Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.22. $2(1 - \sin x - \cos x) + \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 0.$

31.22.

Решим уравнение: $2(1 - \sin x - \cos x) + \tg x + \ctg x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $\tg x$ определен при $\cos x \neq 0$, а котангенс $\ctg x$ определен при $\sin x \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем выражение $\tg x + \ctg x$:

$\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2(1 - (\sin x + \cos x)) + \frac{1}{\sin x \cos x} = 0$.

Введем замену: пусть $t = \sin x + \cos x$. Возведем это равенство в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Заметим, что область значений выражения $\sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, поэтому $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$. Кроме того, из ОДЗ следует, что $\sin x \cos x \neq 0$, значит $t^2 - 1 \neq 0$, то есть $t \neq \pm 1$.

Подставим замену в уравнение:

$2(1 - t) + \frac{1}{\frac{t^2 - 1}{2}} = 0$

$2(1 - t) + \frac{2}{t^2 - 1} = 0$

Разделим на 2: $1 - t + \frac{1}{t^2 - 1} = 0$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{(1 - t)(t^2 - 1) + 1}{t^2 - 1} = 0$.

$(1 - t)(t - 1)(t + 1) + 1 = 0$

$-(t - 1)^2(t + 1) + 1 = 0$

$(t - 1)^2(t + 1) = 1$

Раскроем скобки: $(t^2 - 2t + 1)(t + 1) = 1$

$t^3 + t^2 - 2t^2 - 2t + t + 1 = 1$

$t^3 - t^2 - t = 0$

$t(t^2 - t - 1) = 0$

Отсюда получаем три возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$

$t^2 - t - 1 = 0 \implies t_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ и $t \neq \pm 1$.

Корень $t_1 = 0$ удовлетворяет условиям.

Корень $t_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $t_2 > \sqrt{2}$, следовательно, этот корень является посторонним.

Корень $t_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$. Этот корень удовлетворяет условиям, так как $-\sqrt{2} \le \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \le \sqrt{2}$.

Теперь выполним обратную замену для найденных значений $t$.

Случай 1. $t = 0 \implies \sin x + \cos x = 0$.

Разделим на $\cos x \neq 0$ (согласно ОДЗ): $\tg x + 1 = 0 \implies \tg x = -1$.

Отсюда получаем первую серию решений: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2. $t = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \implies \sin x + \cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Преобразуем левую часть с помощью вспомогательного угла:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$

Отсюда получаем вторую серию решений:

$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right), n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{4} + n\pi + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right), n \in \mathbb{Z}$.

31.23. а) $ \cos \frac{4x}{3} = \cos^2 x; $

б) $ 32 \cos^6 x - \cos 6x = 1. $

а) $ \cos{\frac{4x}{3}} = \cos^2{x} $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса в правой части: $ \cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $.

После подстановки уравнение принимает вид:

$ \cos{\frac{4x}{3}} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $

$ 2\cos{\frac{4x}{3}} = 1 + \cos{2x} $

Чтобы упростить аргументы тригонометрических функций, введем замену переменной. Пусть $ y = \frac{2x}{3} $. Тогда $ 2x = 3y $, и, следовательно, $ \frac{4x}{3} = 2y $.

Уравнение в новых переменных:

$ 2\cos(2y) = 1 + \cos(3y) $

Применим формулы косинуса двойного и тройного угла: $ \cos(2y) = 2\cos^2{y} - 1 $ и $ \cos(3y) = 4\cos^3{y} - 3\cos{y} $.

$ 2(2\cos^2{y} - 1) = 1 + (4\cos^3{y} - 3\cos{y}) $

$ 4\cos^2{y} - 2 = 1 + 4\cos^3{y} - 3\cos{y} $

Перенесем все члены в правую часть и получим кубическое уравнение относительно $ \cos{y} $:

$ 4\cos^3{y} - 4\cos^2{y} - 3\cos{y} + 3 = 0 $

Сгруппируем члены для разложения на множители:

$ 4\cos^2{y}(\cos{y} - 1) - 3(\cos{y} - 1) = 0 $

$ (4\cos^2{y} - 3)(\cos{y} - 1) = 0 $

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \cos{y} - 1 = 0 \implies \cos{y} = 1 $

Решением этого уравнения является $ y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 4\cos^2{y} - 3 = 0 \implies \cos^2{y} = \frac{3}{4} $

Это уравнение равносильно $ \cos{y} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $. Чтобы найти общее решение, можно снова использовать формулу понижения степени: $ \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{3}{4} $, откуда $ 1+\cos(2y) = \frac{3}{2} $, то есть $ \cos(2y) = \frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является $ 2y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, что дает $ y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену $ x = \frac{3y}{2} $, чтобы найти решения для $ x $.

