Страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.35. $6 \tan x + 5 \cot 3x = \tan 2x$.

Исходное уравнение:$6 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{tg} 2x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенсов и котангенса:

• $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Перенесем $\operatorname{tg} 2x$ в левую часть и сгруппируем слагаемые:$6 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x + 5 \operatorname{ctg} 3x = 0$$(5 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x) + (\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x) = 0$$5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} 3x) + (\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x) = 0$

Преобразуем выражения в скобках, используя формулы суммы и разности тангенсов, а также определение котангенса.

Для первой скобки:$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} 3x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos 3x}{\sin 3x} = \frac{\sin x \sin 3x + \cos x \cos 3x}{\cos x \sin 3x}$Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:$\frac{\cos(3x - x)}{\cos x \sin 3x} = \frac{\cos 2x}{\cos x \sin 3x}$

Для второй скобки:$\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x \cos 2x - \cos x \sin 2x}{\cos x \cos 2x}$Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:$\frac{\sin(x - 2x)}{\cos x \cos 2x} = \frac{\sin(-x)}{\cos x \cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x \cos 2x}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:$5 \left( \frac{\cos 2x}{\cos x \sin 3x} \right) - \frac{\sin x}{\cos x \cos 2x} = 0$

Поскольку из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, $\cos 2x \neq 0$ и $\sin 3x \neq 0$, мы можем умножить уравнение на $\cos x \sin 3x \cos 2x$, чтобы избавиться от знаменателей. Или, что проще, вынесем общий множитель $\frac{1}{\cos x}$ и перенесем одно из слагаемых в правую часть:$\frac{5 \cos 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{\cos 2x}$$5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.$\sin x \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$

Подставляем это в уравнение:$5 \cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2 2x - 1$.$5 \cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1))$$10 \cos^2 2x = \cos 2x - 2\cos^2 2x + 1$$12 \cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получаем квадратное уравнение:$12y^2 - y - 1 = 0$Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни уравнения:$y_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$y_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $\cos 2x = \frac{1}{3}$Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos 2x \neq 0$. Проверим остальные условия ОДЗ.$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1+1/3}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3} \neq 0$, значит $\cos x \neq 0$.Из уравнения $5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$ следует, что $5(\frac{1}{3})^2 = \sin x \sin 3x$, то есть $\frac{5}{9} = \sin x \sin 3x$. Так как правая часть не равна нулю, то и $\sin 3x \neq 0$. Все условия ОДЗ выполнены.Решение для этого случая:$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\cos 2x = -\frac{1}{4}$Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos 2x \neq 0$. Проверим остальные условия ОДЗ.$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1-1/4}{2} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8} \neq 0$, значит $\cos x \neq 0$.Из уравнения $5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$ следует, что $5(-\frac{1}{4})^2 = \sin x \sin 3x$, то есть $\frac{5}{16} = \sin x \sin 3x$. Так как правая часть не равна нулю, то и $\sin 3x \neq 0$. Все условия ОДЗ выполнены.Решение для этого случая:$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

31.36. $sin 5x + sin x = 2 + 2 \cos^2 x$

Рассмотрим данное уравнение: $ \sin 5x + \sin x = 2 + 2\cos^2 x $.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Оценка левой части (ЛЧ):

Значения функций $ \sin 5x $ и $ \sin x $ находятся в диапазоне от $-1$ до $1$.
$ -1 \le \sin 5x \le 1 $
$ -1 \le \sin x \le 1 $
Следовательно, их сумма не может превышать $ 1 + 1 = 2 $.$ \sin 5x + \sin x \le 2 $.

Оценка правой части (ПЧ):

Значение функции $ \cos^2 x $ находится в диапазоне от $0$ до $1$.
$ 0 \le \cos^2 x \le 1 $
Умножим это неравенство на $2$:
$ 0 \le 2\cos^2 x \le 2 $
Прибавим $2$ ко всем частям неравенства:
$ 2 \le 2 + 2\cos^2 x \le 4 $
Следовательно, наименьшее значение правой части равно $2$.

Исходное равенство $ \sin 5x + \sin x = 2 + 2\cos^2 x $ возможно тогда и только тогда, когда левая часть принимает свое максимальное значение, а правая часть — свое минимальное значение, то есть когда обе части равны $2$.

Это эквивалентно решению системы уравнений:

$ \begin{cases} \sin 5x + \sin x = 2 \\ 2 + 2\cos^2 x = 2 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ 2 + 2\cos^2 x = 2 $
$ 2\cos^2 x = 0 $
$ \cos^2 x = 0 $
$ \cos x = 0 $

Теперь рассмотрим первое уравнение. Сумма двух синусов равна $2$ только в том случае, когда каждый из синусов равен $1$.
$ \begin{cases} \sin 5x = 1 \\ \sin x = 1 \end{cases} $

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $ \cos x = 0 $ и $ \sin x = 1 $.
Из уравнения $ \sin x = 1 $ получаем серию решений:
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения $x$ остальным условиям системы.

1. Проверка для $ \cos x = 0 $:
$ \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Условие выполняется.

2. Проверка для $ \sin 5x = 1 $:
$ \sin(5(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k) $.
Так как период синуса $2\pi$, то $ 10\pi k = 5k \cdot 2\pi $ является целым числом периодов, и его можно отбросить.
$ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4\pi + \pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Условие выполняется.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются значения $x$, удовлетворяющие уравнению $ \sin x = 1 $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $.

