Страница 185, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство:

30.24. a) $2 \sin^2 x + \sin 2x < 2.5$;

б) $16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25$.

а) Чтобы доказать неравенство $2 \sin^2 x + \sin 2x < 2,5$, преобразуем его левую часть. Используем формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $.
$2 \sin^2 x + \sin 2x = 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sin 2x = 1 - \cos 2x + \sin 2x = 1 + (\sin 2x - \cos 2x)$.
Теперь оценим максимальное значение выражения $ \sin 2x - \cos 2x $. Воспользуемся методом вспомогательного угла. Выражение вида $ a \sin \alpha + b \cos \alpha $ можно представить в виде $ \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\alpha + \phi) $.
Для $ \sin 2x - \cos 2x $ имеем $ a = 1 $, $ b = -1 $. Тогда $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
Следовательно, $ \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) $.
Наибольшее значение функции синус равно 1. Поэтому максимальное значение выражения $ \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) $ равно $ \sqrt{2} $.
Таким образом, максимальное значение всей левой части исходного неравенства равно $ 1 + \sqrt{2} $.
Осталось доказать, что $ 1 + \sqrt{2} < 2,5 $.
$ \sqrt{2} < 1,5 $.
Возведем обе части в квадрат (так как они обе положительны): $ (\sqrt{2})^2 < (1,5)^2 $, что дает $ 2 < 2,25 $.
Это верное неравенство. Так как максимальное значение левой части строго меньше 2,5, то и исходное неравенство выполняется при любых значениях $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $ 16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25 $, преобразуем его левую часть.
Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $. Применим ее для $ \alpha = 3x $:
$ \sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2} $.
Подставим это в левую часть неравенства:
$ 16 \left(\frac{1 - \cos 6x}{2}\right) + 15 \sin 6x = 8(1 - \cos 6x) + 15 \sin 6x = 8 - 8 \cos 6x + 15 \sin 6x $.
Теперь оценим максимальное значение выражения $ 15 \sin 6x - 8 \cos 6x $. Воспользуемся методом вспомогательного угла, как и в предыдущем пункте.
Для выражения вида $ a \sin \alpha + b \cos \alpha $ максимальное значение равно $ \sqrt{a^2 + b^2} $.
В нашем случае $ a = 15 $, $ b = -8 $.
Максимальное значение $ 15 \sin 6x - 8 \cos 6x $ равно $ \sqrt{15^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 $.
Следовательно, максимальное значение всей левой части исходного неравенства равно $ 8 + 17 = 25 $.
Поскольку максимальное значение левой части равно 25, то для любых значений $x$ выполняется неравенство $ 16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \le 25 $.
Ответ: Неравенство доказано.

30.25. a) $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$;

б) $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$.

Рассмотрим неравенство $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$.

Чтобы решить это неравенство, оценим множество значений выражения в левой части. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Область значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$.

В данном случае коэффициенты $a=3$ и $b=5$. Найдем максимальное значение левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство:

$-\sqrt{34} \le 3 \sin x + 5 \cos x \le \sqrt{34}$.

Теперь сравним максимальное значение левой части, равное $\sqrt{34}$, с правой частью исходного неравенства, $\sqrt[3]{210}$.

Для сравнения чисел $\sqrt{34}$ и $\sqrt[3]{210}$ возведем их в 6-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3):

$(\sqrt{34})^6 = 34^3 = 34 \times 1156 = 39304$.

$(\sqrt[3]{210})^6 = 210^2 = 44100$.

Так как $39304 < 44100$, то $34^3 < 210^2$, и, следовательно, $\sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$.

Мы получили, что максимальное значение выражения $3 \sin x + 5 \cos x$ меньше, чем число в правой части неравенства. Таким образом, для любого $x$ выполняется:

$3 \sin x + 5 \cos x \le \sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим неравенство $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$.

