Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.7. Представив $2x$ в виде $x + x$, докажите тождество:

a) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$;

б) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

а) Для доказательства тождества $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ представим аргумент $2x$ в виде суммы $x + x$. Затем воспользуемся формулой синуса суммы двух углов, которая гласит: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Подставим в эту формулу $\alpha = x$ и $\beta = x$:

$\sin(2x) = \sin(x+x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($\cos x \sin x = \sin x \cos x$), мы можем сгруппировать члены:

$\sin x \cos x + \sin x \cos x = 2\sin x \cos x$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ также представим аргумент $2x$ в виде суммы $x + x$. Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Подставим в эту формулу $\alpha = x$ и $\beta = x$:

$\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x$

Упростим полученное выражение, используя определение степени:

$\cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажите тождество:

24.8. a) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta; $

б) $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta. $

а) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, а также свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (нечетная функция) и $ \cos(-\beta) = \cos \beta $ (четная функция).

Подставим эти выражения в левую часть тождества (обозначим ее Л.Ч.):
Л.Ч. = $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) + (-\sin \alpha)(\cos \beta) $
Л.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta $
После сокращения подобных слагаемых ($ \sin \alpha \cos \beta $ и $ -\sin \alpha \cos \beta $) получаем:
Л.Ч. = $ \cos \alpha \sin \beta $

Теперь сравним полученное выражение с правой частью (П.Ч.) исходного тождества: П.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta $.
В результате преобразований мы приходим к равенству $ \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta $, которое не является тождеством, так как оно верно не для всех значений $ \alpha $ и $ \beta $.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в правой части. Если бы правая часть была $ \cos \alpha \sin \beta $, тождество было бы верным. Докажем скорректированное тождество:
$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \cos \alpha \sin \beta $

Как мы уже показали выше, левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \sin \beta $. Правая часть скорректированного тождества также равна $ \cos \alpha \sin \beta $. Поскольку левая и правая части равны, скорректированное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \sin \beta $, а правая — $ \sin \alpha \cos \beta $. Тождество становится верным, если его правая часть равна $ \cos \alpha \sin \beta $.

б) $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin \alpha \cos \beta $

Преобразуем левую часть данного выражения. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $.

Подставим эти выражения в левую часть (Л.Ч.):
Л.Ч. = $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (-\sin \alpha)(-\sin \beta) $
Л.Ч. = $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta $
Сокращаем взаимно противоположные слагаемые $ -\sin \alpha \sin \beta $ и $ \sin \alpha \sin \beta $:
Л.Ч. = $ \cos \alpha \cos \beta $

Правая часть (П.Ч.) исходного равенства: П.Ч. = $ \sin \alpha \cos \beta $.
Таким образом, мы приходим к равенству $ \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \cos \beta $, которое не является тождеством, так как оно выполняется не для всех значений $ \alpha $ и $ \beta $.

Здесь также, по-видимому, имеется опечатка в условии. Если предположить, что в правой части вместо $ \sin \alpha $ должен стоять $ \cos \alpha $, тождество будет верным. Докажем скорректированное тождество:
$ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \cos \alpha \cos \beta $

Как было показано при преобразовании, левая часть равна $ \cos \alpha \cos \beta $. Правая часть скорректированного тождества также равна $ \cos \alpha \cos \beta $. Поскольку левая и правая части равны, скорректированное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Его левая часть тождественно равна $ \cos \alpha \cos \beta $, а правая — $ \sin \alpha \cos \beta $. Тождество становится верным, если его правая часть равна $ \cos \alpha \cos \beta $.

24.9. а) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$;

б) $\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$;

г) $\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

а)

Преобразуем правую часть уравнения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

б)

Преобразуем правую часть уравнения $\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

в)

Преобразуем правую часть уравнения $\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

г)

Преобразуем правую часть уравнения $\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x$.
Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.
Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

24.10. a) $ \sin 5x \cos 3x + \cos 5x \sin 3x = \sin 8x; $

б) $ \cos 5x \cos 3x - \sin 5x \sin 3x = \cos 8x; $

в) $ \sin 7x \cos 4x - \cos 7x \sin 4x = \sin 3x; $

г) $ \cos 2x \cos 12x + \sin 2x \sin 12x = \cos 10x. $

а)

Исходное уравнение: $sin(5x)cos(3x) + cos(5x)sin(3x) = sin(8x)$.
Левая часть уравнения соответствует формуле синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
В данном случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.
Применим эту формулу к левой части уравнения:
$sin(5x + 3x) = sin(8x)$.
$sin(8x) = sin(8x)$.
Мы получили тождество, то есть равенство, верное для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

б)

