Страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.12. а) $\frac{\cos 2t}{\sin t \cos t + \sin^2 t} = \operatorname{ctg}(\pi + t) - 1;$

б) $\frac{\sin 2t - 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) - \sin^2 t} = -2 \operatorname{ctg} t;$

в) $(\operatorname{ctg} t - \operatorname{tg} t) \sin 2t = 2 \cos 2t;$

г) $\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = 1.$

а) Докажем тождество $ \frac{\cos 2t}{\sin t \cos t + \sin^2 t} = \mathrm{ctg}(\pi + t) - 1 $.
Сначала упростим правую часть, используя формулу приведения: $ \mathrm{ctg}(\pi + t) = \mathrm{ctg} \, t $.
Таким образом, правая часть равна $ \mathrm{ctg} \, t - 1 $.
Теперь преобразуем левую часть. В числителе применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $, а в знаменателе вынесем $ \sin t $ за скобки:
$ \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t (\cos t + \sin t)} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $ \cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t) $.
Получаем дробь:
$ \frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\sin t (\cos t + \sin t)} $
Сократим дробь на $ (\cos t + \sin t) $ (при условии, что $ \cos t + \sin t \neq 0 $):
$ \frac{\cos t - \sin t}{\sin t} $
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$ \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\sin t} = \mathrm{ctg} \, t - 1 $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \frac{\sin 2t - 2 \sin(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos(\frac{\pi}{2} - t) - \sin^2 t} = -2 \mathrm{ctg} \, t $.
Преобразуем левую часть. Применим формулы приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t $ и $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t $:
$ \frac{\sin 2t - 2 \cos t}{\sin t - \sin^2 t} $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $ и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{2 \sin t \cos t - 2 \cos t}{\sin t(1 - \sin t)} = \frac{2 \cos t (\sin t - 1)}{\sin t (1 - \sin t)} $
Вынесем в знаменателе минус за скобку, чтобы получить одинаковые выражения:
$ \frac{2 \cos t (\sin t - 1)}{-\sin t (\sin t - 1)} $
Сократим дробь на $ (\sin t - 1) $ (при условии, что $ \sin t \neq 1 $):
$ \frac{2 \cos t}{-\sin t} = -2 \frac{\cos t}{\sin t} = -2 \mathrm{ctg} \, t $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $ (\mathrm{ctg} \, t - \mathrm{tg} \, t) \sin 2t = 2 \cos 2t $.
Преобразуем левую часть. Запишем котангенс и тангенс через синус и косинус:
$ \left( \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\cos t} \right) \sin 2t $
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$ \left( \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t \cos t} \right) \sin 2t $
В числителе дроби в скобках находится формула косинуса двойного угла $ \cos 2t $, а в знаменателе — выражение, связанное с синусом двойного угла: $ \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t $.
Подставим эти формулы:
$ \frac{\cos 2t}{\frac{1}{2}\sin 2t} \cdot \sin 2t = \frac{2 \cos 2t}{\sin 2t} \cdot \sin 2t $
Сократим на $ \sin 2t $ (при условии, что $ \sin 2t \neq 0 $):
$ 2 \cos 2t $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $ \frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = 1 $.
Преобразуем левую часть. Используем формулы двойного угла в виде $ 1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t $ и $ 1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t $, а также $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $. По формуле приведения $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \mathrm{ctg} \, t $.
Подставим выражения в дробь:
$ \frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе дроби:
$ \frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Сократим дробь на $ 2 $ и на $ (\sin t + \cos t) $ (при условии, что они не равны нулю):
$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Так как $ \frac{\sin t}{\cos t} = \mathrm{tg} \, t $, получаем:
$ \mathrm{tg} \, t \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 (при условии, что угол $ t $ не является кратным $ \frac{\pi}{2} $, чтобы тангенс и котангенс были определены).
$ \mathrm{tg} \, t \cdot \frac{1}{\mathrm{tg} \, t} = 1 $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

27.13. a) $\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

б) $\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4}$.

а) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим первую дробь, используя формулы двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и $1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$.
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} = \frac{2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} \, t$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \text{tg} \, t \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$.
Далее используем формулы половинного угла: $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ и $1 + \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$.
$\frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \text{tg} \frac{t}{2}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Воспользуемся результатом, полученным в пункте а). Мы уже доказали, что:
$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \text{tg} \frac{t}{2}$.
Подставим это в левую часть тождества из пункта б):
$\left( \frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \right) \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \text{tg} \frac{t}{2} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$.
Заменим $\text{tg} \frac{t}{2}$ на $\frac{\sin (t/2)}{\cos (t/2)}$ и сократим $\cos \frac{t}{2}$:
$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$.
Это выражение имеет тот же вид, что и $\frac{\sin t}{1 + \cos t}$, но с аргументом, уменьшенным в два раза. Применим к нему те же формулы половинного угла (для аргумента $\frac{t}{2}$):
$\sin \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4}$ и $1 + \cos \frac{t}{2} = 2 \cos^2 \frac{t}{4}$.
$\frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \frac{2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4}}{2 \cos^2 \frac{t}{4}} = \frac{\sin \frac{t}{4}}{\cos \frac{t}{4}} = \text{tg} \frac{t}{4}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

27.14. a) $\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg} t;$

б) $\frac{1 + \cos 2t - \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - t\right).$

a)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами двойного угла, а именно следствиями из формулы косинуса двойного угла и формулой синуса двойного угла:

$1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$

$1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \frac{(1 - \cos 2t) + \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = \frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(\sin t + \cos t)$, который не должен быть равен нулю (что соответствует области допустимых значений исходного выражения):

$\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} \, t$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. Знаменатель дроби такой же, как и в пункте а), и мы уже знаем, что он равен:

$1 + \sin 2t + \cos 2t = 2 \cos t (\cos t + \sin t)$

Теперь преобразуем числитель, используя те же формулы двойного угла:

$1 + \cos 2t - \sin 2t = (1 + \cos 2t) - \sin 2t = 2 \cos^2 t - 2 \sin t \cos t$

Вынесем общий множитель $2 \cos t$ за скобки в числителе:

$2 \cos t (\cos t - \sin t)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2 \cos t (\cos t - \sin t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)}$

Сократим дробь на $2 \cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$

Чтобы получить тангенс, разделим числитель и знаменатель на $\cos t$:

$\frac{\frac{\cos t}{\cos t} - \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\cos t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{1 - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg} \, t}$

Теперь преобразуем правую часть исходного тождества, используя формулу тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta}{1 + \text{tg} \, \alpha \text{tg} \, \beta}$:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg} \, t}$

Так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{1 - \text{tg} \, t}{1 + \text{tg} \, t}$

Мы показали, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

27.15. a) $ \cos^2 t - \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2t\right); $

б) $ \sin^2 t - \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(2t - \frac{\pi}{4}\right). $

а)

Чтобы доказать тождество $cos^2 t - cos^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}}sin(\frac{\pi}{4} - 2t)$, преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой разности квадратов косинусов: $cos^2 A - cos^2 B$. Её можно получить из формул понижения степени и преобразования разности косинусов в произведение: $cos^2 A - cos^2 B = \frac{1+cos(2A)}{2} - \frac{1+cos(2B)}{2} = \frac{1}{2}(cos(2A) - cos(2B))$ Используя формулу $cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$, получаем: $\frac{1}{2}(-2sin(\frac{2A+2B}{2})sin(\frac{2A-2B}{2})) = -sin(A+B)sin(A-B)$. Таким образом, $cos^2 A - cos^2 B = -sin(A+B)sin(A-B)$.

В нашем случае $A = t$ и $B = \frac{\pi}{4} - t$.

Найдем сумму и разность аргументов: $A+B = t + (\frac{\pi}{4} - t) = \frac{\pi}{4}$
$A-B = t - (\frac{\pi}{4} - t) = t - \frac{\pi}{4} + t = 2t - \frac{\pi}{4}$

Подставим эти значения в выведенную формулу: $cos^2 t - cos^2(\frac{\pi}{4} - t) = -sin(\frac{\pi}{4})sin(2t - \frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Также используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$. $-sin(\frac{\pi}{4})sin(2t - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}sin(2t - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-sin(2t - \frac{\pi}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}}sin(-(2t - \frac{\pi}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}}sin(\frac{\pi}{4} - 2t)$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $sin^2 t - sin^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac

27.16. a) $ \cos x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $;

б) $ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $;

в) $ \sin x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x} $;

г) $ \sin x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x} $.