31.37. $ ( \sin x + \sqrt{3} \cos x ) \sin 3x = 2 $.

Преобразуем выражение в скобках $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a=1$ и $b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Тогда выражение в скобках примет вид:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставив эти значения, получим:

$2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$2\sin(x + \frac{\pi}{3})$.

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \sin 3x = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \sin 3x = 1$.

Произведение двух синусов равно 1. Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, такое равенство возможно только в двух случаях: либо оба сомножителя равны 1, либо оба равны -1.

Случай 1: Оба множителя равны 1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1 \\ \sin 3x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения общих решений приравняем полученные выражения: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, откуда $k = \frac{n}{3}$. Это равенство выполняется для целых $k$ и $n$, если $n$ кратно 3. Таким образом, решения этой системы: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя равны -1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = -1 \\ \sin 3x = -1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Приравняем решения: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$. После упрощения получим $3k-n=1$, или $n=3k-1$. Поскольку для любого целого $k$ существует соответствующее целое $n$, система имеет решения: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно представить на единичной окружности точками $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. Расстояние между этими точками составляет $\pi$. Поэтому решения можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

31.38. $\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x\right) = 1.$

31.38. Решим данное тригонометрическое уравнение:

$\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x\right) = 1$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого выразим $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$. Подставим это в исходное уравнение:

$\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}(1 - \cos^2 2x)\right) = 1$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = \cos 2x$. Учитывая, что область значений функции косинус от -1 до 1 включительно, имеем ограничение $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$t \left(1 - \frac{3}{4}(1 - t^2)\right) = 1$

Теперь решим это алгебраическое уравнение относительно $t$. Раскроем скобки:

$t \left(1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}t^2\right) = 1$

$t \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}t^2\right) = 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$t (1 + 3t^2) = 4$

$3t^3 + t - 4 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена. Проверим $t=1$:

$3(1)^3 + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$

Поскольку равенство верное, $t=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $3t^3 + t - 4$ на $(t-1)$, чтобы найти остальные корни. В результате разложения на множители получаем:

$(t-1)(3t^2 + 3t + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $t - 1 = 0 \implies t = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

2) $3t^2 + 3t + 4 = 0$. Для этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Таким образом, единственное возможное действительное значение для $t$ это $1$.

Выполним обратную замену:

$\cos 2x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения находятся по формуле:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Наконец, найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

31.39. $\sin x + \cos x = \sqrt{2} + \sin^4 4x$

31.39. Для решения уравнения $\sin x + \cos x = \sqrt{2 + \sin^4 4x}$ воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

Сначала оценим множество значений левой части уравнения. Преобразуем выражение $\sin x + \cos x$ с помощью введения вспомогательного угла:

$\sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$.

Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то для левой части уравнения имеем оценку:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь оценим множество значений правой части уравнения: $\sqrt{2 + \sin^4 4x}$.

Мы знаем, что $-1 \le \sin 4x \le 1$. При возведении в четвертую степень значения будут неотрицательными, поэтому $0 \le \sin^4 4x \le 1$.

Тогда для подкоренного выражения имеем:

$2+0 \le 2 + \sin^4 4x \le 2+1$, то есть $2 \le 2 + \sin^4 4x \le 3$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем оценку для правой части уравнения:

$\sqrt{2} \le \sqrt{2 + \sin^4 4x} \le \sqrt{3}$.

Итак, множество значений правой части — это отрезок $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$.

Равенство левой и правой частей возможно только тогда, когда их значения совпадают. Сравнивая множества значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$, мы видим, что единственное общее значение — это $\sqrt{2}$.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin x + \cos x = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2} \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения, откуда:

$x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни второму уравнению системы. Решим второе уравнение:

$\sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2}$

$2 + \sin^4 4x = 2$

$\sin^4 4x = 0$

$\sin 4x = 0$

Подставим найденную серию корней $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ в это уравнение:

$\sin\left(4\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)\right) = \sin(\pi + 8\pi k)$.

Поскольку $8\pi k$ — это целое число полных оборотов ($4k$ оборотов), то $\sin(\pi + 8\pi k) = \sin(\pi) = 0$.

Условие выполняется. Таким образом, решения исходного уравнения совпадают с решениями первого уравнения системы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

31.40. $\sqrt{9 - x^2(\sin 2x - 3 \cos x)} = 0$.

Исходное уравнение имеет вид $\sqrt{A} \cdot B = 0$. Такое уравнение равносильно системе, в которой либо $A=0$, либо $B=0$, при условии, что оба выражения $A$ и $B$ определены. Для данного уравнения это означает, что выражение под корнем должно быть неотрицательно.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$9 - x^2 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x^2 \le 9$

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, все решения уравнения должны находиться в промежутке $[-3, 3]$.

Уравнение $\sqrt{9 - x^2}(\sin 2x - 3 \cos x) = 0$ выполняется, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (что гарантируется выполнением условия ОДЗ).

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:

$\sqrt{9 - x^2} = 0$

Возводим обе части в квадрат:

$9 - x^2 = 0$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба этих значения принадлежат ОДЗ.

