Страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.50. Вычислите:

a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right);$

б) $\cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right).$

Для вычисления значения выражения $ \sin\left(\arccos\left(\frac{4}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right) $ мы воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) $.

Пусть $ \alpha = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) $ и $ \beta = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

По определению арккосинуса, $ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $, и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Поскольку $ \cos(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти, то есть $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \sin(\alpha) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:
$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.
Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) $ положителен: $ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

По определению арксинуса, $ \sin(\beta) = \frac{1}{3} $, и угол $ \beta $ находится в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Поскольку $ \sin(\beta) > 0 $, угол $ \beta $ лежит в первой четверти, то есть $ 0 \le \beta \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \cos(\beta) $ из основного тригонометрического тождества:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos(\beta) $ положителен: $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6\sqrt{2}}{15} + \frac{4}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} $.

Ответ: $ \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} $.

Для вычисления $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) $, воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $. Тогда выражение примет вид: $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} - \arcsin\frac{3}{5}\right) $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $ и $ \beta = \arcsin\frac{3}{5} $.

По определению арктангенса, $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{3}{4} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Так как тангенс положителен, $ \alpha $ находится в первой четверти: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \sin(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $ из тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $:
$ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} $.
Отсюда $ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} $. Поскольку $ \alpha $ в первой четверти, $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
Тогда $ \sin(\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} $.

По определению арксинуса, $ \sin(\beta) = \frac{3}{5} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2} $. Так как синус положителен, $ \beta $ находится в первой четверти: $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{2} $.

Найдем $ \cos(\beta) $:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.
Поскольку $ \beta $ в первой четверти, $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Подставляем значения в формулу косинуса разности:
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1 $.

Альтернативное решение:
Можно доказать, что $ \operatorname{arctg}\frac{3}{4} = \arcsin\frac{3}{5} $. Пусть $ \gamma = \arcsin\frac{3}{5} $. Тогда $ \sin(\gamma) = \frac{3}{5} $ и $ 0 < \gamma < \frac{\pi}{2} $. Найдем $ \cos(\gamma) = \sqrt{1 - \sin^2(\gamma)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $. Тогда $ \operatorname{tg}(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $. Так как $ 0 < \gamma < \frac{\pi}{2} $, из $ \operatorname{tg}(\gamma) = \frac{3}{4} $ следует, что $ \gamma = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. Следовательно, $ \arcsin\frac{3}{5} = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. Тогда исходное выражение равно $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4} - \operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right) = \cos(0) = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

Докажите равенство:

24.51. $ \arcsin \frac{4}{5} - \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} $

24.51. Для доказательства данного равенства преобразуем его левую и правую части, приведя их к одной и той же тригонометрической функции, например, к тангенсу. Затем мы покажем, что значения аргументов находятся в области, где эта функция является монотонной, что и будет означать равенство самих аргументов.

Пусть $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Тогда доказываемое равенство можно записать в виде $\alpha - \beta = \operatorname{arctg} \frac{1}{2}$.

Найдем тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$.

1. Для угла $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$:
По определению арксинуса, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Поскольку $\frac{4}{5} > 0$, то $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}]$.
Найдем косинус $\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
(Мы берем положительное значение корня, так как $\alpha$ находится в первой четверти).
Теперь найдем тангенс $\alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Для угла $\beta = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$:
По определению арккосинуса, $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\beta \in [0, \pi]$.
Поскольку $\frac{2}{\sqrt{5}} > 0$, то $\beta \in [0, \frac{\pi}{2})$.
Найдем синус $\beta$:
$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
(Мы берем положительное значение корня, так как $\beta$ находится в первой четверти).
Теперь найдем тангенс $\beta$:
$\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем тангенс левой части исходного равенства, используя формулу тангенса разности: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
Подставляем найденные значения $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2}$:
$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8 - 3}{6}}{1 + \frac{4}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Найдем тангенс правой части исходного равенства:
$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Мы получили, что тангенсы левой и правой частей равенства равны. Однако это еще не доказывает равенство самих выражений. Необходимо убедиться, что они принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции тангенса, например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Оценим значение левой части $\alpha - \beta$:
Мы знаем, что $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$.
Сравним $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3} \approx 1.33$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2} = 0.5$, а функция тангенса в первой четверти возрастает, то $\alpha > \beta$. Следовательно, $\alpha - \beta > 0$.
Так как $\alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\beta > 0$, то $\alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$.

