Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

28.14. a) $ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} $;

б) $ \frac{\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{9}} $;

В) $ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} $;

Г) $ \frac{\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9}}{\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9}} $.

а) Для решения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

$\cos 68^\circ - \cos 22^\circ = -2 \sin\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ$

$\sin 68^\circ - \sin 22^\circ = 2 \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} \cos\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} = 2 \sin 23^\circ \cos 45^\circ$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ}{2 \sin 23^\circ \cos 45^\circ}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\sin 23^\circ$:

$-\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tan 45^\circ = -1$

Ответ: -1

б) Сначала приведем углы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$. Выражение примет вид:

$\frac{\sin\frac{7\pi}{18} - \sin\frac{2\pi}{18}}{\cos\frac{7\pi}{18} - \cos\frac{2\pi}{18}}$

Используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:

$\sin\frac{7\pi}{18} - \sin\frac{2\pi}{18} = 2 \sin\frac{\frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} = 2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{9\pi}{36} = 2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{\pi}{4}$

$\cos\frac{7\pi}{18} - \cos\frac{2\pi}{18} = -2 \sin\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} \sin\frac{\frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} = -2 \sin\frac{9\pi}{36} \sin\frac{5\pi}{36} = -2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{5\pi}{36}$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin\frac{5\pi}{36} \cos\frac{\pi}{4}}{-2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{5\pi}{36}}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\sin\frac{5\pi}{36}$:

$-\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = -\cot\frac{\pi}{4} = -1$

Ответ: -1

в) Для решения используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

$\sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ$

$\cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cos\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\cos 10^\circ$:

$\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Сначала приведем углы к общему знаменателю: $\frac{11\pi}{9} = \frac{22\pi}{18}$. Выражение примет вид:

$\frac{\sin\frac{5\pi}{18} + \sin\frac{22\pi}{18}}{\cos\frac{5\pi}{18} + \cos\frac{22\pi}{18}}$

Используем формулы преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:

$\sin\frac{5\pi}{18} + \sin\frac{22\pi}{18} = 2 \sin\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{22\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{18} - \frac{22\pi}{18}}{2} = 2 \sin\frac{27\pi}{36} \cos\frac{-17\pi}{36} = 2 \sin\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}$

$\cos\frac{5\pi}{18} + \cos\frac{22\pi}{18} = 2 \cos\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{22\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{18} - \frac{22\pi}{18}}{2} = 2 \cos\frac{27\pi}{36} \cos\frac{-17\pi}{36} = 2 \cos\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}$

Подставим в дробь:

$\frac{2 \sin\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}}{2 \cos\frac{3\pi}{4} \cos\frac{17\pi}{36}}$

Сокращаем общие множители $2$ и $\cos\frac{17\pi}{36}$:

$\frac{\sin\frac{3\pi}{4}}{\cos\frac{3\pi}{4}} = \tan\frac{3\pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$

Ответ: -1

28.15. a) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}$, если $\ctg 4\alpha = 0,2;$

б) $\frac{\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x}{\cos x - \cos 2x + \cos 3x - \cos 4x}$, если $\tg \frac{5x}{4} = 2.$

а)

Для того чтобы вычислить значение выражения, сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе, а затем применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Исходное выражение: $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}$

Сгруппируем слагаемые:
Числитель: $(\sin 7\alpha + \sin \alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$
Знаменатель: $(\cos 7\alpha + \cos \alpha) + (\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)$

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель:
$\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$
$\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$
Весь числитель равен: $2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \sin 4\alpha \cos \alpha = 2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

Преобразуем знаменатель:
$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$
$\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha$
Весь знаменатель равен: $2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \cos 4\alpha \cos \alpha = 2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}{2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}$

Сократим общий множитель $2(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$, предполагая, что он не равен нулю. Получим:
$\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \tan 4\alpha$

По условию $\ctg 4\alpha = 0,2$. Так как $\tan x = \frac{1}{\ctg x}$, находим:
$\tan 4\alpha = \frac{1}{0,2} = \frac{1}{1/5} = 5$.

