Страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

25.22. Вычислите:

а) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg} \frac{2}{7}\right); $

б) $ \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{4} - \operatorname{arccos} \left(-\frac{3}{5}\right)\right); $

в) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} - \operatorname{arcctg} \frac{1}{3}\right); $

г) $ \operatorname{tg} \left(\operatorname{arcsin} \frac{4}{5} + \operatorname{arcctg} \frac{3}{4}\right). $

а)

Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arctg \frac{2}{7}$.

Найдем значения тангенсов для каждого из углов:

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

$\tg \beta = \tg\left(\arctg \frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7}$ (по определению арктангенса).

Теперь подставим эти значения в формулу:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \arctg \frac{2}{7}\right) = \frac{1 + \frac{2}{7}}{1 - 1 \cdot \frac{2}{7}} = \frac{\frac{7+2}{7}}{\frac{7-2}{7}} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$.

б)

Сначала преобразуем выражение, используя свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4} - \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - \left(\pi - \arccos\frac{3}{5}\right)\right) = \tg\left(\frac{3\pi}{4} - \pi + \arccos\frac{3}{5}\right) = \tg\left(-\frac{\pi}{4} + \arccos\frac{3}{5}\right)$.

Используем свойство нечетности тангенса $\tg(-x) = -\tg x$:

$-\tg\left(\frac{\pi}{4} - \arccos\frac{3}{5}\right)$.

Теперь применим формулу тангенса разности $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$, где $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$.

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Чтобы найти $\tg \beta = \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$, пусть $\gamma = \arccos\frac{3}{5}$. Тогда $\cos \gamma = \frac{3}{5}$ и угол $\gamma$ находится в первой четверти $\left(0 \le \gamma \le \frac{\pi}{2}\right)$.

Найдем $\sin \gamma$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Тогда $\tg \beta = \tg \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Подставляем все найденные значения:

$-\frac{\tg\frac{\pi}{4} - \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)}{1 + \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\left(\arccos\frac{3}{5}\right)} = -\frac{1 - \frac{4}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{4}{3}} = -\frac{\frac{3-4}{3}}{\frac{3+4}{3}} = -\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = - \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

Воспользуемся формулой тангенса разности $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \arcctg \frac{1}{3}$.

Найдем значения тангенсов:

$\tg \alpha = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

$\tg \beta = \tg\left(\arcctg \frac{1}{3}\right)$. Используя тождество $\tg(\arcctg x) = \frac{1}{x}$, получаем $\tg \beta = \frac{1}{1/3} = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$\tg\left(\frac{\pi}{3} - \arcctg \frac{1}{3}\right) = \frac{\sqrt{3} - 3}{1 + \sqrt{3} \cdot 3} = \frac{\sqrt{3} - 3}{1 + 3\sqrt{3}}$.

Для упрощения дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(1 - 3\sqrt{3})$:

$\frac{(\sqrt{3} - 3)(1 - 3\sqrt{3})}{(1 + 3\sqrt{3})(1 - 3\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-3\sqrt{3})}{1^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3} - 9 - 3 + 9\sqrt{3}}{1 - 9 \cdot 3} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{1 - 27} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{-26} = \frac{12 - 10\sqrt{3}}{26} = \frac{2(6 - 5\sqrt{3})}{2 \cdot 13} = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$.

Ответ: $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$.

г)

Применим формулу тангенса суммы $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$.

В нашем выражении $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$ и $\beta = \arcctg \frac{3}{4}$.

Найдем тангенс каждого из углов.

1. Для $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$: пусть $\gamma = \arcsin \frac{4}{5}$. Тогда $\sin \gamma = \frac{4}{5}$, и так как $0 < \frac{4}{5} \le 1$, угол $\gamma$ лежит в первой четверти $\left(0 < \gamma \le \frac{\pi}{2}\right)$.

