Страница 182, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Преобразуйте данное выражение к виду $C \sin (x + t)$ или

$C \cos (x + t):$

30.1. а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x;$

в) $\sin x - \cos x;$

г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x.$

Для преобразования выражений вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = C \sin(x+t)$, где амплитуда $C = \sqrt{a^2+b^2}$, а вспомогательный угол $t$ определяется из условий $\cos t = \frac{a}{C}$ и $\sin t = \frac{b}{C}$. Также можно использовать формулу $a \sin x + b \cos x = C \cos(x-t)$, где $C = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos t = \frac{b}{C}$ и $\sin t = \frac{a}{C}$. В решениях ниже мы будем приводить выражение к виду $C \sin(x+t)$, находя $C$ и $t$.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вынесем $C=2$ за скобки:

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.

3. Теперь нам нужно найти угол $t$, такой что $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin t = \frac{1}{2}$. Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что таким углом является $t = \frac{\pi}{6}$.

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x \right)$.

5. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, сворачиваем выражение в скобках:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вынесем $C=2$ за скобки:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{2}$ и $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $t = \frac{\pi}{3}$.

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x \right)$.

5. Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

в) $\sin x - \cos x$

В данном выражении коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Вынесем $C=\sqrt{2}$ за скобки:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Этим условиям соответствует угол $t = -\frac{\pi}{4}$ (или $t = \frac{7\pi}{4}$).

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \sin x + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \cos x \right)$.

5. Используя формулу синуса суммы, получаем:

$\sqrt{2} \sin\left(x + \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x$

Сначала упростим коэффициент при косинусе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Выражение принимает вид: $2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x$.

Здесь коэффициенты $a = 2$ и $b = -2\sqrt{3}$.

1. Найдем амплитуду $C$:

$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

2. Вынесем $C=4$ за скобки:

$2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x = 4 \left( \frac{2}{4} \sin x - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos x \right) = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.

3. Найдем угол $t$, такой что $\cos t = \frac{1}{2}$ и $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $t = \frac{5\pi}{3}$).

4. Подставим значения косинуса и синуса в выражение:

$4 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \sin x + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \cos x \right)$.

5. Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$4 \sin\left(x + \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 4 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $4 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

30.2. а) $3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $5 \cos x - 12 \sin x$;

в) $7 \sin x - 24 \cos x$;

г) $8 \cos x + 15 \sin x$.

а) Для преобразования выражения вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод вспомогательного угла. Суть метода заключается в приведении выражения к виду $R \sin(x \pm \alpha)$ или $R \cos(x \pm \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В данном случае имеем выражение $3 \sin x + 4 \cos x$, где $a = 3$ и $b = 4$.

1. Найдем коэффициент $R$ (амплитуду):

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Вынесем $R$ за скобки в исходном выражении:

$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \left( \frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что его косинус и синус равны коэффициентам при $\sin x$ и $\cos x$ в скобках. Пусть $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такое $\alpha$ существует, так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$5 (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)$.

5. Используем формулу синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$5 \sin(x + \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить через аркфункцию, например, $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Ответ: $5 \sin\left(x + \arccos\frac{3}{5}\right)$.

б) Преобразуем выражение $5 \cos x - 12 \sin x$.

Здесь коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $a = -12$ и $b = 5$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

2. Вынесем $R$ за скобки:

$5 \cos x - 12 \sin x = 13 \left( \frac{5}{13} \cos x - \frac{12}{13} \sin x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$13 (\cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу косинуса суммы:

$13 \cos(x + \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)$.

Ответ: $13 \cos\left(x + \arccos\frac{5}{13}\right)$.

в) Преобразуем выражение $7 \sin x - 24 \cos x$.

Здесь $a = 7$ и $b = -24$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

2. Вынесем $R$ за скобки:

$7 \sin x - 24 \cos x = 25 \left( \frac{7}{25} \sin x - \frac{24}{25} \cos x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{7}{25}$ и $\sin \alpha = \frac{24}{25}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$25 (\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу синуса разности:

$25 \sin(x - \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{7}{25}\right)$.

Ответ: $25 \sin\left(x - \arccos\frac{7}{25}\right)$.

