi}{6}) + 4\sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin(x - \frac{\pi}{6})$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 4t + 1 = 0$.

Это формула квадрата суммы: $(2t + 1)^2 = 0$.

Отсюда $2t + 1 = 0$, то есть $t = -\frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Уравнение имеет две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{8\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n; \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

30.21. a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{5\pi} x;$

б) $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}.$

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{5\pi}x$. Это уравнение содержит тригонометрическую и линейную части, поэтому решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла (R-формулу) для выражения $a \sin x + b \cos x$. Для выражения $\sqrt{3} \sin x + 1 \cos x$ имеем $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$. Находим $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Вынесем $2$ за скобки: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$. Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса суммы: $2(\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь исходное уравнение принимает вид: $2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 = \frac{12}{5\pi}x$.

Оценим множество значений левой части уравнения, $y_1(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$. Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то: $2(-1) + 2 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 \le 2(1) + 2$ $0 \le y_1(x) \le 4$. Таким образом, значения левой части уравнения находятся в отрезке $[0, 4]$.

Правая часть уравнения, $y_2(x) = \frac{12}{5\pi}x$, является линейной функцией, график которой — прямая, проходящая через начало координат.

Для существования решения необходимо, чтобы $y_1(x) = y_2(x)$. Если $x < 0$, то $y_2(x) < 0$, в то время как $y_1(x) \ge 0$. Следовательно, при $x < 0$ решений нет. Если $y_2(x) > 4$, то решений также нет. Найдем, при каких $x$ это происходит: $\frac{12}{5\pi}x > 4 \implies x > \frac{20\pi}{12} \implies x > \frac{5\pi}{3}$. Таким образом, возможные решения могут лежать только в отрезке $[0, \frac{5\pi}{3}]$.

Попробуем найти решение методом подбора, проверяя "удобные" значения $x$ из этого отрезка. Проверим $x = \frac{5\pi}{6}$: Левая часть: $2 \sin(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = 2 \sin(\pi) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Правая часть: $\frac{12}{5\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением уравнения.

Докажем, что это решение единственное. Рассмотрим функцию $g(x) = y_1(x) - y_2(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 - \frac{12}{5\pi}x$. При $x = \frac{5\pi}{6}$ имеем $g(\frac{5\pi}{6})=0$. Найдём производную: $g'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{5\pi}$. В точке $x = \frac{5\pi}{6}$ производная равна $g'(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cos(\pi) - \frac{12}{5\pi} = -2 - \frac{12}{5\pi} < 0$. Это значит, что функция $g(x)$ убывает в этой точке. На отрезке $[0, \frac{5\pi}{6}]$ функция $y_1(x)$ сначала возрастает от $y_1(0)=3$ до максимума $4$ (при $x=\pi/3$), а затем убывает до $y_1(\frac{5\pi}{6})=2$. Функция $y_2(x)$ монотонно возрастает от $y_2(0)=0$ до $y_2(\frac{5\pi}{6})=2$. Так как в точке $x=0$ $y_1(0)>y_2(0)$, а в точке $x=5\pi/6$ они равны, и $y_2$ монотонна, они пересекаются ровно один раз. На интервале $(\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{3}]$ функция $y_2(x)$ продолжает монотонно возрастать от $2$ до $4$. Функция $y_1(x)$ убывает от $2$ до $0$ (при $x=4\pi/3$) и затем возрастает до $1$ (при $x=5\pi/3$). Очевидно, что на этом интервале $y_2(x) > y_1(x)$, поэтому других пересечений нет. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6}$

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения, $\sqrt{2} (\cos x - \sin x)$. Используем метод вспомогательного угла. $\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x)$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, применяем формулу косинуса суммы $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$: $2(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x - \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид: $2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Разделим обе части на 2: $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = x - \frac{\pi}{4}$.

Для упрощения введем замену: пусть $u = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда $x = u - \frac{\pi}{4}$. Подставим это в правую часть: $x - \frac{\pi}{4} = (u - \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = u - \frac{\pi}{2}$. Уравнение в новых переменных: $\cos u = u - \frac{\pi}{2}$.

Решим это уравнение. Можно заметить, что $u=\frac{\pi}{2}$ является корнем: Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Правая часть: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Так как $0=0$, $u = \frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

Докажем, что этот корень единственный. Рассмотрим функцию $f(u) = \cos u - u + \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти нули этой функции. Найдем её производную: $f'(u) = -\sin u - 1$. Поскольку $-1 \le \sin u \le 1$, то $-1-1 \le -\sin u - 1 \le 1-1$, то есть $-2 \le f'(u) \le 0$. Производная $f'(u)$ всегда неположительна и равна нулю только в точках, где $\sin u = -1$ (например, $u = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$). Поскольку производная не равна нулю на каком-либо интервале, функция $f(u)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть равняться нулю) не более одного раза. Так как мы нашли один корень $u = \frac{\pi}{2}$, он является единственным.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. $u = x + \frac{\pi}{4} \implies \frac{\pi}{2} = x + \frac{\pi}{4}$. $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$