2) Второй множитель равен нулю:

$\sin 2x - 3 \cos x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x - 3 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых уравнения:

а) $\cos x = 0$

б) $2 \sin x - 3 = 0$

Решим уравнение (а): $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо отобрать корни, которые принадлежат отрезку $[-3, 3]$:

• При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень принадлежит отрезку $[-3, 3]$.
• При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Этот корень также принадлежит отрезку $[-3, 3]$.
• При других целых значениях $n$ (например, $n=1$ или $n=-2$) корни будут выходить за пределы отрезка $[-3, 3]$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 > 3$, а при $n=-2$, $x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 < -3$.

Таким образом, из уравнения (а) мы получаем два корня: $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$.

Решим уравнение (б): $2 \sin x - 3 = 0$.

$2 \sin x = 3$

$\sin x = \frac{3}{2} = 1.5$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как область значений функции синус $y=\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, а $1.5 > 1$.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $\{-3; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; 3\}$.

31.41. a) $\sqrt{25 - 4x^2}(3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0;$

б) $\sqrt{49 - 4x^2}\left(\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2}\right) = 0.$

а) $\sqrt{25 - 4x^2} (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$25 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 25$

$x^2 \le \frac{25}{4}$

$-\frac{5}{2} \le x \le \frac{5}{2}$ или $x \in [-2.5, 2.5]$.

2. Решим уравнение. Оно распадается на два случая:

Случай 1: $\sqrt{25 - 4x^2} = 0$

$25 - 4x^2 = 0$

$x^2 = \frac{25}{4}$

$x_1 = \frac{5}{2} = 2.5$, $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$3(2 \sin \pi x \cos \pi x) + 8 \sin \pi x = 0$

$6 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin \pi x$ за скобки:

$2 \sin \pi x (3 \cos \pi x + 4) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $\sin \pi x = 0$

$\pi x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $x \in [-2.5, 2.5]$:

$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

б) $3 \cos \pi x + 4 = 0$

$3 \cos \pi x = -4$

$\cos \pi x = -\frac{4}{3}$

Так как $|\cos \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, а $|-\frac{4}{3}| > 1$, это уравнение не имеет решений.

3. Объединим все найденные решения:

Из случая 1: $\{-2.5, 2.5\}$.

Из случая 2: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Итоговые корни: $\{-2.5, -2, -1, 0, 1, 2, 2.5\}$.

Ответ: $\{-2.5, -2, -1, 0, 1, 2, 2.5\}$.

б) $\sqrt{49 - 4x^2} (\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2}) = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$49 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 49$

$x^2 \le \frac{49}{4}$

$-\frac{7}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ или $x \in [-3.5, 3.5]$.

2. Решим уравнение. Оно распадается на два случая:

Случай 1: $\sqrt{49 - 4x^2} = 0$

$49 - 4x^2 = 0$

$x^2 = \frac{49}{4}$

$x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$, $x_2 = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \pi x$:

$2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{\pi x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{\pi x}{2} (2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $\cos \frac{\pi x}{2} = 0$

$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = 1 + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $x \in [-3.5, 3.5]$:

$-3.5 \le 1 + 2k \le 3.5$

$-4.5 \le 2k \le 2.5$

$-2.25 \le k \le 1.25$

Целочисленные значения $k$ из этого интервала: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

При $k = -2: x = 1 + 2(-2) = -3$.

При $k = -1: x = 1 + 2(-1) = -1$.

При $k = 0: x = 1 + 2(0) = 1$.

При $k = 1: x = 1 + 2(1) = 3$.

Корни из этого случая: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

б) $2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 = 0$

$2 \sin \frac{\pi x}{2} = -3$

$\sin \frac{\pi x}{2} = -\frac{3}{2}$

Так как $|\sin \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, а $|-\frac{3}{2}| > 1$, это уравнение не имеет решений.

3. Объединим все найденные решения:

Из случая 1: $\{-3.5, 3.5\}$.

Из случая 2: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

Итоговые корни: $\{-3.5, -3, -1, 1, 3, 3.5\}$.

Ответ: $\{-3.5, -3, -1, 1, 3, 3.5\}$.

31.42. a) $(\cot \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x) \sqrt{4x - x^2 + 5} = 0;$

б) $(2 \sin 2x - \tan x) \sqrt{2 - x - x^2} = 0.$

а)

Решим уравнение $(\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x) \sqrt{4x - x^2 + 5} = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4x - x^2 + 5 \ge 0$
$x^2 - 4x - 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1, 5]$.

2. Аргумент котангенса $\ctg \frac{x}{2}$ должен быть определен, то есть $\sin \frac{x}{2} \ne 0$.
$\frac{x}{2} \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x \ne 2\pi k$
В отрезок $[-1, 5]$ попадает одно значение, которое нужно исключить: $x = 0$ (при $k=0$).

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 5]$.

Теперь рассмотрим два случая, в которых произведение равно нулю:

Случай 1: $\sqrt{4x - x^2 + 5} = 0$.
Это равносильно $4x - x^2 + 5 = 0$, корни которого мы уже нашли: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Оба значения принадлежат ОДЗ. При этих значениях $x$ первый множитель $(\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x)$ определен. Значит, $x = -1$ и $x = 5$ — решения уравнения.

