Страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

25.13. a) Зная, что $\operatorname{tg} \alpha = 3$ и $\operatorname{tg} (\alpha + \beta) = 1$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$;

б) зная, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg} (\alpha - \beta) = 2$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$

По условию нам известно, что $tg \alpha = 3$ и $tg(\alpha + \beta) = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$1 = \frac{3 + tg \beta}{1 - 3 \cdot tg \beta}$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $tg \beta$. Для удобства введем замену: пусть $x = tg \beta$.

$1 = \frac{3 + x}{1 - 3x}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - 3x)$, при условии, что он не равен нулю ($1 - 3x \neq 0$):

$1 \cdot (1 - 3x) = 3 + x$

$1 - 3x = 3 + x$

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$-3x - x = 3 - 1$

$-4x = 2$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, $tg \beta = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $tg \beta = -\frac{1}{2}$.

б)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$

По условию нам известно, что $tg \alpha = \frac{1}{4}$ и $tg(\alpha - \beta) = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \frac{\frac{1}{4} - tg \beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot tg \beta}$

Теперь решим это уравнение относительно $tg \beta$. Введем замену: пусть $y = tg \beta$.

$2 = \frac{\frac{1}{4} - y}{1 + \frac{y}{4}}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 + \frac{y}{4})$, при условии, что он не равен нулю ($1 + \frac{y}{4} \neq 0$):

$2 \cdot (1 + \frac{y}{4}) = \frac{1}{4} - y$

$2 + \frac{2y}{4} = \frac{1}{4} - y$

$2 + \frac{y}{2} = \frac{1}{4} - y$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot (2 + \frac{y}{2}) = 4 \cdot (\frac{1}{4} - y)$

$8 + 2y = 1 - 4y$

Соберем все слагаемые с переменной $y$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$2y + 4y = 1 - 8$

$6y = -7$

Отсюда находим $y$:

$y = -\frac{7}{6}$

Таким образом, $tg \beta = -\frac{7}{6}$.

Ответ: $tg \beta = -\frac{7}{6}$.

25.14. Известно, что $sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите:

а) $tg\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $tg\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для решения задачи сначала найдем значения $ \cos \alpha $ и $ \text{tg} \alpha $, используя данные $ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $ и условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти косинус отрицателен ($ \cos \alpha < 0 $), а тангенс положителен ($ \text{tg} \alpha > 0 $).

1. Найдем $ \cos \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.

Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos \alpha $ должен быть отрицательным. Следовательно,

$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

2. Теперь найдем $ \text{tg} \alpha $ по определению $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:

$ \text{tg} \alpha = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} $.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

а) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} y} $.

Подставим $ \text{tg} \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5-12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{17}{7} $.

Ответ: $ -\frac{17}{7} $.

б) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} x - \text{tg} y}{1 + \text{tg} x \cdot \text{tg} y} $.

Подставим $ \text{tg} \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg} \alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{12}{5} - 1}{1 + \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{5}{5}}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{5+12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17} $.

Ответ: $ \frac{7}{17} $.

25.15. Известно, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}, 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

а) $\text{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $\text{tg} \left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right)$.

По условию задачи известно, что $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). Для вычисления тангенсов нам понадобится значение $ \text{tg} \, \alpha $.

Сначала найдем $ \sin \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Так как $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, значение синуса будет положительным: $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Теперь можем найти тангенс угла $ \alpha $:

$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $.

а) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $.

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} \, x + \text{tg} \, y}{1 - \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} $. Нам известно, что $ \text{tg} \, \alpha = \frac{4}{3} $ и $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $.

Подставляем значения в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} $.

Упростим полученное выражение:

$ \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3 + 4\sqrt{3}) $:

$ \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 + 25\sqrt{3} + 36}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{9 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.

Ответ: $ -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.

б) Вычислим $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right) $.

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} \, x - \text{tg} \, y}{1 + \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{5\pi}{4} $. Нам известно, что $ \text{tg} \, \alpha = \frac{4}{3} $.

Найдем значение $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) $: $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Подставляем значения в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{4}{3} - 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} $.

Упростим выражение:

$ \frac{\frac{4}{3} - \frac{3}{3}}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{7} $.