Оценим значение правой части $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$:
Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, по определению арктангенса $0 < \operatorname{arctg} \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Итак, мы имеем два угла, $\alpha - \beta$ и $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, оба лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и их тангенсы равны $\frac{1}{2}$. Поскольку функция $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей (и, следовательно, взаимно однозначной), то из равенства тангенсов следует и равенство самих углов.

Следовательно, $\arcsin\frac{4}{5} - \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

24.52 $arccos \frac{1}{2} + arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = arccos \left( -\frac{13}{14} \right).$

Для доказательства данного тождества необходимо проверить, является ли оно верным. Для этого мы можем преобразовать левую часть равенства и сравнить ее с правой частью.

Воспользуемся формулой для суммы арккосинусов:
$\arccos(x) + \arccos(y) = \arccos(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$
Эта формула верна, если сумма углов $\arccos(x) + \arccos(y)$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Это условие выполняется, когда $x+y \ge 0$.

В нашем случае $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{7}$.
Сначала проверим условие применимости формулы:
$x + y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 2}{14} = \frac{5}{14}$.
Поскольку $x+y = \frac{5}{14} > 0$, мы можем использовать указанную формулу.

Подставим значения $x$ и $y$ в левую часть тождества и преобразуем ее, используя формулу:
$\arccos\frac{1}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \cdot \sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2}\right)$

Теперь выполним вычисления выражения внутри арккосинуса по шагам:
1. Найдем произведение $xy$:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{14}$
2. Найдем значения выражений под корнями:
$\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$
3. Найдем произведение корней:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{14} = \frac{4 \cdot 3}{14} = \frac{12}{14}$

Подставим полученные значения обратно в выражение для арккосинуса:
$\arccos\left(-\frac{1}{14} - \frac{12}{14}\right) = \arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть:
$\arccos\frac{1}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) = \arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$.
Следовательно, исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.

24.53. $\arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$

Для доказательства данного тождества мы последовательно вычислим сумму арксинусов, используя формулу для синуса суммы.

Пусть $? = \arcsin\frac{4}{5}$ и $? = \arcsin\frac{5}{13}$. Наша цель — доказать, что $? + ? + \arcsin\frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$.

Сначала найдем сумму $S = ? + ?$. Для этого вычислим синус и косинус этой суммы.

Из определений арксинуса имеем:

$\sin(?) = \frac{4}{5}$

$\sin(?) = \frac{5}{13}$

Поскольку аргументы арксинусов $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{13}$ положительны, углы $?$ и $?$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, их косинусы также положительны. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Теперь мы можем найти синус суммы $? + ?$, используя формулу $\sin(? + ?) = \sin(?)\cos(?) + \cos(?)\sin(?)$:

$\sin(? + ?) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}$.

Чтобы убедиться, что $?+?$ находится в главном промежутке для арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, найдем косинус суммы: $\cos(? + ?) = \cos(?)\cos(?) - \sin(?)\sin(?)$:

$\cos(? + ?) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}$.

Поскольку $\sin(?+?) > 0$ и $\cos(?+?) > 0$, угол $?+?$ находится в первой четверти, то есть $0 < ?+? < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, мы можем записать:

$? + ? = \arcsin\frac{63}{65}$.

Теперь исходное выражение можно переписать, подставив найденное значение суммы:

$(\arcsin\frac{4}{5} + \arcsin\frac{5}{13}) + \arcsin\frac{16}{65} = \arcsin\frac{63}{65} + \arcsin\frac{16}{65}$.

Для дальнейшего упрощения воспользуемся тождеством $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Преобразуем $\arcsin\frac{16}{65}$ в арккосинус. Пусть $? = \arcsin\frac{16}{65}$. Тогда $\sin(?) = \frac{16}{65}$ и $0 < ? < \frac{\pi}{2}$.

