Страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Представьте в виде произведения:

28.4. a) $cos \frac{\pi}{10} - cos \frac{\pi}{20}$;

б) $cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{3\pi}{4}$;

в) $cos \frac{\pi}{5} - cos \frac{\pi}{11}$;

г) $cos \frac{3\pi}{8} + cos \frac{5\pi}{4}$.

а) $ \cos\frac{\pi}{10} - \cos\frac{\pi}{20} $

Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула суммы-в-произведение: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{10} $ и $ \beta = \frac{\pi}{20} $.

Сначала найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{20} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{3\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{40} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{20} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{40} $.

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{10} - \cos\frac{\pi}{20} = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right) $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{3\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40} $.

б) $ \cos\frac{11\pi}{12} + \cos\frac{3\pi}{4} $

Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = \frac{11\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{4} $. Для удобства вычислений приведем второй угол к знаменателю 12: $ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12} $.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{12} $.

Подставляем в формулу:

$ \cos\frac{11\pi}{12} + \cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) $.

Можно вычислить точное значение $ \cos\frac{5\pi}{6} $: $ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставив это значение, получаем окончательный результат:

$ 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\frac{\pi}{12} = -\sqrt{3} \cos\frac{\pi}{12} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} \cos\frac{\pi}{12} $.

в) $ \cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{\pi}{11} $

Используем формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В этом примере $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{11} $.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} = \frac{16\pi}{55 \cdot 2} = \frac{8\pi}{55} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 5\pi}{55}}{2} = \frac{6\pi}{55 \cdot 2} = \frac{3\pi}{55} $.

Подставляем в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{\pi}{11} = -2 \sin\frac{8\pi}{55} \sin\frac{3\pi}{55} $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{8\pi}{55} \sin\frac{3\pi}{55} $.

г) $ \cos\frac{3\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{4} $

Сначала можно упростить второй член, используя формулы приведения: $ \cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} $.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности:

$ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $.

Применим формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Приведем $ \beta $ к знаменателю 8: $ \beta = \frac{2\pi}{8} $.

Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{2\pi}{8}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{8}}{2} = \frac{5\pi}{16} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8}}{2} = \frac{\frac{\pi}{8}}{2} = \frac{\pi}{16} $.

Подставляем полученные значения в формулу:

$ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} = -2 \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{\pi}{16} $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{\pi}{16} $.

28.5. a) $\sin 3t - \sin t$;

б) $\cos (\alpha - 2\beta) - \cos (\alpha + 2\beta)$;

в) $\cos 6t + \cos 4t$;

г) $\sin (\alpha - 2\beta) - \sin (\alpha + 2\beta)$.

а) Для преобразования разности синусов $ \sin 3t - \sin t $ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

В нашем случае $ x = 3t $ и $ y = t $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin 3t - \sin t = 2\sin\frac{3t-t}{2}\cos\frac{3t+t}{2} = 2\sin\frac{2t}{2}\cos\frac{4t}{2} = 2\sin t \cos 2t $.

Ответ: $ 2\sin t \cos 2t $

б) Для преобразования разности косинусов $ \cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) $ в произведение используем формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $

Здесь $ x = \alpha - 2\beta $ и $ y = \alpha + 2\beta $. Подставляем в формулу:

$ \cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) = -2\sin\frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} $

$ = -2\sin\frac{2\alpha}{2}\sin\frac{-4\beta}{2} = -2\sin\alpha \sin(-2\beta) $.

Так как синус является нечетной функцией, то есть $ \sin(-z) = -\sin z $, то $ \sin(-2\beta) = -\sin(2\beta) $.

Следовательно, выражение равно: $ -2\sin\alpha(-\sin(2\beta)) = 2\sin\alpha\sin(2\beta) $.

Ответ: $ 2\sin\alpha\sin(2\beta) $

в) Для преобразования суммы косинусов $ \cos 6t + \cos 4t $ в произведение используем формулу суммы косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

В данном случае $ x = 6t $ и $ y = 4t $. Подставляем значения:

$ \cos 6t + \cos 4t = 2\cos\frac{6t+4t}{2}\cos\frac{6t-4t}{2} = 2\cos\frac{10t}{2}\cos\frac{2t}{2} = 2\cos 5t \cos t $.