Из $ y = 2\pi k $ получаем $ x = \frac{3(2\pi k)}{2} = 3\pi k $.

Из $ y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $ получаем $ x = \frac{3}{2} \left( \pm\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \pm\frac{3\pi}{12} + \frac{3\pi n}{2} = \pm\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2} $.

Ответ: $ 3\pi k, \pm\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 32 \cos^6{x} - \cos{6x} = 1 $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы понижения степени. Сначала выразим $ 32\cos^6{x} $ через косинусы кратных углов.

Используем формулу $ \cos^2{x} = \frac{1+\cos(2x)}{2} $. Возведем ее в куб:

$ \cos^6{x} = (\cos^2{x})^3 = \left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}(1 + 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) + \cos^3(2x)) $.

Теперь используем формулы $ \cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2} $ и $ \cos^3(2x) = \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4} $. Последняя следует из формулы тройного угла $ \cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $ при $ \alpha = 2x $.

Подставим эти выражения:

$ 32\cos^6{x} = 32 \cdot \frac{1}{8} \left( 1 + 3\cos(2x) + 3\left(\frac{1+\cos(4x)}{2}\right) + \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4} \right) $

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( 1 + 3\cos(2x) + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

Приведем подобные члены внутри скобок:

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( \frac{5}{2} + \left(3+\frac{3}{4}\right)\cos(2x) + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( \frac{5}{2} + \frac{15}{4}\cos(2x) + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

$ 32\cos^6{x} = 10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x) $.

Теперь подставим это тождество в исходное уравнение:

$ (10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x)) - \cos(6x) = 1 $

Члены с $ \cos(6x) $ взаимно уничтожаются:

$ 10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) = 1 $

$ 6\cos(4x) + 15\cos(2x) + 9 = 0 $

Разделим все уравнение на 3:

$ 2\cos(4x) + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:

$ 2(2\cos^2(2x) - 1) + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(2x) - 2 + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(2x) + 5\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену $ u = \cos(2x) $. Получаем квадратное уравнение: $ 4u^2 + 5u + 1 = 0 $.

Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения. Дискриминант $ D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 $.

$ u = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 3}{8} $

Корни: $ u_1 = \frac{-5 - 3}{8} = -1 $ и $ u_2 = \frac{-5 + 3}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} $.

Выполним обратную замену:

1) $ \cos(2x) = -1 $

$ 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(2x) = -\frac{1}{4} $

$ 2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \implies x = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z} $.

31.24. $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x.$

Исходное уравнение: $\sin(5x) + \cos(5x) = \sqrt{2}\cos(13x)$.

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin(\alpha) + b\cos(\alpha)$ можно представить в виде $R\cos(\alpha - \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos(\phi) = \frac{b}{R}$ и $\sin(\phi) = \frac{a}{R}$.

В нашем случае коэффициенты при синусе и косинусе равны $a=1$ и $b=1$. Рассчитаем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки в левой части уравнения:

$\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(5x) + \frac{1}{\sqrt{2

31.25. a) $3 \cos(x + 1) - 4 \sin(x + 1) = 5;$

б) $15 \sin(2x - 3) + 8 \cos(2x - 3) = 8,5.$

а) $3 \cos(x + 1) - 4 \sin(x + 1) = 5$

Данное уравнение представляет собой линейное тригонометрическое уравнение вида $a \cos(y) + b \sin(y) = c$, где $a=3$, $b=-4$, $c=5$ и $y=x+1$. Для его решения применяется метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$\frac{3}{5} \cos(x + 1) - \frac{4}{5} \sin(x + 1) = \frac{5}{5}$

$\frac{3}{5} \cos(x + 1) - \frac{4}{5} \sin(x + 1) = 1$

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos(\varphi) = \frac{3}{5}$ и $\sin(\varphi) = \frac{4}{5}$. Такое число $\varphi$ существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$. В качестве $\varphi$ можно взять $\arccos(\frac{3}{5})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\varphi) \cos(x + 1) - \sin(\varphi) \sin(x + 1) = 1$

Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

Применив эту формулу, получаем:

$\cos((x + 1) + \varphi) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого имеет вид:

$(x + 1) + \varphi = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x + 1 = -\varphi + 2\pi k$

$x = -1 - \varphi + 2\pi k$

Подставим значение $\varphi = \arccos(\frac{3}{5})$:

$x = -1 - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $15 \sin(2x - 3) + 8 \cos(2x - 3) = 8,5$

Данное уравнение также является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin(y) + b \cos(y) = c$, где $a=15$, $b=8$, $c=8,5$ и $y=2x-3$. Решаем его методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

