Страница 177, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.24. Докажите:

а) если $2 \operatorname{sin} x = \operatorname{sin} (x + 2y)$, то $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$;

б) если $2 \operatorname{cos} x = \operatorname{cos} (x + 2y)$, то $\operatorname{ctg}(x + y) - 2 \operatorname{tg} x = $
$= \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$.

а)

Дано: $2\sin x = \sin(x + 2y)$. Нужно доказать, что $\tan(x + y) = 3\tan y$.

Для доказательства представим аргументы $x$ и $x+2y$ через вспомогательные углы, используя $x+y$ и $y$:

$x = (x+y) - y$

$x+2y = (x+y) + y$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$2\sin((x+y) - y) = \sin((x+y) + y)$

Теперь применим формулы синуса суммы и разности: $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$.

$2(\sin(x+y)\cos y - \cos(x+y)\sin y) = \sin(x+y)\cos y + \cos(x+y)\sin y$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы собрать члены с $\sin(x+y)$ и $\cos(x+y)$ по разным сторонам равенства:

$2\sin(x+y)\cos y - 2\cos(x+y)\sin y = \sin(x+y)\cos y + \cos(x+y)\sin y$

$2\sin(x+y)\cos y - \sin(x+y)\cos y = \cos(x+y)\sin y + 2\cos(x+y)\sin y$

$\sin(x+y)\cos y = 3\cos(x+y)\sin y$

Для того чтобы получить тангенсы, разделим обе части равенства на $\cos(x+y)\cos y$, предполагая, что $\cos(x+y) \neq 0$ и $\cos y \neq 0$ (т.е. тангенсы $\tan(x+y)$ и $\tan y$ определены):

$\frac{\sin(x+y)\cos y}{\cos(x+y)\cos y} = \frac{3\cos(x+y)\sin y}{\cos(x+y)\cos y}$

После сокращения получаем:

$\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} = 3\frac{\sin y}{\cos y}$

$\tan(x+y) = 3\tan y$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Условие задачи гласит: если $2\cos x = \cos(x + 2y)$, то $\cot(x + y) - 2\tan x = \tan x + \cot y$. Данное равенство эквивалентно $\cot(x+y) = 3\tan x + \cot y$. Однако, как показывает проверка, это утверждение неверно для произвольных $x$ и $y$, удовлетворяющих исходному условию. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Наиболее вероятная правильная форма тождества, которая часто встречается в подобных задачах: $\cot(x + y) - 2\tan x = \cot y$. Докажем это исправленное утверждение.

Итак, докажем, что из $2\cos x = \cos(x + 2y)$ следует $\cot(x + y) - 2\tan x = \cot y$.

Перенесем $\cot y$ в левую часть, чтобы доказать эквивалентное тождество: $\cot(x + y) - \cot y = 2\tan x$.

Преобразуем левую часть, используя определение котангенса:

$\cot(x + y) - \cot y = \frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)} - \frac{\cos y}{\sin y}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos(x+y)\sin y - \sin(x+y)\cos y}{\sin(x+y)\sin y}$

Числитель дроби представляет собой формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=y$ и $B=x+y$:

$\sin y \cos(x+y) - \cos y \sin(x+y) = \sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin x$

Таким образом, левая часть тождества равна:

$\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y}$

Теперь преобразуем исходное условие $2\cos x = \cos(x + 2y)$. Перепишем его как $\cos x + (\cos x - \cos(x+2y)) = 0$.

Используем формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$\cos x - \cos(x+2y) = -2\sin\left(\frac{x+x+2y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-(x+2y)}{2}\right) = -2\sin(x+y)\sin(-y) = 2\sin(x+y)\sin y$

Подставим это в преобразованное условие:

$\cos x + 2\sin(x+y)\sin y = 0$

Отсюда получаем: $\cos x = -2\sin(x+y)\sin y$.

Выразим знаменатель из нашей левой части: $\sin(x+y)\sin y = -\frac{\cos x}{2}$.