Аналогично предыдущему пункту, оценим множество значений выражения в левой части. Для выражения вида $a \sin x + b \cos x$ с коэффициентами $a=\sqrt{3}$ и $b=-7$, область значений — это отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Найдем значение $\sqrt{a^2+b^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-7)^2} = \sqrt{3 + 49} = \sqrt{52}$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство:

$-\sqrt{52} \le \sqrt{3} \sin x - 7 \cos x \le \sqrt{52}$.

Минимальное значение левой части равно $-\sqrt{52}$.

Теперь сравним это минимальное значение с правой частью исходного неравенства, $-\sqrt[3]{390}$. Для этого сравним положительные числа $\sqrt{52}$ и $\sqrt[3]{390}$.

Возведем оба числа в 6-ю степень:

$(\sqrt{52})^6 = 52^3 = 52 \times 2704 = 140608$.

$(\sqrt[3]{390})^6 = 390^2 = 152100$.

Так как $140608 < 152100$, то $52^3 < 390^2$, и, следовательно, $\sqrt{52} < \sqrt[3]{390}$.

Умножим обе части последнего неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$.

Мы получили, что минимальное значение выражения $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x$ больше, чем число в правой части неравенства. Таким образом, для любого $x$ выполняется:

$\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x \ge -\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

30.26. При каких значениях параметра $a$ решением неравенства является любое действительное число $x$:

а) $12 \sin 2x - 35 \cos 2x < 148a^2;$

б) $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \geq 18,5(a^3 - 10)?$

а) Для того чтобы неравенство $12 \sin 2x - 35 \cos 2x < 148a^2$ выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть неравенства была строго больше максимального значения левой части.
Рассмотрим левую часть неравенства: выражение $f(x) = 12 \sin 2x - 35 \cos 2x$. Это выражение вида $A \sin \alpha + B \cos \alpha$, которое можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла в $R \sin(\alpha + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
В нашем случае $A=12$, $B=-35$. Найдем амплитуду $R$:
$R = \sqrt{12^2 + (-35)^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$.
Таким образом, выражение $12 \sin 2x - 35 \cos 2x$ можно представить в виде $37 \sin(2x - \phi)$ для некоторого угла $\phi$.
Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то область значений выражения $37 \sin(2x - \phi)$ – это отрезок $[-37; 37]$.
Следовательно, максимальное значение левой части неравенства равно $37$.
Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех $x$, должно выполняться условие:
$37 < 148a^2$
$a^2 > \frac{37}{148}$
$a^2 > \frac{1}{4}$
Решением этого неравенства является совокупность $|a| > \frac{1}{2}$, то есть $a < -\frac{1}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

б) Для того чтобы неравенство $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \ge 18,5(a^3 - 10)$ выполнялось для любого действительного числа $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть неравенства была меньше либо равна минимальному значению левой части.
Рассмотрим левую часть неравенства: выражение $g(x) = 35 \sin 3x + 12 \cos 3x$. Аналогично пункту а), найдем область значений этого выражения.
Здесь $A=35$, $B=12$. Амплитуда $R$ равна:
$R = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$.
Область значений выражения $35 \sin 3x + 12 \cos 3x$ – это отрезок $[-37; 37]$.
Следовательно, минимальное значение левой части неравенства равно $-37$.
Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех $x$, должно выполняться условие:
$-37 \ge 18,5(a^3 - 10)$
Заметим, что $18,5 = \frac{37}{2}$. Подставим это в неравенство:
$-37 \ge \frac{37}{2}(a^3 - 10)$
Разделим обе части на $37$:
$-1 \ge \frac{1}{2}(a^3 - 10)$
Умножим обе части на $2$:
$-2 \ge a^3 - 10$
Перенесем $-10$ в левую часть:
$10 - 2 \ge a^3$
$8 \ge a^3$ или $a^3 \le 8$
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:
$a \le 2$
Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.

30.27. Сколько целых чисел содержится в области значений функции $y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$?

Для нахождения области значений функции $y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$ сначала упростим выражение.