Ответ: 5.

б)

Для упрощения данного выражения сгруппируем слагаемые и применим тригонометрические формулы.

Исходное выражение: $\frac{\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x}{\cos x - \cos 2x + \cos 3x - \cos 4x}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками:
Числитель: $(\sin x + \sin 3x) - (\sin 2x + \sin 4x)$
Знаменатель: $(\cos x + \cos 3x) - (\cos 2x + \cos 4x)$

Применим формулы суммы синусов и косинусов:
$\sin x + \sin 3x = 2 \sin 2x \cos x$
$\sin 2x + \sin 4x = 2 \sin 3x \cos x$
$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x$
$\cos 2x + \cos 4x = 2 \cos 3x \cos x$

Подставим эти выражения обратно в дробь:
$\frac{2 \sin 2x \cos x - 2 \sin 3x \cos x}{2 \cos 2x \cos x - 2 \cos 3x \cos x} = \frac{2 \cos x (\sin 2x - \sin 3x)}{2 \cos x (\cos 2x - \cos 3x)}$

Сократим на $2\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):
$\frac{\sin 2x - \sin 3x}{\cos 2x - \cos 3x}$

Теперь применим формулы разности синусов и разности косинусов:
$\sin a - \sin b = 2 \cos\frac{a+b}{2} \sin\frac{a-b}{2}$
$\cos a - \cos b = -2 \sin\frac{a+b}{2} \sin\frac{a-b}{2}$

$\frac{2 \cos\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}}{-2 \sin\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}} = \frac{2 \cos\frac{5x}{2} \sin(-\frac{x}{2})}{-2 \sin\frac{5x}{2} \sin(-\frac{x}{2})}$

Сократим на $2\sin(-\frac{x}{2})$ (при $\sin(-\frac{x}{2}) \neq 0$):
$\frac{\cos\frac{5x}{2}}{-\sin\frac{5x}{2}} = -\ctg\frac{5x}{2}$

По условию $\tg\frac{5x}{4} = 2$. Нам нужно найти значение $-\ctg\frac{5x}{2}$.
Пусть $y = \frac{5x}{4}$, тогда $\frac{5x}{2} = 2y$. Нам нужно найти $-\ctg(2y)$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg(2y) = \frac{2\tg y}{1 - \tg^2 y}$.
$\tg(2y) = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}$

Так как $\ctg(2y) = \frac{1}{\tg(2y)}$, то:
$\ctg(2y) = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$

Искомое значение выражения равно $-\ctg\frac{5x}{2} = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

28.16. a) $sin^2 10^\circ + sin^2 130^\circ + sin^2 110^\circ$;

б) $cos^2 35^\circ + cos^2 25^\circ - cos^2 5^\circ$.

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ $ воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством.
Преобразуем синусы углов $130^\circ$ и $110^\circ$:
$ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ $
$ \sin 110^\circ = \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ $
Это не приводит к очевидному упрощению. Попробуем другой подход, используя формулы понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:
$ \sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} $
$ \sin^2 130^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 130^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 260^\circ}{2} $
$ \sin^2 110^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 110^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 220^\circ}{2} $
Сложим полученные выражения:
$ \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 260^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 220^\circ}{2} = \frac{1}{2} (1 - \cos 20^\circ + 1 - \cos 260^\circ + 1 - \cos 220^\circ) $
$ = \frac{1}{2} (3 - (\cos 20^\circ + \cos 260^\circ + \cos 220^\circ)) $
Рассмотрим сумму косинусов $ \cos 20^\circ + \cos 260^\circ + \cos 220^\circ $. Сгруппируем последние два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 260^\circ + \cos 220^\circ = 2\cos\frac{260^\circ+220^\circ}{2}\cos\frac{260^\circ-220^\circ}{2} = 2\cos 240^\circ \cos 20^\circ $
Найдем значение $ \cos 240^\circ $:
$ \cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $
Тогда:
$ 2\cos 240^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos 20^\circ = -\cos 20^\circ $
Теперь вся сумма косинусов равна:
$ \cos 20^\circ + (-\cos 20^\circ) = 0 $
Подставим это значение в исходное выражение:
$ \frac{1}{2} (3 - 0) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $.