Подставим это выражение в преобразованную левую часть доказываемого тождества:

$\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y} = \frac{-\sin x}{-\frac{\cos x}{2}} = \frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$

Мы получили, что левая часть $\cot(x+y) - \cot y$ равна $2\tan x$, что является правой частью доказываемого тождества. Таким образом, исправленное утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано с исправлением опечатки в условии.

28.25. Докажите:

а) если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$;

б) если $\cos^2 (x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$.

а) Требуется доказать, что если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства $\cos(x + y) \cos(x - y)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности аргументов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

Перемножим эти два выражения:

$\cos(x + y) \cos(x - y) = (\cos x \cos y - \sin x \sin y)(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$

Это выражение является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos x \cos y$ и $b = \sin x \sin y$.

$\cos(x + y) \cos(x - y) = (\cos x \cos y)^2 - (\sin x \sin y)^2 = \cos^2 x \cos^2 y - \sin^2 x \sin^2 y$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, чтобы выразить $\sin^2 x$ и $\sin^2 y$ через косинусы:

$\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 x)(1 - \cos^2 y)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 y - \cos^2 x + \cos^2 x \cos^2 y)$

Теперь раскроем скобки полностью и приведем подобные члены:

$\cos^2 x \cos^2 y - 1 + \cos^2 y + \cos^2 x - \cos^2 x \cos^2 y = \cos^2 x + \cos^2 y - 1$

По условию задачи, $\cos^2 x + \cos^2 y = m$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\cos^2 x + \cos^2 y - 1 = m - 1$

Таким образом, мы показали, что $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать, что если $\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$.

Начнем с преобразования исходного равенства. Преобразуем сумму $\sin^2 x + \sin^2 y$, используя формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{1 - \cos(2x) + 1 - \cos(2y)}{2} = \frac{2 - (\cos(2x) + \cos(2y))}{2} = 1 - \frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2}$

Далее, применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(2x) + \cos(2y) = 2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2} = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$

Подставим это в выражение для суммы квадратов синусов:

$\sin^2 x + \sin^2 y = 1 - \frac{2\cos(x+y)\cos(x-y)}{2} = 1 - \cos(x+y)\cos(x-y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство из условия задачи:

$\cos^2(x + y) + (1 - \cos(x+y)\cos(x-y)) = m$

Из этого равенства можно выразить произведение $\cos(x+y)\cos(x-y)$:

$\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2(x+y) + 1 - m$

Теперь рассмотрим левую часть равенства, которое нам нужно доказать: $\sin x \sin y \cos(x + y)$.

Используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:

$\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$

Тогда выражение, которое мы доказываем, можно записать так:

$\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))\cos(x+y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y)\cos(x+y) - \cos^2(x+y))$

В это выражение подставим найденное ранее соотношение для $\cos(x+y)\cos(x-y)$:

$\frac{1}{2}((\cos^2(x+y) + 1 - m) - \cos^2(x+y))$

Упрощая выражение в скобках, получаем:

$\frac{1}{2}(1 - m) = \frac{1-m}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

Решите уравнение:

28.26. а) $\cos x + \cos 3x = 0$;

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$;

в) $\cos x = \cos 5x$;

г) $\sin 3x = \sin 17x$.

а) $\cos x + \cos 3x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2 \cos\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 0$

$2 \cos(2x) \cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя эти две серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = 12x$ и $\beta = 4x$:

$2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0$

$2 \sin(8x) \cos(4x) = 0$

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\sin(8x) = 0$

$8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проанализируем полученные серии решений. Вторую серию можно представить в виде $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{8} = \frac{\pi(1+2n)}{8}$. Здесь $1+2n$ представляет собой любое нечетное целое число. Таким образом, вторая серия решений соответствует случаю, когда в первой серии $k$ является нечетным числом ($k = 1+2n$).

Первая серия решений $x = \frac{\pi k}{8}$ включает в себя все целые $k$ (и четные, и нечетные). Следовательно, вторая серия решений является подмножеством первой.