$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2\gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\tg \alpha = \tg \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Для $\beta = \arcctg \frac{3}{4}$:

$\tg \beta = \tg\left(\arcctg \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Теперь подставляем найденные значения в формулу тангенса суммы:

$\tg\left(\arcsin \frac{4}{5} + \arcctg \frac{3}{4}\right) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{8 \cdot 3}{7} = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $-\frac{24}{7}$.

25.23. Докажите, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ пересекаются под углом 45°.

Чтобы доказать, что прямые пересекаются под углом 45°, мы воспользуемся формулой для нахождения тангенса угла между двумя прямыми через их угловые коэффициенты.

Уравнения прямых даны в форме $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом.

1. Найдём угловые коэффициенты для каждой из прямых:

Для прямой $y = 3x + 1$ угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Для прямой $y = 6 - 2x$, которую можно записать как $y = -2x + 6$, угловой коэффициент $k_2 = -2$.

2. Воспользуемся формулой для тангенса угла $\alpha$ между двумя прямыми:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

3. Подставим значения $k_1 = 3$ и $k_2 = -2$ в формулу:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{-2 - 3}{1 + (3)(-2)} \right|$

4. Вычислим значение выражения:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{-5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = |1| = 1$

5. Найдём угол $\alpha$, зная его тангенс.

Если $\tan(\alpha) = 1$, то острый угол $\alpha$ равен $45^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что угол между прямыми $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ составляет $45^\circ$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

25.24. Точка $K$ — середина стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Чему равен тангенс острого угла между диагональю $AC$ и отрезком $BK$?

Для нахождения тангенса угла между диагональю $AC$ и отрезком $BK$ воспользуемся методом координат. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

1. Введение системы координат и определение координат вершин.

Поместим квадрат $ABCD$ в прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а сторона $AB$ лежит на оси $Ox$. Примем длину стороны квадрата за $a$. Тогда координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$
• $C(a, a)$
• $D(0, a)$

2. Определение координат точки K.

По условию, точка $K$ является серединой стороны $CD$. Для нахождения её координат используем формулу середины отрезка: $K = (\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2})$.

Подставляем координаты точек $C(a, a)$ и $D(0, a)$:

$K = (\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}) = (\frac{a}{2}, a)$.

3. Нахождение угловых коэффициентов прямых AC и BK.

Угловой коэффициент $m$ прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Найдем угловой коэффициент $m_{AC}$ для прямой, содержащей диагональ $AC$. Прямая проходит через точки $A(0, 0)$ и $C(a, a)$:

  $m_{AC} = \frac{a - 0}{a - 0} = 1$.

• Найдем угловой коэффициент $m_{BK}$ для прямой, содержащей отрезок $BK$. Прямая проходит через точки $B(a, 0)$ и $K(\frac{a}{2}, a)$:

  $m_{BK} = \frac{a - 0}{\frac{a}{2} - a} = \frac{a}{-\frac{a}{2}} = -2$.

4. Вычисление тангенса угла между прямыми.

Тангенс острого угла $\phi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$ находится по формуле:

$\tan\phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим найденные значения $m_1 = m_{AC} = 1$ и $m_2 = m_{BK} = -2$ в формулу:

$\tan\phi = \left| \frac{-2 - 1}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{-3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{-3}{-1} \right| = 3$.

Таким образом, тангенс искомого острого угла равен 3.

Ответ: 3.

Упростите выражение:

26.1. а) $ \sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) $;

б) $ \cos (2\pi - t) $;

в) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + t \right) $;

г) $ \sin (\pi + t) $.

а) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) $ используются формулы приведения. Мнемоническое правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение названия итоговой функции. Если в исходном аргументе присутствует $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (точки на вертикальной оси единичной окружности), то функция меняется на кофункцию ($ \sin $ на $ \cos $, $ \tan $ на $ \cot $ и наоборот). В данном случае в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, поэтому $ \sin $ меняется на $ \cos $.

