Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.17. Сравните числа:

а) $a = \sin 1 \cos 2$, $b = \sin 3 \cos 4$;

б) $a = \cos 2 \cos 4$, $b = -\sin 3,5 \sin 2,5$.

а) Сравним числа $a = \sin 1 \cos 2$ и $b = \sin 3 \cos 4$.

Для преобразования произведений тригонометрических функций в сумму воспользуемся формулой:
$ \sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)] $

Применим эту формулу к числу $a$:
$ a = \sin 1 \cos 2 = \frac{1}{2}[\sin(1+2) + \sin(1-2)] = \frac{1}{2}[\sin 3 + \sin(-1)] $
Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:
$ a = \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $

Теперь применим эту же формулу к числу $b$:
$ b = \sin 3 \cos 4 = \frac{1}{2}[\sin(3+4) + \sin(3-4)] = \frac{1}{2}[\sin 7 + \sin(-1)] $
$ b = \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $

Теперь задача сводится к сравнению выражений $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $ и $ \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $. Это равносильно сравнению $ \sin 3 $ и $ \sin 7 $.

Рассмотрим разность $ \sin 3 - \sin 7 $. Воспользуемся формулой разности синусов:
$ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $
$ \sin 3 - \sin 7 = 2 \sin\frac{3-7}{2} \cos\frac{3+7}{2} = 2 \sin(-2) \cos(5) = -2 \sin 2 \cos 5 $

Определим знаки множителей. Аргументы даны в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.
$ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \pi \approx 3,14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, $ 2\pi \approx 6,28 $.

Для $ \sin 2 $: так как $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол 2 находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin 2 > 0 $.

Для $ \cos 5 $: так как $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $, угол 5 находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos 5 > 0 $.

Таким образом, произведение $ -2 \sin 2 \cos 5 $ является отрицательным числом, так как состоит из одного отрицательного и двух положительных множителей.
Значит, $ \sin 3 - \sin 7 < 0 $, откуда $ \sin 3 < \sin 7 $.

Возвращаемся к сравнению $ a $ и $ b $. Поскольку $ \sin 3 < \sin 7 $, то $ \sin 3 - \sin 1 < \sin 7 - \sin 1 $.
Следовательно, $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) < \frac{1}{2}(\sin 7 - \sin 1) $, то есть $ a < b $.

Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = \cos 2 \cos 4$ и $b = -\sin 3,5 \sin 2,5$.

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] $
$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x-y) - \cos(x+y)] $

Преобразуем число $a$:
$ a = \cos 2 \cos 4 = \frac{1}{2}[\cos(2+4) + \cos(2-4)] = \frac{1}{2}[\cos 6 + \cos(-2)] $
Так как $ \cos(-x) = \cos x $, получаем:
$ a = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) $

Преобразуем число $b$:
$ b = -\sin 3,5 \sin 2,5 = - \left( \frac{1}{2}[\cos(3,5 - 2,5) - \cos(3,5 + 2,5)] \right) $
$ b = -\frac{1}{2}(\cos 1 - \cos 6) = \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) $

Теперь задача сводится к сравнению $ a = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) $ и $ b = \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) $.
Рассмотрим их разность:
$ a - b = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2) - \frac{1}{2}(\cos 6 - \cos 1) = \frac{1}{2}(\cos 6 + \cos 2 - \cos 6 + \cos 1) = \frac{1}{2}(\cos 2 + \cos 1) $

Знак разности $ a-b $ совпадает со знаком выражения $ \cos 2 + \cos 1 $.
Для определения знака этого выражения воспользуемся формулой суммы косинусов:
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos 2 + \cos 1 = 2 \cos\frac{2+1}{2} \cos\frac{2-1}{2} = 2 \cos(1,5) \cos(0,5) $

Определим знаки множителей, зная, что $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $.
Для $ \cos(0,5) $: так как $ 0 < 0,5 < \frac{\pi}{2} $, угол 0,5 находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(0,5) > 0 $.
Для $ \cos(1,5) $: так как $ 0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} $, угол 1,5 также находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(1,5) > 0 $.

Таким образом, произведение $ 2 \cos(1,5) \cos(0,5) $ является положительным числом.
Значит, $ \cos 2 + \cos 1 > 0 $, и следовательно, $ a-b > 0 $.
Отсюда следует, что $ a > b $.