Поэтому общим решением является только первая, более общая, серия.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos x = \cos 5x$

Данное уравнение имеет вид $\cos \alpha = \cos \beta$. Общее решение таких уравнений записывается в виде $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $\alpha=5x$ и $\beta=x$:

$5x = \pm x + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $5x = x + 2\pi k$

$4x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $5x = -x + 2\pi n$

$6x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем эти две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 3x = \sin 17x$

Данное уравнение имеет вид $\sin \alpha = \sin \beta$. Общее решение таких уравнений записывается в виде совокупности двух серий:

$\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $\alpha=17x$ и $\beta=3x$.

Рассмотрим два случая:

1) $17x = 3x + 2\pi k$

$14x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $17x = \pi - 3x + 2\pi n$

$20x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi + 2\pi n}{20} = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений различны, и их объединение является ответом.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{7}$, $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

28.27. a) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x.$

а) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0$

$2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0$

$2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 2x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$

Для решения преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2} = \sin 4x$

$-2\sin 4x \sin(-x) = \sin 4x$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), уравнение принимает вид:

$2\sin 4x \sin x = \sin 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin 4x \sin x - \sin 4x = 0$

$\sin 4x (2\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 4x = 0$

Решение этого уравнения:

$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения дается общей формулой:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

28.28. а) $sin 3x = cos 2x$;

б) $sin (5\pi - x) = cos (2x + 7\pi)$;

в) $cos 5x = sin 15x$;

г) $sin (7\pi + x) = cos (9\pi + 2x)$.

а) sin 3x = cos 2x

Для решения уравнения приведем обе функции к одной, например, к синусу. Воспользуемся формулой приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Заменим $cos(2x)$ на $sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$. Уравнение примет вид:

$sin(3x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Равенство синусов $sin(A) = sin(B)$ справедливо в двух случаях, которые можно объединить одной формулой: $A = (-1)^k B + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$3x = (-1)^k (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

1. Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$:
$3x = (-1)^{2n} (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n)$
$3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi n$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$

2. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$:
$3x = (-1)^{2n+1} (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n+1)$
$3x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n + \pi$
$3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n + \pi$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) sin(5? ? x) = cos(2x + 7?)

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя формулы приведения.

Для левой части: $sin(5\pi - x) = sin(4\pi + \pi - x) = sin(\pi - x) = sin(x)$.

Для правой части: $cos(2x + 7\pi) = cos(2x + 6\pi + \pi) = cos(2x + \pi) = -cos(2x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(x) = -cos(2x)$.

Используем формулу $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и свойство нечетности синуса $-sin(\beta) = sin(-\beta)$.

$sin(x) = -sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = sin(-(\frac{\pi}{2} - 2x)) = sin(2x - \frac{\pi}{2})$.

Получили уравнение $sin(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2})$.

Решаем его по общей формуле $A = (-1)^k B + \pi k$:

$x = (-1)^k (2x - \frac{\pi}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (2x - \frac{\pi}{2}) + 2\pi n$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = -(2x - \frac{\pi}{2}) + \pi(2n + 1)$
$x = -2x + \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi$
$3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$

Заметим, что первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$) является частным случаем второй серии при $n=3m$. Поэтому все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) cos 5x = sin 15x

Приведем уравнение к одной функции, используя $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$sin(\frac{\pi}{2} - 5x) = sin(15x)$

Применяем общую формулу для равенства синусов: $\frac{\pi}{2} - 5x = (-1)^k (15x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{\pi}{2} - 5x = 15x + 2\pi n$
$20x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{40} - \frac{\pi n}{10}$ (или $x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi m}{10}$, $m \in \mathbb{Z}$)

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{\pi}{2} - 5x = -15x + \pi(2n + 1)$
$10x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}$; $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) sin(7? + x) = cos(9? + 2x)

Упростим обе части уравнения с помощью формул приведения.

