Страница 173, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.56. a) $\sin^2 2x = 1;$

б) $\cos^2 \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4};$

в) $\sin^2 \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4};$

г) $\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1.$

а)

Дано уравнение $\sin^2 2x = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sin 2x = \pm 1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
$\frac{1 + \cos(2(3x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{3}{4}$.
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}$.
Выразим косинус:
$\cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Применим формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$:
$\sin(6x) = \frac{1}{2}$.
Это стандартное тригонометрическое уравнение, которое имеет две серии решений:
1) $6x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$.
2) $6x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2\pi k}{6} = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\sin^2(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2(2x - \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{3}{4}$.
$1 - \cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$.
$-\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение для $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$4x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разобьем на два случая:
1) $4x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
$4x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
2) $4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
$4x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\cos^2(x + \frac{\pi}{3}) = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \pm 1$.
Это частный случай, который означает, что аргумент косинуса должен быть кратен $\pi$.
$x + \frac{\pi}{3} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

27.57. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x|<4$:

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3$;

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7$.

а)

Решим уравнение $4\sin^2 x + \sin^2 2x = 3$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тогда $\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 3$

$4\sin^2 x + 4\sin^2 x - 4\sin^4 x = 3$

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим:

$4\sin^4 x - 8\sin^2 x + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $y = \sin^2 x$. Учитывая, что $0 \le \sin^2 x \le 1$, получаем $0 \le y \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Корень $y_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $y \le 1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к переменной $x$ с единственным решением $y_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

Это уравнение можно решить с помощью формулы понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

$\frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \implies 1 - \cos 2x = 1 \implies \cos 2x = 0$

Общее решение этого уравнения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

$-4 < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 4$

Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < \frac{4}{\pi}$.

Умножим на 4: $-\frac{16}{\pi} < 1 + 2n < \frac{16}{\pi}$.

Используем приближение $\pi \approx 3.14159$, тогда $\frac{16}{\pi} \approx 5.09$.

$-5.09 < 1 + 2n < 5.09$

$-6.09 < 2n < 4.09$

$-3.045 < n < 2.045$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=-3$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 6\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$
• При $n=-2$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
• При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

б)

Решим уравнение $4\cos^2 2x + 8\cos^2 x = 7$.

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение, чтобы все выразить через $\cos 2x$:

$4\cos^2 2x + 8 \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 7$

$4\cos^2 2x + 4(1 + \cos 2x) = 7$

$4\cos^2 2x + 4 + 4\cos 2x = 7$

$4\cos^2 2x + 4\cos 2x - 3 = 0$

Сделаем замену $z = \cos 2x$. Учитывая, что $-1 \le \cos 2x \le 1$, получаем $-1 \le z \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4z^2 + 4z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Корень $z_1 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $|z| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к переменной $x$ с решением $z_2 = \frac{1}{2}$:

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это дает две серии корней:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$
2. $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$:

$-4 < \frac{\pi}{6} + \pi k < 4 \implies -\frac{4}{\pi} < \frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$.

Используя $\pi \approx 3.14159$, имеем $-1.27 < \frac{1}{6} + k < 1.27$, что после вычитания $\frac{1}{6} \approx 0.167$ дает $-1.44 < k < 1.1$.

Целочисленные значения $k$: $-1, 0, 1$.

• При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$
• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$:

$-4 < -\frac{\pi}{6} + \pi k < 4 \implies -\frac{4}{\pi} < -\frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$.

$-1.27 < -\frac{1}{6} + k < 1.27$, что после прибавления $\frac{1}{6} \approx 0.167$ дает $-1.1 < k < 1.44$.

Целочисленные значения $k$: $-1, 0, 1$.

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$

Объединяя все найденные корни и упорядочивая их, получаем шесть решений.

Ответ: $-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

27.58. Решите уравнение:

a) $ \sin 2x + 2 \sin x = 2 - 2 \cos x; $

б) $ 4 \sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7. $

а) $\sin 2x + 2\sin x = 2 - 2\cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sin 2x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x \cos x + \sin x + \cos x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения можно сгруппировать слагаемые и разложить левую часть на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$\sin x \cos x + \sin x + \cos x + 1 = 2$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части:

$(\sin x \cos x + \sin x) + (\cos x + 1) = 2$

$\sin x (\cos x + 1) + 1(\cos x + 1) = 2$

$(\sin x + 1)(\cos x + 1) = 2$

Проанализируем полученное равенство. Поскольку область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то для выражений в скобках справедливы следующие неравенства:

$0 \le \sin x + 1 \le 2$

$0 \le \cos x + 1 \le 2$

Произведение двух сомножителей, каждый из которых не больше 2, равно 2. Это возможно только в двух случаях:

1. Первый сомножитель равен 2, а второй — 1.