Ответ: $a > b$.

29.18. Докажите неравенство:

a) $ \sin (x + 2) \cos (x - 2) < \sin (x + 3) \cos (x - 3) $;

б) $ \cos (2x - 3) \cos (2x + 3) > \sin (1 + 2x) \sin (1 - 2x) $.

a) Докажите неравенство $\sin(x + 2)\cos(x - 2) < \sin(x + 3)\cos(x - 3)$.

Для доказательства воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$\sin(x + 2)\cos(x - 2) = \frac{1}{2}(\sin((x + 2) + (x - 2)) + \sin((x + 2) - (x - 2))) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(4))$.

Преобразуем правую часть неравенства:

$\sin(x + 3)\cos(x - 3) = \frac{1}{2}(\sin((x + 3) + (x - 3)) + \sin((x + 3) - (x - 3))) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(6))$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(4)) < \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(6))$.

Умножим обе части на 2 и вычтем $\sin(2x)$:

$\sin(4) < \sin(6)$.

Теперь докажем справедливость этого числового неравенства. Углы 4 и 6 заданы в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Оценим, в каких четвертях находятся углы 4 и 6 радиан.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (приблизительно $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в III четверти. Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $\sin(4) < 0$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (приблизительно $4.71 < 6 < 6.28$), угол в 6 радиан находится в IV четверти. Синус в IV четверти также отрицателен, следовательно, $\sin(6) < 0$.

Сравним два отрицательных числа. Для этого сравним их модули. Модуль синуса угла равен синусу соответствующего ему угла в первой четверти (приведенного угла).

Для угла 4 рад приведенный угол равен $4 - \pi$. $|\sin(4)| = \sin(4 - \pi)$.

Для угла 6 рад приведенный угол равен $2\pi - 6$. $|\sin(6)| = \sin(2\pi - 6)$.

Сравним значения $4 - \pi$ и $2\pi - 6$. Сравнение $4 - \pi$ и $2\pi - 6$ эквивалентно сравнению $10$ и $3\pi$.

Так как $\pi < 3.15$, то $3\pi < 9.45 < 10$. Следовательно, $10 > 3\pi$, что означает $4 - \pi > 2\pi - 6$.

Оба угла, $4 - \pi$ и $2\pi - 6$, находятся в первой четверти (от 0 до $\pi/2$). На этом промежутке функция $y = \sin t$ возрастает. Поэтому из $4 - \pi > 2\pi - 6$ следует, что $\sin(4 - \pi) > \sin(2\pi - 6)$.

Это означает, что $|\sin(4)| > |\sin(6)|$.

Так как $\sin(4)$ и $\sin(6)$ оба отрицательны, то из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Следовательно, $\sin(4) < \sin(6)$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажите неравенство $\cos(2x - 3)\cos(2x + 3) > \sin(1 + 2x)\sin(1 - 2x)$.

Для доказательства воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

Преобразуем левую часть неравенства, приняв $\alpha = 2x + 3$, $\beta = 2x - 3$:

$\cos(2x + 3)\cos(2x - 3) = \frac{1}{2}(\cos((2x + 3) - (2x - 3)) + \cos((2x + 3) + (2x - 3))) = \frac{1}{2}(\cos(6) + \cos(4x))$.

Преобразуем правую часть неравенства, приняв $\alpha = 1 + 2x$, $\beta = 1 - 2x$:

$\sin(1 + 2x)\sin(1 - 2x) = \frac{1}{2}(\cos((1 + 2x) - (1 - 2x)) - \cos((1 + 2x) + (1 - 2x))) = \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(2))$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2}(\cos(6) + \cos(4x)) > \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(2))$.

Умножим обе части на 2 и вычтем $\cos(4x)$:

$\cos(6) > -\cos(2)$.

Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, заменим $-\cos(2)$ на $\cos(\pi-2)$. Неравенство примет вид:

$\cos(6) > \cos(\pi - 2)$.

Докажем справедливость этого числового неравенства. Углы заданы в радианах ($\pi \approx 3.14159$).

Оценим, в каких четвертях находятся углы 6 и $\pi - 2$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (приблизительно $4.71 < 6 < 6.28$), угол в 6 радиан находится в IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, так что $\cos(6) > 0$.