Левая часть: $sin(7\pi + x) = sin(\pi + x) = -sin(x)$.

Правая часть: $cos(9\pi + 2x) = cos(\pi + 2x) = -cos(2x)$.

Уравнение превращается в $-sin(x) = -cos(2x)$, что равносильно $sin(x) = cos(2x)$.

Это уравнение решается аналогично пункту а), только вместо $3x$ стоит $x$.

$sin(x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Применяем общую формулу: $x = (-1)^k (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n+1)$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n + \pi$
$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

28.29. а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$;

Б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$;

В) $\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2}$;

Г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$.

а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$. При $2\alpha = 6x$, получаем $\alpha = 3x$.

Таким образом, $1 + \cos 6x = 2\cos^2 3x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2\cos^2 3x = 2\sin^2 5x$

$\cos^2 3x = \sin^2 5x$

Применим формулы понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{1 - \cos(10x)}{2}$

$1 + \cos(6x) = 1 - \cos(10x)$

$\cos(10x) + \cos(6x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+6x}{2}\cos\frac{10x-6x}{2} = 0$

$2\cos(8x)\cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(8x) = 0 \implies 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений различны. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, \; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$

Применим формулы понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(8x)}{2}$

$1 + \cos(4x) = 1 + \cos(8x)$

$\cos(8x) - \cos(4x) = 0$

Используем формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin\frac{8x+4x}{2}\sin\frac{8x-4x}{2} = 0$

$-2\sin(6x)\sin(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(6x) = 0 \implies 6x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если $x = \frac{\pi n}{2}$, то это можно представить как $x = \frac{3\pi n}{6}$. Это соответствует значениям $k$ из первой серии, кратным 3. Следовательно, достаточно указать только первую, более общую серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2}$

Применим формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 + \cos(7x)}{2}$

$1 - \cos x = 1 + \cos(7x)$

$\cos(7x) + \cos x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений не пересекаются. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$(1 - \cos^2 x) + \sin^2 3x = 1$

$\sin^2 3x = \cos^2 x$

Применим формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(6x)}{2} = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$1 - \cos(6x) = 1 + \cos(2x)$

$\cos(6x) + \cos(2x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данные серии решений являются различными. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

28.30. a) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

б) $2 \sin^2 3x - 1 = \cos^2 4x - \sin^2 4x$.

a) $2\sin^2 x + \cos 5x = 1$

Используем формулу понижения степени, которая является следствием из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \cos 2x) + \cos 5x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\cos 5x - \cos 2x = 0$

Перенесем $\cos 2x$ в правую часть:

$\cos 5x = \cos 2x$

Общее решение уравнения вида $\cos \alpha = \cos \beta$ задается совокупностью формул $\alpha = \beta + 2\pi n$ и $\alpha = -\beta + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $5x = 2x + 2\pi n$

$3x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $5x = -2x + 2\pi k$

$7x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора корней являются решением исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, x = \frac{2\pi k}{7}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 3x - 1 = \cos^2 4x - \sin^2 4x$

Преобразуем обе части уравнения с помощью формул двойного угла для косинуса.

В левой части используем формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$, из которой следует, что $2\sin^2 \alpha - 1 = -\cos(2\alpha)$. Для $\alpha = 3x$ получаем:

$2\sin^2 3x - 1 = -\cos(2 \cdot 3x) = -\cos 6x$.

В правой части используем формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Для $\alpha = 4x$ получаем:

$\cos^2 4x - \sin^2 4x = \cos(2 \cdot 4x) = \cos 8x$.

После преобразования уравнение принимает вид:

$-\cos 6x = \cos 8x$

$\cos 8x + \cos 6x = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{8x+6x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 0$

$2\cos(7x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность уравнений:

1. $\cos(7x) = 0$

$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не является ли вторая серия решений частью первой. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $7x = 7(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{7\pi}{2} + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + 3\pi + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + \pi(3+7k)$. Так как для любого целого $k$ число $(3+7k)$ является целым, то $\cos(7x) = \cos(\frac{\pi}{2} + \text{целое} \cdot \pi) = 0$. Это означает, что все корни вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ удовлетворяют уравнению $\cos(7x) = 0$ и, следовательно, вторая серия решений является подмножеством первой.