2. Определение знака итоговой функции. Знак определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол. Если считать $ t $ малым острым углом, то угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I координатной четверти. Синус в I четверти имеет знак «+».

Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t) $.

Ответ: $ \cos(t) $

б) Упростим выражение $ \cos(2\pi - t) $.

1. Определение названия функции. Если в аргументе присутствует $ \pi $ или $ 2\pi $ (точки на горизонтальной оси), то название функции не меняется. В данном случае $ \cos $ остается $ \cos $.

2. Определение знака. Угол $ 2\pi - t $ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак «+».

Также можно учесть, что косинус — периодическая функция с периодом $ 2\pi $, поэтому $ \cos(2\pi - t) = \cos(-t) $. А так как косинус — чётная функция, $ \cos(-t) = \cos(t) $.

Таким образом, $ \cos(2\pi - t) = \cos(t) $.

Ответ: $ \cos(t) $

в) Упростим выражение $ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) $.

1. Определение названия функции. В аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.

2. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} + t $ находится в IV четверти. Исходная функция $ \cos $ в IV четверти имеет знак «+».

Таким образом, $ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t) $.

Ответ: $ \sin(t) $

г) Упростим выражение $ \sin(\pi + t) $.

1. Определение названия функции. В аргументе присутствует $ \pi $, поэтому название функции $ \sin $ не меняется.

2. Определение знака. Угол $ \pi + t $ находится в III четверти. Исходная функция $ \sin $ в III четверти имеет знак «-».

Таким образом, $ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $.

Ответ: $ -\sin(t) $

26.2. a) $\sin(\pi - t)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$;

B) $\cos(2\pi + t)$;

Г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$.

а) Для упрощения выражения $ \sin(\pi - t) $ используются формулы приведения. Для их применения существует мнемоническое правило.

1. Определение знака. Если считать, что $t$ — это острый угол (угол первой четверти), то угол $(\pi - t)$ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен. Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+».

2. Определение функции. Если в исходной формуле угол имеет вид $ (\pi \pm t) $ или $ (2\pi \pm t) $, то название тригонометрической функции не меняется. В данном случае у нас $ \pi $, поэтому функция «синус» сохраняется.

Объединяя эти два пункта, получаем: $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $.

Также можно применить формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:

$ \sin(\pi - t) = \sin(\pi)\cos(t) - \cos(\pi)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - (-1) \cdot \sin(t) = \sin(t) $.

Ответ: $ \sin(t) $

б) Упростим выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) $ с помощью формул приведения.

1. Определение знака. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $(\frac{\pi}{2} + t)$ находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен. Значит, у результата будет знак «-».

2. Определение функции. Если в исходной формуле угол имеет вид $ (\frac{\pi}{2} \pm t) $ или $ (\frac{3\pi}{2} \pm t) $, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус). В данном случае у нас $ \frac{\pi}{2} $, поэтому функция «косинус» меняется на «синус».

Следовательно: $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin(t) $.

Проверка по формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(t) - \sin(\frac{\pi}{2})\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - 1 \cdot \sin(t) = -\sin(t) $.

Ответ: $ -\sin(t) $

в) Упростим выражение $ \cos(2\pi + t) $.

Здесь можно воспользоваться свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$, это значит, что $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для любого целого числа $k$. В нашем случае $k=1$.

Поэтому: $ \cos(2\pi + t) = \cos(t) $.

Если использовать общее правило формул приведения:

1. Определение знака. Угол $(2\pi + t)$ соответствует тому же положению на тригонометрической окружности, что и угол $t$. Значит, знак функции не изменится.

2. Определение функции. Так как в формуле присутствует $2\pi$, название функции «косинус» не меняется.

Результат тот же: $ \cos(2\pi + t) = \cos(t) $.

Ответ: $ \cos(t) $

г) Упростим выражение $ \sin(\frac{3\pi}{2} - t) $ с помощью формул приведения.