Ответ: $ 2\cos 5t \cos t $

г) Для преобразования разности синусов $ \sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) $ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

Здесь $ x = \alpha - 2\beta $ и $ y = \alpha + 2\beta $. Подставляем в формулу:

$ \sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) = 2\sin\frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} $

$ = 2\sin\frac{-4\beta}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin(-2\beta)\cos\alpha $.

Используя свойство нечетности функции синус ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ 2(-\sin(2\beta))\cos\alpha = -2\cos\alpha\sin(2\beta) $.

Ответ: $ -2\cos\alpha\sin(2\beta) $

28.6. a) $\tan 25^\circ + \tan 35^\circ$;

б) $\tan \frac{\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{10}$;

В) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ$;

Г) $\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}$.

а) Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой суммы тангенсов, которую можно вывести, представив тангенс как отношение синуса к косинусу и приведя дроби к общему знаменателю:
$\tan 25^\circ + \tan 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cos 35^\circ + \cos 25^\circ \sin 35^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
В числителе мы получили формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Применим эту формулу:
$\frac{\sin(25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем окончательное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$.

б) Для преобразования разности тангенсов используем аналогичный подход. Воспользуемся формулой разности тангенсов: $\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.
Подставим наши значения углов $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$:
$\tan \frac{\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{10} = \frac{\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10})}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$
Вычислим разность углов в числителе:
$\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} - \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$
Ответ: $\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$.

в) Для преобразования суммы тангенсов $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ$ используем ту же формулу, что и в пункте а): $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.
$\tan 20^\circ + \tan 40^\circ = \frac{\sin(20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$
Подставим табличное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$.

г) В данном случае мы имеем дело с табличными значениями углов, поэтому можем вычислить точное значение выражения.
Известно, что:
$\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\tan \frac{\pi}{4} = \tan 45^\circ = 1$
Выполним вычитание:
$\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1$
Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

28.7. a) $\frac{1}{2} - \cos t;$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t;$

В) $1 + 2 \cos t;$

Г) $\cos t + \sin t.$

а) Чтобы найти область значений выражения $y = \frac{1}{2} - \cos t$, воспользуемся известной областью значений функции косинус.

Известно, что значения $\cos t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \cos t \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 1 \le -\cos t \le -1 \cdot (-1)$

$-1 \le -\cos t \le 1$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} - 1 \le \frac{1}{2} - \cos t \le \frac{1}{2} + 1$

Выполним вычисления:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \cos t \le \frac{3}{2}$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$

б) Чтобы найти область значений выражения $y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$, воспользуемся известной областью значений функции синус.

Известно, что значения $\sin t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \sin t \le 1$

Прибавим ко всем частям двойного неравенства число $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[\frac{\sqrt{3}}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} + 1]$.

Ответ: $[\frac{\sqrt{3}}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} + 1]$

в) Чтобы найти область значений выражения $y = 1 + 2\cos t$, воспользуемся известной областью значений функции косинус.

Известно, что значения $\cos t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \cos t \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на $2$:

$2 \cdot (-1) \le 2\cos t \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\cos t \le 2$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства $1$:

$1 - 2 \le 1 + 2\cos t \le 1 + 2$

$-1 \le 1 + 2\cos t \le 3$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-1; 3]$.

Ответ: $[-1; 3]$

г) Чтобы найти область значений выражения $y = \cos t + \sin t$, преобразуем его с помощью метода введения вспомогательного угла.

Выражение имеет вид $a\sin t + b\cos t$, где $a=1$ и $b=1$. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$y = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right)$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в выражение:

$y = \sqrt{2} \left(\sin t \cdot \cos\frac{\pi}{4} + \cos t \cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Следовательно, получаем:

$y = \sqrt{2}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь найдем область значений преобразованного выражения. Область значений синуса любого аргумента — это промежуток $[-1; 1]$:

$-1 \le \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$

Умножим все части неравенства на $\sqrt{2}$:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$

То есть, $-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}$.