$\frac{15}{17} \sin(2x - 3) + \frac{8}{17} \cos(2x - 3) = \frac{8,5}{17}$

Так как $8,5 = \frac{17}{2}$, правая часть равна $\frac{17/2}{17} = \frac{1}{2}$. Уравнение принимает вид:

$\frac{15}{17} \sin(2x - 3) + \frac{8}{17} \cos(2x - 3) = \frac{1}{2}$

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos(\varphi) = \frac{15}{17}$ и $\sin(\varphi) = \frac{8}{17}$. Такое число $\varphi$ существует, так как $(\frac{15}{17})^2 + (\frac{8}{17})^2 = \frac{225}{289} + \frac{64}{289} = 1$. В качестве $\varphi$ можно взять $\arccos(\frac{15}{17})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\varphi) \sin(2x - 3) + \sin(\varphi) \cos(2x - 3) = \frac{1}{2}$

Левая часть уравнения соответствует формуле синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Применив эту формулу, получаем:

$\sin((2x - 3) + \varphi) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается в виде:

$(2x - 3) + \varphi = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$2x - 3 = -\varphi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$2x = 3 - \varphi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{3}{2} - \frac{\varphi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Подставим значение $\varphi = \arccos(\frac{15}{17})$:

$x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \arccos(\frac{15}{17}) + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \arccos(\frac{15}{17}) + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

31.26. $3 \sin x - 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x.$

Перегруппируем члены исходного уравнения $3 \sin x - 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x$:

$3 \sin x - 4 \cos x = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$5\left(\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x\right) = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такому условию удовлетворяет угол $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Используя эти обозначения, выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса разности:

$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \sin(x - \alpha)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$5 \sin(x - \alpha) = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Разделив обе части на 5, получаем:

$\sin(x - \alpha) = \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = m\pi + (-1)^m B$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$x - \alpha = m\pi + (-1)^m \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от четности $m$.

1. Если $m$ — четное число (т.е. $m = 2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$), то $(-1)^m = 1$, и уравнение становится:

$x - \alpha = 2n\pi + 7x + \frac{\pi}{6}$

$-6x = \alpha + \frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$x = -\frac{\alpha}{6} - \frac{\pi}{36} - \frac{n\pi}{3}$

Поскольку $n$ пробегает все целые числа, то и $-n$ тоже. Для удобства записи мы можем заменить $-n$ на $n$ (или любую другую букву), получив $x = \frac{n\pi}{3} - \frac{\pi}{36} - \frac{\alpha}{6}$.

2. Если $m$ — нечетное число (т.е. $m = 2k + 1$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$), то $(-1)^m = -1$, и уравнение становится:

$x - \alpha = (2k+1)\pi - \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

$x - \alpha = 2k\pi + \pi - 7x - \frac{\pi}{6}$

$8x = \alpha + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

$x = \frac{\alpha}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}$

Объединяя оба случая и подставляя $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$, получаем две серии решений.

Ответ: $x = \frac{n\pi}{3} - \frac{\pi}{36} - \frac{1}{6}\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$; $x = \frac{k\pi}{4} + \frac{5\pi}{48} + \frac{1}{8}\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

31.27. Найдите корни уравнения $\cos 4x + \frac{10 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3$, принадлежащие отрезку $[-2; 1,4]$.

Рассмотрим уравнение $ \cos 4x + \frac{10 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 3 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, что равносильно $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла, выраженной через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} $. Преобразуем дробь в левой части уравнения: $$ \frac{10 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 5 \cdot \left(\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}\right) = 5 \sin(2x) $$

Уравнение примет вид: $$ \cos 4x + 5 \sin(2x) = 3 $$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $. При $ \alpha = 2x $ имеем $ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) $. Подставим в уравнение: $$ 1 - 2\sin^2(2x) + 5 \sin(2x) = 3 $$

Перенесем все слагаемые в одну часть и получим квадратное уравнение относительно $ \sin(2x) $: $$ 2\sin^2(2x) - 5 \sin(2x) + 2 = 0 $$

Введем замену $ t = \sin(2x) $, где $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $. Корни: $$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Корень $ t_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, следовательно, является посторонним. Остается корень $ t_2 = \frac{1}{2} $.

Выполним обратную замену: $$ \sin(2x) = \frac{1}{2} $$

Решения этого уравнения представляют собой две серии: $$ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Отсюда получаем общие решения для $ x $: $$ x = \frac{\pi}{12} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Найденные корни удовлетворяют ОДЗ, так как для них $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x = 1/2 $, что было бы невозможно при $ \cos x = 0 $.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ [-2; 1,4] $.

Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \pi n $:
- при $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < \frac{\pi}{12} < 1,4 $, так как $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{\pi}{12} \approx 0,26 $. Корень подходит.
- при $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \approx 3,4 > 1,4 $. Не подходит.
- при $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} \approx -2,88 < -2 $. Не подходит.

Для второй серии $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi n $:
- при $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < \frac{5\pi}{12} < 1,4 $, так как $ \frac{5\pi}{12} \approx 1,31 $. Корень подходит.
- при $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < -\frac{7\pi}{12} < 1,4 $, так как $ -\frac{7\pi}{12} \approx -1,83 $. Корень подходит.
- при $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12} \approx 4,45 > 1,4 $. Не подходит.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку $ [-2; 1,4] $: $ -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} $.

Ответ: $ -\frac{7\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12} $.

31.28. Сколько корней уравнения

$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2 \cos \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

удовлетворяют неравенству $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + x + 3} \le 0$?

Для ответа на вопрос необходимо сначала решить тригонометрическое уравнение, затем решить неравенство и, наконец, подсчитать, сколько корней уравнения попадают в множество решений неравенства.

1. Решение тригонометрического уравнения

Исходное уравнение: $(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Преобразуем выражение в скобках в левой части уравнения, применив метод введения вспомогательного угла:
$ \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) $.

Тогда левая часть уравнения примет вид: $(2\sin(2x + \frac{\pi}{3}))^2 = 4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3})$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$. Заметим, что $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)$, следовательно:
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)) = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:
$4\cos^2(\frac{\pi}{6} - 2x) = 2 + 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Произведем замену переменной. Пусть $y = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$. Уравнение преобразуется в квадратное:
$4y^2 = 2 + 2y$, что равносильно $2y^2 - y - 1 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$y_1 = 1$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = 1$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$-2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} - \pi k$. Так как $k$ — любое целое число, это эквивалентно серии корней $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
а) $\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies -2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies -2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} - \pi n$. Эта серия эквивалентна $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\frac{\pi}{6} - 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies -2x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies -2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{5\pi}{12} - \pi m$. Эта серия эквивалентна $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, все решения уравнения описываются тремя сериями корней:
1. $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
3. $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

2. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + x + 3} \le 0$.

Проанализируем знаменатель дроби $x^2 + x + 3$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + x + 3$ принимает только положительные значения при всех действительных $x$.

Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:
$x^2 - x - 12 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Неравенство можно переписать в виде $(x-4)(x+3) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 4]$.

3. Отбор корней и подсчет их количества

Теперь необходимо найти, сколько корней из полученных серий принадлежит отрезку $[-3, 4]$. Для этого решим соответствующие двойные неравенства для каждой серии, используя приближение $\pi \approx 3.14$.

Серия 1: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$
$-3 \le \frac{\pi}{12} + \pi k \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le \frac{1}{12} + k \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} - \frac{1}{12} \le k \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{12}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 - 0.083 \le k \le 1.274 - 0.083 \implies -1.038 \le k \le 1.191$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k \in \{-1, 0, 1\}$. Всего 3 корня.

Серия 2: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
$-3 \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le -\frac{1}{4} + n \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} + \frac{1}{4} \le n \le \frac{4}{\pi} + \frac{1}{4}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 + 0.25 \le n \le 1.274 + 0.25 \implies -0.705 \le n \le 1.524$.
Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n \in \{0, 1\}$. Всего 2 корня.

Серия 3: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m$
$-3 \le \frac{5\pi}{12} + \pi m \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le \frac{5}{12} + m \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} - \frac{5}{12} \le m \le \frac{4}{\pi} - \frac{5}{12}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 - 0.417 \le m \le 1.274 - 0.417 \implies -1.372 \le m \le 0.857$.
Целые значения $m$, удовлетворяющие этому неравенству: $m \in \{-1, 0\}$. Всего 2 корня.

Суммируем количество найденных корней из всех серий: $3 + 2 + 2 = 7$.

Ответ: 7

31.29. Сколько корней уравнения $\frac{\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x}{1 - \cos 2x - \sin x} = 0$ удовлетворяют неравенству $36\pi^2 + 7\pi x - 4x^2 \ge 0$?

Для решения задачи необходимо сначала найти все корни тригонометрического уравнения, а затем отобрать те из них, которые попадают в промежуток, являющийся решением неравенства.

