Страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

27.68. a) $y = 4 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$;

б) $y = 2 \cos^2 x$.

а) Для построения графика функции $y = 4 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}$ сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию, представив ее в виде:$y = 2 \cdot (2 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4})$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$. Тогда, применяя формулу, получаем:$y = 2 \sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 2 \sin(\frac{x}{2})$.

Итак, задача сводится к построению графика функции $y = 2 \sin(\frac{x}{2})$. Этот график можно получить из графика основной функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Стандартный период синуса равен $2\pi$. Новый период $T$ будет равен $T = \frac{2\pi}{k}$, где $k=\frac{1}{2}$. Таким образом, $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. Растяжение графика вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Это преобразование изменяет амплитуду функции. Амплитуда становится равной 2, а область значений функции: $E(y) = [-2, 2]$.

Для построения графика на одном периоде $[0, 4\pi]$ найдем ключевые точки:
- при $x=0, y = 2 \sin(0) = 0$;
- при $x=\pi, y = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума);
- при $x=2\pi, y = 2 \sin(\frac{2\pi}{2}) = 2 \sin(\pi) = 0$;
- при $x=3\pi, y = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$ (точка минимума);
- при $x=4\pi, y = 2 \sin(\frac{4\pi}{2}) = 2 \sin(2\pi) = 0$.

График функции является синусоидой, проходящей через начало координат, с периодом $4\pi$ и колеблющейся в пределах от -2 до 2.
Ответ: График функции $y = 4 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}$ — это синусоида $y = 2 \sin(\frac{x}{2})$ с периодом $4\pi$ и амплитудой 2.

б) Для построения графика функции $y = 2 \cos^2 x$ сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая выводится из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$.

Из этой формулы выразим $2\cos^2x$:$2\cos^2x = \cos(2x) + 1$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \cos(2x) + 1$. Этот график можно получить из графика основной функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Стандартный период косинуса равен $2\pi$. Новый период $T$ будет равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$. Таким образом, $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Сдвиг графика вверх вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу. Это преобразование изменяет область значений функции. Область значений для $y=\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 1 вверх область значений становится $E(y) = [0, 2]$.

Для построения графика на одном периоде $[0, \pi]$ найдем ключевые точки:
- при $x=0, y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка максимума);
- при $x=\frac{\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
- при $x=\frac{\pi}{2}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$ (точка минимума);
- при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
- при $x=\pi, y = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка максимума).

График функции является косинусоидой, сжатой по горизонтали в 2 раза и сдвинутой на 1 единицу вверх. Все точки графика лежат на отрезке $[0, 2] $ по оси Oy.
Ответ: График функции $y = 2 \cos^2 x$ — это график функции $y = \cos(2x) + 1$, который является косинусоидой с периодом $\pi$ и областью значений $[0, 2]$.

27.69. a) $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$

б) $y = -\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}}$

а)

Дана функция $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
Задача состоит в том, чтобы упростить данное тригонометрическое выражение. Для этого воспользуемся формулами половинного угла, которые также известны как формулы понижения степени:
$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$
$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$y = \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}} = \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}}$.
По определению котангенса, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, поэтому выражение под корнем можно записать как $\cot^2 \frac{x}{2}$:
$y = \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$.
При извлечении квадратного корня из квадрата выражения необходимо использовать модуль, так как результат корня должен быть неотрицательным: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Следовательно, получаем:
$y = \left|\cot \frac{x}{2}\right|$.
Область определения исходной функции задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Условие $1 - \cos x > 0$ означает, что $\cos x \neq 1$, то есть $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это совпадает с областью определения функции $\cot \frac{x}{2}$, у которой $\sin \frac{x}{2} \neq 0$.

Ответ: $y = \left|\cot \frac{x}{2}\right|$.

б)

Дана функция $y = -\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}}$.
Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, используя формулы для двойного угла косинуса:
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$
$1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$
Подставим эти тождества в выражение для $y$:
$y = -\sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{2 \cos^2 x}} = -\sqrt{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$.
По определению тангенса, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому подкоренное выражение равно $\tan^2 x$:
$y = -\sqrt{\tan^2 x}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = -|\tan x|$.
Область определения исходной функции задается условием $1 + \cos 2x > 0$, что означает $\cos 2x \neq -1$. Отсюда $2x \neq \pi + 2\pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это совпадает с областью определения функции $\tan x$, у которой $\cos x \neq 0$.