30.22. Решите неравенство:

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x > 1$;

б) $3 \sin x - 4 \cos x < 2,5$.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x > 1$

Для решения неравенств вида $a \sin x + b \cos x > c$ используем метод введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части исходного неравенства на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x > \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Подставим эти значения в неравенство:

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x > \frac{1}{2}$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$, тогда неравенство примет вид $\sin t > \frac{1}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$ выполняется, когда угол $t$ находится в интервале между этими значениями на единичной окружности:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2\pi n < x < \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$

$2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin x - 4 \cos x < 2,5$

Аналогично предыдущему пункту, используем метод введения вспомогательного угла. Здесь $a = 3$ и $b = -4$.

Найдем множитель $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части неравенства на 5:

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x < \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x < 0,5$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$. Угол $\alpha$ можно выразить через аркфункцию, например, $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ (или $\alpha = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$).

Подставим эти значения в левую часть неравенства:

$\cos\alpha \sin x - \sin\alpha \cos x < 0,5$

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:

$\sin(x - \alpha) < 0,5$ или $\sin(x - \alpha) < \frac{1}{2}$

Пусть $t = x - \alpha$, тогда $\sin t < \frac{1}{2}$.

Неравенство $\sin t < \frac{1}{2}$ выполняется, когда точка на единичной окружности, соответствующая углу $t$, находится ниже прямой $y=1/2$. Это соответствует интервалу, который можно записать так:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выполним обратную замену $t = x - \alpha$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x - \alpha < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Прибавим $\alpha$ ко всем частям двойного неравенства:

$\alpha - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \alpha + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Подставим значение $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$:

$\arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$.

30.23. При каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет решений:

a) $5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a - 1;$

б) $3 \cos \frac{x}{2} - 4 \sin \frac{x}{2} + 1 = a^2?$

а) $5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a - 1$

Левая часть уравнения представляет собой выражение вида $A \sin \alpha + B \cos \alpha$. Для нахождения множества значений этого выражения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{A^2+B^2}$.

В данном случае $A=5$, $B=12$. $R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 13 \left( \frac{5}{13} \sin 2x + \frac{12}{13} \cos 2x \right)$.

Так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Подставив эти значения в выражение, получим: $13(\sin 2x \cos \phi + \cos 2x \sin \phi)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, преобразуем выражение к виду: $13 \sin(2x + \phi)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, множество значений выражения $13 \sin(2x + \phi)$, которое является левой частью уравнения, — это отрезок $[-13, 13]$.

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение его правой части $2a - 1$ принадлежит этому отрезку. Соответственно, уравнение не имеет решений, если значение правой части находится вне этого отрезка.

Это условие можно записать в виде совокупности неравенств: $2a - 1 < -13$ или $2a - 1 > 13$.

Решим каждое неравенство:
1) $2a - 1 < -13 \implies 2a < -12 \implies a < -6$.
2) $2a - 1 > 13 \implies 2a > 14 \implies a > 7$.

Таким образом, уравнение не имеет решений, если $a$ принадлежит объединению полученных интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; -6) \cup (7; +\infty)$.

б) $3 \cos\frac{x}{2} - 4 \sin\frac{x}{2} + 1 = a^2$

Преобразуем уравнение, перенеся 1 в правую часть: $3 \cos\frac{x}{2} - 4 \sin\frac{x}{2} = a^2 - 1$.

Левая часть уравнения, как и в предыдущем пункте, имеет вид $A \cos \alpha + B \sin \alpha$. Применим метод введения вспомогательного угла. Здесь $A=3$, $B=-4$. $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем левую часть: $5 \left( \frac{3}{5} \cos\frac{x}{2} - \frac{4}{5} \sin\frac{x}{2} \right)$.

Так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$. Тогда выражение в скобках можно записать как $\cos\frac{x}{2} \cos \phi - \sin\frac{x}{2} \sin \phi$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получаем: $5 \cos(\frac{x}{2} + \phi)$.

Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[-5, 5]$.

Уравнение не будет иметь решений, если значение его правой части $a^2 - 1$ не принадлежит отрезку $[-5, 5]$.

Запишем соответствующую совокупность неравенств: $a^2 - 1 < -5$ или $a^2 - 1 > 5$.

Решим каждое неравенство:
1) $a^2 - 1 < -5 \implies a^2 < -4$. Данное неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
2) $a^2 - 1 > 5 \implies a^2 > 6$. Решением этого неравенства является $|a| > \sqrt{6}$, что эквивалентно $a < -\sqrt{6}$ или $a > \sqrt{6}$.

Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет решений при указанных значениях $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.