Угол $\pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14$ радиан. Поскольку $0 < 1.14 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, этот угол находится в I четверти. Косинус в I четверти положителен, так что $\cos(\pi - 2) > 0$.

Чтобы сравнить два положительных значения косинуса, приведем их аргументы к одному промежутку монотонности функции $y = \cos t$, например, к $[0, \pi/2]$.

Для угла 6 рад, находящегося в IV четверти, $\cos(6) = \cos(2\pi - 6)$.

Для угла $\pi - 2$, находящегося в I четверти, $\cos(\pi - 2)$ уже имеет аргумент из нужного промежутка.

Неравенство $\cos(6) > \cos(\pi - 2)$ равносильно неравенству $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi - 2)$.

Сравним аргументы: $2\pi - 6$ и $\pi - 2$.

Сравнение $2\pi - 6$ и $\pi - 2$ эквивалентно сравнению $\pi$ и $4$.

Так как $\pi < 4$, то $2\pi - 6 < \pi - 2$.

Оба аргумента, $2\pi - 6 \approx 0.28$ и $\pi - 2 \approx 1.14$, принадлежат интервалу $(0, \pi/2)$. На этом интервале функция $y = \cos t$ является убывающей. Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $2\pi - 6 < \pi - 2$, то $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi - 2)$.

Таким образом, неравенство $\cos(6) > \cos(\pi - 2)$ верно, а значит, верно и исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.

29.19. а) Зная, что $\cos x = \frac{3}{4}$, вычислите $16 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2}$;

б) Зная, что $\cos x = -\frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, вычислите $125 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2}$.

а) Для вычисления выражения $16\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

Преобразуем выражение:

$16\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2} = 8 \cdot \left(2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}\right) = 8\left(\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}\right)\right) = 8(\cos x - \cos 2x)$.

По условию нам дано, что $\cos x = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $\cos 2x$, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$\cos 2x = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{8}$.

Подставим найденные значения в преобразованное выражение:

$8(\cos x - \cos 2x) = 8\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{8}\right) = 8\left(\frac{6}{8} - \frac{1}{8}\right) = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5$.

Ответ: 5

б) Для вычисления выражения $125\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{5x}{2}$.

Преобразуем выражение:

$125\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2} = \frac{125}{2} \cdot \left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}\right) = \frac{125}{2}\left(\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{5x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{5x}{2}\right)\right)$.

$\frac{125}{2}\left(\sin\frac{6x}{2} + \sin\frac{-4x}{2}\right) = \frac{125}{2}(\sin 3x + \sin(-2x))$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin 2x$. Получаем:

$\frac{125}{2}(\sin 3x - \sin 2x)$.

По условию $\cos x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ (II четверть). В этой четверти $\sin x > 0$.

Найдем $\sin x$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin 2x$ и $\cos 2x$:

$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$.

Далее найдем $\sin 3x$ по формуле синуса суммы $\sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$:

$\sin 3x = \left(-\frac{24}{25}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{7}{25}\right)\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125}$.

Подставим значения $\sin 3x$ и $\sin 2x$ в итоговое выражение:

$\frac{125}{2}(\sin 3x - \sin 2x) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} - \left(-\frac{24}{25}\right)\right) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{24}{25}\right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю 125:

$\frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{24 \cdot 5}{25 \cdot 5}\right) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{120}{125}\right) = \frac{125}{2} \cdot \frac{44+120}{125} = \frac{125}{2} \cdot \frac{164}{125} = \frac{164}{2} = 82$.

Ответ: 82

29.20. Во сколько раз:

а) число $(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 80^\circ$;

б) число $(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 70^\circ$;

в) число $(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 85^\circ$;

г) число $(\tan 57^\circ + \tan 3^\circ)^2$ больше числа $(\cos 54^\circ + 0.5)^{-2}$?

а) Чтобы определить, во сколько раз число $(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 80^\circ$, найдем их отношение.
Преобразуем числитель, используя формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2 = \left(2 \sin\frac{70^\circ+50^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ-50^\circ}{2}\right)^2 = (2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ)^2$.
Поскольку $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, выражение становится: $\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10^\circ\right)^2 = (\sqrt{3} \cos 10^\circ)^2 = 3 \cos^2 10^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель $\sin^2 80^\circ$. Используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$, получаем:
$\sin^2 80^\circ = (\cos(90^\circ - 80^\circ))^2 = \cos^2 10^\circ$.
Искомое отношение равно:
$\frac{(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ} = \frac{3 \cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ} = 3$.