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

25.16. Дано: $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. Докажите, что:

a) $\frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha + 1} = \operatorname{tg} \beta.$

а)

По условию задачи дано, что $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. Из этого соотношения выразим угол $\alpha$ через $\beta$:

$\alpha = \beta + \frac{\pi}{4}$

Теперь докажем тождество $\frac{1 + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \beta} = \text{tg } \alpha$. Для этого преобразуем правую часть, подставив в нее полученное выражение для $\alpha$.

$\text{tg } \alpha = \text{tg} \left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)$

Применим формулу тангенса суммы двух углов, которая имеет вид: $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \text{tg } y}$.

В нашем случае $x = \beta$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\text{tg} \left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } \beta + \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg } \beta \text{tg} \frac{\pi}{4}}$

Зная, что $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставим это значение в выражение:

$\frac{\text{tg } \beta + 1}{1 - \text{tg } \beta \cdot 1} = \frac{1 + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \beta}$

Мы преобразовали правую часть исходного равенства ($\text{tg } \alpha$) и получили в точности левую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Снова воспользуемся данным условием $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$. На этот раз выразим угол $\beta$ через $\alpha$:

$\beta = \alpha - \frac{\pi}{4}$

Докажем тождество $\frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} = \text{tg } \beta$. Преобразуем правую часть, подставив в нее выражение для $\beta$.

$\text{tg } \beta = \text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$

Применим формулу тангенса разности двух углов: $\text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg } x - \text{tg } y}{1 + \text{tg } x \text{tg } y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg} \frac{\pi}{4}}$

Поскольку $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставляем это значение:

$\frac{\text{tg } \alpha - 1}{1 + \text{tg } \alpha \cdot 1} = \frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1}$

Преобразованная правая часть ($\text{tg } \beta$) совпала с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

25.17. Решите уравнение:

а) $\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} 3 x}{1-\operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3 x}=1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 5 x-\operatorname{tg} 3 x}{1+\operatorname{tg} 3 x \operatorname{tg} 5 x}=\sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение: $$ \frac{\tg x + \tg 3x}{1 - \tg x \tg 3x} = 1 $$ Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса суммы двух углов: $$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $$ Применим эту формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 3x$: $$ \tg(x + 3x) = 1 $$ $$ \tg(4x) = 1 $$ Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его: $$ 4x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $$ Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении присутствуют $\tg x$ и $\tg 3x$, следовательно, их аргументы не должны быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
1. $\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
2. $\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
Также знаменатель не должен быть равен нулю, что учтено в формуле тангенса суммы:
3. $\cos(x+3x) = \cos(4x) \neq 0 \Rightarrow 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$
Наше решение $4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ удовлетворяет условию $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, так как $\frac{\pi}{4} + \pi n$ никогда не равно $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Проверка остальных условий показывает, что найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $$ \frac{\tg 5x - \tg 3x}{1 + \tg 3x \tg 5x} = \sqrt{3} $$ Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности двух углов: $$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $$ Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$: $$ \tg(5x - 3x) = \sqrt{3} $$ $$ \tg(2x) = \sqrt{3} $$ Решим это простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n $$ Разделим обе части на 2: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Проверим область допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении должны существовать $\tg 5x$ и $\tg 3x$.
1. $\cos 5x \neq 0 \Rightarrow 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$
2. $\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
Проверим, не попадают ли наши решения в исключенные значения.
Сравним наше решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$ с ограничением $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
Найдем значения $n$, при которых решение совпадает с ограничением: $$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $$ $$ \frac{n}{2} = \frac{k}{3} \Rightarrow 3n = 2k $$ Это равенство выполняется для целых $n$ и $k$, если $n$ — чётное число. То есть, если $n = 2m$ для $m \in \mathbb{Z}$, то $k=3m$, и решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2m)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi m$ является посторонним, так как при этих значениях $\tg 3x$ не определён.
Следовательно, из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить те, где $n$ — чётное. Это означает, что $n$ должно быть нечётным.
Пусть $n = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в наше решение: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2m + 1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{\pi}{2} = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6}\right) + \pi m = \frac{4\pi}{6} + \pi m = \frac{2\pi}{3} + \pi m $$ Заменив $m$ на $n$ для стандартной записи, получаем окончательный ответ. Проверка с первым ограничением ($x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$) показывает, что конфликтов нет.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