Найдем $\cos(?)$:

$\cos(?) = \sqrt{1 - \sin^2(?)} = \sqrt{1 - \left(\frac{16}{65}\right)^2} = \sqrt{\frac{65^2 - 16^2}{65^2}} = \sqrt{\frac{4225 - 256}{4225}} = \sqrt{\frac{3969}{4225}} = \frac{63}{65}$.

Так как $\cos(?) = \frac{63}{65}$ и $?$ находится в первой четверти, то $? = \arccos\frac{63}{65}$.

Следовательно, $\arcsin\frac{16}{65} = \arccos\frac{63}{65}$.

Подставим это в наше выражение:

$\arcsin\frac{63}{65} + \arcsin\frac{16}{65} = \arcsin\frac{63}{65} + \arccos\frac{63}{65}$.

Согласно тождеству $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ (для $x \in [-1, 1]$), где в нашем случае $x = \frac{63}{65}$, получаем:

$\arcsin\frac{63}{65} + \arccos\frac{63}{65} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\frac{\pi}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

Вычислите:

25.1. a) $ \text{tg } 15^{\circ} $;

б) $ \text{tg } 75^{\circ} $;

в) $ \text{tg } 105^{\circ} $;

г) $ \text{tg } 165^{\circ} $.

а)

Для вычисления $\tg 15^\circ$ представим этот угол как разность двух известных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
Подставим в формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$. Значения тангенсов этих углов известны: $\tg 45^\circ = 1$ и $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\tg 15^\circ = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \tg 30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

б)

Для вычисления $\tg 75^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$. Также мы знаем, что $\cot\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$.
Представим $75^\circ$ как $90^\circ - 15^\circ$.
$\tg 75^\circ = \tg(90^\circ - 15^\circ) = \cot 15^\circ = \frac{1}{\tg 15^\circ}$.
Из пункта а) нам известно, что $\tg 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это значение:
$\tg 75^\circ = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$

в)

Для вычисления $\tg 105^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$.
Представим $105^\circ$ как $180^\circ - 75^\circ$.
$\tg 105^\circ = \tg(180^\circ - 75^\circ) = -\tg 75^\circ$.
Из пункта б) нам известно, что $\tg 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$.
Следовательно:
$\tg 105^\circ = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$

г)

Для вычисления $\tg 165^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$.
Представим $165^\circ$ как $180^\circ - 15^\circ$.
$\tg 165^\circ = \tg(180^\circ - 15^\circ) = -\tg 15^\circ$.
Из пункта а) мы знаем, что $\tg 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.
Следовательно:
$\tg 165^\circ = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.

Ответ: $\sqrt{3} - 2$

25.2. а) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ}+\operatorname{tg} 20^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 25^{\circ} \operatorname{tg} 20^{\circ}};$

б) $\frac{1-\operatorname{tg} 70^{\circ} \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ}+\operatorname{tg} 65^{\circ}};$

в) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ}+\operatorname{tg} 51^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 9^{\circ} \operatorname{tg} 51^{\circ}};$

г) $\frac{1+\operatorname{tg} 54^{\circ} \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ}-\operatorname{tg} 9^{\circ}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

В нашем случае, $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.

Подставив значения в формулу, получаем:

$\frac{\tg 25^\circ + \tg 20^\circ}{1 - \tg 25^\circ \tg 20^\circ} = \tg(25^\circ + 20^\circ) = \tg 45^\circ$

Мы знаем, что значение тангенса 45 градусов равно 1.

$\tg 45^\circ = 1$

Ответ: 1

б) В этом примере мы видим выражение, которое соответствует формуле котангенса суммы двух углов:

$\ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}$

Здесь $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 65^\circ$.

Применим формулу:

$\frac{1 - \tg 70^\circ \tg 65^\circ}{\tg 70^\circ + \tg 65^\circ} = \ctg(70^\circ + 65^\circ) = \ctg 135^\circ$

Чтобы найти значение $\ctg 135^\circ$, можно использовать формулу приведения $\ctg(180^\circ - x) = -\ctg x$.

$\ctg 135^\circ = \ctg(180^\circ - 45^\circ) = -\ctg 45^\circ = -1$

Ответ: -1

в) Этот пример снова решается с помощью формулы тангенса суммы двух углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$

В данном выражении $\alpha = 9^\circ$ и $\beta = 51^\circ$.