Ответ: $y = -|\tan x|$.

27.70. а) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x};$

б) $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}.$

a) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{\sin x}$.

Первым шагом найдем область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, мы имеем условие:

$\sin x \neq 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Далее, упростим выражение для функции. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}$

На области определения функции, где $\sin x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin x$:

$y = 2 \cos x$

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = 2 \cos x$ при условии, что $x \neq k\pi$ для любого целого $k$. Графиком этой функции является косинусоида $y = 2 \cos x$ с выколотыми точками в тех $x$, которые не входят в область определения.

Ответ: $y = 2 \cos x$ при $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}$.

Найдем область определения этой функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому накладывается условие:

$\cos x \neq 0$

Это условие истинно для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь упростим выражение для $y$. Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставляем в исходное уравнение:

$y = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos x}$

Так как в области определения функции $\cos x \neq 0$, мы можем сократить числитель и знаменатель на $\cos x$:

$y = 2 \sin x$

Итак, данная функция эквивалентна функции $y = 2 \sin x$ на всей ее области определения. Графиком является синусоида $y = 2 \sin x$ с выколотыми точками при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Ответ: $y = 2 \sin x$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

27.71. a) $y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} + \sin x;$

B) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \sin x;$

б) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \cos x;$

г) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} - \cos x.$

а)

Для упрощения данного выражения $y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} + \sin x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Эта форма удобна, так как числитель можно разложить на множители как разность квадратов.

Подставим формулу в выражение:

$y = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Разложим числитель на множители: $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

$y = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Заметим, что $(\cos x - \sin x) = -(\sin x - \cos x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$y = \frac{-(\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Сократим дробь при условии, что знаменатель не равен нулю ($\sin x - \cos x \neq 0$):

$y = -(\cos x + \sin x) + \sin x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = -\cos x - \sin x + \sin x = -\cos x$

Область определения исходной функции: $\sin x - \cos x \neq 0$, или $\tan x \neq 1$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = -\cos x$ при $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим выражение $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \cos x$. Как и в предыдущем пункте, используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим её в выражение:

$y = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x + \sin x} + \cos x$

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$y = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x + \sin x} + \cos x$

Сократим дробь при условии, что знаменатель не равен нулю ($\cos x + \sin x \neq 0$):

$y = (\cos x - \sin x) + \cos x$

Приведем подобные слагаемые:

$y = 2\cos x - \sin x$

Область определения исходной функции: $\cos x + \sin x \neq 0$, или $\tan x \neq -1$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = 2\cos x - \sin x$ при $x \neq -\frac

27.72. a) $y = \begin{cases} 2 \sin x \cos x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{4}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} (\sin x + \cos x)^2, & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$

а) Для анализа данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} 2 \sin x \cos x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{4}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$ вначале упростим её выражения, используя тригонометрические формулы.

Для $x \le 0$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$y = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.

Для $x > 0$ используем формулу понижения степени $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos(2\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{4}$:

$y = 2 \sin^2 \frac{x}{4} = 1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = 1 - \cos(\frac{x}{2})$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \le 0 \\ 1 - \cos(\frac{x}{2}), & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Теперь исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке "стыка" $x=0$.

Непрерывность в точке $x=0$:

Функция непрерывна в точке $x_0$, если предел слева, предел справа и значение функции в этой точке равны: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

1. Значение функции в точке $x=0$: $y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

2. Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin(2x) = \sin(0) = 0$.

3. Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - \cos(\frac{x}{2})) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.

Поскольку все три значения равны, функция непрерывна в точке $x=0$.

Дифференцируемость в точке $x=0$:

Функция дифференцируема, если в точке существует производная, то есть левосторонняя и правосторонняя производные равны: $y'_{-}(x_0) = y'_{+}(x_0)$.

1. Найдём производную для $x < 0$: $y' = (\sin(2x))' = 2\cos(2x)$.

Левосторонняя производная в $x=0$: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 2\cos(2x) = 2\cos(0) = 2$.

2. Найдём производную для $x > 0$: $y' = (1 - \cos(\frac{x}{2}))' = -(-\sin(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

Правосторонняя производная в $x=0$: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\sin(0) = 0$.