1. Решение уравнения

Исходное уравнение представляет собой дробь, равную нулю:
$ \frac{\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x}{1 - \cos 2x - \sin x} = 0 $
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) Приравняем числитель к нулю:
$ \cos^2 x - \cos x - \sin^2 x = 0 $
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $, преобразуем уравнение:
$ \cos 2x - \cos x = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2 \sin\left(\frac{2x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x-x}{2}\right) = 0 $
$ -2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $ \sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \implies \frac{3x}{2} = k\pi \implies x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $
2) $ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} $
Заметим, что вторая серия корней $ x = 2n\pi $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{2k\pi}{3} $ при $ k=3n $. Таким образом, все корни числителя можно описать одной формулой: $ x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

б) Проверим условие неравенства знаменателя нулю (ОДЗ):
$ 1 - \cos 2x - \sin x \neq 0 $
Используя формулу $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - (1 - 2\sin^2 x) - \sin x \neq 0 $
$ 2\sin^2 x - \sin x \neq 0 $
$ \sin x (2\sin x - 1) \neq 0 $
Отсюда получаем два условия:
1) $ \sin x \neq 0 $
2) $ \sin x \neq \frac{1}{2} $

в) Исключим из корней числителя те, что не входят в ОДЗ:
Подставим найденные корни $ x = \frac{2k\pi}{3} $ в условия ОДЗ.
1) $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \neq 0 $. Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $ \pi $. Значит, $ \frac{2k\pi}{3} \neq m\pi \implies 2k \neq 3m $. Это возможно, только если $k$ не делится нацело на 3. Таким образом, мы должны исключить значения $ k $, кратные 3.
2) $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \neq \frac{1}{2} $. Значения $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) $ могут быть $0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ни одно из этих значений не равно $ \frac{1}{2} $. Поэтому это условие не накладывает дополнительных ограничений на $k$.
Итак, решениями уравнения являются $ x = \frac{2k\pi}{3} $ для всех целых $k$, не кратных 3.

2. Решение неравенства

Рассмотрим квадратичное неравенство $ 36\pi^2 + 7\pi x - 4x^2 \ge 0 $.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 \le 0 $
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-7\pi)^2 - 4(4)(-36\pi^2) = 49\pi^2 + 576\pi^2 = 625\pi^2 = (25\pi)^2 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{7\pi - 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{-18\pi}{8} = -\frac{9\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{7\pi + 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{32\pi}{8} = 4\pi $
Поскольку парабола $ y = 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 $ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 \le 0 $ выполняется между корнями.
Таким образом, решением неравенства является отрезок $ \left[-\frac{9\pi}{4}, 4\pi\right] $.

3. Отбор корней и подсчет их количества

Теперь найдем, сколько корней вида $ x = \frac{2k\pi}{3} $ (где $k \in \mathbb{Z}, k$ не кратно 3) лежат в отрезке $ \left[-\frac{9\pi}{4}, 4\pi\right] $.
Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$ -\frac{9\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 4\pi $
Разделим все части на $ \pi $ (так как $ \pi > 0 $, знаки неравенства сохраняются):
$ -\frac{9}{4} \le \frac{2k}{3} \le 4 $
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:
$ -\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} \le k \le 4 \cdot \frac{3}{2} $
$ -\frac{27}{8} \le k \le 6 $
В десятичном виде:
$ -3.375 \le k \le 6 $
Поскольку $k$ – целое число, его возможные значения: $ \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.
Из этого набора нужно исключить значения $k$, кратные 3. Это числа $ -3, 0, 3, 6 $.
Остаются следующие значения для $k$: $ \{-2, -1, 1, 2, 4, 5\} $.
Количество таких значений равно 6.

Ответ: 6

Решите уравнение:

31.30. $3 \operatorname{tg} \frac{x}{2}+\operatorname{ctg} x=\frac{5}{\sin x}$

31.30.

Исходное уравнение: $3 \operatorname{tg}\frac{x}{2} + \operatorname{ctg} x = \frac{5}{\sin x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. Функция $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ определена, если $\cos\frac{x}{2} \neq 0$. Это означает, что $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $\operatorname{ctg} x$ и выражение $\frac{5}{\sin x}$ определены, если $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ уравнения — это все $x$, для которых $x \neq \pi n$ для любого целого $n$. Условие $x \neq \pi + 2\pi k$ является частным случаем условия $x \neq \pi n$ (при нечетных $n$).

Теперь приступим к решению уравнения. Преобразуем все тригонометрические функции в уравнении, используя формулы половинного угла. Напомним, что $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$. Также используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} + \frac{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}}{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}} = \frac{5}{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}$

Так как из ОДЗ следует, что $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$, не опасаясь потери или приобретения корней.