$\begin{cases} \sin x + 1 = 2 \\ \cos x + 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos x = 0 \end{cases}$

Эта система имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Первый сомножитель равен 1, а второй — 2.

$\begin{cases} \sin x + 1 = 1 \\ \cos x + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

Эта система имеет решения $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7$

Данное уравнение удобно решать методом введения новой переменной. Пусть $t = \sin x - \cos x$.

Возведем это равенство в квадрат, чтобы выразить $\sin 2x$ через $t$:

$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим:

$t^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда выражаем $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - t^2$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4(1 - t^2) + 8t = 7$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$4 - 4t^2 + 8t = 7$

$-4t^2 + 8t - 3 = 0$

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Вспомним, что $t = \sin x - \cos x$. Найдем область значений этого выражения с помощью метода вспомогательного угла:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Сравним найденные значения $t$ с этой областью. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Корень $t_1 = 0.5$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, следовательно, он является решением.

Корень $t_2 = 1.5$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $1.5 > \sqrt{2}$. Следовательно, это посторонний корень.

Остается решить уравнение для $t_1$:

$\sin x - \cos x = \frac{1}{2}$

Используя преобразование, получаем:

$\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение для этого уравнения:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

27.59. Докажите тождество:

а) $sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

б) $cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

а) Для доказательства тождества $ \sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся определением тангенса $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Правая часть примет вид:

$ \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Упростим полученное выражение. Сначала преобразуем знаменатель, используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $:

$ 1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ для $ \alpha = \frac{x}{2} $, получаем:

$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x $

Мы получили левую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos x = \frac{1 - \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу $ \tg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} $:

$ \frac{1 - \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{x}{2} $:

$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Знаменатель внутренней дроби $ \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 $. Упростим выражение:

$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} $

Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ для $ \alpha = \frac{x}{2} $, получаем:

$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x $

Мы получили левую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

27.60. Используя замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ и тождества из упражнения 27.59, решите уравнение:

a) $\sin x + 7 \cos x = 5;$

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0.$

а) $\sin x + 7 \cos x = 5$

Для решения данного уравнения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x$ и $\cos x$ можно выразить через $u$ с помощью следующих тождеств:

$\sin x = \frac{2u}{1+u^2}$

$\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Эта замена имеет смысл, если $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, то есть $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, что равносильно $x \neq \pi + 2\pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, являются ли числа вида $x = \pi + 2\pi n$ решениями исходного уравнения. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$\sin(\pi) + 7 \cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \neq 5$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются решениями уравнения.

Теперь выполним подстановку в исходное уравнение:

$\frac{2u}{1+u^2} + 7 \frac{1-u^2}{1+u^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$, так как это выражение всегда положительно:

$2u + 7(1-u^2) = 5(1+u^2)$

$2u + 7 - 7u^2 = 5 + 5u^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$12u^2 - 2u - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$6u^2 - u - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения для $u$:

$u_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$u_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1-5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_1 = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_2 = -\frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$

Аналогично пункту а), используем замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ и соответствующие формулы для $\sin x$ и $\cos x$.

Проверим, являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi n$, при которых замена не определена.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$5 \sin(\pi) + 10 \cos(\pi) + 2 = 5(0) + 10(-1) + 2 = -8$.

Поскольку $-8 \neq 0$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются решениями.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $u$ в уравнение:

$5 \left(\frac{2u}{1+u^2}\right) + 10 \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right) + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$:

$5(2u) + 10(1-u^2) + 2(1+u^2) = 0$

$10u + 10 - 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-8u^2 + 10u + 12 = 0$

Разделим уравнение на -2, чтобы упростить:

$4u^2 - 5u - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$.