Ответ: в 3 раза.

б) Найдем отношение числа $(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ к числу $\sin^2 70^\circ$.
Раскроем скобки в числителе:
$(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2 = \cos^2 65^\circ + 2 \sin 65^\circ \cos 65^\circ + \sin^2 65^\circ$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:
$1 + \sin(2 \cdot 65^\circ) = 1 + \sin 130^\circ$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, имеем $\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$.
Используем еще одну формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$: $\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$.
Числитель становится $1 + \cos 40^\circ$. Применим формулу $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$:
$1 + \cos 40^\circ = 2 \cos^2\left(\frac{40^\circ}{2}\right) = 2 \cos^2 20^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель: $\sin^2 70^\circ = (\cos(90^\circ - 70^\circ))^2 = \cos^2 20^\circ$.
Искомое отношение:
$\frac{(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2}{\sin^2 70^\circ} = \frac{2 \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

в) Найдем отношение числа $(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ к числу $\sin^2 85^\circ$.
Преобразуем числитель, используя формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2 = \left(2 \cos\frac{50^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{50^\circ-40^\circ}{2}\right)^2 = (2 \cos 45^\circ \cos 5^\circ)^2$.
Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5^\circ\right)^2 = (\sqrt{2} \cos 5^\circ)^2 = 2 \cos^2 5^\circ$.
Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin^2 85^\circ = (\cos(90^\circ - 85^\circ))^2 = \cos^2 5^\circ$.
Искомое отношение равно:
$\frac{(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ} = \frac{2 \cos^2 5^\circ}{\cos^2 5^\circ} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

г) Найдем, во сколько раз число $(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2$ больше числа $(\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}$. Для этого найдем их отношение:
$\frac{(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}} = (\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)^2 \cdot (\cos 54^\circ + 0,5)^2 = [(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)(\cos 54^\circ + 0,5)]^2$.
Преобразуем каждый множитель в скобках по отдельности.
Для первого множителя используем формулу суммы тангенсов $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$:
$\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ = \frac{\sin(57^\circ+3^\circ)}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ}$.
Для второго множителя заметим, что $0,5 = \cos 60^\circ$. Используем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 54^\circ + 0,5 = \cos 54^\circ + \cos 60^\circ = 2 \cos\frac{54^\circ+60^\circ}{2} \cos\frac{60^\circ-54^\circ}{2} = 2 \cos 57^\circ \cos 3^\circ$.
Теперь перемножим преобразованные выражения:
$(\text{tg } 57^\circ + \text{tg } 3^\circ)(\cos 54^\circ + 0,5) = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 57^\circ \cos 3^\circ}\right) \cdot (2 \cos 57^\circ \cos 3^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$.
Искомое отношение является квадратом этого результата:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: в 3 раза.

Решите уравнение:

29.21. а) $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 0.25 = 0;$

б) $\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1.$

а) Исходное уравнение: $ \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{3}) - 0,25 = 0 $.
Перепишем уравнение, перенеся 0,25 в правую часть:
$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 0,25 $
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $.
В нашем случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{3} $.
Тогда $ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{3}) + (x - \frac{\pi}{3}) = 2x $.
И $ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{3}) - (x - \frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} $.
Подставим эти значения в формулу и в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 0,25 $
Представим 0,25 в виде дроби $ \frac{1}{4} $ и подставим значение $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $:
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ \cos(2x) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
$ \cos(2x) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \cos(y) = 1 $ имеет вид $ y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x $:
$ 2x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1 $.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.
В нашем случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{6} $.
Найдем сумму и разность углов:
$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{3}) + (x - \frac{\pi}{6}) = 2x + \frac{2\pi - \pi}{6} = 2x + \frac{\pi}{6} $
$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{3}) - (x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $
Подставим полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{2})) = 1 $
Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $:
$ \frac{1}{2}(\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1) = 1 $
Умножим обе части на 2:
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1 = 2 $
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \sin(y) = 1 $ имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x + \frac{\pi}{6} $:
$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ 2x $:
$ 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