а) Чтобы доказать тождество $ \cos x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $, преобразуем левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) правой части требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $ \sin x \neq 0 $.
Умножим и разделим левую часть на $ 2 \sin x $:
$ \cos x \cos 2x = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x}{2 \sin x} $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, заменим $ 2 \sin x \cos x $ на $ \sin 2x $:
$ \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x}{2 \sin x} $
Еще раз применим ту же формулу для числителя. Так как $ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x $, то $ \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x $:
$ \frac{\frac{1}{2} \sin 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $
Мы привели левую часть тождества к правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $, преобразуем левую часть. ОДЗ: $ \sin x \neq 0 $.
Умножим и разделим левую часть на $ 2 \sin x $ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} $
$ = \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} $
$ = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\frac{1}{2} \sin 4x \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 4x \cos 4x}{4 \sin x} $
$ = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 4x \cos 4x)}{4 \sin x} = \frac{\frac{1}{2} \sin 8x}{4 \sin x} = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $
Левая часть тождества приведена к правой.
Ответ: тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $ \sin x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x} $, преобразуем правую часть. ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x $:
$ \frac{\sin 4x}{4 \cos x} = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{4 \cos x} = \frac{\sin 2x \cos 2x}{2 \cos x} $
Теперь применим формулу $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x}{2 \cos x} $
Сокращаем $ 2 \cos x $ в числителе и знаменателе (это возможно, так как по ОДЗ $ \cos x \neq 0 $):
$ \sin x \cos 2x $
Правая часть тождества приведена к левой.
Ответ: тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $ \sin x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x} $, преобразуем правую часть. ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $.
Последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, начиная с $ \sin 8x $:
$ \frac{\sin 8x}{8 \cos x} = \frac{2 \sin 4x \cos 4x}{8 \cos x} = \frac{\sin 4x \cos 4x}{4 \cos x} $
$ = \frac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x}{4 \cos x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x}{2 \cos x} $
$ = \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x}{2 \cos x} $
Сокращаем $ 2 \cos x $ в числителе и знаменателе (по ОДЗ $ \cos x \neq 0 $):
$ \sin x \cos 2x \cos 4x $
Правая часть тождества приведена к левой.
Ответ: тождество доказано.

27.17. Проверьте числовое равенство:

a) $sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$

б) $sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}.$

а) Проверим равенство $ \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $.

Преобразуем левую часть равенства, последовательно используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

1. Сначала применим формулу к произведению $ \sin 18^\circ \cos 18^\circ $:

$ \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{2}\sin 36^\circ $.

2. Подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$ (\sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ = \left(\frac{1}{2}\sin 36^\circ\right) \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ $.

3. Теперь снова применим формулу синуса двойного угла для произведения $ \sin 36^\circ \cos 36^\circ $:

$ \frac{1}{2} (\sin 36^\circ \cos 36^\circ) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 36^\circ) \right) = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части: $ \frac{1}{4}\sin 72^\circ = \frac{1}{4}\sin 72^\circ $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство верное.

б) Проверим равенство $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $.

Для доказательства умножим и разделим левую часть на $ 2\cos 18^\circ $ (это допустимо, так как $ \cos 18^\circ \neq 0 $):

$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} $.

В числителе используем формулу синуса двойного угла $ 2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha) $ для $ \alpha = 18^\circ $:

$ 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \sin(2 \cdot 18^\circ) = \sin 36^\circ $.

Подставив это в наше выражение, получим:

$ \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} $.

Теперь преобразуем числитель $ \sin 36^\circ \cos 36^\circ $. Снова воспользуемся формулой синуса двойного угла, для чего умножим и разделим дробь на 2:

$ \frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ} $.

Применим формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. В нашем случае $ \sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ $.

Подставим это значение в дробь:

$ \frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} $.

Сократив $ \cos 18^\circ $ в числителе и знаменателе, получаем $ \frac{1}{4} $.

Таким образом, левая часть равна правой: $ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство верное.