г) Преобразуем выражение $8 \cos x + 15 \sin x$.

Перепишем для удобства: $15 \sin x + 8 \cos x$. Здесь $a=15$ и $b=8$.

1. Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

2. Вынесем $R$ за скобки из исходного выражения:

$8 \cos x + 15 \sin x = 17 \left( \frac{8}{17} \cos x + \frac{15}{17} \sin x \right)$.

3. Введем вспомогательный угол $\alpha$. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. Пусть $\cos \alpha = \frac{8}{17}$ и $\sin \alpha = \frac{15}{17}$.

4. Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение:

$17 (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$.

5. Применим формулу косинуса разности:

$17 \cos(x - \alpha)$.

Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos\left(\frac{8}{17}\right)$.

Ответ: $17 \cos\left(x - \arccos\frac{8}{17}\right)$.

30.3. Докажите тождество:

a) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right);$

б) $\cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right).$

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Рассмотрим выражение $ \sin x + \cos x $. Применим метод вспомогательного угла, вынеся за скобки $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $:

$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты и применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \left( \cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ \sin x + \cos x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2} $

Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобку:

$ \sqrt{2} \left( 1 + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right) $

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha $. В нашем случае $ 2\alpha = x - \frac{\pi}{4} $, откуда $ \alpha = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} $.

Получаем:

$ \sqrt{2} \cdot 2\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $

Левая часть тождества преобразована к правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Рассмотрим выражение $ \cos 2x - \sin 2x $. Применим метод вспомогательного угла, вынеся за скобки $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \cos 2x - \sin 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты и применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \left( \cos 2x \cos\frac{\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ \cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} $

Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобку:

$ \sqrt{2} \left( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 1 \right) $

Используем формулу, следующую из косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) - 1 = -2\sin^2\alpha $. В нашем случае $ 2\alpha = 2x + \frac{\pi}{4} $, откуда $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $.

Получаем:

$ \sqrt{2} \cdot \left( -2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \right) = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) $

Левая часть тождества преобразована к правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

30.4. Преобразуйте сумму в произведение:

a) $ \sin t + \cos t + 5 \cos \left(t + \frac{\pi}{4}\right); $

б) $ \sin t - \cos t + \sqrt{34} \cos \left(\frac{\pi}{4} - t\right). $

Рассмотрим выражение $\sin t + \cos t + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$.

Сначала преобразуем сумму первых двух слагаемых, $\sin t + \cos t$, используя метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1.

$\sin t + \cos t = \sqrt{1^2+1^2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right) = \sqrt{2}\left(\cos t \cos\frac{\pi}{4} + \sin t \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это преобразование в исходное выражение:

$\sqrt{2}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right) + 5\cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$.

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $u = t - \frac{\pi}{4}$. Тогда $t + \frac{\pi}{4} = (u + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = u + \frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2}\cos u + 5\cos\left(u + \frac{\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\cos\left(u + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin u$. Получаем:

$\sqrt{2}\cos u - 5\sin u$.

Это выражение вида $A\cos u + B\sin u$, где $A=\sqrt{2}$ и $B=-5$. Снова используем метод вспомогательного угла.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-5)^2} = \sqrt{2 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Вынесем $R$ за скобки: $3\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\cos u - \frac{5}{3\sqrt{3}}\sin u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$ и $\sin\phi = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.

Тогда выражение в скобках становится $\cos\phi\cos u - \sin\phi\sin u$, что по формуле косинуса суммы равно $\cos(u+\phi)$.

Таким образом, мы получили произведение: $3\sqrt{3}\cos(u+\phi)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $t$, подставив $u = t - \frac{\pi}{4}$:

$3\sqrt{3}\cos\left(t - \frac{\pi}{4} + \phi\right)$.

Ответ: $3\sqrt{3}\cos\left(t - \frac{\pi}{4} + \phi\right)$, где $\phi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$ и $\sin\phi = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.

Рассмотрим выражение $\sin t - \cos t + \sqrt{34} \cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right)$.

Преобразуем первые два слагаемых, $\sin t - \cos t$, используя метод вспомогательного угла. Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1 и -1.