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ - \cos^2 5^\circ $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим эту формулу к каждому слагаемому:
$ \cos^2 35^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 35^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} $
$ \cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} $
$ \cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 5^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} $
Подставим эти выражения в исходное:
$ \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} - \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} $
$ = \frac{1}{2} (1 + \cos 70^\circ + 1 + \cos 50^\circ - (1 + \cos 10^\circ)) $
$ = \frac{1}{2} (1 + \cos 70^\circ + \cos 50^\circ - \cos 10^\circ) $
Упростим выражение в скобках. Для этого к $ \cos 70^\circ + \cos 50^\circ $ применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 70^\circ + \cos 50^\circ = 2\cos\frac{70^\circ+50^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-50^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \cos 10^\circ $
Поскольку $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ $
Теперь подставим полученный результат в выражение в скобках:
$ 1 + (\cos 70^\circ + \cos 50^\circ) - \cos 10^\circ = 1 + \cos 10^\circ - \cos 10^\circ = 1 $
Тогда значение всего выражения равно:
$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

28.17. a) $ \cos 24^\circ + \cos 48^\circ - \cos 84^\circ - \cos 12^\circ $

б) $ \operatorname{tg} 9^\circ - \operatorname{tg} 63^\circ + \operatorname{tg} 81^\circ - \operatorname{tg} 27^\circ $

а)

Сначала сгруппируем слагаемые в выражении $\cos 24^\circ + \cos 48^\circ - \cos 84^\circ - \cos 12^\circ$ для удобства преобразований:
$(\cos 24^\circ - \cos 84^\circ) + (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ)$.

Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем первую группу:
$\cos 24^\circ - \cos 84^\circ = -2 \sin\frac{24^\circ + 84^\circ}{2} \sin\frac{24^\circ - 84^\circ}{2} = -2 \sin\frac{108^\circ}{2} \sin\frac{-60^\circ}{2} = -2 \sin 54^\circ \sin(-30^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получим:
$-2 \sin 54^\circ (-\sin 30^\circ) = 2 \sin 54^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 54^\circ$.

Преобразуем вторую группу:
$\cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin\frac{48^\circ + 12^\circ}{2} \sin\frac{48^\circ - 12^\circ}{2} = -2 \sin\frac{60^\circ}{2} \sin\frac{36^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ$.
Подставляя $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ$.

Сложим полученные результаты:
$\sin 54^\circ + (-\sin 18^\circ) = \sin 54^\circ - \sin 18^\circ$.

Используем формулу приведения $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$.
Выражение принимает вид: $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ$.

Воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для этих углов: $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ и $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$\frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}+1 - (\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5}+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Перегруппируем слагаемые в выражении $\tg 9^\circ - \tg 63^\circ + \tg 81^\circ - \tg 27^\circ$:
$(\tg 9^\circ + \tg 81^\circ) - (\tg 63^\circ + \tg 27^\circ)$.

Применим формулу приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha$:
$\tg 81^\circ = \tg(90^\circ - 9^\circ) = \ctg 9^\circ$.
$\tg 63^\circ = \tg(90^\circ - 27^\circ) = \ctg 27^\circ$.

Подставим преобразованные значения в выражение:
$(\tg 9^\circ + \ctg 9^\circ) - (\ctg 27^\circ + \tg 27^\circ)$.

Используем тождество $\tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Зная формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, можно выразить $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
Таким образом, $\tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Применим эту формулу к каждой из скобок:
$\tg 9^\circ + \ctg 9^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} = \frac{2}{\sin 18^\circ}$.
$\tg 27^\circ + \ctg 27^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin 54^\circ}$.