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Ответ: $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$

28.8. a) $ \sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x; $

б) $ 2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x. $

а)

Для преобразования данного выражения в произведение, сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ \sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x = (\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x $

Применяем формулу:

$ (\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x = 2 \sin \frac{7x+5x}{2} \cos \frac{7x-5x}{2} + 2 \sin 6x = 2 \sin 6x \cos x + 2 \sin 6x $

Теперь вынесем общий множитель $ 2 \sin 6x $ за скобки:

$ 2 \sin 6x (\cos x + 1) $

Далее используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $ \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 $. Из этой формулы следует, что $ \cos x + 1 = 2 \cos^2 \frac{x}{2} $.

Подставим это в наше выражение:

$ 2 \sin 6x \cdot (2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \sin 6x \cos^2 \frac{x}{2} $

Ответ: $ 4 \sin 6x \cos^2 \frac{x}{2} $

б)

Для преобразования этого выражения в произведение, сгруппируем второе и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x = 2 \cos x + (\cos 4x + \cos 2x) $

Применяем формулу:

$ 2 \cos x + (\cos 4x + \cos 2x) = 2 \cos x + 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \cos x + 2 \cos 3x \cos x $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos x $ за скобки:

$ 2 \cos x (1 + \cos 3x) $

Используем формулу $ 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} $, которая является следствием формулы косинуса двойного угла.

Применив эту формулу для $ \alpha = 3x $, получим:

$ 2 \cos x \cdot (2 \cos^2 \frac{3x}{2}) = 4 \cos x \cos^2 \frac{3x}{2} $

Ответ: $ 4 \cos x \cos^2 \frac{3x}{2} $

28.9. a) $ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t; $

б) $ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t. $

а)

Чтобы преобразовать сумму синусов в произведение, сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.
$ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = (\sin 4t + \sin t) + (\sin 3t + \sin 2t) $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе.

Для первой группы:
$ \sin 4t + \sin t = 2 \sin\frac{4t+t}{2} \cos\frac{4t-t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} $

Для второй группы:
$ \sin 3t + \sin 2t = 2 \sin\frac{3t+2t}{2} \cos\frac{3t-2t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} $

Подставим полученные выражения обратно в сумму и вынесем общий множитель $2 \sin\frac{5t}{2}$ за скобки:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} + 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} (\cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2}) $

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2} = 2 \cos\frac{\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}}{2} \cos\frac{\frac{3t}{2}-\frac{t}{2}}{2} = 2 \cos\frac{2t}{2} \cos\frac{t}{2} = 2 \cos t \cos\frac{t}{2} $

Подставим результат в итоговое выражение:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cdot (2 \cos t \cos\frac{t}{2}) = 4 \cos t \cos\frac{t}{2} \sin\frac{5t}{2} $

Ответ: $4 \cos t \cos\frac{t}{2} \sin\frac{5t}{2}$.

б)

Сгруппируем слагаемые: первое с последним и второе с третьим.
$ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t = (\cos 2t + \cos 8t) - (\cos 4t + \cos 6t) $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе в скобках.

Для первой группы:
$ \cos 2t + \cos 8t = 2 \cos\frac{2t+8t}{2} \cos\frac{8t-2t}{2} = 2 \cos 5t \cos 3t $

Для второй группы:
$ \cos 4t + \cos 6t = 2 \cos\frac{4t+6t}{2} \cos\frac{6t-4t}{2} = 2 \cos 5t \cos t $

Подставим полученные выражения обратно и вынесем общий множитель $2 \cos 5t$ за скобки:
$ 2 \cos 5t \cos 3t - 2 \cos 5t \cos t = 2 \cos 5t (\cos 3t - \cos t) $

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 3t - \cos t = -2 \sin\frac{3t+t}{2} \sin\frac{3t-t}{2} = -2 \sin 2t \sin t $

Подставим результат в итоговое выражение:
$ 2 \cos 5t \cdot (-2 \sin 2t \sin t) = -4 \sin t \sin 2t \cos 5t $

Ответ: $-4 \sin t \sin 2t \cos 5t$.