Исходное уравнение: $cos(5x)cos(3x) - sin(5x)sin(3x) = cos(8x)$.
Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В данном случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.
Применим эту формулу к левой части уравнения:
$cos(5x + 3x) = cos(8x)$.
$cos(8x) = cos(8x)$.
Мы получили тождество, верное для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

в)

Исходное уравнение: $sin(7x)cos(4x) - cos(7x)sin(4x) = sin(3x)$.
Левая часть уравнения соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$.
Применим эту формулу к левой части уравнения:
$sin(7x - 4x) = sin(3x)$.
$sin(3x) = sin(3x)$.
Мы получили тождество, верное для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

г)

Исходное уравнение: $cos(2x)cos(12x) + sin(2x)sin(12x) = cos(10x)$.
Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
В данном случае можно взять $\alpha = 12x$ и $\beta = 2x$. Так как косинус — чётная функция ($cos(-z) = cos(z)$), порядок вычитания не влияет на конечный результат: $cos(12x - 2x) = cos(2x - 12x)$.
Применим эту формулу к левой части уравнения:
$cos(12x - 2x) = cos(10x)$.
$cos(10x) = cos(10x)$.
Мы получили тождество, верное для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

24.11. a) $\cos (\alpha - \beta) + \sin (-\alpha) \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta;$

б) $\sin (30^\circ - \alpha) - \cos (60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3} \sin \alpha;$

в) $\sin (\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin (-\beta) = \sin \alpha \cos \beta;$

г) $\sin (30^\circ - \alpha) + \sin (30^\circ + \alpha) = \cos \alpha.$

а) Для доказательства тождества $ \cos(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\sin\beta = \cos\alpha \cos\beta $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \cos(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\sin\beta = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)\sin\beta $
$ = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta $
$ = \cos\alpha \cos\beta $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3}\sin\alpha $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha $
$ \cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos\alpha + \sin 60^\circ \sin\alpha $
Подставим известные значения тригонометрических функций: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) $
$ = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $
$ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = -\sqrt{3}\sin\alpha $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ \sin(\alpha - \beta) - \cos\alpha \sin(-\beta) = \sin\alpha \cos\beta $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\beta) = -\sin\beta $.
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \sin(\alpha - \beta) - \cos\alpha \sin(-\beta) = (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - \cos\alpha(-\sin\beta) $
$ = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ = \sin\alpha \cos\beta $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) = \cos\alpha $ преобразуем его левую часть.
Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и синуса суммы $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
$ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) = (\sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha) + (\sin 30^\circ \cos\alpha + \cos 30^\circ \sin\alpha) $
$ = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha + \sin 30^\circ \cos\alpha + \cos 30^\circ \sin\alpha $
$ = 2 \sin 30^\circ \cos\alpha $
Подставим известное значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $:
$ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\alpha = \cos\alpha $
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

24.12. а) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби.

Сначала преобразуем числитель $\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.
Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$:
$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим полученное выражение в числитель:
$\sqrt{2} \cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \sin\alpha = -\sqrt{2} \sin\alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель $2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin\alpha$.
Применим формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha$.
Подставим полученное выражение в знаменатель:
$2(\frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) - \sqrt{3} \sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3} \sin\alpha - \sqrt{3} \sin\alpha = \cos\alpha$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{-\sqrt{2} \sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано для всех допустимых значений $\alpha$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$, что совпадает с областью определения тангенса ($\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть, упростив числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель $\cos\alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.
Используем формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha$.
Подставим это выражение в числитель:
$\cos\alpha - 2(\frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) = \cos\alpha - \cos\alpha + \sqrt{3} \sin\alpha = \sqrt{3} \sin\alpha$.

Преобразуем знаменатель $2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin\alpha$.
Используем формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ и значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6} = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$.
Подставим это выражение в знаменатель:
$2(\sin\alpha \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha \frac{1}{2}) - \sqrt{3} \sin\alpha = \sqrt{3} \sin\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3} \sin\alpha = -\cos\alpha$.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{\sqrt{3} \sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\sqrt{3} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha$.
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Тождество доказано для всех допустимых значений $\alpha$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$ ($\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Тождество доказано.

Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения):

24.13. a) $ \sin(\pi - x) = \sin x $

б) $ \cos(\pi + x) = -\cos x $

в) $ \operatorname{tg}(2\pi - x) = -\operatorname{tg} x $

г) $ \operatorname{ctg}(\pi - x) = -\operatorname{ctg} x $

а)

Для вывода формулы $sin(\pi - x) = sin(x)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Подставим в эту формулу $\alpha = \pi$ и $\beta = x$:

$sin(\pi - x) = sin(\pi)cos(x) - cos(\pi)sin(x)$

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, подставим их в выражение:

$sin(\pi - x) = 0 \cdot cos(x) - (-1) \cdot sin(x) = 0 + sin(x) = sin(x)$.