Выражение принимает вид:
$\frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} = 2 \left( \frac{1}{\sin 18^\circ} - \frac{1}{\sin 54^\circ} \right) = 2 \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ}$.

Для числителя применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$:
$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \sin\frac{54^\circ - 18^\circ}{2} = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$2 \frac{2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} = \frac{4 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ}$.

Сокращаем на $\sin 18^\circ$ и используем формулу приведения $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$:
$\frac{4 \cos 36^\circ}{\sin 54^\circ} = \frac{4 \cos 36^\circ}{\cos 36^\circ} = 4$.

Ответ: $4$.

Проверьте равенство:

28.18. a) $\sin 35^{\circ} + \sin 25^{\circ} = \cos 5^{\circ}$;

б) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ} = \cos 10^{\circ}$;

в) $\cos 12^{\circ} - \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ}$;

г) $\cos 20^{\circ} - \sin 50^{\circ} = \sin 10^{\circ}$.

а) Проверим равенство $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2}\right)$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

$\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$2 \sin(30^\circ) \cos(5^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$.

Сначала преобразуем $\cos 70^\circ$ с помощью формулы приведения $\cos x = \sin(90^\circ - x)$:

$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$

Теперь исходное равенство принимает вид:

$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = \cos 10^\circ$

Воспользуемся формулой суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$, где $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.

$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ - 20^\circ}{2}\right)$

$= 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \sin(30^\circ) \cos(10^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$

Левая часть равна правой: $\cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 12^\circ$ и $\beta = 48^\circ$.

$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ + 48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ - 48^\circ}{2}\right)$

$= -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-18^\circ)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$-2 \sin(30^\circ) (-\sin(18^\circ)) = 2 \sin(30^\circ) \sin(18^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(18^\circ) = \sin(18^\circ)$

Левая часть равна правой: $\sin(18^\circ) = \sin(18^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$.

Преобразуем $\sin 50^\circ$ с помощью формулы приведения $\sin x = \cos(90^\circ - x)$:

$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$

Исходное равенство принимает вид:

$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = \sin 10^\circ$

Воспользуемся формулой разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 40^\circ$.

$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right)$

$= -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-10^\circ)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$-2 \sin(30^\circ) (-\sin(10^\circ)) = 2 \sin(30^\circ) \sin(10^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(10^\circ) = \sin(10^\circ)$

Левая часть равна правой: $\sin(10^\circ) = \sin(10^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

28.19. a) $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \cos 10^\circ = 0;$

б) $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ - \cos 25^\circ = 0.$

а) Чтобы доказать тождество $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \cos 10^\circ = 0$, преобразуем сумму синусов в левой части равенства.
Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Применим ее к выражению $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ$ (для удобства поменяем слагаемые местами: $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$):
$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ+20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ-20^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ$.
Мы знаем, что значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$.
Теперь подставим результат обратно в исходное тождество:
$(\sin 20^\circ + \sin 40^\circ) - \cos 10^\circ = \cos 10^\circ - \cos 10^\circ = 0$.
Таким образом, мы получили $0 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество верно.

б) Чтобы доказать тождество $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ - \cos 25^\circ = 0$, преобразуем сумму косинусов в левой части равенства.
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Применим ее к выражению $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ$:
$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = 2 \cos\left(\frac{85^\circ+35^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{85^\circ-35^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right) = 2 \cos 60^\circ \cos 25^\circ$.
Мы знаем, что значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2 \cos 60^\circ \cos 25^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 25^\circ = \cos 25^\circ$.
Теперь подставим результат обратно в исходное тождество:
$(\cos 85^\circ + \cos 35^\circ) - \cos 25^\circ = \cos 25^\circ - \cos 25^\circ = 0$.
Таким образом, мы получили $0 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество верно.