1. Определение знака. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $(\frac{3\pi}{2} - t)$ находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен. Следовательно, результат будет со знаком «-».

2. Определение функции. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, название функции «синус» меняется на кофункцию «косинус».

Объединяя пункты, получаем: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t) $.

Проверка по формуле синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - t) = \sin(\frac{3\pi}{2})\cos(t) - \cos(\frac{3\pi}{2})\sin(t) = (-1) \cdot \cos(t) - 0 \cdot \sin(t) = -\cos(t) $.

Ответ: $ -\cos(t) $

26.3. а) $cos (90^\circ - \alpha)$;

б) $sin (360^\circ - \alpha)$;

В) $sin (270^\circ + \alpha)$;

Г) $cos (180^\circ + \alpha)$.

Для упрощения данных тригонометрических выражений используются формулы приведения. Это правила, которые позволяют выразить тригонометрические функции углов вида $ 90^\circ \pm \alpha $, $ 180^\circ \pm \alpha $, $ 270^\circ \pm \alpha $, $ 360^\circ \pm \alpha $ через функции угла $ \alpha $.

Мнемоническое правило для применения формул приведения:

1. Определяем знак исходной функции. Для этого мысленно помещаем угол $ \alpha $ в первую четверть ( $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $ ) и смотрим, в какой четверти оказывается весь аргумент. Знак результата будет таким же, как знак исходной функции в этой четверти.
2. Определяем, меняется ли функция. Если в аргументе присутствуют углы $ 180^\circ $ или $ 360^\circ $ (расположенные на горизонтальной оси), то название функции не меняется. Если же в аргументе есть углы $ 90^\circ $ или $ 270^\circ $ (расположенные на вертикальной оси), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус).

Применим эти правила к каждому пункту.

а) $ \cos(90^\circ - \alpha) $

1. Знак: Угол $ (90^\circ - \alpha) $ находится в I четверти. Косинус в I четверти положителен (+).

2. Функция: Так как в формуле присутствует $ 90^\circ $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.

Объединяя, получаем: $ \cos(90^\circ - \alpha) = +\sin(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) $ \sin(360^\circ - \alpha) $

1. Знак: Угол $ (360^\circ - \alpha) $ находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен (?).

2. Функция: Так как в формуле присутствует $ 360^\circ $, функция $ \sin $ не меняется.

Объединяя, получаем: $ \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha) $.

Ответ: $ -\sin(\alpha) $

в) $ \sin(270^\circ + \alpha) $

1. Знак: Угол $ (270^\circ + \alpha) $ находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен (?).

2. Функция: Так как в формуле присутствует $ 270^\circ $, функция $ \sin $ меняется на $ \cos $.

Объединяя, получаем: $ \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

г) $ \cos(180^\circ + \alpha) $

1. Знак: Угол $ (180^\circ + \alpha) $ находится в III четверти. Косинус в III четверти отрицателен (?).

2. Функция: Так как в формуле присутствует $ 180^\circ $, функция $ \cos $ не меняется.

Объединяя, получаем: $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

26.4. a) $ \text{tg} (90^\circ - \alpha) $;

б) $ \text{ctg} (180^\circ - \alpha) $;

в) $ \text{tg} (270^\circ + \alpha) $;

г) $ \text{ctg} (360^\circ + \alpha) $.