Вычисляем:

$\frac{\tg 9^\circ + \tg 51^\circ}{1 - \tg 9^\circ \tg 51^\circ} = \tg(9^\circ + 51^\circ) = \tg 60^\circ$

Значение тангенса 60 градусов является табличным.

$\tg 60^\circ = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

г) Данное выражение является формулой котангенса разности двух углов:

$\ctg(\alpha - \beta) = \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta}$

В нашем случае, $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 9^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1 + \tg 54^\circ \tg 9^\circ}{\tg 54^\circ - \tg 9^\circ} = \ctg(54^\circ - 9^\circ) = \ctg 45^\circ$

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

$\ctg 45^\circ = 1$

Ответ: 1

Упростите выражение:

25.3. а) $ \frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 - \operatorname{tg} 2,22 \operatorname{tg} 0,92} $,

б) $ \frac{\operatorname{tg} 1,47 - \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \operatorname{tg} 0,69} $.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Сравнивая исходное выражение $ \frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 - \operatorname{tg} 2,22 \operatorname{tg} 0,92} $ с формулой, видим, что оно представляет собой тангенс суммы с аргументами $\alpha = 2,22$ и $\beta = 0,92$.

Следовательно, выражение можно переписать в виде: $ \operatorname{tg}(2,22 + 0,92) $.

Вычислим сумму в аргументе функции: $ 2,22 + 0,92 = 3,14 $.

Таким образом, мы получаем $\operatorname{tg}(3,14)$. В задачах по тригонометрии, если не указаны единицы измерения, углы обычно считаются в радианах. Число $3,14$ является общепринятым приближением для числа $\pi$. Поэтому: $ \operatorname{tg}(3,14) \approx \operatorname{tg}(\pi) = 0 $.

Ответ: $0$.

б)

Для этого выражения применим формулу тангенса разности двух углов: $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Исходное выражение $ \frac{\operatorname{tg} 1,47 - \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \operatorname{tg} 0,69} $ соответствует этой формуле при $\alpha = 1,47$ и $\beta = 0,69$.

Заменяем дробь на тангенс разности: $ \operatorname{tg}(1,47 - 0,69) $.

Вычисляем значение в скобках: $ 1,47 - 0,69 = 0,78 $.

В результате упрощения получаем $\operatorname{tg}(0,78)$.

Ответ: $\operatorname{tg}(0,78)$.

25.4. a) $\frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)}{1 - \text{tg}\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) \text{tg}\left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)};$

б) $\frac{\text{tg}(45^\circ + \alpha) - \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}(45^\circ + \alpha) \text{tg} \alpha}.$

а)

Данное выражение представляет собой формулу тангенса суммы двух углов, которая выглядит следующим образом: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}(x) + \text{tg}(y)}{1 - \text{tg}(x)\text{tg}(y)} $

В нашем выражении: $ \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{8} + \alpha) + \text{tg}(\frac{\pi}{8} - \alpha)}{1 - \text{tg}(\frac{\pi}{8} + \alpha) \text{tg}(\frac{\pi}{8} - \alpha)} $ мы можем обозначить $x = \frac{\pi}{8} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{8} - \alpha$.

Тогда выражение можно свернуть в тангенс суммы этих углов: $ \text{tg}\left( \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right) \right) $

Упростим выражение в скобках: $ \frac{\pi}{8} + \alpha + \frac{\pi}{8} - \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

Таким образом, исходное выражение равно: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $

Ответ: 1

б)

Данное выражение представляет собой формулу тангенса разности двух углов, которая выглядит следующим образом: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}(x) - \text{tg}(y)}{1 + \text{tg}(x)\text{tg}(y)} $

В нашем выражении: $ \frac{\text{tg}(45^\circ + \alpha) - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}(45^\circ + \alpha) \text{tg}\alpha} $ мы можем обозначить $x = 45^\circ + \alpha$ и $y = \alpha$.

Тогда выражение можно свернуть в тангенс разности этих углов: $ \text{tg}((45^\circ + \alpha) - \alpha) $

Упростим выражение в скобках: $ 45^\circ + \alpha - \alpha = 45^\circ $

Таким образом, исходное выражение равно: $ \text{tg}(45^\circ) = 1 $

Ответ: 1