28.20. a) $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$;

б) $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$.

a) Докажем тождество: $ \sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ $.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Сгруппируем слагаемые для удобства:

$ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) $

Применим формулы приведения для первой группы слагаемых. Заметим, что $ 87^\circ = 90^\circ - 3^\circ $ и $ 93^\circ = 90^\circ + 3^\circ $. Используем следующие тригонометрические тождества:

$ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $

Подставляя $ \alpha = 3^\circ $, получаем:

$ \sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ $

$ \sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ $

Теперь наше выражение принимает вид:

$ (\cos 3^\circ - \cos 3^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = 0 + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ $

Далее, применим формулу разности синусов:

$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

В нашем случае $ \alpha = 61^\circ $ и $ \beta = 59^\circ $:

$ \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \cos \frac{61^\circ + 59^\circ}{2} \sin \frac{61^\circ - 59^\circ}{2} = 2 \cos \frac{120^\circ}{2} \sin \frac{2^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 1^\circ $

Поскольку значение $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ $

Мы показали, что левая часть тождества равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ $.

Преобразуем левую часть выражения, используя формулы приведения. Заметим, что $ 115^\circ = 90^\circ + 25^\circ $ и $ 65^\circ = 90^\circ - 25^\circ $. Используем следующие тождества:

$ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $

$ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $

Подставляя $ \alpha = 25^\circ $, получаем:

$ \cos 115^\circ = \cos(90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ $

$ \cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (-\sin 25^\circ) - \cos 35^\circ + (\sin 25^\circ) + \cos 25^\circ $

Упростим, сократив $ -\sin 25^\circ $ и $ \sin 25^\circ $:

$ \cos 25^\circ - \cos 35^\circ $

Теперь применим формулу разности косинусов:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

В нашем случае $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 35^\circ $:

$ \cos 25^\circ - \cos 35^\circ = -2 \sin \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \sin \frac{25^\circ - 35^\circ}{2} = -2 \sin \frac{60^\circ}{2} \sin \frac{-10^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin(-5^\circ) $

Используем свойство нечетности функции синус $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $:

$ -2 \sin 30^\circ \cdot (-\sin 5^\circ) = 2 \sin 30^\circ \sin 5^\circ $

Поскольку значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 5^\circ = \sin 5^\circ $

Мы показали, что левая часть тождества равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

28.21. a) $ \sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ = \cos 7^\circ $

б) $ \operatorname{tg} 55^\circ - \operatorname{tg} 35^\circ = 2 \operatorname{tg} 20^\circ $

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала сгруппируем слагаемые: $(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$.

Теперь применим к каждой группе формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Для первой группы: $\sin 61^\circ + \sin 47^\circ = 2 \sin\frac{61^\circ+47^\circ}{2}\cos\frac{61^\circ-47^\circ}{2} = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ$.

Для второй группы: $\sin 25^\circ + \sin 11^\circ = 2 \sin\frac{25^\circ+11^\circ}{2}\cos\frac{25^\circ-11^\circ}{2} = 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$.

Подставив полученные выражения в исходное, получим: $2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$.

Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$ за скобки: $2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$.

Рассмотрим выражение в скобках. Используя формулу приведения, $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$. Таким образом, разность равна $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ$. Известно, что $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в наше выражение: $2 \cos 7^\circ \cdot \frac{1}{2} = \cos 7^\circ$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\cos 7^\circ$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\operatorname{tg} 55^\circ - \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} - \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 55^\circ \cos 35^\circ - \cos 55^\circ \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}$.

В числителе дроби мы видим формулу синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. Применив ее, получаем:

$\sin(55^\circ - 35^\circ) = \sin 20^\circ$.

Знаменатель преобразуем, используя формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$:

$\cos 55^\circ \cos 35^\circ = \frac{1}{2}(\cos(55^\circ+35^\circ) + \cos(55^\circ-35^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 90^\circ + \cos 20^\circ)$.

Поскольку $\cos 90^\circ = 0$, знаменатель упрощается до $\frac{1}{2}\cos 20^\circ$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cos 20^\circ} = 2 \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 \operatorname{tg} 20^\circ$.