Докажите тождество:

28.10. a) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha;$

б) $\frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha.$

а) Для доказательства тождества $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов (формулы преобразования суммы в произведение):
$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, для удобства поменяв слагаемые местами:
В числителе: $ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $.
В знаменателе: $ \cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha $.
Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:
$ \frac{2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha} $
Сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \cos 2\alpha $ (при условии, что он не равен нулю, что входит в область определения тождества):
$ \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} $
По определению тангенса $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому полученное выражение равно $ \operatorname{tg} 4\alpha $.
Таким образом, $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами разности и суммы косинусов:
$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
В числителе: $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin(-\alpha) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем: $ -2 \sin 3\alpha (-\sin\alpha) = 2 \sin 3\alpha \sin\alpha $.
В знаменателе: $ \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos(-\alpha) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos x $, получаем: $ 2 \cos 3\alpha \cos\alpha $.
Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:
$ \frac{2 \sin 3\alpha \sin\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos\alpha} $
Сократим на 2 и перегруппируем множители:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $
По определению тангенса, это выражение равно $ \operatorname{tg} 3\alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha $.
Таким образом, $ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

28.11. a) $\frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

В числителе применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{2\beta}{2} = 2 \sin\alpha \cos\beta$.

В знаменателе применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \cos\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{2\beta}{2} = 2 \cos\alpha \cos\beta$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и упростим ее:

$\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \frac{2 \sin\alpha \cos\beta}{2 \cos\alpha \cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

В числителе применим формулу разности косинусов $\cos y - \cos x = 2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \sin\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \sin\frac{2\beta}{2} = 2 \sin\alpha \sin\beta$.

В знаменателе применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin\beta \cos\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и упростим ее:

$\frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)} = \frac{2 \sin\alpha \sin\beta}{2 \cos\alpha \sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

28.12. a) $ \sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x - y}{2} $;

б) $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $.

а)

Заметим, что исходное тождество, как оно представлено на изображении: $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cos\frac{x - y}{2} $, скорее всего содержит опечатку. Покажем, что оно неверно.

Преобразуем правую часть (ПЧ) этого выражения, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \text{ПЧ} = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cos\frac{x - y}{2} = 2 \cdot \left(2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}\right) \cos\frac{x - y}{2} = 2 \sin x \cos\frac{x - y}{2} $.

Таким образом, предполагаемое тождество имеет вид $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos\frac{x - y}{2} $.

Проверим его, подставив конкретные значения, например, $ x = \pi $ и $ y = \frac{\pi}{2} $.

Левая часть (ЛЧ): $ \sin\pi + \sin\frac{\pi}{2} + \sin\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 + \sin\frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2 $.

Правая часть (ПЧ): $ 2 \sin\pi \cos\frac{\pi - \pi/2}{2} = 2 \cdot 0 \cdot \cos\frac{\pi}{4} = 0 $.

Поскольку $ 2 \neq 0 $, тождество в исходном виде неверно.

Наиболее вероятная правильная форма тождества: $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $. Докажем его, преобразуя левую часть.

$ \text{ЛЧ} = \sin x + \sin y + \sin(x - y) $.

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Теперь выражение для ЛЧ выглядит так: $ 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} + \sin(x-y) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ к слагаемому $ \sin(x-y) $, представив его как $ \sin\left(2 \cdot \frac{x-y}{2}\right) $:

$ \sin(x-y) = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Подставим это в выражение для ЛЧ: $ 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} + 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos\frac{x-y}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos\frac{x-y}{2} \left( \sin\frac{x+y}{2} + \sin\frac{x-y}{2} \right) $.

К выражению в скобках снова применим формулу суммы синусов:

$ \sin\frac{x+y}{2} + \sin\frac{x-y}{2} = 2 \sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}}{2} \cos\frac{\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}}{2} = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} $.