25.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $ [-\pi; 2\pi] $:

a) $ \frac{\sqrt{3} - \tg x}{1 + \sqrt{3} \tg x} = 1; $

б) $ \frac{\tg \frac{\pi}{5} - \tg 2x}{\tg \frac{\pi}{5} \tg 2x + 1} = \sqrt{3}. $

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3} - \text{tg } x}{1 + \sqrt{3} \text{ tg } x} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $\cos x \ne 0$ и $1 + \sqrt{3} \text{ tg } x \ne 0$. Из этих условий следует, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m$ и $\text{tg } x \ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то есть $x \ne -\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\sqrt{3}$ на $\text{tg} \frac{\pi}{3}$, так как это табличное значение тангенса. Уравнение примет вид:

$\frac{\text{tg} \frac{\pi}{3} - \text{tg } x}{1 + \text{tg} \frac{\pi}{3} \text{ tg } x} = 1$.

Левая часть уравнения соответствует формуле тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta}$.

Применив эту формулу, получаем более простое уравнение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3} - x) = 1$.

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$ из этого соотношения:

$-x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k$

$-x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k$

$-x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{12} - \pi k$.

Поскольку $k$ является любым целым числом, мы можем заменить $-k$ на $n$ ($n \in \mathbb{Z}$) для удобства, получив $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi n \le 2\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{1}{12} + n \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-1 - \frac{1}{12} \le n \le 2 - \frac{1}{12}$

$-\frac{13}{12} \le n \le \frac{23}{12}$.

В десятичном виде это выглядит так: $-1.083... \le n \le 1.916...$.

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $n$:

• При $n = -1: x = \frac{\pi}{12} + \pi(-1) = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$.
• При $n = 0: x = \frac{\pi}{12} + \pi(0) = \frac{\pi}{12}$.
• При $n = 1: x = \frac{\pi}{12} + \pi(1) = \frac{\pi + 12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{11\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$.

Дано уравнение $\frac{\text{tg} \frac{\pi}{5} - \text{tg } 2x}{\text{tg} \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x + 1} = \sqrt{3}$.

ОДЗ: $\cos 2x \ne 0 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$ и $1 + \text{tg} \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x \ne 0$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta}$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = 2x$.

Применив эту формулу, получим уравнение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{5} - 2x) = \sqrt{3}$.

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi}{5} - 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$-2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + \pi k$

$-2x = \frac{5\pi - 3\pi}{15} + \pi k$

$-2x = \frac{2\pi}{15} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi k}{2}$.

Заменив $k$ на $-n$ ($n \in \mathbb{Z}$), получим $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$. Решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2} \le 2\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$-1 \le -\frac{1}{15} + \frac{n}{2} \le 2$.

Прибавим $\frac{1}{15}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{15} \le \frac{n}{2} \le 2 + \frac{1}{15}$

$-\frac{14}{15} \le \frac{n}{2} \le \frac{31}{15}$.

Умножим все части на 2:

$-\frac{28}{15} \le n \le \frac{62}{15}$.

В десятичном виде: $-1.866... \le n \le 4.133...$.

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $n$:

• При $n = -1: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{-2\pi - 15\pi}{30} = -\frac{17\pi}{30}$.
• При $n = 0: x = -\frac{\pi}{15} + 0 = -\frac{\pi}{15}$.
• При $n = 1: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 15\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$.
• При $n = 2: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15}$.
• При $n = 3: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-2\pi + 45\pi}{30} = \frac{43\pi}{30}$.
• При $n = 4: x = -\frac{\pi}{15} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{29\pi}{15}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{17\pi}{30}, -\frac{\pi}{15}, \frac{13\pi}{30}, \frac{14\pi}{15}, \frac{43\pi}{30}, \frac{29\pi}{15}$.