Случай 2: $\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x = 0$ при условии, что $x \in [-1, 0) \cup (0, 5]$.
Используем тригонометрическую формулу $\ctg \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ (она верна при $\sin x \ne 0$).
$\frac{1+\cos x}{\sin x} - \frac{2}{3} \sin x = 0$
$3(1+\cos x) = 2\sin^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, получаем:
$3 + 3\cos x = 2(1 - \cos^2 x)$
$2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$
Пусть $t = \cos x$, где $t \in [-1, 1]$.
$2t^2 + 3t + 1 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{9-8}}{4} = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-1, 5]$ попадает только $x = \pi$ (при $n=0$). При этом значении $\sin x = 0$, поэтому наше преобразование было некорректным. Проверим $x=\pi$ подстановкой в исходное уравнение $\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x = 0$:
$\ctg \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \sin \pi = 0 - 0 = 0$.
Равенство верно, и $x=\pi$ принадлежит ОДЗ. Значит, $x=\pi$ — решение.

2) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдём корни, принадлежащие отрезку $[-1, 5]$.
Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ подходит $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$ (при $n=0$).
Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ подходит $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ (при $n=1$).
Оба значения, $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$, входят в ОДЗ. Значит, они являются решениями.

Соберем все найденные корни: $x = -1$, $x = 5$, $x = \pi$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\{-1, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 5\}$.

б)

Решим уравнение $(2 \sin 2x - \tg x) \sqrt{2 - x - x^2} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x - x^2 \ge 0$
$x^2 + x - 2 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Неравенство выполняется при $x \in [-2, 1]$.

2. Тангенс $\tg x$ должен быть определен, то есть $\cos x \ne 0$.
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-2, 1]$ попадает значение $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$), которое нужно исключить. ($-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$).

ОДЗ: $x \in [-2, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 1]$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{2 - x - x^2} = 0$.
$2 - x - x^2 = 0 \implies x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Оба корня принадлежат ОДЗ, и при этих значениях первый множитель $(2 \sin 2x - \tg x)$ определен. Следовательно, $x=1$ и $x=-2$ являются решениями.

Случай 2: $2 \sin 2x - \tg x = 0$ при $x \in [-2, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 1]$.
$2 (2 \sin x \cos x) - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$
$4 \sin x \cos x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$
$\sin x \left( 4\cos x - \frac{1}{\cos x} \right) = 0$
Поскольку по ОДЗ $\cos x \ne 0$, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-2, 1]$ попадает только $x = 0$ (при $n=0$). Это значение входит в ОДЗ. Значит, $x=0$ — решение.

2) $4\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 \implies 4\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{4}$.
Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$.

а) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В ОДЗ $x \in [-2, 1]$ попадает только корень $x = -\frac{\pi}{3}$ (при $n=0$). ($-\frac{\pi}{3} \approx -1.05$). Значение $x = \frac{\pi}{3} > 1$ не подходит. Значит, $x = -\frac{\pi}{3}$ — решение.

б) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, попадают ли корни в отрезок $[-2, 1]$.
$x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 > 1$.
$x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09 < -2$.
Ни один корень из этой серии не входит в ОДЗ.

Объединяя все найденные решения, получаем: $x = -2$, $x = 1$, $x = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\{-2, -\frac{\pi}{3}, 0, 1\}$.

31.43. $\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = 2\sqrt{\sin x + \cos x}.$

Для решения данного уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ), а затем выполним преобразования.

ОДЗ (Область допустимых значений)

Все выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

• $\cos 2x \ge 0$
• $1 + \sin 2x \ge 0$
• $\sin x + \cos x \ge 0$

Рассмотрим каждое из этих условий:

1. Неравенство $1 + \sin 2x \ge 0$ выполняется всегда, так как наименьшее значение $\sin 2x$ равно $-1$, поэтому $1 + \sin 2x \ge 1 - 1 = 0$.

2. Неравенство $\cos 2x \ge 0$ выполняется, когда $2x$ принадлежит промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделив на 2, получаем $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$.

3. Неравенство $\sin x + \cos x \ge 0$. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Тогда неравенство принимает вид $\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Это верно, когда $x + \frac{\pi}{4} \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда получаем $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$.

Объединяя условия 2 и 3, находим общую ОДЗ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k] \cup \{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения

Преобразуем подкоренные выражения. Используем тригонометрические тождества:

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

С учетом ОДЗ, где $\sin x + \cos x \ge 0$, имеем $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} + \sin x + \cos x = 2\sqrt{\sin x + \cos x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{\sin x + \cos x}$ за скобки:

$\sqrt{\cos x + \sin x} \cdot \sqrt{\cos x - \sin x} + (\sqrt{\sin x + \cos x})^2 - 2\sqrt{\sin x + \cos x} = 0$.

$\sqrt{\sin x + \cos x} (\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1. $\sqrt{\sin x + \cos x} = 0$.

Отсюда $\sin x + \cos x = 0$. Разделив на $\cos x \ne 0$, получаем $\tan x = -1$.

Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ (являются граничными точками), следовательно, это первая серия корней.

Случай 2. $\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} - 2 = 0$.

$\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} = 2$.