Подставим полученный результат обратно:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cos\frac{x-y}{2} \cdot \left( 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \right) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Таким образом, $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ (в исправленном виде).

Ответ: Тождество, представленное на изображении, неверно. Доказано исправленное тождество $ \sin x + \sin y + \sin(x - y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $.

б)

Докажем тождество $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части по отдельности.

Преобразуем числитель $ A = \sin x + \sin 2x + \sin 3x $. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin x + \sin 3x = 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $.

Тогда числитель равен: $ A = (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x $.

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки: $ A = \sin 2x (2 \cos x + 1) $.

Теперь преобразуем знаменатель $ B = \cos x + \cos 2x + \cos 3x $. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos x + \cos 3x = 2 \cos\frac{x+3x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x $.

Тогда знаменатель равен: $ B = (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x $.

Вынесем общий множитель $ \cos 2x $ за скобки: $ B = \cos 2x (2 \cos x + 1) $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{A}{B} = \frac{\sin 2x (2 \cos x + 1)}{\cos 2x (2 \cos x + 1)} $.

Сокращение дроби на множитель $ (2 \cos x + 1) $ возможно при условии, что он не равен нулю. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $ \cos 2x \neq 0 $. Эти условия определяют область допустимых значений (ОДЗ) для данного тождества.

При выполнении условий ОДЗ, после сокращения получаем:

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x $ доказано.

28.13. a) $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta;$

б) $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta.$

а) Докажем тождество $sin^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha - \beta) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$sin^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha - \beta) = (sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))(sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta))$.
Далее используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
$sin(x) + sin(y) = 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$
$sin(x) - sin(y) = 2cos(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$
Для первого множителя, суммы синусов, имеем:
$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = 2sin(\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2})cos(\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}) = 2sin(\frac{2\alpha}{2})cos(\frac{2\beta}{2}) = 2sin(\alpha)cos(\beta)$.
Для второго множителя, разности синусов, имеем:
$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = 2cos(\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2})sin(\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}) = 2cos(\frac{2\alpha}{2})sin(\frac{2\beta}{2}) = 2cos(\alpha)sin(\beta)$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(2sin(\alpha)cos(\beta)) \cdot (2cos(\alpha)sin(\beta)) = 4sin(\alpha)cos(\alpha)sin(\beta)cos(\beta)$.
Сгруппируем множители и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$:
$(2sin(\alpha)cos(\alpha)) \cdot (2sin(\beta)cos(\beta)) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Мы преобразовали левую часть к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $cos^2(\alpha - \beta) - cos^2(\alpha + \beta) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos^2(\alpha - \beta) - cos^2(\alpha + \beta) = (cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.
Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$cos(x) + cos(y) = 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$
$cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$
Для первого множителя, суммы косинусов, имеем:
$cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta) = 2cos(\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2})cos(\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2}) = 2cos(\frac{2\alpha}{2})cos(\frac{-2\beta}{2}) = 2cos(\alpha)cos(-\beta)$.
Так как косинус — четная функция ($cos(-\theta)=cos(\theta)$), выражение равно $2cos(\alpha)cos(\beta)$.
Для второго множителя, разности косинусов, имеем:
$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = -2sin(\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2})sin(\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2}) = -2sin(\frac{2\alpha}{2})sin(\frac{-2\beta}{2}) = -2sin(\alpha)sin(-\beta)$.
Так как синус — нечетная функция ($sin(-\theta)=-sin(\theta)$), выражение равно $-2sin(\alpha)(-sin(\beta)) = 2sin(\alpha)sin(\beta)$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(2cos(\alpha)cos(\beta)) \cdot (2sin(\alpha)sin(\beta)) = 4sin(\alpha)cos(\alpha)sin(\beta)cos(\beta)$.
Сгруппируем множители и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$:
$(2sin(\alpha)cos(\alpha)) \cdot (2sin(\beta)cos(\beta)) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Мы преобразовали левую часть к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.