$3 \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} \cdot (2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}) + (\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = 5$

В первом слагаемом $\cos\frac{x}{2}$ сокращается (это допустимо, так как $\cos\frac{x}{2} \neq 0$ по ОДЗ). Получаем:

$3 \cdot 2 \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 5$

Приводим подобные слагаемые:

$6 \sin^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 5$

$5 \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 5$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\frac{x}{2} = 1 - \sin^2\frac{x}{2}$:

$5 \sin^2\frac{x}{2} + (1 - \sin^2\frac{x}{2}) = 5$

$4 \sin^2\frac{x}{2} + 1 = 5$

$4 \sin^2\frac{x}{2} = 4$

$\sin^2\frac{x}{2} = 1$

Из последнего равенства следует, что $\sin\frac{x}{2} = 1$ или $\sin\frac{x}{2} = -1$.

Однако, если $\sin^2\frac{x}{2} = 1$, то по основному тригонометрическому тождеству $\cos^2\frac{x}{2} = 1 - \sin^2\frac{x}{2} = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\cos\frac{x}{2} = 0$. Но это противоречит области допустимых значений (ОДЗ), согласно которой $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, так как иначе $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ не определен.

Следовательно, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих ОДЗ.

Ответ: корней нет.

31.31. $\cos 2x - 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\cot 2x - \cot x) \sin (x - \pi)}$

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части не был равен нулю, а также чтобы были определены все входящие в него тригонометрические функции.
а) Функция $\text{ctg } x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) Функция $\text{ctg } 2x$ определена, если $\sin 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это условие является более строгим и включает в себя предыдущее.
в) Весь знаменатель не должен быть равен нулю: $(\text{ctg } 2x - \text{ctg } x) \sin (x - \pi) \neq 0$.

Упростим выражение в знаменателе.
Сначала преобразуем сомножители:
$\sin(x - \pi) = -\sin(\pi - x) = -\sin x$.
$\text{ctg } 2x - \text{ctg } x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos 2x - \cos x \sin 2x}{\sin x \sin 2x} = \frac{\sin(x-2x)}{\sin x \sin 2x} = \frac{-\sin x}{\sin x \sin 2x}$.
При условии $x \neq \pi k$ (то есть $\sin x \neq 0$), это выражение можно сократить: $\frac{-1}{\sin 2x}$.

Теперь перемножим упрощенные части знаменателя:
$(\text{ctg } 2x - \text{ctg } x) \sin(x - \pi) = \left(\frac{-1}{\sin 2x}\right) \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\sin 2x}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{\sin x}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2\cos x}$.
Это выражение определено и не равно нулю, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Итак, ОДЗ уравнения определяется совокупностью условий: $x \neq \frac{\pi n}{2}$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. Оба этих условия можно объединить в одно более общее:
$x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения

После упрощения правой части исходное уравнение принимает вид:
$\cos 2x - 3\cos x + 1 = \frac{1}{1/(2\cos x)}$
$\cos 2x - 3\cos x + 1 = 2\cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos 2x - 5\cos x + 1 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$(2\cos^2 x - 1) - 5\cos x + 1 = 0$
$2\cos^2 x - 5\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2\cos x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $\cos x = 0$
2) $2\cos x - 5 = 0 \implies \cos x = \frac{5}{2}$

Уравнение $\cos x = \frac{5}{2}$ не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.
Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Проверка корней на принадлежность ОДЗ

Сравним полученные решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ с областью допустимых значений $x \neq \frac{\pi k}{2}$.
Корни можно представить в виде $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$. Это выражение соответствует форме $\frac{\pi k}{2}$ при нечетных значениях $k$ (если положить $k=2n+1$).
Следовательно, все найденные корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не принадлежат области допустимых значений, так как при этих значениях $x$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль (из-за $\cos x = 0$).

Ответ: решений нет.

31.32. $\frac{\cos^2 x (1 + \operatorname{ctg} x)}{\sin x - \cos x} = 3 \cos x$

Решим тригонометрическое уравнение:$$ \frac{\cos^2 x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} = 3 \cos x $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \cos x \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq \cos x$. Разделив обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$), получаем $\tan x \neq 1$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ для любого целого $k$. Если же $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и неравенство $\pm 1 \neq 0$ также выполняется.
2. Для существования котангенса $\ctg x$ необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi n$ для любого целого $n$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:$$ \frac{\cos^2 x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 \cos x = 0 $$$$ \cos x \left( \frac{\cos x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 \right) = 0 $$Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений.

1) $\cos x = 0$
Решениями этого простейшего уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим, входят ли эти решения в ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, мы имеем $\sin x = \pm 1$.

• Условие $\sin x \neq 0$ выполняется.
• Условие $\sin x - \cos x = \pm 1 - 0 = \pm 1 \neq 0$ также выполняется.

Таким образом, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является серией корней исходного уравнения.

