Страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

23.18. a) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2;$

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2;$

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3;$

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3.$

а) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$

Чтобы решить это уравнение, мы приведем его к однородному виду. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и заменим число 2 в правой части на выражение $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(5 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - 14 \sin x \cos x - (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = 0$

$3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение:

$3 \cdot 1 - 14 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 0 \implies 3 = 0$, что является ложным равенством. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{14 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 \tan^2 x - 14 \tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 5 \implies x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2$

Приведем уравнение к однородному виду, используя тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

$3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1$. Подставляя, получаем $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$

Снова используем основное тригонометрическое тождество.

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Переносим все в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 3 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверка случая $\cos x = 0$ дает $2(1) - 0 - 0 = 0$, что неверно. Делим на $\cos^2 x$:

$2 \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$

Применяем тот же метод.

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Переносим все в левую часть:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Проверка $\cos x = 0$ дает $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Делим на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к $x$:

1) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

23.19. a) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5;$

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4.$

Исходное уравнение: $5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5$.

Данный тип уравнений называется однородным тригонометрическим уравнением. Для его решения представим число 5 в правой части, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые, перенеся все в левую часть.

$5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x - 5\sin^2 x - 5\cos^2 x = 0$

$\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки.

$\cos x (\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$

Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю в этом уравнении. Если $\cos x = 0$, то $\sqrt{3}\sin x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 4$.

По аналогии с предыдущим пунктом, заменим число 4 в правой части на $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть.

$2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$-2\sin^2 x - 3\sin x \cos x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства.

$2\sin^2 x + 3\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки.

$\sin x (2\sin x + 3\cos x) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x + 3\cos x = 0$

В этом уравнении $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно). Разделим обе части на $\cos x$.

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$2\tan x + 3 = 0$

$\tan x = -\frac{3}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

23.20. a) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x;$

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x.$

а) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка. Для его решения представим число -2 с помощью основного тригонометрического тождества:

$-2 = -2 \cdot 1 = -2(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \sin^2 2x - 2(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = \sin 2x \cos 2x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 \sin^2 2x - 2 \sin^2 2x - 2 \cos^2 2x = \sin 2x \cos 2x$

$\sin^2 2x - 2 \cos^2 2x = \sin 2x \cos 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 2x - \sin 2x \cos 2x - 2 \cos^2 2x = 0$

Рассмотрим случай, когда $\cos 2x = 0$. Тогда из уравнения следует, что $\sin^2 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Однако $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x - \tan 2x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\tan 2x = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4 = 0$

Представим число -4 с помощью основного тригонометрического тождества:

$-4 = -4 \cdot 1 = -4(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4(\sin^2 4x + \cos^2 4x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x + 4 \cos^2 4x - 4 \sin^2 4x - 4 \cos^2 4x = 0$

$-2 \sin^2 4x - 3 \sin 4x \cos 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin 4x$ за скобки:

$-\sin 4x (2 \sin 4x + 3 \cos 4x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin 4x + 3 \cos 4x = 0$

Это однородное уравнение первого порядка. Как и в пункте а), $\cos 4x \neq 0$, так как если $\cos 4x = 0$, то и $\sin 4x = 0$, что невозможно. Разделим обе части уравнения на $\cos 4x$:

$2 \frac{\sin 4x}{\cos 4x} + 3 \frac{\cos 4x}{\cos 4x} = 0$

$2 \tan 4x + 3 = 0$

$\tan 4x = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:

$4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

$4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}.$

а) Исходное уравнение: $4 \sin^2\frac{x}{2} - 3 = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$.
Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Чтобы привести его к стандартному виду, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и заменим число 3 на выражение $3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$.
$4 \sin^2\frac{x}{2} - 3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}) = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$
Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4 \sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} - 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 0$
$\sin^2\frac{x}{2} - 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} = 0$
Проверим, может ли $\cos\frac{x}{2}$ быть равен нулю. Если $\cos\frac{x}{2} = 0$, то из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2\frac{x}{2} = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0$, то есть $1 = 0$, что является ложным равенством. Следовательно, $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{2}$.
$\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{3\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 0$
$\tan^2\frac{x}{2} - 2 \tan\frac{x}{2} - 3 = 0$
Введем замену $t = \tan\frac{x}{2}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену.
1) $\tan\frac{x}{2} = 3$
$\frac{x}{2} = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\tan\frac{x}{2} = -1$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = 2\arctan(3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3 \sin^2\frac{x}{3} + 4 \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$.
Упростим левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$3 \sin^2\frac{x}{3} + 4 \cos^2\frac{x}{3} = 3 \sin^2\frac{x}{3} + 3 \cos^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3} = 3(\sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3}) + \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \cos^2\frac{x}{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$3 + \cos^2\frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\cos^2\frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos^2\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3} = 0$
Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{3}$ за скобки:
$\cos\frac{x}{3} \left( \cos\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} \right) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.
1) $\cos\frac{x}{3} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos\frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin\frac{x}{3} = 0$
$\cos\frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin\frac{x}{3}$
Заметим, что в этом случае $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, так как если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то и $\sin\frac{x}{3}$ должен быть равен 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому мы можем разделить обе части на $\cos\frac{x}{3}$:
$1 = \sqrt{3} \frac{\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}}$
$1 = \sqrt{3} \tan\frac{x}{3}$
$\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

23.22. a) $\sin^2 x - 5 \cos x = \sin x \cos x - 5 \sin x;$

б) $\cos^2 x - 7 \sin x + \sin x \cos x = 7 \cos x.$

а) $ \sin^2 x - 5\cos x = \sin x \cos x - 5\sin x $

Для решения данного тригонометрического уравнения перенесем все его члены в левую часть и сгруппируем их.

$ \sin^2 x - 5\cos x - \sin x \cos x + 5\sin x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$ (\sin^2 x - \sin x \cos x) + (5\sin x - 5\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \sin x(\sin x - \cos x) + 5(\sin x - \cos x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\sin x - \cos x) $ за скобки:

$ (\sin x + 5)(\sin x - \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \sin x + 5 = 0 \implies \sin x = -5 $. Данное уравнение не имеет решений, так как значения функции синуса находятся в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $.

2. $ \sin x - \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x $. Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на $ \cos x $. Это можно сделать, если $ \cos x \neq 0 $. Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, $ где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ (\cos^2 x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \cos x(\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $ за скобки:

$ (\cos x - 7)(\cos x + \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \cos x - 7 = 0 \implies \cos x = 7 $. Это уравнение не имеет решений, так как значения функции косинуса лежат в интервале $ [-1, 1] $.

2. $ \cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделим обе части на $ \cos x $, убедившись, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \tan x = -1 $

Корни этого уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

23.23. a) $\sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^3 x \cos^3 x + \sin x \cos^5 x;$

б) $\sin^2 x \cos^2 x - 10 \sin x \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0.$

а)

Дано уравнение: $\sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^3 x \cos^3 x + \sin x \cos^5 x$.

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

В левой части вынесем за скобки общий множитель $\sin^4 x$:

$\sin^4 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^4 x \cdot 1 = \sin^4 x$.

В правой части вынесем за скобки общий множитель $\sin x \cos^3 x$:

$\sin x \cos^3 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin x \cos^3 x \cdot 1 = \sin x \cos^3 x$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида:

$\sin^4 x = \sin x \cos^3 x$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin^4 x - \sin x \cos^3 x = 0$

$\sin x (\sin^3 x - \cos^3 x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin^3 x - \cos^3 x = 0$.

$\sin^3 x = \cos^3 x$.

Заметим, что если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^3 x$:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = 1$

$\tan^3 x = 1$

$\tan x = 1$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sin^2 x \cos^2 x - 10 \sin x \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 x$:

$\cos^2 x (\sin^2 x - 10 \sin x \cos x + 21 \cos^2 x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\cos^2 x = 0$.