Таким образом, левая часть тождества равна $2 \operatorname{tg} 20^\circ$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

28.22. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то выполняется равенство:

а) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma$;

б) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

Дано условие: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Из этого условия следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.
Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства (при условии, что тангенсы существуют, то есть ни один из углов не равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число):
$\tg(\alpha + \beta) = \tg(\pi - \gamma)$
Используя формулу тангенса суммы для левой части и формулу приведения для правой, получаем:
$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = -\tg \gamma$
Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tg \alpha \tg \beta)$:
$\tg \alpha + \tg \beta = -\tg \gamma (1 - \tg \alpha \tg \beta)$
Раскроем скобки в правой части:
$\tg \alpha + \tg \beta = -\tg \gamma + \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma$
Перенесем $-\tg \gamma$ в левую часть, чтобы завершить доказательство:
$\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

Преобразуем левую часть равенства: $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$.
Сначала применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.
$(\sin \alpha + \sin \beta) + \sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - z) = \cos z$, получаем $\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$
Теперь используем формулу синуса двойного угла для $\sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2} \right)$
Снова используем условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, чтобы преобразовать $\sin\frac{\gamma}{2}$.
$\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$, поэтому $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{-\beta}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Подставим полученный результат обратно:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

28.23. a) Зная, что $ \sin 2x + \sin 2y = a, \cos 2x + \cos 2y = b (a \neq 0, b \neq 0) $, вычислите $ \operatorname{tg}(x + y) $;

б) Зная, что $ \sin x - \sin y = a, \cos x - \cos y = b (a \neq 0, b \neq 0) $, вычислите $ \operatorname{ctg} \frac{x+y}{2} $.

а)

Дано:

$ \sin 2x + \sin 2y = a $

$ \cos 2x + \cos 2y = b $

Для решения используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эти формулы к данным уравнениям, подставив $ \alpha = 2x $ и $ \beta = 2y $:

$ \sin 2x + \sin 2y = 2 \sin \frac{2x + 2y}{2} \cos \frac{2x - 2y}{2} = 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = a $

$ \cos 2x + \cos 2y = 2 \cos \frac{2x + 2y}{2} \cos \frac{2x - 2y}{2} = 2 \cos(x+y) \cos(x-y) = b $

Получили систему уравнений:

1) $ 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = a $

2) $ 2 \cos(x+y) \cos(x-y) = b $

Поскольку по условию $ b \neq 0 $, мы можем разделить первое уравнение на второе. Заметим, что если бы $ \cos(x-y) = 0 $, то из уравнений следовало бы, что $ a = 0 $ и $ b = 0 $, что противоречит условию. Значит, $ \cos(x-y) \neq 0 $, и мы можем сократить на этот множитель.

$ \frac{2 \sin(x+y) \cos(x-y)}{2 \cos(x+y) \cos(x-y)} = \frac{a}{b} $

После сокращения получаем:

$ \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} = \frac{a}{b} $

Так как $ \tg(x+y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} $, то

$ \tg(x+y) = \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $.

б)

Дано:

$ \sin x - \sin y = a $

$ \cos x - \cos y = b $

Для решения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эти формулы к данным уравнениям, подставив $ \alpha = x $ и $ \beta = y $:

$ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = a $

$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = b $

Получили систему уравнений:

1) $ 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = a $

2) $ -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = b $

Поскольку по условию $ b \neq 0 $, разделим первое уравнение на второе. Если предположить, что $ \sin \frac{x-y}{2} = 0 $, то $ a=0 $ и $ b=0 $, что противоречит условию. Значит, $ \sin \frac{x-y}{2} \neq 0 $, и мы можем сократить на этот множитель.

$ \frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}{-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}} = \frac{a}{b} $

После сокращения получаем:

$ \frac{\cos \frac{x+y}{2}}{-\sin \frac{x+y}{2}} = \frac{a}{b} $

$ -\ctg \frac{x+y}{2} = \frac{a}{b} $

Отсюда выражаем искомый котангенс:

$ \ctg \frac{x+y}{2} = -\frac{a}{b} $

Ответ: $ -\frac{a}{b} $.