2) $\frac{\cos x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 = 0$
Заменим $\ctg x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:$$ \frac{\cos x \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)}{\sin x - \cos x} = 3 $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$$ \frac{\cos x \left(\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}\right)}{\sin x - \cos x} = 3 $$$$ \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x - \cos x)} = 3 $$Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sin x (\sin x - \cos x)$, который не равен нулю в силу ОДЗ:$$ \cos x \sin x + \cos^2 x = 3\sin x (\sin x - \cos x) $$$$ \cos x \sin x + \cos^2 x = 3\sin^2 x - 3\sin x \cos x $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение второй степени:$$ 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $$Мы уже рассмотрели случай $\cos x = 0$ и убедились, что он не является решением этого конкретного уравнения (иначе $3\sin^2 x = 0$, что привело бы к $\sin x = 0$, а синус и косинус не могут быть нулями одновременно). Поэтому можно смело делить обе части на $\cos^2 x$:$$ 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$$$ 3\tan^2 x - 4\tan x - 1 = 0 $$Сделаем замену $t = \tan x$:$$ 3t^2 - 4t - 1 = 0 $$Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$
Оба значения не равны 1, так что они удовлетворяют ОДЗ.
Выполним обратную замену:$$ \tan x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} $$Отсюда получаем две другие серии решений:$$ x = \arctan\left(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Объединив все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

31.33. а) $\frac{2 - \sin x + \cos 2x}{6x^2 - \pi x - \pi^2} = 0;$

б) $\frac{6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0.$

а) Решим уравнение $\frac{2 - \sin x + \cos 2x}{6x^2 - \pi x - \pi^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 2 - \sin x + \cos 2x = 0 \\ 6x^2 - \pi x - \pi^2 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 - \sin x + \cos 2x = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$2 - \sin x + (1 - 2\sin^2 x) = 0$

$3 - \sin x - 2\sin^2 x = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 + t - 3 = 0$

Находим корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Возвращаемся к замене:

а) $\sin x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = -\frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

Таким образом, решения уравнения числителя: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Рассмотрим условие неравенства знаменателя: $6x^2 - \pi x - \pi^2 \neq 0$.

Найдем корни уравнения $6x^2 - \pi x - \pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-\pi)^2 - 4(6)(-\pi^2) = \pi^2 + 24\pi^2 = 25\pi^2$.

$x_1 = \frac{\pi + \sqrt{25\pi^2}}{2 \cdot 6} = \frac{\pi + 5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$

$x_2 = \frac{\pi - \sqrt{25\pi^2}}{2 \cdot 6} = \frac{\pi - 5\pi}{12} = \frac{-4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3}$

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq \frac{\pi}{2}$ и $x \neq -\frac{\pi}{3}$.

3. Совместим решения с ОДЗ.

Найденные решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ должны удовлетворять ОДЗ.

Проверим, при каких значениях $n$ корень совпадает с $x = \frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n = 0 \implies n = 0$.

Значит, корень, соответствующий $n=0$, а именно $x = \frac{\pi}{2}$, должен быть исключен.

Проверим, при каких значениях $n$ корень совпадает с $x = -\frac{\pi}{3}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} \implies 2\pi n = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} \implies n = -\frac{5}{12}$.

Так как $n$ должно быть целым, то ни один из корней не совпадает с $-\frac{\pi}{3}$.

Исключив $n=0$ из множества целых чисел, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

б) Решим уравнение $\frac{6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1 = 0 \\ 12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$6 \sin^2 x - 6 \sin x + (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$

$4\sin^2 x - 6\sin x + 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Находим корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Возвращаемся к замене:

а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

2. Рассмотрим условие неравенства знаменателя: $12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0$.

Найдем корни уравнения $12x^2 - 8\pi x + \pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-8\pi)^2 - 4(12)(\pi^2) = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2$.

$x_1 = \frac{8\pi + \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8\pi + 4\pi}{24} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$

$x_2 = \frac{8\pi - \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8\pi - 4\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2}$ и $x \neq \frac{\pi}{6}$.

3. Совместим решения с ОДЗ.

а) Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$:

Исключаем корень $x = \frac{\pi}{2}$, что соответствует $n=0$. Остаются решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

б) Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$:

Исключаем корень $x = \frac{\pi}{6}$, что соответствует $k=0$. Остаются решения $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.

в) Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$:

Проверим совпадение с исключаемыми точками:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi m = \frac{\pi}{2} \implies 2\pi m = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} \implies m = -\frac{1}{6}$ (не целое).

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi m = \frac{\pi}{6} \implies 2\pi m = \frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \implies m = -\frac{1}{3}$ (не целое).

Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

31.34. a) $2 \cot 3x - 2 \tan 3x - 4 \tan 6x = 1;$

б) $\cot x - \tan x - 2 \tan 2x - 4 \tan 4x = 8 \tan 8x.$

а) $2 \operatorname{ctg} 3x - 2 \operatorname{tg} 3x - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функции $\operatorname{ctg} 3x$, $\operatorname{tg} 3x$ и $\operatorname{tg} 6x$ должны быть определены:

$\sin 3x \ne 0 \implies 3x \ne \pi k \implies x \ne \frac{\pi k}{3}$

$\cos 3x \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$

$\cos 6x \ne 0 \implies 6x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения воспользуемся тригонометрическим тождеством: $\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Доказательство тождества:

$\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Преобразуем левую часть исходного уравнения. Вынесем 2 за скобки:

$2(\operatorname{ctg} 3x - \operatorname{tg} 3x) - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Применим тождество для $\alpha = 3x$:

$\operatorname{ctg} 3x - \operatorname{tg} 3x = 2 \operatorname{ctg} (2 \cdot 3x) = 2 \operatorname{ctg} 6x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2(2 \operatorname{ctg} 6x) - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

$4 \operatorname{ctg} 6x - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Вынесем 4 за скобки:

$4(\operatorname{ctg} 6x - \operatorname{tg} 6x) = 1$

Снова применим тождество, теперь для $\alpha = 6x$:

$\operatorname{ctg} 6x - \operatorname{tg} 6x = 2 \operatorname{ctg} (2 \cdot 6x) = 2 \operatorname{ctg} 12x$.

Подставим в уравнение:

$4(2 \operatorname{ctg} 12x) = 1$

$8 \operatorname{ctg} 12x = 1$

$\operatorname{ctg} 12x = \frac{1}{8}$

Отсюда находим решение для $x$:

$12x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{12}\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{\pi n}{12}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ, так как если $\operatorname{ctg} 12x = 1/8$, то $\sin 12x \ne 0$ и $\cos 12x \ne 0$, что гарантирует, что все функции в исходном уравнении определены.

Ответ: $x = \frac{1}{12}\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{tg} 2x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все тангенсы и котангенс в уравнении должны быть определены:

$\sin x \ne 0, \cos x \ne 0 \implies \sin 2x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi k}{2}$

$\cos 2x \ne 0 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

$\cos 4x \ne 0 \implies 4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$

$\cos 8x \ne 0 \implies 8x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения будем последовательно использовать тождество $\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Рассмотрим выражение $\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x$. Применим тождество при $\alpha = x$:

$\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = 2 \operatorname{ctg} 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \operatorname{ctg} 2x - 2 \operatorname{tg} 2x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Вынесем 2 за скобки в левой части:

$2(\operatorname{ctg} 2x - \operatorname{tg} 2x) - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Снова применим тождество, теперь для $\alpha = 2x$:

$\operatorname{ctg} 2x - \operatorname{tg} 2x = 2 \operatorname{ctg}(2 \cdot 2x) = 2 \operatorname{ctg} 4x$.

Подставим обратно в уравнение:

$2(2 \operatorname{ctg} 4x) - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

$4 \operatorname{ctg} 4x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Вынесем 4 за скобки:

$4(\operatorname{ctg} 4x - \operatorname{tg} 4x) = 8 \operatorname{tg} 8x$

Применим тождество для $\alpha = 4x$:

$\operatorname{ctg} 4x - \operatorname{tg} 4x = 2 \operatorname{ctg}(2 \cdot 4x) = 2 \operatorname{ctg} 8x$.

Подставим в уравнение:

$4(2 \operatorname{ctg} 8x) = 8 \operatorname{tg} 8x$

$8 \operatorname{ctg} 8x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Разделим обе части на 8:

$\operatorname{ctg} 8x = \operatorname{tg} 8x$

Это уравнение равносильно $\operatorname{tg}^2 8x = 1$, при условии, что $\cos 8x \ne 0$ и $\sin 8x \ne 0$.

Запишем уравнение в виде:

$\frac{\cos 8x}{\sin 8x} = \frac{\sin 8x}{\cos 8x}$

$\cos^2 8x = \sin^2 8x$

$\cos^2 8x - \sin^2 8x = 0$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$\cos(2 \cdot 8x) = 0$

$\cos 16x = 0$

Решением этого уравнения является:

$16x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{16}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ. Условие $\cos 16x = 0$ означает, что $\cos^2 8x = \sin^2 8x$. Так как $\cos^2 8x + \sin^2 8x = 1$, то $\sin^2 8x = \cos^2 8x = 1/2$. Следовательно, $\sin 8x \ne 0$ и $\cos 8x \ne 0$. Это гарантирует, что все тангенсы и котангенсы в исходном уравнении определены, так как ни один из аргументов $x, 2x, 4x, 8x$ не является кратным $\pi/2$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{16}, n \in \mathbb{Z}$.