25.19. Решите неравенство:

a) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \operatorname{tg} x} < 1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 3x - 1}{\operatorname{tg} 3x + 1} > 1.$

а) Исходное неравенство:

$$ \frac{\tg\frac{\pi}{5} + \tg x}{1 - \tg\frac{\pi}{5}\tg x} < 1 $$

Левая часть неравенства представляет собой формулу тангенса суммы углов:

$$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $$

Применив эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = x$, мы можем упростить неравенство. Преобразование является эквивалентным, если определена левая часть, то есть при выполнении условий:

$$ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ 1 - \tg\frac{\pi}{5}\tg x \neq 0 \implies x \neq \frac{3\pi}{10} + \pi m, m \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

Упрощенное неравенство имеет вид:

$$ \tg\left(x + \frac{\pi}{5}\right) < 1 $$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{5}$. Неравенство принимает вид $\tg t < 1$.

Общее решение такого неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{5}$:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + \pi n $$

$$ -\frac{5\pi+2\pi}{10} + \pi n < x < \frac{5\pi-4\pi}{20} + \pi n $$

$$ -\frac{7\pi}{10} + \pi n < x < \frac{\pi}{20} + \pi n $$

Теперь необходимо учесть область допустимых значений. Условие $x \neq \frac{3\pi}{10} + \pi m$ выполняется, так как $\frac{\pi}{20} < \frac{3\pi}{10}$.

Проверим условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Для этого найдем, при каких целых $n$ и $k$ точка вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ может попасть в полученные интервалы решения.

$$ -\frac{7\pi}{10} + \pi n < \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{\pi}{20} + \pi n $$

Разделив на $\pi$ и вычтя $n$, получим:

$$ -\frac{7}{10} < \frac{1}{2} + k - n < \frac{1}{20} $$

Пусть $N = k - n$ (целое число):

$$ -0.7 < 0.5 + N < 0.05 \implies -1.2 < N < -0.45 $$

Единственное целое число в этом диапазоне — $N=-1$. Это означает, что точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi(n-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ попадают в наши интервалы и должны быть исключены.

Таким образом, каждый интервал $(-\frac{7\pi}{10} + \pi n, \frac{\pi}{20} + \pi n)$ нужно "проколоть" в точке $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{7\pi}{10} + \pi n; -\frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{20} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство:

$$ \frac{\tg 3x - 1}{\tg 3x + 1} > 1 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и неравенства нулю знаменателя:

$$ \begin{cases} \cos 3x \neq 0 \\ \tg 3x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ \tg 3x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \\ x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

Введем замену $y = \tg 3x$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{y - 1}{y + 1} > 1 $$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{y - 1}{y + 1} - 1 > 0 $$

$$ \frac{(y - 1) - (y + 1)}{y + 1} > 0 $$

$$ \frac{-2}{y + 1} > 0 $$

Числитель дроби отрицателен ($-2 < 0$), следовательно, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть отрицательным:

$$ y + 1 < 0 \implies y < -1 $$

Произведем обратную замену $y = \tg 3x$:

$$ \tg 3x < -1 $$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Пусть $u = 3x$.

$$ \tg u < -1 $$

Общее решение этого неравенства:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < u < \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < u < -\frac{\pi}{4} + \pi n $$

Сделаем обратную замену $u = 3x$:

$$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{4} + \pi n $$

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$$ -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} $$

Полученные интервалы не включают граничные точки, которые соответствуют ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ и $x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$), поэтому это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.

25.20. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} \text{tg} (x + y) = -3, \\ 2 \text{tg} x - \text{tg} y = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \text{tg} (x - y) = -\frac{1}{2}, \\ 2 \text{tg} x + \text{tg} y = 5. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \tg(x + y) = -3, \\ 2\tg x - \tg y = 0; \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом замены. Пусть $u = \tg x$ и $v = \tg y$. Также применим формулу тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$.

Перепишем систему в новых переменных: $$ \begin{cases} \frac{u+v}{1-uv} = -3, \\ 2u - v = 0. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$: $v = 2u$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ \frac{u+2u}{1-u(2u)} = -3 $$ $$ \frac{3u}{1-2u^2} = -3 $$