Корни уравнения для $u$:

$u_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5+11}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$u_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5-11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Выполним обратную замену.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_1 = 2$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = u_2 = -\frac{3}{4}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}2 + 2\pi n, \quad x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

27.61. Вычислите $tg\frac{x}{2}$, если известно, что:

a) $sin x + cos x = 1,4$; $0 < x < \frac{\pi}{4}$;

б) $sin x - cos x = 0,2$; $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, выражающими синус и косинус через тангенс половинного угла:

$\sin x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$

Для удобства введем замену: $t = \tg\frac{x}{2}$. Тогда формулы примут вид:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

a)

Дано: $\sin x + \cos x = 1,4$ и $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в данное уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1,4$

$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 1,4$

$-t^2 + 2t + 1 = 1,4(1+t^2)$

$-t^2 + 2t + 1 = 1,4 + 1,4t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$1,4t^2 + t^2 - 2t + 1,4 - 1 = 0$

$2,4t^2 - 2t + 0,4 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 4 для упрощения:

$24t^2 - 20t + 4 = 0 \quad | : 4$

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения для $t = \tg\frac{x}{2}$. Чтобы выбрать правильное, воспользуемся заданным интервалом для $x$: $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Найдем интервал для $\frac{x}{2}$:

$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8}$

Угол $\frac{x}{2}$ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен. Оба корня $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{1}{3}$ положительны. Нужно более точное ограничение.

Так как функция тангенс возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то $0 < \tg\frac{x}{2} < \tg\frac{\pi}{8}$.

Найдем значение $\tg\frac{\pi}{8}$ по формуле тангенса половинного угла $\tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ при $\alpha=\frac{\pi}{4}$:

$\tg\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$

Приближенное значение: $\sqrt{2}-1 \approx 1,414 - 1 = 0,414$.

Итак, $0 < t < \sqrt{2}-1$. Сравним наши корни с этим интервалом:

$t_1 = \frac{1}{2} = 0,5$. Это значение больше, чем $\sqrt{2}-1 \approx 0,414$, поэтому оно не подходит.

$t_2 = \frac{1}{3} \approx 0,333$. Это значение удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < \sqrt{2}-1$.

Следовательно, искомое значение $\tg\frac{x}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Дано: $\sin x - \cos x = 0,2$ и $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Снова используем замену $t = \tg\frac{x}{2}$ и подставляем в уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = 0,2$

$\frac{2t - (1-t^2)}{1+t^2} = 0,2$

$\frac{t^2+2t-1}{1+t^2} = 0,2$

$t^2 + 2t - 1 = 0,2(1+t^2)$

$t^2 + 2t - 1 = 0,2 + 0,2t^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 - 0,2t^2 + 2t - 1 - 0,2 = 0$

$0,8t^2 + 2t - 1,2 = 0$

Умножим на 10 и разделим на 4:

$8t^2 + 20t - 12 = 0 \quad | : 4$

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Теперь выберем правильный корень, используя интервал для $x$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Найдем соответствующий интервал для $\frac{x}{2}$:

$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти тангенс отрицателен, поэтому $\tg\frac{x}{2} < 0$.

Сравним наши корни:

$t_1 = \frac{1}{2}$ - положительное число, не подходит.

$t_2 = -3$ - отрицательное число, подходит по знаку.

Более того, для $\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ значения тангенса лежат в интервале $(-\infty, -1)$. Число -3 попадает в этот интервал.

Следовательно, искомое значение $\tg\frac{x}{2} = -3$.

Ответ: -3.

Решите неравенство:

27.62. a) $4 \sin^2 3x < 3$;

б) $4 \cos^2 \frac{x}{4} > 1$.

а)

Разделим обе части неравенства на 4:

$\sin^2 3x < \frac{3}{4}$

Данное неравенство равносильно неравенству для модуля синуса:

$|\sin 3x| < \sqrt{\frac{3}{4}}$

Что можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Введем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это неравенство относительно $t$ с помощью тригонометрической окружности. Нам нужно найти углы, для которых значение синуса лежит в интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Это соответствует дугам, заключенным между углами, синус которых равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

На одном обороте $[0, 2\pi)$ это интервалы $t \in [0, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

В общем виде, учитывая периодичность, эти интервалы можно записать как одно двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < 3x < \frac{\pi}{3} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3})$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Разделим обе части неравенства на 4:

$\cos^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{4}$

Это неравенство равносильно тому, что модуль косинуса больше $\frac{1}{2}$:

$|\cos \frac{x}{4}| > \frac{1}{2}$

Данное неравенство распадается на совокупность двух неравенств:

$\cos \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$ или $\cos \frac{x}{4} < -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{4}$. Неравенства примут вид:

$\cos t > \frac{1}{2}$ или $\cos t < -\frac{1}{2}$

Решим эти неравенства с помощью тригонометрической окружности.

1. Неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$ выполняется, когда $t$ принадлежит интервалам:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$ выполняется, когда $t$ принадлежит интервалам:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, можно заметить, что они повторяются с периодом $\pi$. Общее решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{3} + \pi k$

Умножим все части неравенства на 4, чтобы найти $x$:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; \frac{4\pi}{3} + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

27.63. a) $\sin 2x \cos 2x < \frac{1}{4}$;

б) $\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$.

а) $ \sin 2x \cos 2x < \frac{1}{4} $

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Применим эту формулу к левой части неравенства, положив $ \alpha = 2x $:

$ \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin 4x $.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2}\sin 4x < \frac{1}{4} $

Умножим обе части неравенства на 2:

$ \sin 4x < \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной: $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t < \frac{1}{2} $.

Решениями уравнения $ \sin t = \frac{1}{2} $ на тригонометрической окружности являются углы $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t < \frac{1}{2} $ выполняется для углов, лежащих на дуге от $ \frac{5\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота. С учетом периодичности синуса, общее решение для $ t $ записывается в виде:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

Теперь выполним обратную замену $ t = 4x $:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим все части двойного неравенства на 4:

$ \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} $

$ \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x \in (\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}), n \in Z $.

б) $ \cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} > \frac{1}{2} $

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Применим эту формулу к левой части неравенства, положив $ \alpha = \frac{x}{4} $:

$ \cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} = \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = \cos\frac{x}{2} $.

Подставив это в исходное неравенство, получим:

$ \cos\frac{x}{2} > \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной: $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t > \frac{1}{2} $.

Решениями уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на тригонометрической окружности являются углы $ t = \frac{\pi}{3} $ и $ t = -\frac{\pi}{3} $. Неравенство $ \cos t > \frac{1}{2} $ выполняется для углов, лежащих в интервале между этими значениями. С учетом периодичности косинуса, общее решение для $ t $ записывается в виде:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, умножим все части двойного неравенства на 2:

$ 2(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) < x < 2(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $

$ -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 4\pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k), k \in Z $.

27.64. a) $\cos^2 2x - \sin^2 2x \le -1;$

б) $\sin 5x \cos 5x \ge \frac{1}{2};$

в) $\sin^2 3x - \cos^2 3x \le -1;$

г) $\sin \frac{2x}{3} \cos \frac{2x}{3} \le -\frac{1}{2}.$

а) $cos^2 2x - sin^2 2x \le -1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = 2x$:

$cos(2 \cdot 2x) \le -1$

$cos(4x) \le -1$

Поскольку область значений функции косинуса $E(\cos) = [-1; 1]$, то неравенство $cos(4x) \le -1$ может выполняться только в одном случае, когда $cos(4x) = -1$.

Решим это уравнение:

$4x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin 5x \cos 5x \ge \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = 5x$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 5x) \ge \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(10x) \ge \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$sin(10x) \ge 1$

Поскольку область значений функции синуса $E(\sin) = [-1; 1]$, то неравенство $sin(10x) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $sin(10x) = 1$.

Решим это уравнение:

$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 10, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{10}$

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $sin^2 3x - cos^2 3x \le -1$

Вынесем минус за скобки в левой части неравенства:

$-(cos^2 3x - sin^2 3x) \le -1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$:

$-cos(2 \cdot 3x) \le -1$

$-cos(6x) \le -1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$cos(6x) \ge 1$

Поскольку область значений функции косинуса $E(\cos) = [-1; 1]$, то неравенство $cos(6x) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $cos(6x) = 1$.

Решим это уравнение:

$6x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $sin\frac{2x}{3} \cos\frac{2x}{3} \le -\frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой $sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = \frac{2x}{3}$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot \frac{2x}{3}) \le -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(\frac{4x}{3}) \le -\frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$sin(\frac{4x}{3}) \le -1$

Поскольку область значений функции синуса $E(\sin) = [-1; 1]$, то неравенство $sin(\frac{4x}{3}) \le -1$ может выполняться только в одном случае, когда $sin(\frac{4x}{3}) = -1$.

Решим это уравнение:

$\frac{4x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$

$x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{6\pi n}{4}$

$x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

27.65. a) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $y = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$.

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$ преобразуем ее, приведя все тригонометрические функции к одному аргументу. Для этого воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2 \cos 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 \cos 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{3}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}$.

Теперь значение функции $y$ зависит только от значения $\cos 2x$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$. Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $-1 \le t \le 1$. Функция примет вид $y(t) = \frac{3}{2}t + \frac{1}{2}$.

Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k = \frac{3}{2}$. Такая функция является возрастающей, поэтому на отрезке $[-1, 1]$ она принимает свое наименьшее значение при наименьшем значении аргумента $t=-1$, а наибольшее — при наибольшем значении аргумента $t=1$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 2.