Заметим, что для существования корня $\sqrt{\cos x - \sin x}$ необходимо выполнение условия $\cos x - \sin x \ge 0$. С учетом этого ОДЗ сужается до $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\cos x - \sin x) + (\sin x + \cos x) + 2\sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = 4$.

$2\cos x + 2\sqrt{\cos 2x} = 4$.

$\cos x + \sqrt{\cos 2x} = 2$.

$\sqrt{\cos 2x} = 2 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, правая часть $2 - \cos x$ всегда положительна. Снова возведем обе части в квадрат:

$\cos 2x = (2 - \cos x)^2$.

$2\cos^2 x - 1 = 4 - 4\cos x + \cos^2 x$.

$\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Так как $|\cos x| \le 1$, корень $t_2 = -5$ является посторонним.

Остается $\cos x = 1$, откуда $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эта серия решений удовлетворяет суженной ОДЗ, а значит, и исходной.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

31.44. a) $\sqrt{\sin 7x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$;

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$.

а) $\sqrt{\sin 7x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases}\sin 7x - \sin 5x \ge 0 \\\sin x \ge 0\end{cases}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\sin 7x - \sin 5x = \sin x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin 7x - \sin 5x - \sin x = 0$

Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ к первым двум членам:

$\sin 7x - \sin 5x = 2 \cos\left(\frac{7x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{7x-5x}{2}\right) = 2 \cos(6x)\sin x$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cos(6x)\sin x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos(6x) - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\sin x = 0$

2) $2 \cos(6x) - 1 = 0 \implies \cos(6x) = \frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай и проверим соответствие ОДЗ.

Случай 1: $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Проверим ОДЗ:

• $\sin x = \sin(\pi k) = 0$. Условие $\sin x \ge 0$ выполнено.
• $\sin 7x - \sin 5x = \sin(7\pi k) - \sin(5\pi k) = 0 - 0 = 0$. Условие $\sin 7x - \sin 5x \ge 0$ выполнено.

Следовательно, $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является серией решений.

Случай 2: $\cos(6x) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Проверим ОДЗ. Заметим, что из преобразования $\sin 7x - \sin 5x = 2\cos(6x)\sin x$ и условия $\cos(6x) = 1/2$ следует, что $\sin 7x - \sin 5x = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin x = \sin x$. Таким образом, условие $\sin 7x - \sin 5x \ge 0$ эквивалентно условию $\sin x \ge 0$. Нам нужно отобрать только те корни, для которых $\sin x \ge 0$.

а) Серия $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi(1+6n)}{18}$.Условие $\sin x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в I или II четверти, то есть $2\pi m \le x \le \pi + 2\pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$.$2\pi m \le \frac{\pi(1+6n)}{18} \le \pi + 2\pi m \implies 36m \le 1+6n \le 18+36m$.$n$ может принимать значения $6m, 6m+1, 6m+2$. Это дает решения:$x = \frac{\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{7\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{13\pi}{18} + 2\pi m$.

б) Серия $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi(-1+6n)}{18}$.Условие $\sin x \ge 0$ выполняется, когда $2\pi m \le x \le \pi + 2\pi m$.$2\pi m \le \frac{\pi(-1+6n)}{18} \le \pi + 2\pi m \implies 36m \le -1+6n \le 18+36m$.$n$ может принимать значения $6m+1, 6m+2, 6m+3$. Это дает решения:$x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{11\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{17\pi}{18} + 2\pi m$.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{7\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{11\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{13\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{17\pi}{18} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

(Примечание: в условии задачи присутствует неоднозначно выглядящая черта дроби. Решение приводится для наиболее вероятной интерпретации уравнения, где подкоренное выражение в левой части является суммой и разностью трех членов, а черта является опечаткой.)

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

$\begin{cases}\cos 5x + \cos x - \sin 5x \ge 0 \\\sin x \ge 0\end{cases}$

Возводим обе части в квадрат:

$\cos 5x + \cos x - \sin 5x = \sin x$

Сгруппируем члены:

$(\cos 5x + \cos x) - (\sin 5x + \sin x) = 0$

Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов:$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$2 \cos\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) - 2 \sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) = 0$

$2 \cos(3x)\cos(2x) - 2 \sin(3x)\cos(2x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(2x)$ за скобки:

$2 \cos(2x) (\cos(3x) - \sin(3x)) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\cos(2x) = 0$

2) $\cos(3x) - \sin(3x) = 0 \implies \cos(3x) = \sin(3x)$

Рассмотрим каждый случай. Поскольку мы решаем уравнение $\cos 5x + \cos x - \sin 5x = \sin x$, первое условие ОДЗ $\cos 5x + \cos x - \sin 5x \ge 0$ эквивалентно второму условию $\sin x \ge 0$. Поэтому достаточно проверить только условие $\sin x \ge 0$.

Случай 1: $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, для которых $\sin x \ge 0$. Это соответствует $x$ в I и II четвертях.

• При четных $n=2k$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Для $k$ четного ($k=2m$), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m$ (I четверть, $\sin x>0$). Для $k$ нечетного ($k=2m+1$), $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ (III четверть, $\sin x<0$).
• При нечетных $n=2k+1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$. Для $k$ четного ($k=2m$), $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ (II четверть, $\sin x>0$). Для $k$ нечетного ($k=2m+1$), $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi m$ (IV четверть, $\sin x<0$).

