Страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = 2f(x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

1.Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, имея уже построенный график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое называется вертикальным растяжением графика от оси абсцисс ($Ox$).

Это преобразование основано на следующем правиле: для любого значения аргумента $x$, значение новой функции $y = 2f(x)$ в два раза больше, чем значение исходной функции $y = f(x)$.

Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то это значит, что $y_0 = f(x_0)$. Для новой функции $y = 2f(x)$ при том же значении абсциссы $x_0$ ордината будет равна $y_{new} = 2f(x_0) = 2y_0$. Таким образом, точка $(x_0, 2y_0)$ будет принадлежать графику функции $y = 2f(x)$.

Алгоритм построения графика:

1. Взять любую точку на графике функции $y = f(x)$.

2. Оставить ее абсциссу (координату $x$) без изменений.

3. Умножить ее ординату (координату $y$) на 2.

4. Повторить это для нескольких ключевых точек графика (точек пересечения с осями, точек экстремума) и соединить полученные точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.

В результате этого преобразования график "растянется" в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$). Точки, которые лежали на оси абсцисс ($y=0$), останутся на месте, так как при умножении их ординаты на 2, она останется равной нулю ($2 \cdot 0 = 0$). Все остальные точки "отодвинутся" от оси $Ox$ на расстояние, вдвое большее исходного.

Например, если точка $(3, 4)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(3, 8)$ будет лежать на графике $y = 2f(x)$. Если точка $(5, -1)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(5, -2)$ будет лежать на графике $y = 2f(x)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, нужно график функции $y = f(x)$ растянуть в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$) относительно оси абсцисс ($Ox$). Для этого ординату каждой точки исходного графика нужно умножить на 2, оставив абсциссу без изменений.

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = -0,5f(x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

Чтобы построить график функции $y = -0,5f(x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить последовательно два геометрических преобразования над исходным графиком. Преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ представляет собой вертикальное масштабирование (растяжение или сжатие) и, если $k < 0$, отражение относительно оси абсцисс.

В нашем случае коэффициент $k = -0,5$. Это можно представить как два последовательных преобразования:

1. Сжатие по оси ординат (OY). Сначала выполним преобразование $y_1 = 0,5f(x)$. Для этого нужно график функции $y = f(x)$ сжать по вертикали к оси абсцисс (OX) в 2 раза. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, 0,5y)$. То есть, при той же абсциссе ордината каждой точки уменьшается вдвое.

2. Симметричное отражение относительно оси абсцисс (OX). Затем выполним преобразование $y = -y_1 = -0,5f(x)$. Для этого нужно полученный на первом шаге график функции $y_1 = 0,5f(x)$ симметрично отразить относительно оси OX. Каждая точка $(x, y_1)$ промежуточного графика перейдет в точку $(x, -y_1)$.

В итоге, каждая точка $(x, y)$ исходного графика $y=f(x)$ преобразуется в точку $(x, -0,5y)$ на искомом графике.

Порядок действий можно поменять: сначала отразить график $y = f(x)$ относительно оси OX (получив $y = -f(x)$), а затем сжать полученный график к оси OX в 2 раза. Результат будет идентичным.

Ответ: Для построения графика функции $y=-0,5f(x)$ на основе графика $y=f(x)$ необходимо выполнить два преобразования: 1) сжать исходный график по вертикали к оси абсцисс (OX) в 2 раза; 2) полученный после сжатия график симметрично отразить относительно оси абсцисс (OX). Порядок этих преобразований не имеет значения.

Решите неравенство:

23.40. a) $4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} < 0;$

б) $4 \cos^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\cos x + \sqrt{3} \ge 0.$

а)

Решим неравенство $4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} < 0$.

Это квадратное неравенство относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид: $4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} < 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2(\sqrt{3} - 1))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 16\sqrt{3} = 4(4 - 2\sqrt{3}) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$.

Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим его в виде полного квадрата: $16 + 8\sqrt{3} = 12 + 4 + 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{12} + \sqrt{4})^2 = (2\sqrt{3} + 2)^2$.

Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 2)^2} = 2\sqrt{3} + 2 = 2(\sqrt{3} + 1)$.

Найдем корни уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-(-2(\sqrt{3} - 1)) \pm 2(\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2(\sqrt{3} - 1) \pm 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{(\sqrt{3} - 1) \pm (\sqrt{3} + 1)}{4}$.

$t_1 = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$t_2 = \frac{\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Так как ветви параболы $y(t) = 4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3}$ направлены вверх ($a=4>0$), неравенство $y(t) < 0$ выполняется между корнями: $-\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба корня и полученный интервал удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Вернемся к исходной переменной, сделав обратную замену $t = \sin x$: $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим это двойное неравенство с помощью единичной окружности. Нам нужны углы $x$, для которых ордината соответствующей точки на окружности находится строго между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это соответствует двум открытым дугам на окружности:

1. Первая дуга начинается от угла, синус которого равен $-\frac{1}{2}$ (это угол $-\frac{\pi}{6}$), и идет против часовой стрелки до угла, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (это угол $\frac{\pi}{3}$). С учетом периодичности синуса получаем: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Вторая дуга начинается от угла $\frac{2\pi}{3}$ (где $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$) и идет до угла $\frac{7\pi}{6}$ (где $\sin x = -\frac{1}{2}$). С учетом периодичности получаем: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $4 \cos^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\cos x + \sqrt{3} \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид: $4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3} \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2(\sqrt{3} + 1))^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 4(3 + 2\sqrt{3} + 1) - 16\sqrt{3} = 4(4 + 2\sqrt{3}) - 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} - 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.

Представим дискриминант в виде полного квадрата: $16 - 8\sqrt{3} = 12 + 4 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{12} - \sqrt{4})^2 = (2\sqrt{3} - 2)^2$.

Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{(2\sqrt{3} - 2)^2} = 2\sqrt{3} - 2 = 2(\sqrt{3} - 1)$.

Найдем корни уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-(-2(\sqrt{3} + 1)) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2(\sqrt{3} + 1) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{8} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \pm (\sqrt{3} - 1)}{4}$.

$t_1 = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$t_2 = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Так как ветви параболы $y(t) = 4t^2 - 2(\sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3}$ направлены вверх ($a=4>0$), неравенство $y(t) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни: $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба корня и полученные промежутки удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Вернемся к исходной переменной, сделав обратную замену $t = \cos x$: $\cos x \le \frac{1}{2}$ или $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим каждое неравенство отдельно с помощью единичной окружности.

1. Неравенство $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует углам, для которых абсцисса точки на единичной окружности больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решением является замкнутая дуга (отрезок): $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos x \le \frac{1}{2}$. Это соответствует углам, для которых абсцисса точки на единичной окружности меньше или равна $\frac{1}{2}$. Решением является замкнутая дуга: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения этих двух неравенств, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

23.41. a) $ \sin x - \cos x > 0; $

б) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x \le 0; $

В) $ \sin x + \cos x < 0; $

Г) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x \ge 0. $

а) $\sin x - \cos x > 0$

Для решения данного тригонометрического неравенства воспользуемся методом вспомогательного угла. Преобразуем левую часть неравенства $a \sin x + b \cos x$ к виду $R \sin(x \pm \alpha)$ или $R \cos(x \pm \alpha)$. В данном случае $a=1$, $b=-1$.

1. Найдем коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

2. Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x > 0$

3. Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в неравенство:

$\sin x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) > 0$

4. Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 0$

5. Решим простое тригонометрическое неравенство. Синус положителен в первой и второй координатных четвертях. Следовательно, аргумент синуса должен находиться в интервале $(0, \pi)$ с учетом периодичности:

$2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Выразим $x$, прибавив $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства:

$2\pi k + \frac{\pi}{4} < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \sqrt{3} \cos x \le 0$

Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=1$, $b=-\sqrt{3}$.