Рассмотрим выражение в скобках: $\sin x + \sqrt{3} \cos x$. Применим метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно переписать в виде:

$2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x)$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$y = (2 \sin(x + \frac{\pi}{3}))^2 + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

$y = 4 \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{3}) + 3$

Для нахождения области значений этой функции сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Функция принимает вид квадратичной функции от $t$:

$y(t) = 4t^2 + t + 3$

Теперь нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке $t \in [-1, 1]$. Графиком функции $y(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен).

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс:

$t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8}$

Поскольку $t_в = -\frac{1}{8}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наименьшее значение функции будет достигаться в вершине параболы.

$y_{мин} = y(-\frac{1}{8}) = 4(-\frac{1}{8})^2 + (-\frac{1}{8}) + 3 = 4(\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{48}{16} = \frac{47}{16}$

Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 1]$ будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$y(-1) = 4(-1)^2 + (-1) + 3 = 4 - 1 + 3 = 6$

$y(1) = 4(1)^2 + 1 + 3 = 4 + 1 + 3 = 8$

Сравнивая значения, получаем, что $y_{макс} = 8$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок $[\frac{47}{16}, 8]$.

Переведем $\frac{47}{16}$ в десятичную дробь: $\frac{47}{16} = 2.9375$.

Следовательно, область значений функции: $[2.9375, 8]$.

Найдем все целые числа, которые содержатся в этом отрезке. Это числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Их количество равно 6.

Ответ: 6.

• 30.28. Решите уравнение: $\cos x - \sin x \cos 4x = \sqrt{2}$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую часть уравнения: $ \cos x - \sin x \cos 4x $.

Применим неравенство, основанное на свойствах модуля: $ a - b \le |a| + |b| $. В нашем случае:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |-\sin x \cos 4x| = |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| $.

Так как область значений функции косинус есть отрезок $ [-1, 1] $, то $ |\cos 4x| \le 1 $. Используя это, мы можем продолжить нашу оценку:

$ |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| \le |\cos x| + |\sin x| $.

Таким образом, мы получили оценку для левой части исходного уравнения:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| $.

Теперь оценим выражение $ |\cos x| + |\sin x| $. Его максимальное значение равно $ \sqrt{2} $. Это можно показать, возведя выражение в квадрат: $ (|\cos x| + |\sin x|)^2 = |\cos x|^2 + |\sin x|^2 + 2|\cos x||\sin x| = \cos^2 x + \sin^2 x + |2\sin x \cos x| = 1 + |\sin 2x| $. Максимальное значение $ |\sin 2x| $ равно 1, следовательно, максимальное значение $ (|\cos x| + |\sin x|)^2 $ равно $ 1+1=2 $, а максимальное значение самого выражения $ |\cos x| + |\sin x| $ равно $ \sqrt{2} $.

Соединив все неравенства, получаем итоговую оценку для левой части уравнения:

$ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| \le \sqrt{2} $.

Согласно условию задачи, левая часть равна $ \sqrt{2} $. Это возможно только в том случае, когда все неравенства в нашей цепочке обращаются в равенства. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \cos x - \sin x \cos 4x = |\cos x| + |\sin x| & (1) \\ |\cos x| + |\sin x| = \sqrt{2} & (2) \end{cases} $

Анализ этих равенств, в свою очередь, приводит к более детальным условиям. Равенство в неравенстве $ A \le |A| $ достигается при $ A \ge 0 $. Равенство в $ B \le |B| $ достигается при $ B \ge 0 $. Равенство $ A+B \le |A|+|B| $ достигается, когда $ A $ и $ B $ имеют одинаковый знак (или хотя бы один из них равен нулю).