29.22. a) $2 \sin x \cos 3x + \sin 4x = 0;$

б) $\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}.$

а) $2 \sin x \cos 3x + \sin 4x = 0$

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

$2 \sin x \cos 3x = \sin(x + 3x) + \sin(x - 3x) = \sin 4x + \sin(-2x) = \sin 4x - \sin 2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\sin 4x - \sin 2x) + \sin 4x = 0$

$2 \sin 4x - \sin 2x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:

$2(2 \sin 2x \cos 2x) - \sin 2x = 0$

$4 \sin 2x \cos 2x - \sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (4 \cos 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $4 \cos 2x - 1 = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$

Используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

$\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) = \frac{1}{2}$

$\cos x - \cos 2x = 1$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$\cos x - (2\cos^2 x - 1) = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x + 1 = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 2\cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 - 2\cos x = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

29.23. a) $ \sin 3x \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2}; $

б) $ 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) + \sin^2 x = 0; $

в) $ \sin 2x \cos x = \sin x \cos 2x; $

г) $ \cos 2x \cos x = \cos 2.5x \cos 0.5x. $

а)

Исходное уравнение: $ \sin 3x \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} $.

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$ \sin 3x \cos x = \frac{1}{2}(\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) $.

Применим эту же формулу к правой части уравнения:

$ \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{5x}{2} - \frac{3x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{8x}{2} + \sin \frac{2x}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin x) $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin x) $

Умножим обе части на 2 и упростим:

$ \sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x $

$ \sin 2x = \sin x $

$ \sin 2x - \sin x = 0 $

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ 2 \sin \frac{2x-x}{2} \cos \frac{2x+x}{2} = 0 $

$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos \frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \sin^2 x = 0 $.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим ее к первому слагаемому:

$ 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) \right) $

$ = \cos(2x) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos(2x) - 0 = \cos(2x) $.

Подставляем полученное выражение обратно в уравнение:

$ \cos(2x) + \sin^2 x = 0 $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.

$ (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x = 0 $

$ \cos^2 x = 0 $

$ \cos x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Исходное уравнение: $ \sin 2x \cos x = \sin x \cos 2x $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x = 0 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $:

$ \sin(2x - x) = 0 $

$ \sin x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г)

Исходное уравнение: $ \cos 2x \cos x = \cos 2,5x \cos 0,5x $.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$ \cos 2x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(2x+x) + \cos(2x-x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) $.

Применим эту же формулу к правой части уравнения:

$ \cos 2,5x \cos 0,5x = \frac{1}{2}(\cos(2,5x + 0,5x) + \cos(2,5x - 0,5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 2x) $.

Приравниваем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 2x) $

$ \cos 3x + \cos x = \cos 3x + \cos 2x $

$ \cos x = \cos 2x $

Перенесем все в одну сторону:

$ \cos 2x - \cos x = 0 $

Используем формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ -2 \sin \frac{2x+x}{2} \sin \frac{2x-x}{2} = 0 $

$ -2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1) $ \sin \frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений ($ x = 2\pi n $) является частным случаем первой серии ($ x = \frac{2\pi k}{3} $) при $k$, кратном 3 (т.е. $k=3n$). Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

29.24. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения:

а) $\sin x \sin 3x = 0.5$;

б) $\cos x \cos 3x = -0.5$.

а) $ \sin x \sin 3x = 0,5 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ \frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = 0,5 $

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) = 0,5 $

Умножим обе части на 2:

$ \cos(2x) - \cos(4x) = 1 $

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Применим её для $ \cos(4x) $:

$ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1 $

Подставим это выражение в уравнение:

$ \cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 1 $

$ \cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 1 $

$ \cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $

Вынесем $ \cos(2x) $ за скобки:

$ \cos(2x)(1 - 2\cos(2x)) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(2x) = 0 $

Решением является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, откуда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ 1 - 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $

Решением является $ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, откуда получаем вторую серию корней:

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни. Для этого рассмотрим значения корней при различных целых $n$ и $k$.

Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ получаем корни: ..., $ -\frac{3\pi}{4} $, $ -\frac{\pi}{4} $ (при $n=-1$), $ \frac{\pi}{4} $ (при $n=0$), $ \frac{3\pi}{4} $, ...

Из серии $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{5\pi}{6} $ (при $k=-1$), $ \frac{\pi}{6} $ (при $k=0$), $ \frac{7\pi}{6} $, ...