Подходящие серии решений: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos(3x) = \sin(3x)$

Если $\cos(3x) \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos(3x)$:$\tan(3x) = 1$$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Отберем корни с учетом условия $\sin x \ge 0$.$x = \frac{\pi(1+4n)}{12}$.Условие $2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$ дает $24k \le 1+4n \le 12+24k$.$n$ может принимать значения $6k, 6k+1, 6k+2$.

• $n=6k \implies x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.
• $n=6k+1 \implies x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.
• $n=6k+2 \implies x = \frac{9\pi}{12} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. (Это решение уже найдено в случае 1).

Новые серии решений: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные уникальные серии решений, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

31.45. a) $sin(\pi\sqrt{5 - x^2}) = 0,5$;

б) $cos(\pi\sqrt{7 - x^2}) = -0,5$.

а) $sin(\pi\sqrt{5 - x^2}) = 0,5$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 5$
$-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$

Решим тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $sin(t) = 0,5$ имеет вид:
$t = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

В нашем случае $t = \pi\sqrt{5 - x^2}$. Подставим это в общее решение:
$\pi\sqrt{5 - x^2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\sqrt{5 - x^2} = \frac{(-1)^n}{6} + n$

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие:
$\frac{(-1)^n}{6} + n \ge 0$
Проверим это условие для различных целых $n$:
Если $n = -1$, то $-\frac{1}{6} - 1 = -\frac{7}{6} < 0$. Не подходит.
Если $n = 0$, то $\frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6} \ge 0$. Подходит.
Если $n = 1$, то $-\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6} \ge 0$. Подходит.
Для всех $n \ge 0$ это неравенство будет верным.

Также, из ОДЗ мы знаем, что $\sqrt{5 - x^2} \le \sqrt{5}$. Значит:
$\frac{(-1)^n}{6} + n \le \sqrt{5}$
Так как $2 < \sqrt{5} < 3$ ($\sqrt{5} \approx 2,236$), проверим значения $n \ge 0$:
При $n = 0$: $\frac{1}{6} \approx 0,167 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 1$: $\frac{5}{6} \approx 0,833 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 2$: $\frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2,167 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 3$: $-\frac{1}{6} + 3 = \frac{17}{6} \approx 2,833 > \sqrt{5}$. Не подходит.
При $n > 3$ значения будут еще больше. Следовательно, возможные значения $n$: $0, 1, 2$.

Найдем $x$ для каждого из этих значений $n$:
1. Если $n=0$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{1}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{1}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{1}{36} = \frac{179}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{179}}{6}$.
2. Если $n=1$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{5}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{25}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{25}{36} = \frac{155}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{155}}{6}$.
3. Если $n=2$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{13}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{169}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{169}{36} = \frac{11}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}, x = \pm\frac{\sqrt{155}}{6}, x = \pm\frac{\sqrt{179}}{6}$.

б) $cos(\pi\sqrt{7 - x^2}) = -0,5$

Область допустимых значений (ОДЗ):
$7 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 7 \implies -\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.

Общее решение для уравнения $cos(t) = -0,5$ имеет вид:
$t = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Подставляем $t = \pi\sqrt{7 - x^2}$:
$\pi\sqrt{7 - x^2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим обе части на $\pi$:
$\sqrt{7 - x^2} = \pm \frac{2}{3} + 2n$

Значение корня должно быть неотрицательным. Рассмотрим две серии решений.
1. $\sqrt{7 - x^2} = \frac{2}{3} + 2n$.
Условие неотрицательности: $\frac{2}{3} + 2n \ge 0 \implies 2n \ge -\frac{2}{3} \implies n \ge -\frac{1}{3}$. Значит, $n \ge 0$.
Из ОДЗ: $\sqrt{7 - x^2} \le \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} \approx 2,646$:
$\frac{2}{3} + 2n \le \sqrt{7}$
При $n = 0$: $\frac{2}{3} \approx 0,667 \le \sqrt{7}$. Подходит.
При $n = 1$: $\frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \approx 2,667 > \sqrt{7}$. Не подходит.
Таким образом, в этой серии подходит только $n = 0$.

2. $\sqrt{7 - x^2} = -\frac{2}{3} + 2n$.
Условие неотрицательности: $-\frac{2}{3} + 2n \ge 0 \implies 2n \ge \frac{2}{3} \implies n \ge \frac{1}{3}$. Значит, $n \ge 1$.
Проверяем условие $\sqrt{7 - x^2} \le \sqrt{7}$:
$-\frac{2}{3} + 2n \le \sqrt{7}$
При $n = 1$: $-\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \approx 1,333 \le \sqrt{7}$. Подходит.
При $n = 2$: $-\frac{2}{3} + 4 = \frac{10}{3} \approx 3,333 > \sqrt{7}$. Не подходит.
В этой серии подходит только $n = 1$.

Найдем $x$ для каждого найденного случая:
1. Для $n = 0$ из первой серии: $\sqrt{7 - x^2} = \frac{2}{3}$. Возведем в квадрат: $7 - x^2 = \frac{4}{9} \implies x^2 = 7 - \frac{4}{9} = \frac{59}{9} \implies x = \pm\frac{\sqrt{59}}{3}$.
2. Для $n = 1$ из второй серии: $\sqrt{7 - x^2} = \frac{4}{3}$. Возведем в квадрат: $7 - x^2 = \frac{16}{9} \implies x^2 = 7 - \frac{16}{9} = \frac{47}{9} \implies x = \pm\frac{\sqrt{47}}{3}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{47}}{3}, x = \pm\frac{\sqrt{59}}{3}$.