1. Найдем коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Разделим обе части неравенства на $2$:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \le 0$

3. Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения:

$\sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \le 0$

4. Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 0$

5. Решим это неравенство. Синус отрицателен или равен нулю в третьей и четвертой координатных четвертях. Значит, аргумент синуса должен находиться в промежутке $[\pi, 2\pi]$ с учетом периодичности. Для удобства можно записать этот промежуток как $[-\pi, 0]$:

$-\pi + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Выразим $x$, прибавив $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям двойного неравенства:

$-\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x + \cos x < 0$

Применим метод вспомогательного угла. Здесь $a=1$, $b=1$.

1. Найдем коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x < 0$

3. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, подставим эти значения:

$\sin x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) < 0$

4. Воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0$

5. Синус отрицателен в третьей и четвертой координатных четвертях. Аргумент синуса должен лежать в интервале $(\pi, 2\pi)$ с учетом периода:

$\pi + 2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Выразим $x$, вычтя $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:

$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x \ge 0$

Используем метод вспомогательного угла. В данном случае $a=\sqrt{3}$, $b=1$.

1. Найдем коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

2. Разделим обе части неравенства на $2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \ge 0$

3. Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$\sin x \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \ge 0$

4. Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \ge 0$

5. Синус положителен или равен нулю в первой и второй координатных четвертях. Аргумент синуса должен находиться в промежутке $[0, \pi]$ с учетом периода:

$2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Выразим $x$, вычтя $\frac{\pi}{6}$ из всех частей двойного неравенства:

$2\pi k - \frac{\pi}{6} \le x \le \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

23.42. а) $\sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x > 0;$

б) $\sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x < 0;$

в) $\sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x \le 0;$

г) $\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x \ge 0.$

а) $ \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x > 0 $

Данное неравенство является однородным тригонометрическим неравенством второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \cos x = 0 $. В этом случае $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Подставим эти значения в исходное неравенство: $ 1 - 6 \sin x \cdot 0 + 5 \cdot 0 > 0 $ $ 1 > 0 $ Это верное утверждение, значит, все значения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ являются решениями неравенства.

Случай 2: $ \cos x \neq 0 $. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на $ \cos^2 x $. Так как $ \cos^2 x > 0 $, знак неравенства не изменится: $ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{5 \cos^2 x}{\cos^2 x} > 0 $ $ \tan^2 x - 6 \tan x + 5 > 0 $ Сделаем замену переменной $ t = \tan x $: $ t^2 - 6t + 5 > 0 $ Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 5 $. Так как парабола $ y = t^2 - 6t + 5 $ направлена ветвями вверх, решение неравенства находится за пределами корней: $ t < 1 $ или $ t > 5 $.

Вернемся к переменной $ x $: 1) $ \tan x < 1 \implies -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. 2) $ \tan x > 5 \implies \arctan 5 + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем итоговый ответ. Решения из случая 1 ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $) являются граничными точками для интервалов, полученных в случае 2. Стандартная запись решения для $ \tan x $ на неограниченных интервалах уже учитывает это.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k) \cup (\arctan 5 + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x < 0 $

Это неравенство отличается от предыдущего только знаком. Мы можем использовать результаты анализа из пункта а).

Случай 1: $ \cos x = 0 $. Неравенство принимает вид $ 1 < 0 $, что является ложным. Следовательно, значения $ x $, при которых $ \cos x = 0 $, не являются решениями.

Случай 2: $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $: $ \tan^2 x - 6 \tan x + 5 < 0 $ С заменой $ t = \tan x $, получаем $ t^2 - 6t + 5 < 0 $. Корни $ t_1 = 1, t_2 = 5 $. Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $ 1 < t < 5 $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 1 < \tan x < 5 $ Поскольку функция $ y = \tan x $ возрастает на своем периоде, решение этого двойного неравенства: $ \arctan 1 + \pi k < x < \arctan 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ $ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \arctan 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctan 5 + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x \leq 0 $

Решаем это однородное тригонометрическое неравенство.

Случай 1: $ \cos x = 0 $. Тогда $ \sin^2 x = 1 $. Неравенство принимает вид $ 1 \leq 0 $, что ложно. Эти значения не являются решениями.