Из серии $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{7\pi}{6} $, $ -\frac{\pi}{6} $ (при $k=0$), $ \frac{5\pi}{6} $ (при $k=1$), ...

Выпишем все найденные положительные корни в порядке возрастания: $ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, ... $. Наименьший из них - $ \frac{\pi}{6} $.

Выпишем все найденные отрицательные корни: $ -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}, ... $. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $ -\frac{\pi}{6} $.

Ответ: наименьший положительный корень $ \frac{\pi}{6} $, наибольший отрицательный корень $ -\frac{\pi}{6} $.

б) $ \cos x \cos 3x = -0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ \frac{1}{2}(\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = -0,5 $

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(4x)) = -0,5 $

Умножим обе части на 2:

$ \cos(2x) + \cos(4x) = -1 $

Снова используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:

$ \cos(2x) + (2\cos^2(2x) - 1) = -1 $

$ 2\cos^2(2x) + \cos(2x) = 0 $

Вынесем $ \cos(2x) $ за скобки:

$ \cos(2x)(2\cos(2x) + 1) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \cos(2x) = 0 $

Решением является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, откуда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2} $

Решением является $ 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $, откуда получаем вторую серию корней:

$ x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни.

Из серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ получаем корни: ..., $ -\frac{3\pi}{4} $, $ -\frac{\pi}{4} $ (при $n=-1$), $ \frac{\pi}{4} $ (при $n=0$), $ \frac{3\pi}{4} $, ...

Из серии $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{2\pi}{3} $ (при $k=-1$), $ \frac{\pi}{3} $ (при $k=0$), $ \frac{4\pi}{3} $, ...

Из серии $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k $ получаем корни: ..., $ -\frac{4\pi}{3} $, $ -\frac{\pi}{3} $ (при $k=0$), $ \frac{2\pi}{3} $ (при $k=1$), ...

Выпишем все найденные положительные корни в порядке возрастания: $ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, ... $. Наименьший из них - $ \frac{\pi}{4} $.

Выпишем все найденные отрицательные корни: $ -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, ... $. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $ -\frac{\pi}{4} $.

Ответ: наименьший положительный корень $ \frac{\pi}{4} $, наибольший отрицательный корень $ -\frac{\pi}{4} $.

29.25. Найдите все значения $x$, при которых числа $a, b, c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, если:

а) $a = \cos 6x, b = \cos 4x, c = \cos 2x;$

б) $a = \sin 2x, b = \sin 3x, c = \sin 4x.$

а) Для того чтобы числа a, b, и c в указанном порядке являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: $b^2 = ac$.

Подставим данные значения: $a = \cos 6x$, $b = \cos 4x$, $c = \cos 2x$.

Получаем уравнение:

$\cos^2 4x = \cos 6x \cdot \cos 2x$

Для преобразования правой части уравнения воспользуемся формулой произведения косинусов $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$:

$\cos 6x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(6x - 2x) + \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 8x)$

Уравнение принимает вид:

$\cos^2 4x = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 8x)$

Теперь для левой части применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$:

$\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{\cos 4x + \cos 8x}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и приведем подобные члены:

$1 + \cos 8x = \cos 4x + \cos 8x$

$1 = \cos 4x$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$4x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство геометрической прогрессии $b^2 = ac$.

Подставим заданные выражения: $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$.

Получаем следующее уравнение:

$\sin^2 3x = \sin 2x \cdot \sin 4x$

Для преобразования правой части воспользуемся формулой произведения синусов $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$:

$\sin 2x \sin 4x = \frac{1}{2}(\cos(2x - 4x) - \cos(2x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos 6x) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 6x)$

Теперь уравнение выглядит так:

$\sin^2 3x = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 6x)$

Для левой части применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$:

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2}$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$\frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{\cos 2x - \cos 6x}{2}$

Умножим обе части на 2 и упростим:

$1 - \cos 6x = \cos 2x - \cos 6x$

$1 = \cos 2x$

Решаем полученное уравнение:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

При этих значениях $x$ все три члена прогрессии равны нулю: $a = \sin(2\pi k) = 0$, $b = \sin(3\pi k) = 0$, $c = \sin(4\pi k) = 0$. Последовательность $0, 0, 0$ является геометрической прогрессией, так как условие $b^2 = ac$ выполняется ($0^2 = 0 \cdot 0$).

Ответ: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.