31.46. $ \text{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2. $

Исходное уравнение:$$ \text{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2 $$

Введем замену переменной. Пусть $ y = \frac{\pi x}{1 + x^2} $.

Найдем область значений выражения $ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $. Для этого исследуем функцию с помощью производной:$$ f'(x) = \frac{(1)(1 + x^2) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} $$Приравнивая производную к нулю, находим критические точки: $ 1 - x^2 = 0 $, откуда $ x = \pm 1 $.В точке $ x = 1 $ функция достигает своего глобального максимума: $ f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} $.В точке $ x = -1 $ функция достигает своего глобального минимума: $ f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -\frac{1}{2} $.Таким образом, область значений функции $ f(x) $ есть отрезок $ [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] $.

Следовательно, для переменной $ y $ имеем:$$ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} $$

Исходное уравнение принимает вид:$$ \text{tg } y + \sin(2y) = 2 $$

Для того чтобы $ \text{tg } y $ был определен, необходимо, чтобы $ y \ne \pm \frac{\pi}{2} $. Таким образом, мы ищем решения в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Рассмотрим уравнение $ \text{tg } y + \sin(2y) = 2 $.Поскольку $ y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, то $ 2y \in (-\pi, \pi) $. В этом интервале значение $ \sin(2y) \le 1 $.Из уравнения следует, что $ \text{tg } y = 2 - \sin(2y) $. Так как максимальное значение $ \sin(2y) $ равно 1, то минимальное значение $ \text{tg } y $ должно быть $ 2 - 1 = 1 $.Таким образом, $ \text{tg } y \ge 1 $.

Для $ y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ неравенство $ \text{tg } y \ge 1 $ выполняется при $ y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Рассмотрим функцию $ g(y) = \text{tg } y + \sin(2y) $ на отрезке $ [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Найдем значение функции в точке $ y = \frac{\pi}{4} $:$$ g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2 $$Это означает, что $ y = \frac{\pi}{4} $ является решением уравнения.

Исследуем функцию $ g(y) $ на монотонность на интервале $ (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $. Найдем ее производную:$$ g'(y) = (\text{tg } y + \sin(2y))' = \frac{1}{\cos^2 y} + 2\cos(2y) $$На интервале $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $ имеем $ \frac{\pi}{2} < 2y < \pi $. В этой области $ \cos(2y) $ отрицателен. Однако, чтобы оценить знак производной, преобразуем выражение:$$ g'(y) = \frac{1}{\cos^2 y} + 2(2\cos^2 y - 1) = \frac{1}{\cos^2 y} + 4\cos^2 y - 2 $$Пусть $ u = \cos^2 y $. Так как $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $, то $ 0 < \cos y < \frac{\sqrt{2}}{2} $, и, следовательно, $ 0 < u < \frac{1}{2} $.Рассмотрим функцию $ h(u) = \frac{1}{u} + 4u - 2 $ при $ u \in (0, \frac{1}{2}) $. Ее производная $ h'(u) = -\frac{1}{u^2} + 4 = \frac{4u^2 - 1}{u^2} $.Поскольку $ 0 < u < \frac{1}{2} $, имеем $ 0 < u^2 < \frac{1}{4} $, и $ 4u^2 - 1 < 0 $.Следовательно, $ h'(u) < 0 $ на интервале $ (0, \frac{1}{2}) $, что означает, что функция $ h(u) $ убывает на этом интервале.Значение функции $ h(u) $ в точке $ u=\frac{1}{2} $ равно $ h(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2} + 4(\frac{1}{2}) - 2 = 2 + 2 - 2 = 2 $.Так как $ h(u) $ убывает, то для всех $ u \in (0, \frac{1}{2}) $ выполняется $ h(u) > 2 $.Это означает, что $ g'(y) > 2 $ для всех $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Поскольку производная $ g'(y) $ положительна, функция $ g(y) $ строго возрастает на интервале $ [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Так как $ g(\frac{\pi}{4}) = 2 $ и функция возрастает, то при $ y > \frac{\pi}{4} $ будет $ g(y) > 2 $.Следовательно, единственное решение уравнения $ g(y) = 2 $ - это $ y = \frac{\pi}{4} $.

Возвращаемся к исходной переменной $ x $:$$ \frac{\pi x}{1 + x^2} = \frac{\pi}{4} $$Сокращаем на $ \pi $:$$ \frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4} $$$$ 4x = 1 + x^2 $$$$ x^2 - 4x + 1 = 0 $$

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью формулы для корней:$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} $$$$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$Получаем два корня: $ x_1 = 2 + \sqrt{3} $ и $ x_2 = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $2 \pm \sqrt{3}$.

31.47. $\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cos x.$

Решим тригонометрическое уравнение $ \sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cos x $.

Для решения введем замену переменной. Пусть $ t = \sin x + \cos x $.