Для того чтобы вся цепочка неравенств стала равенствами, необходима одновременная истинность следующих условий:

• $ |\cos x| + |\sin x| = \sqrt{2} $, что эквивалентно $ |\sin 2x| = 1 $. Отсюда $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
• $ |\cos 4x| = 1 $. Проверим это для найденных $ x $: $ 4x = 4(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) = \pi + 2\pi n $. Тогда $ \cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi n) = -1 $, и, следовательно, $ |\cos 4x| = 1 $ выполняется.
• Неравенство $ \cos x - \sin x \cos 4x \le |\cos x| + |\sin x| \cdot |\cos 4x| $ должно стать равенством. Это происходит, когда слагаемые $ \cos x $ и $ -\sin x \cos 4x $ неотрицательны. То есть:
  • $ \cos x \ge 0 $
  • $ -\sin x \cos 4x \ge 0 $

Подставим $ \cos 4x = -1 $ во второе условие: $ -\sin x (-1) \ge 0 $, что равносильно $ \sin x \ge 0 $.

Итак, нам нужно найти такие целые $ n $, для которых при $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ одновременно выполняются условия $ \cos x \ge 0 $ и $ \sin x \ge 0 $. Это означает, что угол $ x $ должен находиться в первой координатной четверти.

Рассмотрим различные значения $ n $:

• Если $ n = 4k $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $ и $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $. Оба условия выполнены, значит, эта серия является решением.
• Если $ n = 4k+1 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Условие $ \cos x \ge 0 $ не выполнено.
• Если $ n = 4k+2 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $ и $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Оба условия не выполнены.
• Если $ n = 4k+3 $ ($ k \in \mathbb{Z} $), то $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $. В этом случае $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Условие $ \sin x \ge 0 $ не выполнено.

Единственная серия корней, удовлетворяющая всем условиям, это $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

31.1. a) $\sin(x - 1) = \cos(x + 2);$

б) $\sin(3x + 3) = \cos(x - 1).$

a) Решим уравнение $sin(x - 1) = cos(x + 2)$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Применив ее к правой части уравнения, получим:

$cos(x + 2) = sin(\frac{\pi}{2} - (x + 2)) = sin(\frac{\pi}{2} - x - 2)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$sin(x - 1) = sin(\frac{\pi}{2} - x - 2)$.

Уравнение вида $sin(A) = sin(B)$ равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$x - 1 = \frac{\pi}{2} - x - 2 + 2\pi k$

$x + x = \frac{\pi}{2} - 2 + 1 + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{2} - 1 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай:

$x - 1 = \pi - (\frac{\pi}{2} - x - 2) + 2\pi k$

$x - 1 = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2 + 2\pi k$

$x - 1 = \frac{\pi}{2} + x + 2 + 2\pi k$

$-1 = \frac{\pi}{2} + 2 + 2\pi k$

$-3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Это равенство не может выполняться ни при каком целом значении $k$, следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin(3x + 3) = cos(x - 1)$.

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$cos(x - 1) = sin(\frac{\pi}{2} - (x - 1)) = sin(\frac{\pi}{2} - x + 1)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin(3x + 3) = sin(\frac{\pi}{2} - x + 1)$.

Уравнение вида $sin(A) = sin(B)$ решается через рассмотрение двух случаев:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$3x + 3 = \frac{\pi}{2} - x + 1 + 2\pi k$

$3x + x = \frac{\pi}{2} + 1 - 3 + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} - 2 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} - \frac{2}{4} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй случай:

$3x + 3 = \pi - (\frac{\pi}{2} - x + 1) + 2\pi k$

$3x + 3 = \pi - \frac{\pi}{2} + x - 1 + 2\pi k$

$3x + 3 = \frac{\pi}{2} + x - 1 + 2\pi k$

$3x - x = \frac{\pi}{2} - 1 - 3 + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{2} - 4 + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} - 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае мы получили две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{4} - 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

31.2. a) $\sin x \sin 5x = \cos 4x$;

б) $\cos x \cos 5x = \cos 6x$.

а) $ \sin x \sin 5x = \cos 4x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $: $ \sin 5x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(5x - x) - \cos(5x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) $.

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: $ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) = \cos 4x $.