Случай 2: $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $: $ \tan^2 x - 3 \tan x + 2 \leq 0 $ Сделаем замену $ t = \tan x $: $ t^2 - 3t + 2 \leq 0 $. Найдем корни уравнения $ t^2 - 3t + 2 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = 1, t_2 = 2 $. Решение квадратного неравенства (парабола ветвями вверх): $ 1 \leq t \leq 2 $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 1 \leq \tan x \leq 2 $ Решением этого неравенства является: $ \frac{\pi}{4} + \pi k \leq x \leq \arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \arctan 2 + \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x \geq 0 $

Решаем это однородное тригонометрическое неравенство.

Случай 1: $ \cos x = 0 $. Тогда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ и $ \sin^2 x = 1 $. Неравенство принимает вид $ 1 \geq 0 $, что верно. Следовательно, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ являются решениями.

Случай 2: $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $: $ \tan^2 x - 2 \tan x - 3 \geq 0 $ Сделаем замену $ t = \tan x $: $ t^2 - 2t - 3 \geq 0 $. Найдем корни уравнения $ t^2 - 2t - 3 = 0 $. $ t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $. Корни $ t_1 = -1, t_2 = 3 $. Решение квадратного неравенства: $ t \leq -1 $ или $ t \geq 3 $.

Возвращаемся к переменной $ x $: 1) $ \tan x \leq -1 \implies -\frac{\pi}{2} + \pi k < x \leq -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. 2) $ \tan x \geq 3 \implies \arctan 3 + \pi k \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Объединим решения из обоих случаев. Решения из случая 1 ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $) "закрывают" открытые концы интервалов из случая 2. Первый набор интервалов становится $ [-\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi k] $. Второй набор интервалов становится $ [\arctan 3 + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k] $. Заметим, что конец интервала $ [\arctan 3 + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k] $ совпадает с началом интервала $ [-\frac{\pi}{2} + \pi(k+1), -\frac{\pi}{4} + \pi(k+1)] $, который можно переписать как $ [\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k] $. Таким образом, эти два семейства интервалов можно объединить в одно: $ [\arctan 3 + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k] \cup [\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k] = [\arctan 3 + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k] $.

Ответ: $ x \in [\arctan 3 + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

Решите уравнение:

23.43. a) $| \sin x | (\cos x + 2 \sin x) = 2 - 2 \cos^2 x;$

б) $| \cos x | (2 \cos x - 3 \sin x) = 2.$

а) $|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) = 2 - 2 \cos^2 x$

Преобразуем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 - 2 \cos^2 x = 2(1 - \cos^2 x) = 2 \sin^2 x$.

Теперь уравнение имеет вид:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) = 2 \sin^2 x$.

Заметим, что $\sin^2 x = |\sin x|^2$. Перенесем все члены в одну сторону:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x) - 2 |\sin x|^2 = 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки:

$|\sin x|(\cos x + 2 \sin x - 2 |\sin x|) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $|\sin x| = 0$, что равносильно $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + 2 \sin x - 2 |\sin x| = 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sin x > 0$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$.

$\cos x + 2 \sin x - 2 \sin x = 0$

$\cos x = 0$.

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Учитывая условие $\sin x > 0$, отбираем корни. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (для четных $m=2n$) имеем $\sin x = 1 > 0$. При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (для нечетных $m=2n+1$) имеем $\sin x = -1 < 0$. Следовательно, подходят только корни $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$.

$\cos x + 2 \sin x - 2(-\sin x) = 0$

$\cos x + 4 \sin x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$1 + 4 \tan x = 0$

$\tan x = -\frac{1}{4}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Учитывая условие $\sin x < 0$, отбираем корни. Угол $\arctan(-\frac{1}{4})$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, нам подходят корни, которые также находятся в IV четверти. Это $x = \arctan(-\frac{1}{4}) + 2\pi n = -\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $x = \pi k$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

б) $|\cos x|(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то левая часть уравнения равна 0, а правая равна 2. Равенство $0=2$ неверно, следовательно, $\cos x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\cos x > 0$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$.

$\cos x(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

$2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x = 2$.