Так как $y'_{-}(0) = 2$ и $y'_{+}(0) = 0$, то $y'_{-}(0) \neq y'_{+}(0)$. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, но не дифференцируема в точке $x=0$.

б) Рассмотрим функцию $y = \begin{cases} (\sin x + \cos x)^2, & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$. Упростим первое выражение.

Для $x \le \frac{\pi}{4}$ раскроем квадрат суммы и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$:

$y = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \begin{cases} 1 + \sin(2x), & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Непрерывность в точке $x=\frac{\pi}{4}$:

1. Значение функции в точке $x=\frac{\pi}{4}$: $y(\frac{\pi}{4}) = 1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

2. Предел слева: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (1 + \sin(2x)) = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.

3. Предел справа: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2 + \frac{\pi}{4} - x) = 2 + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2$.

Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Дифференцируемость в точке $x=\frac{\pi}{4}$:

1. Найдём производную для $x < \frac{\pi}{4}$: $y' = (1 + \sin(2x))' = 2\cos(2x)$.

Левосторонняя производная в $x=\frac{\pi}{4}$: $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} 2\cos(2x) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдём производную для $x > \frac{\pi}{4}$: $y' = (2 + \frac{\pi}{4} - x)' = -1$.

Правосторонняя производная в $x=\frac{\pi}{4}$: $y'_{+}(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (-1) = -1$.

Так как $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) = 0$ и $y'_{+}(\frac{\pi}{4}) = -1$, то $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) \neq y'_{+}(\frac{\pi}{4})$. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, но не дифференцируема в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

27.73. a) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|};$

Б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|};$

В) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|};$

Г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}.$

а) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$

Для упрощения данного выражения, мы воспользуемся формулой синуса двойного угла и определением модуля.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $|\sin x| \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.Подставим это в исходное выражение:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{|\sin x|}$

3. Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$:

• Если $\sin x > 0$ (это соответствует I и II координатным четвертям), то $|\sin x| = \sin x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2 \cos x$.
• Если $\sin x < 0$ (это соответствует III и IV координатным четвертям), то $|\sin x| = -\sin x$. В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x} = -2 \cos x$.

Таким образом, функцию можно записать в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{при } \sin x > 0 \\ -2 \cos x, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$

Упростим данное выражение, следуя аналогичной логике.

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $-2|\cos x| \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и сократим:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{-2|\cos x|} = -\frac{\sin x \cos x}{|\cos x|}$

3. Раскроем модуль в зависимости от знака $\cos x$:

• Если $\cos x > 0$ (I и IV четверти), то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = -\frac{\sin x \cos x}{\cos x} = -\sin x$.
• Если $\cos x < 0$ (II и III четверти), то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = -\frac{\sin x \cos x}{-\cos x} = \sin x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -\sin x, & \text{при } \cos x > 0 \\ \sin x, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$

Решение этого примера аналогично предыдущему.

1. Область определения: $-|\cos x| \neq 0 \implies \cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу синуса двойного угла:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{-|\cos x|} = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{|\cos x|}$

3. Раскроем модуль:

• Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Получаем: $y = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{\cos x} = -2 \sin x$.
• Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Получаем: $y = -2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{-\cos x} = 2 \sin x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2 \sin x, & \text{при } \cos x > 0 \\ 2 \sin x, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}$

Решение этого примера аналогично примеру а).

1. Область определения: $2|\sin x| \neq 0 \implies \sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Применим формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и сократим:$y = \frac{2 \sin x \cos x}{2|\sin x|} = \frac{\sin x \cos x}{|\sin x|}$

3. Раскроем модуль:

• Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x \cos x}{\sin x} = \cos x$.
• Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x \cos x}{-\sin x} = -\cos x$.