Таким образом, достаточно записать в ответ только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

28.31. a) $ \text{tg } x + \text{tg } 5x = 0; $

б) $ \text{tg } 3x = \text{ctg } x; $

В) $ \text{tg } 2x = \text{tg } 4x; $

Г) $ \text{ctg } \frac{x}{2} + \text{ctg } \frac{3x}{2} = 0. $

а) $\tg x + \tg 5x = 0$

Данное уравнение определено, когда существуют оба тангенса, то есть когда их знаменатели (косинусы) не равны нулю. Область допустимых значений (ОДЗ):
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\cos 5x \neq 0 \implies 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$

Преобразуем уравнение, представив тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{\sin x \cos 5x + \cos x \sin 5x}{\cos x \cos 5x} = 0$
В числителе мы видим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:
$\frac{\sin(x + 5x)}{\cos x \cos 5x} = 0 \implies \frac{\sin(6x)}{\cos x \cos 5x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. $\sin(6x) = 0$
$6x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$
2. Знаменатель не равен нулю: $\cos x \neq 0$ и $\cos 5x \neq 0$.

Проверим, какие из найденных решений $x = \frac{\pi n}{6}$ не входят в ОДЗ.
$\cos x = 0 \implies \cos(\frac{\pi n}{6}) = 0 \implies \frac{\pi n}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies n = 3 + 6k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения $n$ (например, $n = \dots, -3, 3, 9, \dots$) необходимо исключить. Если $\cos x = 0$, то и $\cos 5x = \cos(5(\frac{\pi}{2}+\pi k)) = \cos(\frac{5\pi}{2}+5\pi k)=0$, так что вторая проверка ОДЗ дает те же исключения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 3 + 6k$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg 3x = \ctg x$

ОДЗ:
$\cos 3x \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Используем формулу приведения $\ctg x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$. Уравнение принимает вид:
$\tg 3x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$
Равенство тангенсов $\tg \alpha = \tg \beta$ выполняется, когда $\alpha = \beta + \pi n$:
$3x = \frac{\pi}{2} - x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли решения ОДЗ.
$\sin(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4})$ никогда не равен нулю, так как $1+2n=8m$ не имеет решений в целых числах.
$\cos(3(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4})) = \cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{4})$ никогда не равен нулю, так как $\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ приводит к уравнению $3+6n=4+8k$ или $2(4k-3n)=-1$, которое не имеет целочисленных решений.
Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg 2x = \tg 4x$

ОДЗ:
$\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
$\cos 4x \neq 0 \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$

Из равенства $\tg \alpha = \tg \beta$ следует $\alpha = \beta + \pi n$:
$4x = 2x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$

Проверим ОДЗ.
Подставим решение в условия:
$\cos(2x) = \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = (-1)^n$. Так как $(-1)^n \neq 0$, первое условие ОДЗ выполняется.
$\cos(4x) = \cos(4 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, второе условие ОДЗ также выполняется.
Все решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\ctg \frac{x}{2} + \ctg \frac{3x}{2} = 0$

ОДЗ:
$\sin \frac{x}{2} \neq 0 \implies \frac{x}{2} \neq \pi k \implies x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin \frac{3x}{2} \neq 0 \implies \frac{3x}{2} \neq \pi m \implies x \neq \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Преобразуем уравнение:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} + \frac{\cos(3x/2)}{\sin(3x/2)} = 0$
$\frac{\sin(3x/2)\cos(x/2) + \cos(3x/2)\sin(x/2)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0$
$\frac{\sin(3x/2 + x/2)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0 \implies \frac{\sin(2x)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0$

Числитель равен нулю:
$\sin(2x) = 0$
$2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{2}$

Проверим ОДЗ. Исключим значения $n$, для которых знаменатель равен нулю.
1. $\sin(x/2) = 0 \implies \sin(\frac{\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{\pi n}{4} = \pi k \implies n = 4k$.
Значит, $n$ не должно быть кратно 4.
2. $\sin(3x/2) = 0 \implies \sin(\frac{3\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{3\pi n}{4} = \pi m \implies 3n = 4m$.
Это также означает, что $n$ должно быть кратно 4.
Таким образом, из серии решений $x = \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить те, где $n$ делится на 4.