Умножим обе части уравнения на 2 и преобразуем его: $ \cos 4x - \cos 6x = 2\cos 4x $ $ - \cos 6x = 2\cos 4x - \cos 4x $ $ - \cos 6x = \cos 4x $ $ \cos 6x + \cos 4x = 0 $.

Далее воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 6x $ и $ \beta = 4x $: $ 2\cos\frac{6x + 4x}{2}\cos\frac{6x - 4x}{2} = 0 $ $ 2\cos 5x \cos x = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos x = 0 $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 5x = 0 $, откуда $ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, что дает $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

Проверим, не является ли первая серия решений частным случаем второй. Подставим $ k = 2 + 5n $ (где $ n $ — целое число, $ k $ также будет целым) во вторую формулу: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi (2 + 5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \frac{5\pi n}{5} = \frac{\pi + 4\pi}{10} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Это совпадает с первой серией решений. Следовательно, все решения описываются второй, более общей, формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \cos 5x = \cos 6x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $: $ \cos 5x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(5x - x) + \cos(5x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 6x) $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $ \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 6x) = \cos 6x $.

Умножим обе части на 2 и упростим выражение: $ \cos 4x + \cos 6x = 2\cos 6x $ $ \cos 4x = 2\cos 6x - \cos 6x $ $ \cos 4x = \cos 6x $.

Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности $ A = \pm B + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению: $ 6x = \pm 4x + 2\pi m $.

Рассмотрим два случая:

1) С положительным знаком: $ 6x = 4x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ 2x = 2\pi n $ $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) С отрицательным знаком: $ 6x = -4x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ $ 10x = 2\pi k $ $ x = \frac{2\pi k}{10} = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что первая серия решений $ x = \pi n $ является частным случаем второй серии $ x = \frac{\pi k}{5} $. Если во второй формуле взять $ k = 5n $ (где $ n $ — целое число), то получим $ x = \frac{\pi (5n)}{5} = \pi n $. Следовательно, все решения можно объединить в одну более общую формулу.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

31.3. $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x.$

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его левую и правую части, используя тригонометрические формулы.

1. Упрощение левой части уравнения.

Левая часть уравнения имеет вид: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) + \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Применим формулы синуса и косинуса суммы:

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Раскроем каждое слагаемое:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2}$

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сложим полученные выражения:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x) + (\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = \cos x$

Таким образом, левая часть уравнения равна $\cos x$.

2. Упрощение правой части уравнения.

Правая часть уравнения имеет вид: $1 + \cos 2x$.

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим это выражение в правую часть:

$1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$

Таким образом, правая часть уравнения равна $2\cos^2 x$.

3. Решение полученного уравнения.

После упрощения исходное уравнение принимает вид:

$\cos x = 2\cos^2 x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - 1 = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, что дает $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

31.4. a) $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1;$

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \cos^2 x = 1.$

а) Для решения уравнения $2 \cos^2 5x + \cos 3x = 1$ воспользуемся формулой понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. Применив ее к члену $2\cos^2 5x$, получим:

$1 + \cos(10x) + \cos 3x = 1$

Упростив, имеем:

$\cos(10x) + \cos 3x = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+3x}{2}\cos\frac{10x-3x}{2} = 0$

$\cos\frac{13x}{2} \cdot \cos\frac{7x}{2} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos\frac{13x}{2} = 0$, откуда следует $\frac{13x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi(2k+1)}{13}$.

2) $\cos\frac{7x}{2} = 0$, откуда следует $\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi(2n+1)}{7}$.

Ответ: $x = \frac{\pi(2k+1)}{13}, x = \frac{\pi(2n+1)}{7}$, где $k, n \in Z$.