$\cos x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin^2 x - 10 \sin x \cos x + 21 \cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$, и уравнение принимает вид $1 - 0 + 0 = 1 \neq 0$. Следовательно, в этом случае $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 10 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 21 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 10 \tan x + 21 = 0$.

Введем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - 10t + 21 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену:

а) $\tan x = 3$.

Отсюда $x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = 7$.

Отсюда $x = \arctan 7 + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \arctan 3 + \pi n$, $x = \arctan 7 + \pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

23.24. a) $\cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16};$

б) $\cos^{-4} \frac{x}{2} \left( 2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1 \right) = 2.$

а)

Исходное уравнение: $ \cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16} $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $ a = \cos^2 x $ и $ b = \sin^2 x $.

$ \cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 + (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x + \sin^2 x)((\cos^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x + (\sin^2 x)^2) $

Так как $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, выражение упрощается:

$ \cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x $

Сгруппируем члены и дополним до полного квадрата:

$ (\cos^4 x + 2\cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) - 3\cos^2 x \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 3\cos^2 x \sin^2 x $

И снова, используя $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, получаем:

$ 1 - 3\cos^2 x \sin^2 x $

Теперь используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $. Тогда $ \cos^2 x \sin^2 x = (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x) $.

Подставим это в наше выражение:

$ 1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) $

Теперь вернемся к исходному уравнению:

$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{7}{16} $

Выразим $ \sin^2(2x) $:

$ \frac{3}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{7}{16} $

$ \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{9}{16} $

$ \sin^2(2x) = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{4} $

Применим формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $. В нашем случае $ \alpha = 2x $.

$ \frac{1-\cos(4x)}{2} = \frac{3}{4} $

$ 1-\cos(4x) = \frac{3}{2} $

$ \cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

б)

Исходное уравнение: $ \cos^{-4} \frac{x}{2} \left(2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1\right) = 2 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, что означает $ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, то есть $ x \neq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Перепишем уравнение в виде дроби:

$ \frac{2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1}{\cos^4 \frac{x}{2}} = 2 $

При условии $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, умножим обе части на $ \cos^4 \frac{x}{2} $:

$ 2 \sin^4 \frac{x}{2} - 1 = 2 \cos^4 \frac{x}{2} $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 2 \cos^4 \frac{x}{2} - 2 \sin^4 \frac{x}{2} + 1 = 0 $

Вынесем 2 за скобки:

$ 2\left(\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}\right) + 1 = 0 $

Выражение в скобках является разностью квадратов. Разложим его на множители:

$ \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = \left(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}\right)\left(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}\right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $, поэтому $ 2\alpha = x $.

$ \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos x)(1) = \cos x $

Подставим это обратно в уравнение:

$ 2\cos x + 1 = 0 $

Решаем полученное уравнение:

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($ x \neq \pi + 2\pi n $). Очевидно, что $ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $ никогда не равно $ \pi + 2\pi n $ для целых $ k $ и $ n $. Следовательно, все найденные корни подходят.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Решите систему уравнений:

23.25. a) $\begin{cases} 2 \sin x - 5 \cos y = 7, \\ 5 \sin x + \cos y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1, \\ 8 \sin 2x - 6 \cos 3y = 7. \end{cases}$

Дана система уравнений: $\displaystyle \begin{cases} 2 \sin x - 5 \cos y = 7, \\ 5 \sin x + \cos y = 4. \end{cases}$

Данная система является линейной относительно $\sin x$ и $\cos y$. Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$. Так как область значений синуса и косинуса $[-1, 1]$, то должны выполняться условия $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$.

Система в новых переменных примет вид: $\displaystyle \begin{cases} 2a - 5b = 7, \\ 5a + b = 4. \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $b$: $b = 4 - 5a$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2a - 5(4 - 5a) = 7$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $2a - 20 + 25a = 7 \implies 27a = 27 \implies a = 1$.