Оставшиеся решения можно записать в виде двух серий:
1. Для нечетных $n=2k+1$: $x = \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2. Для четных $n$, не кратных 4 ($n=4m+2$): $x = \frac{\pi(4m+2)}{2} = \pi(2m+1) = \pi + 2\pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

28.32. a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0;$

б) $\sin 5x + \sin x + 2\sin^2 x = 1.$

a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Получаем:

$(\sin 3x + \sin x) + (\cos 3x + \cos x) = 0$

$2 \sin\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} + 2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 0$

$2 \sin(2x) \cos(x) + 2 \cos(2x) \cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos(x)$ за скобки:

$2 \cos(x) (\sin(2x) + \cos(2x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos(x) = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(2x) + \cos(2x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos(2x)$, предполагая, что $\cos(2x) \neq 0$. Если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(2x)=0$, что невозможно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} = 0$

$\tan(2x) + 1 = 0$

$\tan(2x) = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$

Перенесем слагаемое $2 \sin^2 x$ в правую часть уравнения:

$\sin 5x + \sin x = 1 - 2 \sin^2 x$

В левой части применим формулу суммы синусов, а в правой части — формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$2 \sin\frac{5x+x}{2} \cos\frac{5x-x}{2} = \cos(2x)$

$2 \sin(3x) \cos(2x) = \cos(2x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:

$2 \sin(3x) \cos(2x) - \cos(2x) = 0$

$\cos(2x) (2 \sin(3x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin(3x) - 1 = 0$

$\sin(3x) = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$3x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

28.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $:

a) $ \sin 2x + \sin 6x = \cos 2x $;

б) $ 2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x $?

a) Решим уравнение $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Преобразуем сумму синусов в левой части по формуле $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2 \sin 4x \cos 2x$.
Уравнение принимает вид:
$2 \sin 4x \cos 2x = \cos 2x$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2 \sin 4x \cos 2x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x (2 \sin 4x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$, что меньше 0.
Следовательно, из этого случая подходит только один корень $x = \frac{\pi}{4}$.
2) $2 \sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии решений:
$4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Для первой серии: при $n=0$, $x = \frac{\pi}{24}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}] = [0; \frac{12\pi}{24}]$.
Для второй серии: при $n=0$, $x = \frac{5\pi}{24}$. Этот корень также принадлежит отрезку.
При других целых значениях $n$ корни выходят за пределы заданного отрезка.
Итого, мы получили три различных корня на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$: $\frac{\pi}{24}$, $\frac{5\pi}{24}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: 3

б) Решим уравнение $2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Используем формулу косинуса двойного угла $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$.
Левая часть уравнения преобразуется в $\cos 2x$. Уравнение принимает вид:
$\cos 2x = \sin 3x$
Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$
Равенство косинусов возможно в двух случаях:
1) $2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{10}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{5\pi}{10}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi + 4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит отрезку.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.
2) $2x = -(\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = 3x - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень уже найден в первом случае.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что меньше 0.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два различных корня: $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: 2

28.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2,5):

a) $ \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x; $

б) $ \sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0. $

a) $cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x$

Перенесем члены уравнения из одной части в другую, чтобы сгруппировать их для применения формул:

$cos 6x - cos 12x = cos 10x - cos 8x$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 sin((\alpha+\beta)/2) sin((\alpha-\beta)/2)$.