При условии, что знаменатель $1-2u^2 \ne 0$, разделим обе части на 3: $$ \frac{u}{1-2u^2} = -1 $$ Умножим обе части на знаменатель: $$ u = -(1-2u^2) $$ $$ u = -1 + 2u^2 $$ Получаем квадратное уравнение: $$ 2u^2 - u - 1 = 0 $$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $$ u_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1 $$ $$ u_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} $$ Оба найденных значения $u$ удовлетворяют условию $1-2u^2 \ne 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$, а затем и решения для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 1$.
Тогда $v = 2u = 2(1) = 2$.
Возвращаемся к исходным переменным: $\tg x = 1$ и $\tg y = 2$.
Отсюда: $x = \arctg(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = -\frac{1}{2}$.
Тогда $v = 2u = 2(-\frac{1}{2}) = -1$.
Возвращаемся к исходным переменным: $\tg x = -\frac{1}{2}$ и $\tg y = -1$.
Отсюда: $x = \arctg(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctg(2) + \pi n)$; $(-\arctg(\frac{1}{2}) + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \tg(x - y) = -\frac{1}{2}, \\ 2\tg x + \tg y = 5. \end{cases} $$

Введем замены $u = \tg x$ и $v = \tg y$. Используем формулу тангенса разности: $\tg(x-y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y}$.

Система в новых переменных примет вид: $$ \begin{cases} \frac{u-v}{1+uv} = -\frac{1}{2}, \\ 2u + v = 5. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 5 - 2u$.

Подставим $v$ в первое уравнение: $$ \frac{u-(5-2u)}{1+u(5-2u)} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{3u-5}{1+5u-2u^2} = -\frac{1}{2} $$

При условии, что знаменатель $1+5u-2u^2 \ne 0$, применим основное свойство пропорции: $$ 2(3u-5) = -(1+5u-2u^2) $$ $$ 6u-10 = -1-5u+2u^2 $$ Перенесем все члены в правую часть и получим квадратное уравнение: $$ 2u^2 - 11u + 9 = 0 $$

Решим уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$. $$ u_1 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $$ $$ u_2 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Оба корня удовлетворяют условию $1+5u-2u^2 \ne 0$.

Найдем соответствующие значения $v$ и решения для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = \frac{9}{2}$.
Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(\frac{9}{2}) = 5 - 9 = -4$.
Получаем: $\tg x = \frac{9}{2}$ и $\tg y = -4$.
Отсюда: $x = \arctg(\frac{9}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(-4) + \pi n = -\arctg(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = 1$.
Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(1) = 3$.
Получаем: $\tg x = 1$ и $\tg y = 3$.
Отсюда: $x = \arctg(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = \arctg(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\arctg(\frac{9}{2}) + \pi k, -\arctg(4) + \pi n)$; $(\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctg(3) + \pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

25.21. Вычислите $\beta$, если известно, что $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = -3$, $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности. Мы можем выразить угол $2\beta$ через известные нам углы $(\alpha + \beta)$ и $(\alpha - \beta)$ следующим образом:$2\beta = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)$

Теперь применим формулу тангенса разности $\tg(x - y) = \frac{\tg(x) - \tg(y)}{1 + \tg(x)\tg(y)}$ для угла $2\beta$:$\tg(2\beta) = \tg((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha - \beta)}{1 + \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg(\alpha - \beta)}$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $\tg(\alpha + \beta) = -3$ и $\tg(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$.$\tg(2\beta) = \frac{-3 - \frac{1}{3}}{1 + (-3) \cdot \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{9}{3} - \frac{1}{3}}{1 - 1} = \frac{-\frac{10}{3}}{0}$

Полученное выражение в знаменателе равно нулю, что означает, что тангенс угла $2\beta$ не определен. Тангенс угла не определен, если сам угол равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).Таким образом, $2\beta = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Чтобы найти конкретное значение $\beta$, воспользуемся дополнительным условием: $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.Умножим все части этого неравенства на 2, чтобы получить интервал для $2\beta$:$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\beta < 2 \cdot \pi$$\pi < 2\beta < 2\pi$

Теперь найдем такое целое значение $n$, при котором $2\beta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ будет находиться в интервале $(\pi, 2\pi)$.

• Если $n = 0$, то $2\beta = \frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в интервал $(\pi, 2\pi)$.
• Если $n = 1$, то $2\beta = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $\pi < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$.
• Если $n = 2$, то $2\beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение не входит в интервал $(\pi, 2\pi)$.

Единственное подходящее значение — $2\beta = \frac{3\pi}{2}$.

Наконец, найдем $\beta$:$2\beta = \frac{3\pi}{2}$$\beta = \frac{3\pi}{4}$Это значение удовлетворяет исходному условию $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$