Теперь найдем значение $b$: $b = 4 - 5a = 4 - 5 \cdot 1 = -1$.

Полученные значения $a=1$ и $b=-1$ удовлетворяют условиям $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$, следовательно, решения существуют.

Выполним обратную замену: $\sin x = 1$ и $\cos y = -1$.

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из уравнения $\sin x = 1$ находим $x$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\cos y = -1$ находим $y$: $y = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = \pi + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений: $\displaystyle \begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1, \\ 8 \sin 2x - 6 \cos 3y = 7. \end{cases}$

Эта система является линейной относительно $\sin 2x$ и $\cos 3y$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = \sin 2x$ и $v = \cos 3y$.

Система в новых переменных примет вид: $\displaystyle \begin{cases} 5u + 3v = 1, \\ 8u - 6v = 7. \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 2: $2(5u + 3v) = 2 \cdot 1 \implies 10u + 6v = 2$.

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $(10u + 6v) + (8u - 6v) = 2 + 7 \implies 18u = 9 \implies u = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденное значение $u = \frac{1}{2}$ в первое уравнение ($5u + 3v = 1$): $5 \cdot \frac{1}{2} + 3v = 1 \implies \frac{5}{2} + 3v = 1 \implies 3v = 1 - \frac{5}{2} \implies 3v = -\frac{3}{2} \implies v = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену: $\sin 2x = \frac{1}{2}$ и $\cos 3y = -\frac{1}{2}$.

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ находим $2x$: $2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $x$: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\cos 3y = -\frac{1}{2}$ находим $3y$: $3y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $y$: $y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

23.26. a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2}; \\ \sin x \cos y = -\frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos 2y = 1, \\ 2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \cos 2y = 2. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = -\frac{1}{2} \\ uv = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$.

Подставим значения суммы и произведения:

$t^2 - (-\frac{1}{2})t + (-\frac{1}{2}) = 0$

$t^2 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} = 0$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, решения для пары $(u, v)$ — это $(-1, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -1)$. Это приводит к двум системам уравнений:

Случай 1: $ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Случай 2: $ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x$: $x = (-1)^m \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi m = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in Z$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \arccos(-1) + 2\pi p = \pi + 2\pi p$, где $p \in Z$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$; $ ((-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, \pi + 2\pi p)$, где $k, n, m, p \in Z$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos 2y = 1 \\ 2\sin^2 \frac{x}{2} - 3\cos 2y = 2 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sin \frac{x}{2}$ и $b = \cos 2y$. Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} a - b = 1 \\ 2a^2 - 3b = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(1+b)^2 - 3b = 2$

$2(1 + 2b + b^2) - 3b = 2$

$2 + 4b + 2b^2 - 3b - 2 = 0$

$2b^2 + b = 0$

$b(2b+1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 0$ или $b_2 = -\frac{1}{2}$.

Найдем соответствующие значения $a$ по формуле $a = 1 + b$:

При $b_1 = 0$, $a_1 = 1 + 0 = 1$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным и решить две системы:

Случай 1: $ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} = 1 \\ \cos 2y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \pi + 4\pi k$, где $k \in Z$.

Из второго уравнения: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Случай 2: $ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \\ \cos 2y = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения: $\frac{x}{2} = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m \implies x = (-1)^m \frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Из второго уравнения: $2y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi p = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi p \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + \pi p$, где $p \in Z$.

Ответ: $(\pi + 4\pi k, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})$; $ ((-1)^m \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \pm \frac{\pi}{3} + \pi p)$, где $k, n, m, p \in Z$.

23.27. Решите уравнение:

a) $|ctg x| = ctg x + \frac{1}{\sin x}$;

б) $tg x + \frac{1}{9}ctg x = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1.$

а) $| \text{ctg} \, x | = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функции $ \text{ctg} \, x $ и $ \frac{1}{\sin x} $ определены, если $ \sin x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $ \text{ctg} \, x $.