Для левой части уравнения:

$cos 6x - cos 12x = -2 sin((6x+12x)/2) sin((6x-12x)/2) = -2 sin(9x) sin(-3x) = 2 sin(9x) sin(3x)$.

Для правой части уравнения:

$cos 10x - cos 8x = -2 sin((10x+8x)/2) sin((10x-8x)/2) = -2 sin(9x) sin(x)$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$2 sin(9x) sin(3x) = -2 sin(9x) sin(x)$

$2 sin(9x) sin(3x) + 2 sin(9x) sin(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2 sin(9x)$ за скобки:

$2 sin(9x) (sin(3x) + sin(x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $sin(9x) = 0$

2) $sin(3x) + sin(x) = 0$

Решим первое уравнение:

$sin(9x) = 0 \Rightarrow 9x = \pi n, n \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi n}{9}$.

Решим второе уравнение, используя формулу суммы синусов $sin \alpha + sin \beta = 2 sin((\alpha+\beta)/2) cos((\alpha-\beta)/2)$:

$2 sin((3x+x)/2) cos((3x-x)/2) = 0$

$2 sin(2x) cos(x) = 0$

Это уравнение распадается еще на два:

2a) $sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \pi k, k \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}$.

2b) $cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z$. Заметим, что эта серия корней является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Итак, все решения исходного уравнения задаются двумя сериями: $x = \frac{\pi n}{9}$ и $x = \frac{\pi k}{2}$, где $n, k$ — целые числа.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $(0; 2,5)$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{2}$:

$0 < \frac{\pi k}{2} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi k < 5 \Rightarrow 0 < k < \frac{5}{\pi}$.

Так как $5/\pi \approx 5/3,14 \approx 1,59$, единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k=1$.

При $k=1$ получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \frac{\pi n}{9}$:

$0 < \frac{\pi n}{9} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi n < 22,5 \Rightarrow 0 < n < \frac{22,5}{\pi}$.

Так как $22,5/\pi \approx 22,5/3,14 \approx 7,16$, подходящие целые значения $n$ — это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Получаем следующие корни:

$x_2 = \frac{\pi}{9}$

$x_3 = \frac{2\pi}{9}$

$x_4 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$

$x_5 = \frac{4\pi}{9}$

$x_6 = \frac{5\pi}{9}$

$x_7 = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}$

$x_8 = \frac{7\pi}{9}$

Все найденные значения находятся в интервале $(0; 2,5)$.

Ответ: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

б) $sin 2x + 5 sin 4x + sin 6x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(sin 6x + sin 2x) + 5 sin 4x = 0$

Применим формулу суммы синусов $sin \alpha + sin \beta = 2 sin((\alpha+\beta)/2) cos((\alpha-\beta)/2)$ к выражению в скобках:

$sin 6x + sin 2x = 2 sin((6x+2x)/2) cos((6x-2x)/2) = 2 sin(4x) cos(2x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 sin(4x) cos(2x) + 5 sin(4x) = 0$

Вынесем общий множитель $sin(4x)$ за скобки:

$sin(4x) (2 cos(2x) + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $sin(4x) = 0$

2) $2 cos(2x) + 5 = 0$

Решим первое уравнение:

$sin(4x) = 0 \Rightarrow 4x = \pi k, k \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi k}{4}$.

Решим второе уравнение:

$2 cos(2x) = -5 \Rightarrow cos(2x) = -2,5$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$, а $-2,5$ не входит в этот промежуток.

Следовательно, решения исходного уравнения задаются только серией $x = \frac{\pi k}{4}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $(0; 2,5)$.

$0 < \frac{\pi k}{4} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi k < 10 \Rightarrow 0 < k < \frac{10}{\pi}$.

Так как $10/\pi \approx 10/3,14 \approx 3,18$, подходящие целые значения $k$ — это $1, 2, 3$.

При $k=1$ получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$ получаем корень $x_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

При $k=3$ получаем корень $x_3 = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=4$ корень $x = \pi \approx 3,14$ уже не входит в заданный промежуток.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}$.