Запишем итоговую функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{при } \sin x > 0 \\ -\cos x, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$, где $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Представьте в виде произведения:

28.1. a) $ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ $;

б) $ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ $;

в) $ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ $;

г) $ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ $.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. В данном случае это формулы для синусов:

• Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
• Формула разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) $

а) $ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ $

Применим формулу суммы синусов, где $ \alpha = 40^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $:

$ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ + 16^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ - 16^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления в аргументах синуса и косинуса:

$ = 2 \sin\left(\frac{56^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{24^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 28^\circ \cos 12^\circ $

Ответ: $ 2 \sin 28^\circ \cos 12^\circ $

б) $ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ $

Применим формулу разности синусов, где $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $:

$ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ = 2 \sin\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin(-10^\circ) \cos 30^\circ $

Используем свойство нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin x $) и известное значение косинуса ($ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $):

$ = 2 (-\sin 10^\circ) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \sin 10^\circ $

Ответ: $ -\sqrt{3} \sin 10^\circ $

в) $ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ $

Применим формулу суммы синусов, где $ \alpha = 10^\circ $ и $ \beta = 50^\circ $:

$ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin\left(\frac{10^\circ + 50^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ - 50^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{-40^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 30^\circ \cos(-20^\circ) $

Используем свойство четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $) и известное значение синуса ($ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $):

$ = 2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos 20^\circ = \cos 20^\circ $

Ответ: $ \cos 20^\circ $

г) $ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ $

Применим формулу разности синусов, где $ \alpha = 52^\circ $ и $ \beta = 36^\circ $:

$ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ = 2 \sin\left(\frac{52^\circ - 36^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{52^\circ + 36^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{16^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{88^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 8^\circ \cos 44^\circ $

Ответ: $ 2 \sin 8^\circ \cos 44^\circ $

28.2. a) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$;

б) $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$;

В) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$;

г) $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$.

а)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$, где $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos\left(\frac{15^\circ + 45^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{15^\circ - 45^\circ}{2}\right) = 2 \cos(30^\circ) \cos(-15^\circ)$

Поскольку косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$2 \cos(30^\circ) \cos(15^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(15^\circ) = \sqrt{3} \cos(15^\circ)$

Для получения конечного числового значения вычислим $\cos(15^\circ)$ по формуле косинуса разности углов $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$:

$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим найденное значение $\cos(15^\circ)$ в наше выражение:

$\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

б)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$, где $\alpha = 46^\circ$ и $\beta = 74^\circ$:

$\cos 46^\circ - \cos 74^\circ = -2 \sin\left(\frac{46^\circ + 74^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{46^\circ - 74^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-28^\circ}{2}\right) = -2 \sin(60^\circ) \sin(-14^\circ)$

Поскольку синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$, а значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$-2 \sin(60^\circ) (-\sin(14^\circ)) = 2 \sin(60^\circ) \sin(14^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(14^\circ) = \sqrt{3} \sin(14^\circ)$

Ответ: $\sqrt{3} \sin(14^\circ)$.

в)

Используем формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = 2 \cos(30^\circ) \cos(-10^\circ)$

Поскольку косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$2 \cos(30^\circ) \cos(10^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(10^\circ) = \sqrt{3} \cos(10^\circ)$

Ответ: $\sqrt{3} \cos(10^\circ)$.

г)

Используем формулу разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$, где $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$:

$\cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = -2 \sin(45^\circ) \sin(30^\circ)$

Подставим известные табличные значения $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

28.3. a) $\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10}$;

б) $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7}$;

г) $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11}$.

а) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.

Найдем значения полуразности и полусуммы углов:

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{20} $

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10}}{2} = \frac{3\pi}{20} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{5} - \sin\frac{\pi}{10} = 2 \sin\frac{\pi}{20} \cos\frac{3\pi}{20} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{\pi}{20} \cos\frac{3\pi}{20} $.

б) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $.

Найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi + 3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi}{24} $

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi - 3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{24} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} $.

в) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \frac{\pi}{7} $.

Найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi + 6\pi}{42}}{2} = \frac{\frac{13\pi}{42}}{2} = \frac{13\pi}{84} $

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi - 6\pi}{42}}{2} = \frac{\frac{\pi}{42}}{2} = \frac{\pi}{84} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{7} = 2 \sin\frac{13\pi}{84} \cos\frac{\pi}{84} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{13\pi}{84} \cos\frac{\pi}{84} $.

г) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{11} $.

Найдем значения полуразности и полусуммы углов:

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 3\pi}{33}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{33}}{2} = \frac{4\pi}{33} $

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 3\pi}{33}}{2} = \frac{\frac{14\pi}{33}}{2} = \frac{7\pi}{33} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{11} = 2 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{7\pi}{33} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{7\pi}{33} $.