б) Рассмотрим уравнение $\sin 5x + \sin x + 2\cos^2 x = 1$. Преобразуем его, перенеся $2\cos^2 x$ в правую часть:

$\sin 5x + \sin x = 1 - 2\cos^2 x$

В левой части применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

$2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin 3x \cos 2x$

Правая часть, согласно формуле косинуса двойного угла, равна $1 - 2\cos^2 x = -\cos 2x$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2\sin 3x \cos 2x = -\cos 2x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$2\sin 3x \cos 2x + \cos 2x = 0$

$\cos 2x (2\sin 3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 2x = 0$, откуда следует $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2) $2\sin 3x + 1 = 0$, или $\sin 3x = -\frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения: $3x = (-1)^{n}\arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$. Решая относительно $x$, получаем $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.

31.5. a) $8 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0;$

б) $4 \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = 1,5 + \sin x.$

а) $8 \sin^2\frac{x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$8 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} - 3 \sin x - 4 = 0$

Сократим дробь:

$4(1 - \cos x) - 3 \sin x - 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4 \cos x - 3 \sin x - 4 = 0$

$-4 \cos x - 3 \sin x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$4 \cos x + 3 \sin x = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $\cos x$. Это действие возможно, поскольку если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $3 \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Разделив на $\cos x$, получаем:

$4 + 3 \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$4 + 3 \tan x = 0$

$3 \tan x = -4$

$\tan x = -\frac{4}{3}$

Решение уравнения:

$x = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Используя нечетность функции арктангенс, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можем записать ответ в виде:

$x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = 1,5 + \sin x$

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся формулами понижения степени: $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$ и $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$4 \left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) - \left(\frac{1 + \cos x}{2}\right) = 1,5 + \sin x$

$2(1 - \cos x) - \frac{1 + \cos x}{2} = 1,5 + \sin x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$4(1 - \cos x) - (1 + \cos x) = 2(1,5 + \sin x)$

Раскроем скобки:

$4 - 4 \cos x - 1 - \cos x = 3 + 2 \sin x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3 - 5 \cos x = 3 + 2 \sin x$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-5 \cos x = 2 \sin x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2 \sin x + 5 \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущем пункте, разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$2 \frac{\sin x}{\cos x} + 5 = 0$

$2 \tan x = -5$

$\tan x = -\frac{5}{2}$

Находим $x$:

$x = \arctan(-\frac{5}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Или, используя свойство нечетности арктангенса:

$x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

31.6. a) $\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1.5;$

б) $\cos^2 2x + \cos^2 4x + \cos^2 6x = 1.5.$

а) $sin^2 x + sin^2 2x + sin^2 3x = 1,5$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 - cos(2x)}{2} + \frac{1 - cos(4x)}{2} + \frac{1 - cos(6x)}{2} = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 - cos(2x)) + (1 - cos(4x)) + (1 - cos(6x)) = 3$

$3 - cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$- cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 0$

$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(2x) + cos(6x)) + cos(4x) = 0$

$2 cos(\frac{2x + 6x}{2}) cos(\frac{6x - 2x}{2}) + cos(4x) = 0$

$2 cos(4x) cos(2x) + cos(4x) = 0$

Вынесем общий множитель $cos(4x)$ за скобки:

$cos(4x) (2 cos(2x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2 cos(2x) + 1 = 0$

$cos(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos^2 2x + cos^2 4x + cos^2 6x = 1,5$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 + cos(4x)}{2} + \frac{1 + cos(8x)}{2} + \frac{1 + cos(12x)}{2} = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 + cos(4x)) + (1 + cos(8x)) + (1 + cos(12x)) = 3$

$3 + cos(4x) + cos(8x) + cos(12x) = 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$cos(4x) + cos(8x) + cos(12x) = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(4x) + cos(12x)) + cos(8x) = 0$

$2 cos(\frac{4x + 12x}{2}) cos(\frac{12x - 4x}{2}) + cos(8x) = 0$

$2 cos(8x) cos(4x) + cos(8x) = 0$

Вынесем общий множитель $cos(8x)$ за скобки:

$cos(8x) (2 cos(4x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(8x) = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2 cos(4x) + 1 = 0$

$cos(4x) = -\frac{1}{2}$

$4x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.