$\sin t - \cos t = \sqrt{1^2+(-1)^2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right) = \sqrt{2}\left(\sin t \cos\frac{\pi}{4} - \cos t \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для третьего слагаемого используем свойство четности функции косинус: $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{4} - t\right)\right) = \cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{34}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Оба слагаемых имеют одинаковый аргумент. Обозначим его $u = t - \frac{\pi}{4}$. Выражение примет вид:

$\sqrt{2}\sin u + \sqrt{34}\cos u$.

Это выражение вида $A\sin u + B\cos u$, где $A=\sqrt{2}$ и $B=\sqrt{34}$. Применим метод вспомогательного угла.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{34})^2} = \sqrt{2 + 34} = \sqrt{36} = 6$.

Вынесем $R$ за скобки: $6\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\sin u + \frac{\sqrt{34}}{6}\cos u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$ и $\cos\phi = \frac{\sqrt{34}}{6}$.

Тогда выражение в скобках можно записать как $\sin u \sin\phi + \cos u \cos\phi$, что по формуле косинуса разности равно $\cos(u-\phi)$.

Таким образом, мы получили произведение: $6\cos(u-\phi)$.

Возвращаемся к исходной переменной $t$, подставляя $u = t - \frac{\pi}{4}$:

$6\cos\left(t - \frac{\pi}{4} - \phi\right)$.

Ответ: $6\cos\left(t - \frac{\pi}{4} - \phi\right)$, где $\phi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos\phi = \frac{\sqrt{34}}{6}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

30.5. Вычислите:

а) $\frac{\sin 38^\circ - \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ}$;

б) $\frac{\sin 377^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}$;

в) $\frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ}$;

г) $\frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ}$.

а) $ \frac{\sin 38^\circ - \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} $

Преобразуем числитель, используя метод вспомогательного угла. Для выражения вида $a \sin x - b \cos x$ вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В данном случае $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$ \sin 38^\circ - \cos 38^\circ = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 38^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 38^\circ \right) $

Заметим, что $ \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения:

$ \sqrt{2} (\sin 38^\circ \cos 45^\circ - \cos 38^\circ \sin 45^\circ) $

Используем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \sin(38^\circ - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(-7^\circ) $

Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:

$ -\sqrt{2} \sin 7^\circ $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{-\sqrt{2} \sin 7^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \frac{\sin 377^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ} $

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность ($360^\circ$):

$ \sin 377^\circ = \sin(360^\circ + 17^\circ) = \sin 17^\circ $

$ \cos 407^\circ = \cos(360^\circ + 47^\circ) = \cos 47^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 17^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 47^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 17^\circ - \sqrt{3} \cos 17^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $ за скобки:

$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin 17^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 17^\circ \right) $

Зная, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ 2 (\sin 17^\circ \cos 60^\circ - \cos 17^\circ \sin 60^\circ) $

Применяем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ 2 \sin(17^\circ - 60^\circ) = 2 \sin(-43^\circ) = -2 \sin 43^\circ $

Подставим это в дробь:

$ \frac{-2 \sin 43^\circ}{\cos 47^\circ} $

Используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $, преобразуем числитель:

$ \sin 43^\circ = \cos(90^\circ - 43^\circ) = \cos 47^\circ $

Тогда выражение равно:

$ \frac{-2 \cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} = -2 $

Ответ: $-2$

в) $ \frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ} $

Упростим знаменатель, используя свойства косинуса:

$ \cos 347^\circ = \cos(360^\circ - 13^\circ) = \cos(-13^\circ) = \cos 13^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 13^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $ за скобки:

$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin 17^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 17^\circ \right) $

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ 2 (\sin 17^\circ \sin 30^\circ + \cos 17^\circ \cos 30^\circ) $

Применяем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ 2 \cos(30^\circ - 17^\circ) = 2 \cos 13^\circ $

Теперь подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{2 \cos 13^\circ}{2 \cos 13^\circ} = 1 $

Ответ: $1$

г) $ \frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ} $

Упростим аргументы тригонометрических функций, используя их периодичность и свойства:

$ \sin 752^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 32^\circ) = \sin 32^\circ $

$ \cos 328^\circ = \cos(360^\circ - 32^\circ) = \cos(-32^\circ) = \cos 32^\circ $