Чтобы выразить произведение $ \sin x \cos x $ через $t$, возведем обе части равенства $ t = \sin x + \cos x $ в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x $.

Отсюда выразим $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $. Правая часть исходного уравнения равна $ 4 \sin x \cos x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2(t^2 - 1) $.

Подставим замену в исходное уравнение:

$ \sqrt{2} t = 2(t^2 - 1) $.

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $t$:

$ 2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0 $.

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 $.

Найдем корни $t_{1,2}$:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4} $.

Получаем два значения для $t$:

$ t_1 = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} $.

$ t_2 = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Проверим, являются ли эти значения допустимыми для выражения $ t = \sin x + \cos x $. Преобразуем его, используя метод вспомогательного угла:

$ t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) $.

Поскольку область значений функции синус есть $ [-1, 1] $, то область значений для $t$ есть отрезок $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Оба найденных корня $t_1 = \sqrt{2}$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат этому отрезку, поэтому оба являются допустимыми.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

При $t = \sqrt{2}$ получаем уравнение $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $, или $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} $, что равносильно $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $. Отсюда получаем первую серию решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

При $ t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ получаем уравнение $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, или $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, что равносильно $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} $. Это уравнение дает две серии решений:

1) $ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = \frac{14\pi - 3\pi}{12} + 2\pi m = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k; \quad x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m $, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

31.48. a) Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$. Известно, что $x = 0$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

б) Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} + \sin x = 0$. Известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

а)

Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$.

По условию известно, что $x=0$ является корнем этого уравнения. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x=0$ имеем: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$, $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$.

$\sqrt{a \cdot 1 - 3 \cdot 0} = 1$

$\sqrt{a} = 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем $a = 1$.

Теперь необходимо решить уравнение при найденном значении параметра $a=1$:

$\sqrt{\cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} \cos 2x - 3 \sin 2x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

При выполнении условия $\cos x \ge 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$\cos 2x - 3 \sin 2x = \cos^2 x$

Применим формулы двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$(\cos^2 x - \sin^2 x) - 3(2 \sin x \cos x) = \cos^2 x$

$-\sin^2 x - 6 \sin x \cos x = 0$

$\sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 6 \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$. Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x \ge 0$. Для $x = \pi k$, имеем $\cos(\pi k) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только при четных $k$. Пусть $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями являются $x = 2\pi n$.
Проверим второе условие ОДЗ: $\cos(2(2\pi n)) - 3\sin(2(2\pi n)) = \cos(4\pi n) - 3\sin(4\pi n) = 1 - 0 = 1 \ge 0$. Условие выполнено. Первая серия корней: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 6 \cos x = 0$.
Заметим, что $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x + 6 = 0 \implies \tan x = -6$.

Отсюда $x = \arctan(-6) + \pi m = -\arctan(6) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие ОДЗ $\cos x \ge 0$. Поскольку $\tan x < 0$, угол $x$ может находиться во II или IV координатной четверти. Условие $\cos x \ge 0$ выполняется в I и IV четвертях. Следовательно, нам подходят только углы из IV четверти, что соответствует четным значениям $m$. Пусть $m=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней: $x = -\arctan(6) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка второго условия ОДЗ для этих корней: из $\sin x = -6\cos x$ следует $\cos 2x - 3\sin 2x = (\cos^2 x - \sin^2 x) - 3(2\sin x \cos x) = \cos^2 x - (-6\cos x)^2 - 6(-6\cos x)\cos x = \cos^2 x - 36\cos^2 x + 36\cos^2 x = \cos^2 x \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $2\pi n, -\arctan(6) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} + \sin x = 0$.

По условию известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем этого уравнения. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x = -\frac{\pi}{2}$ имеем: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $\sin(2(-\frac{\pi}{2})) = \sin(-\pi) = 0$, $\cos(2(-\frac{\pi}{2})) = \cos(-\pi) = -1$.

$\sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} + (-1) = 0$

$\sqrt{a} - 1 = 0$

$\sqrt{a} = 1 \implies a = 1$.

Теперь необходимо решить уравнение при найденном значении параметра $a=1$:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} + \sin x = 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x$

ОДЗ данного уравнения:

$\begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x \ge 0 \\ -\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0 \end{cases}$

При выполнении условия $\sin x \le 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

Применим формулы двойного угла:

$2(2 \sin x \cos x) - (\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4 \sin x - \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x \le 0$. Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \le 0$ выполняется только при нечетных $k$. Пусть $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Проверим второе условие ОДЗ: $2\sin(2(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) - \cos(2(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = 2\sin(-\pi) - \cos(-\pi) = 0 - (-1) = 1 \ge 0$. Условие выполнено. Первая серия корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $4 \sin x - \cos x = 0$.
Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$4 \tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{4}$.

Отсюда $x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие ОДЗ $\sin x \le 0$. Поскольку $\tan x > 0$, угол $x$ может находиться в I или III координатной четверти. Условие $\sin x \le 0$ выполняется в III и IV четвертях. Следовательно, нам подходят только углы из III четверти, что соответствует нечетным значениям $m$. Пусть $m=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней: $x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2n+1)\pi = \pi + \arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка второго условия ОДЗ для этих корней: из $4\sin x = \cos x$ следует $2\sin 2x - \cos 2x = 4\sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + \arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.