1. Пусть $ \text{ctg} \, x \ge 0 $. В этом случае $ | \text{ctg} \, x | = \text{ctg} \, x $. Уравнение принимает вид: $ \text{ctg} \, x = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x} $ $ 0 = \frac{1}{\sin x} $ Это уравнение не имеет решений, так как дробь может быть равна нулю только если ее числитель равен нулю, а здесь он равен 1.

2. Пусть $ \text{ctg} \, x < 0 $. В этом случае $ | \text{ctg} \, x | = -\text{ctg} \, x $. Уравнение принимает вид: $ -\text{ctg} \, x = \text{ctg} \, x + \frac{1}{\sin x} $ Перенесем $ \text{ctg} \, x $ в левую часть: $ -2 \text{ctg} \, x = \frac{1}{\sin x} $ Заменим $ \text{ctg} \, x $ на $ \frac{\cos x}{\sin x} $: $ -2 \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} $ Так как по ОДЗ $ \sin x \neq 0 $, мы можем умножить обе части на $ \sin x $: $ -2 \cos x = 1 $ $ \cos x = -\frac{1}{2} $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ \text{ctg} \, x < 0 $. Уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $ имеет две серии решений: $ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (вторая четверть) $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (третья четверть)

Для первой серии решений ($ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $), $ x $ находится во второй координатной четверти, где $ \cos x < 0 $ и $ \sin x > 0 $. Следовательно, $ \text{ctg} \, x = \frac{\cos x}{\sin x} < 0 $. Это решение удовлетворяет нашему условию.

Для второй серии решений ($ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $), $ x $ находится в третьей координатной четверти, где $ \cos x < 0 $ и $ \sin x < 0 $. Следовательно, $ \text{ctg} \, x = \frac{\cos x}{\sin x} > 0 $. Это решение не удовлетворяет нашему условию $ \text{ctg} \, x < 0 $, поэтому оно является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9} \text{ctg} \, x = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1 $

ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $, так как в уравнении присутствуют $ \text{tg} \, x $ и $ \text{ctg} \, x $. Также выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \ge 0 $. Преобразуем подкоренное выражение: $ \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \text{tg}^2 x $. Условие $ \text{tg}^2 x \ge 0 $ выполняется всегда, когда $ \text{tg} \, x $ определен. Итак, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим правую часть уравнения: $ \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} - 1} - 1 = \sqrt{\text{tg}^2 x} - 1 = |\text{tg} \, x| - 1 $.

Теперь уравнение имеет вид: $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9} \text{ctg} \, x = |\text{tg} \, x| - 1 $. Заменим $ \text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{tg} \, x} $: $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = |\text{tg} \, x| - 1 $.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть $ \text{tg} \, x > 0 $. Тогда $ |\text{tg} \, x| = \text{tg} \, x $. $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = \text{tg} \, x - 1 $ $ \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = -1 $ $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{9} $ Это противоречит нашему предположению $ \text{tg} \, x > 0 $, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Пусть $ \text{tg} \, x < 0 $. Тогда $ |\text{tg} \, x| = -\text{tg} \, x $. $ \text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} = -\text{tg} \, x - 1 $ $ 2\text{tg} \, x + \frac{1}{9 \text{tg} \, x} + 1 = 0 $ Сделаем замену $ t = \text{tg} \, x $, где $ t < 0 $. $ 2t + \frac{1}{9t} + 1 = 0 $ Умножим все уравнение на $ 9t $ (так как $ t \neq 0 $): $ 18t^2 + 1 + 9t = 0 $ $ 18t^2 + 9t + 1 = 0 $ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 81 - 72 = 9 $. $ t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 18} = \frac{-9 \pm 3}{36} $ $ t_1 = \frac{-9 - 3}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3} $ $ t_2 = \frac{-9 + 3}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6} $

Оба значения $ t $ отрицательны, поэтому они удовлетворяют условию $ t < 0 $. Возвращаемся к переменной $ x $: $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{3} \implies x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{6} \implies x = \text{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, x = -\text{arctg}(\frac{1}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.