а) Для упрощения выражения $tg(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $90^\circ$ (опорный угол на вертикальной оси OY), исходная функция тангенс ($tg$) заменяется на кофункцию, то есть на котангенс ($ctg$).
2. Для определения знака итогового выражения определим, в какой координатной четверти находится угол $90^\circ - \alpha$, если считать $\alpha$ острым углом ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Этот угол будет находиться в I четверти.
3. Исходная функция, тангенс, в I четверти имеет положительный знак.
Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+».
$tg(90^\circ - \alpha) = ctg(\alpha)$.
Ответ: $ctg(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $ctg(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $180^\circ$ (опорный угол на горизонтальной оси OX), название исходной функции (котангенс) не меняется.
2. Определим четверть для угла $180^\circ - \alpha$ (при остром $\alpha$). Этот угол находится во II четверти.
3. Исходная функция, котангенс, во II четверти имеет отрицательный знак.
Следовательно, перед функцией ставится знак «-».
$ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$

в) Для упрощения выражения $tg(270^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Поскольку в аргументе функции присутствует угол $270^\circ$ (опорный угол на вертикальной оси OY), исходная функция тангенс ($tg$) заменяется на кофункцию, то есть на котангенс ($ctg$).
2. Определим четверть для угла $270^\circ + \alpha$ (при остром $\alpha$). Этот угол находится в IV четверти.
3. Исходная функция, тангенс, в IV четверти имеет отрицательный знак.
Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».
$tg(270^\circ + \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$

г) Для упрощения выражения $ctg(360^\circ + \alpha)$ используется свойство периодичности тригонометрических функций.
1. Период функции котангенс равен $180^\circ$. Так как $360^\circ$ является целым числом периодов ($360^\circ = 2 \cdot 180^\circ$), то добавление $360^\circ$ к аргументу не меняет значения функции.
$ctg(360^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.
2. Также можно применить общее правило приведения: при опорном угле $360^\circ$ (ось OX) функция не меняется. Угол $360^\circ + \alpha$ попадает в ту же четверть, что и угол $\alpha$. Если считать $\alpha$ острым углом, то это I четверть, где котангенс положителен.
Следовательно, $ctg(360^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.
Ответ: $ctg(\alpha)$

Вычислите с помощью формул приведения:

26.5. a) $ \sin 240^\circ $;

б) $ \operatorname{tg} 300^\circ $;

в) $ \cos 330^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg} 315^\circ $.

а) $\sin 240°$

Чтобы вычислить значение $\sin 240°$, воспользуемся формулами приведения. Угол $240°$ находится в третьей координатной четверти ($180° < 240° < 270°$). Синус в этой четверти отрицателен.

Представим $240°$ как сумму $180° + 60°$. Формула приведения для синуса: $\sin(180° + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin 240° = \sin(180° + 60°) = -\sin(60°)$

Значение синуса для угла $60°$ является табличным: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin 240° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\text{tg} 300°$

Для вычисления значения $\text{tg} 300°$ используем формулы приведения. Угол $300°$ находится в четвертой координатной четверти ($270° < 300° < 360°$). Тангенс в этой четверти отрицателен.

Представим $300°$ как разность $360° - 60°$. Формула приведения для тангенса: $\text{tg}(360° - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

$\text{tg} 300° = \text{tg}(360° - 60°) = -\text{tg}(60°)$

Значение тангенса для угла $60°$ является табличным: $\text{tg}(60°) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\text{tg} 300° = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

в) $\cos 330°$

Чтобы вычислить значение $\cos 330°$, применим формулы приведения. Угол $330°$ находится в четвертой координатной четверти ($270° < 330° < 360°$). Косинус в этой четверти положителен.

Представим $330°$ как разность $360° - 30°$. Формула приведения для косинуса: $\cos(360° - \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos 330° = \cos(360° - 30°) = \cos(30°)$

Значение косинуса для угла $30°$ является табличным: $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos 330° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $\text{ctg} 315°$

Для вычисления значения $\text{ctg} 315°$ воспользуемся формулами приведения. Угол $315°$ находится в четвертой координатной четверти ($270° < 315° < 360°$). Котангенс в этой четверти отрицателен.

Представим $315°$ как разность $360° - 45°$. Формула приведения для котангенса: $\text{ctg}(360° - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

$\text{ctg} 315° = \text{ctg}(360° - 45°) = -\text{ctg}(45°)$

Значение котангенса для угла $45°$ является табличным: $\text{ctg}(45°) = 1$.