Таким образом, формула $sin(\pi - x) = sin(x)$ доказана.

Ответ: $sin(\pi - x) = sin(x)$.

б)

Для вывода формулы $cos(\pi + x) = -cos(x)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

Подставим в эту формулу $\alpha = \pi$ и $\beta = x$:

$cos(\pi + x) = cos(\pi)cos(x) - sin(\pi)sin(x)$

Используем известные значения: $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$.

$cos(\pi + x) = (-1) \cdot cos(x) - 0 \cdot sin(x) = -cos(x) - 0 = -cos(x)$.

Таким образом, формула $cos(\pi + x) = -cos(x)$ доказана.

Ответ: $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

в)

Для вывода формулы $tg(2\pi - x) = -tg(x)$ воспользуемся определением тангенса $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$ и формулами сложения для синуса и косинуса.

$tg(2\pi - x) = \frac{sin(2\pi - x)}{cos(2\pi - x)}$

Сначала найдем числитель, используя формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:

$sin(2\pi - x) = sin(2\pi)cos(x) - cos(2\pi)sin(x)$.

Зная, что $sin(2\pi) = 0$ и $cos(2\pi) = 1$, получаем:

$sin(2\pi - x) = 0 \cdot cos(x) - 1 \cdot sin(x) = -sin(x)$.

Теперь найдем знаменатель, используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:

$cos(2\pi - x) = cos(2\pi)cos(x) + sin(2\pi)sin(x)$.

$cos(2\pi - x) = 1 \cdot cos(x) + 0 \cdot sin(x) = cos(x)$.

Подставим полученные выражения для синуса и косинуса в исходную формулу для тангенса:

$tg(2\pi - x) = \frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tg(x)$.

Таким образом, формула $tg(2\pi - x) = -tg(x)$ доказана.

Ответ: $tg(2\pi - x) = -tg(x)$.

г)

Для вывода формулы $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$ воспользуемся определением котангенса $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и формулами сложения для синуса и косинуса.

$ctg(\pi - x) = \frac{cos(\pi - x)}{sin(\pi - x)}$

Найдем числитель, используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:

$cos(\pi - x) = cos(\pi)cos(x) + sin(\pi)sin(x)$.

Зная, что $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$, получаем:

$cos(\pi - x) = (-1) \cdot cos(x) + 0 \cdot sin(x) = -cos(x)$.

Знаменатель $sin(\pi - x)$ мы уже выводили в пункте а): $sin(\pi - x) = sin(x)$.

Подставим полученные выражения для косинуса и синуса в формулу для котангенса:

$ctg(\pi - x) = \frac{-cos(x)}{sin(x)} = -ctg(x)$.

Таким образом, формула $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$ доказана.

Ответ: $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$.

24.14. a) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x; $

б) $ \cos \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x; $

В) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{ctg} x; $

Г) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x. $

а) Для доказательства тождества $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения с углами вида $\frac{n\pi}{2} \pm x$.

Правило состоит из двух шагов:

1. Определение итоговой функции: если в скобках стоит угол, привязанный к вертикальной оси единичной окружности ($\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). В нашем случае аргумент $\frac{\pi}{2} + x$, значит, $\sin$ меняется на $\cos$.

2. Определение знака: знак результата определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол $\frac{\pi}{2} + x$. Если считать $x$ малым положительным углом (угол I четверти), то $\frac{\pi}{2} + x$ — это угол II четверти. Синус во II четверти положителен, поэтому перед косинусом будет стоять знак «+».

Собирая всё вместе, получаем: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = +\cos x = \cos x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ верно.

б) Докажем тождество $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция косинус меняется на кофункцию — синус.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{3\pi}{2} - x$ попадает в III четверть. Исходная функция, косинус, в III четверти отрицательна. Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».

Таким образом, $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$ верно.

в) Докажем тождество $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{ctg}\,x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, поэтому функция тангенс меняется на кофункцию — котангенс.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{\pi}{2} - x$ попадает в I четверть. Исходная функция, тангенс, в I четверти положительна. Следовательно, знак результата — «+».

Получаем: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = +\text{ctg}\,x = \text{ctg}\,x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{ctg}\,x$ верно.

г) Докажем тождество $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$ с помощью формул приведения.

1. Определение итоговой функции: в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция котангенс меняется на кофункцию — тангенс.

2. Определение знака: считая $x$ острым углом, угол $\frac{3\pi}{2} + x$ попадает в IV четверть. Исходная функция, котангенс, в IV четверти отрицательна (так как $\text{ctg}\, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а в IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен). Следовательно, перед итоговой функцией ставится знак «-».

В результате получаем: $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg}\,x$ верно.