б) Для функции $y = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Положив $\alpha = 3x$, получим $\cos 6x = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2 3x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\sin^2 3x - (1 - 2\sin^2 3x) = 2\sin^2 3x - 1 + 2\sin^2 3x = 4\sin^2 3x - 1$.

Значение функции $y$ зависит от значения $\sin^2 3x$. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$. При возведении в квадрат значения из этого отрезка, мы получим значения в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \sin^2 3x \le 1$.

Теперь найдем множество значений для $y = 4\sin^2 3x - 1$. Для этого преобразуем неравенство $0 \le \sin^2 3x \le 1$. Умножим все части неравенства на 4, а затем вычтем 1:

$0 \cdot 4 \le 4\sin^2 3x \le 1 \cdot 4 \implies 0 \le 4\sin^2 3x \le 4$

$0 - 1 \le 4\sin^2 3x - 1 \le 4 - 1 \implies -1 \le y \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $\sin^2 3x = 0$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\sin^2 3x = 1$).

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 3.

27.66. a) $y = 3 - \sin x + \cos 2x;$

б) $y = \cos 2x + 4 \cos x - 1.$

а)

Задача состоит в нахождении множества значений (области значений) функции $y = 3 - \sin x + \cos 2x$.

Для решения преобразуем выражение, приведя его к функции от одной переменной. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$y = 3 - \sin x + (1 - 2\sin^2 x)$

$y = -2\sin^2 x - \sin x + 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $y(t) = -2t^2 - t + 4$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен. Своё наибольшее значение на всей числовой оси такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$:

$t_в = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4}$

Поскольку значение $t_в = -1/4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Вычислим это значение:

$y_{наиб} = y(-1/4) = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 4 = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 4 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{32}{8} = \frac{33}{8}$.

Наименьшее значение на отрезке парабола с ветвями вниз принимает на одном из концов этого отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

$y(-1) = -2(-1)^2 - (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$.

$y(1) = -2(1)^2 - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$.

Сравнивая эти два значения, заключаем, что наименьшее значение функции равно 1.

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[1; \frac{33}{8}]$.

Ответ: $E(y) = [1; \frac{33}{8}]$.

б)

Найдем множество значений функции $y = \cos 2x + 4 \cos x - 1$.

Используем формулу косинуса двойного угла, чтобы выразить функцию через $\cos x$: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставляем в исходное уравнение:

$y = (2\cos^2 x - 1) + 4 \cos x - 1$

$y = 2\cos^2 x + 4 \cos x - 2$

Введем замену переменной $t = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Получили задачу нахождения множества значений квадратичной функции $y(t) = 2t^2 + 4t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=2 > 0$). Свое наименьшее значение такая парабола достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.

Точка $t_в = -1$ является левой границей отрезка $[-1, 1]$. Это означает, что наименьшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в этой точке.

Вычислим наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4$.

Поскольку вершина параболы с ветвями вверх находится в точке $t=-1$, на всем отрезке $[-1, 1]$ функция $y(t)$ будет возрастать. Следовательно, наибольшее значение она примет на правом конце отрезка, то есть в точке $t=1$.

Вычислим наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 2 = 2 + 4 - 2 = 4$.

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[-4, 4]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

27.67. a) $y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$;

б) $y = \cos 3x + \cos 2x - 4 \cos^3 x$.

а)

Дана функция $y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$y = (3 \sin x - 4 \sin^3 x) + \cos 2x + 4 \sin^3 x$.

Теперь мы можем сократить слагаемые $-4 \sin^3 x$ и $4 \sin^3 x$:

$y = 3 \sin x - \cancel{4 \sin^3 x} + \cos 2x + \cancel{4 \sin^3 x}$.

В результате упрощения получаем:

$y = 3 \sin x + \cos 2x$.

Ответ: $y = 3 \sin x + \cos 2x$.

б)

Дана функция $y = \cos 3x + \cos 2x - 4 \cos^3 x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$y = (4 \cos^3 x - 3 \cos x) + \cos 2x - 4 \cos^3 x$.

Сократим слагаемые $4 \cos^3 x$ и $-4 \cos^3 x$:

$y = \cancel{4 \cos^3 x} - 3 \cos x + \cos 2x - \cancel{4 \cos^3 x}$.

В результате упрощения получаем:

$y = \cos 2x - 3 \cos x$.

Ответ: $y = \cos 2x - 3 \cos x$.