Следовательно, $\text{ctg} 315° = -1$.

Ответ: $-1$

26.6. a) $\cos \frac{5\pi}{3}$;

б) $\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{6}$;

г) $\cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$.

а)

Чтобы найти значение $\cos\frac{5\pi}{3}$, воспользуемся формулами приведения. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Представим аргумент в виде разности:

$\frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$

Так как функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, мы можем использовать формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$

Значение $\cos\frac{\pi}{3}$ является табличным.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Для вычисления $\sin(-\frac{11\pi}{6})$ можно использовать свойство нечетности функции синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, или свойство периодичности. Воспользуемся периодичностью, так как это упрощает вычисления. Период синуса равен $2\pi$. Мы можем прибавить к аргументу $2\pi$ (или $ \frac{12\pi}{6} $), чтобы получить угол в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$

Значение $\sin\frac{\pi}{6}$ является табличным.

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{6}$, применим формулы приведения. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Представим аргумент в виде суммы:

$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6}$

Значение $\sin\frac{\pi}{6}$ является табличным.

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Следовательно:

$-\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г)

Для вычисления $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, а также ее периодичность.

Сначала применим свойство четности:

$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos\frac{7\pi}{3}$

Теперь воспользуемся периодичностью. Период косинуса равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы, выделив целое число периодов:

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Так как $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$

Значение $\cos\frac{\pi}{3}$ является табличным.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

26.7. a) $ \sin 3090^\circ $;

б) $ \operatorname{tg} 2205^\circ $;

в) $ \cos 4650^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg} 4110^\circ $.

а) Для нахождения значения $sin 3090^\circ$ воспользуемся свойством периодичности синуса. Период синуса равен $360^\circ$, то есть $sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем остаток от деления $3090$ на $360$.
$3090 = 360 \cdot 8 + 210$.
Следовательно, $sin 3090^\circ = sin(360^\circ \cdot 8 + 210^\circ) = sin 210^\circ$.
Угол $210^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Используя формулу приведения $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
$sin 210^\circ = sin(180^\circ + 30^\circ) = -sin 30^\circ$.
Поскольку $sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то $sin 3090^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Для нахождения значения $tg 2205^\circ$ воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$, то есть $tg(\alpha + 180^\circ \cdot k) = tg(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем остаток от деления $2205$ на $180$.
$2205 = 180 \cdot 12 + 45$.
Следовательно, $tg 2205^\circ = tg(180^\circ \cdot 12 + 45^\circ) = tg 45^\circ$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg 45^\circ = 1$.
Ответ: $1$

в) Для нахождения значения $cos 4650^\circ$ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период косинуса равен $360^\circ$, то есть $cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем остаток от деления $4650$ на $360$.
$4650 = 360 \cdot 12 + 330$.
Следовательно, $cos 4650^\circ = cos(360^\circ \cdot 12 + 330^\circ) = cos 330^\circ$.
Угол $330^\circ$ находится в четвертой координатной четверти. Используя формулу приведения $cos(360^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$, получаем:
$cos 330^\circ = cos(360^\circ - 30^\circ) = cos 30^\circ$.
Поскольку $cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $cos 4650^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Для нахождения значения $ctg 4110^\circ$ воспользуемся свойством периодичности котангенса. Период котангенса равен $180^\circ$, то есть $ctg(\alpha + 180^\circ \cdot k) = ctg(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем остаток от деления $4110$ на $180$.
$4110 = 180 \cdot 22 + 150$.
Следовательно, $ctg 4110^\circ = ctg(180^\circ \cdot 22 + 150^\circ) = ctg 150^\circ$.
Угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти. Используя формулу приведения $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:
$ctg 150^\circ = ctg(180^\circ - 30^\circ) = -ctg 30^\circ$.
Поскольку $ctg 30^\circ = \sqrt{3}$, то $ctg 4110^\circ = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$