$ \sin 437^\circ = \sin(360^\circ + 77^\circ) = \sin 77^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{\sin 32^\circ + \cos 32^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} $

Преобразуем числитель $ \sin 32^\circ + \cos 32^\circ $ методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $ за скобки:

$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 32^\circ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 32^\circ \right) $

Заметим, что $ \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения:

$ \sqrt{2} (\sin 32^\circ \cos 45^\circ + \cos 32^\circ \sin 45^\circ) $

Используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $:

$ \sqrt{2} \sin(32^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 77^\circ $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{2} \sin 77^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} = 1 $

Ответ: $1$

30.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

a) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x.$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции вида $y = a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании исходного выражения к виду $y = R \sin(x + \varphi)$ или $y = R \cos(x - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда колебания.

Вынесем $\sqrt{a^2 + b^2}$ за скобки:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$

Так как $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = 1$, то существует угол $\varphi$, такой что $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ и $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Тогда выражение преобразуется с использованием формулы синуса суммы:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)$

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений функции $y$ будет $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{a^2+b^2}$, а наибольшее — $\sqrt{a^2+b^2}$.

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

В данном случае коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $2$.

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $2$.

в) $y = \sin x - \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее значение равно $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-\sqrt{2}$, наибольшее значение $\sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = \sqrt{6}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2\sqrt{2}$, а наибольшее значение равно $2\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение $2\sqrt{2}$.

30.7. Найдите область значений функции:

a) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x;$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x;$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2};$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}.$

Для нахождения области значений функции вида $y = a \sin(kx) + b \cos(kx)$ или $y = a \cos(kx) + b \sin(kx)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод показывает, что такая функция является гармоническим колебанием, и её область значений представляет собой отрезок $[-R, R]$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

а) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x$

Данная функция является линейной комбинацией синуса и косинуса с одинаковым аргументом $2x$. Коэффициенты при тригонометрических функциях равны $a = 3$ и $b = -4$.

Найдем амплитуду $R$ колебания по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, функцию можно представить в виде $y = 5 \sin(2x + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x + \phi) \le 1$, то для функции $y$ имеем:

$-1 \cdot 5 \le 5 \sin(2x + \phi) \le 1 \cdot 5$

$-5 \le y \le 5$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $E(y) = [-5; 5]$.

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = 12 \sin 3x + 5 \cos 3x$. Это линейная комбинация синуса и косинуса с аргументом $3x$. Коэффициенты: $a = 12$ и $b = 5$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Функцию можно представить в виде $y = 13 \sin(3x + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Область значений синуса $[-1, 1]$, поэтому область значений функции $y$ определяется неравенством:

$-1 \cdot 13 \le 13 \sin(3x + \phi) \le 1 \cdot 13$

$-13 \le y \le 13$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13; 13]$.

в) $y = 7 \sin\frac{x}{2} + 24 \cos\frac{x}{2}$

Данная функция является линейной комбинацией синуса и косинуса с аргументом $\frac{x}{2}$. Коэффициенты: $a = 7$ и $b = 24$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

Функцию можно представить в виде $y = 25 \sin(\frac{x}{2} + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Поскольку $-1 \le \sin(\frac{x}{2} + \phi) \le 1$, область значений для $y$ будет:

$-1 \cdot 25 \le 25 \sin(\frac{x}{2} + \phi) \le 1 \cdot 25$

$-25 \le y \le 25$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-25, 25]$.

Ответ: $E(y) = [-25; 25]$.

г) $y = 8 \cos\frac{x}{3} - 15 \sin\frac{x}{3}$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -15 \sin\frac{x}{3} + 8 \cos\frac{x}{3}$. Это линейная комбинация синуса и косинуса с аргументом $\frac{x}{3}$. Коэффициенты: $a = -15$ и $b = 8$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Функцию можно представить в виде $y = 17 \sin(\frac{x}{3} + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Так как $-1 \le \sin(\frac{x}{3} + \phi) \le 1$, то для $y$ получаем:

$-1 \cdot 17 \le 17 \sin(\frac{x}{3} + \phi) \le 1 \cdot 17$

$-17 \le y \le 17$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-17, 17]$.

Ответ: $E(y) = [-17; 17]$.