Заменим 2 в правой части на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

$-3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$. Учитывая условие $\cos x > 0$, получаем $\cos x = 1$. Подставим в исходное уравнение: $|1|(2 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 2 \implies 2=2$. Верно. Следовательно, $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

2) $2 \sin x + 3 \cos x = 0$. Так как $\cos x \neq 0$, разделим на $\cos x$:

$2 \tan x + 3 = 0 \implies \tan x = -\frac{3}{2}$.

Решения: $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны решения, для которых $\cos x > 0$. Это соответствует углам в I и IV четвертях. Угол $\arctan(-\frac{3}{2})$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Значит, подходят корни $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + 2\pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$.

$-\cos x(2 \cos x - 3 \sin x) = 2$

$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение. Разделим на $\cos^2 x$ (так как $\cos x \neq 0$):

$2 \tan^2 x - 3 \tan x + 4 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение $2t^2 - 3t + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, действительных корней для $t$ нет. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из первого случая, получаем:

Ответ: $x = 2\pi k$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

23.44. а) $ \frac{2 \cos^2 x + 5|\cos x| - 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0; $

б) $ \frac{2 \sin^2 x + |\sin x| - 1}{4 \cos^2 x - 3} = 0. $

а)

Решим уравнение $\frac{2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} 2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3 = 0 \\ 2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 \cos^2 x + 5 |\cos x| - 3 = 0$.

Так как $\cos^2 x = (|\cos x|)^2$, сделаем замену $t = |\cos x|$. Учитывая, что $|\cos x|$ может принимать значения от 0 до 1, получаем ограничение $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$, так как модуль не может быть отрицательным. Следовательно, он является посторонним.

Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию. Возвращаемся к исходной переменной:

$|\cos x| = \frac{1}{2}$

Это равносильно двум случаям:

$\cos x = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = -\frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Проверим условие для знаменателя: $2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0$.

Отсюда $\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Этому условию не удовлетворяют значения $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ (что то же самое, что $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Совместим результаты.

Из полученных серий решений для числителя мы должны исключить те, которые обращают знаменатель в ноль.

Проверим каждую серию решений:

- Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \neq 0$. Эта серия подходит.

- Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 0$. Эта серия не подходит.

- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \neq 0$. Эта серия подходит.

- Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, имеем $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Знаменатель $2 \sin x + \sqrt{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = 0$. Эта серия не подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $\frac{2 \sin^2 x + |\sin x| - 1}{4 \cos^2 x - 3} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2 \sin^2 x + |\sin x| - 1 = 0 \\ 4 \cos^2 x - 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 \sin^2 x + |\sin x| - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = |\sin x|$, где $0 \le y \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $2y^2 + y - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни:

$y_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $y_1 = -1$ не подходит, так как $y \ge 0$.

Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ подходит. Возвращаемся к замене:

$|\sin x| = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $\sin^2 x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4 \cos^2 x - 3 \neq 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в выражение для знаменателя значение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, которое мы получили из уравнения числителя:

$\cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Теперь подставим это значение в само выражение знаменателя:

$4 \cos^2 x - 3 = 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Получается, что при всех значениях $x$, при которых числитель обращается в ноль, знаменатель также обращается в ноль. Деление на ноль не определено, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

23.45. $\cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + 1 = 0.$

Данное уравнение $ \cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + 1 = 0 $ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $ \cos 3x $. Однако, более изящный способ решения — это преобразование выражения методом выделения полного квадрата.

Перепишем уравнение, добавив и вычтя $ \cos^2 2x $: $ \cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + \cos^2 2x - \cos^2 2x + 1 = 0 $

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (\cos^2 3x - 2 \cos 2x \cos 3x + \cos^2 2x) + (1 - \cos^2 2x) = 0 $

Выражение в первой скобке представляет собой формулу квадрата разности: $ (\cos 3x - \cos 2x)^2 $. Для второй скобки применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 2x = \sin^2 2x $. Подставив эти преобразования в уравнение, получим: $ (\cos 3x - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x = 0 $

Мы получили сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений: $ \begin{cases} \cos 3x - \cos 2x = 0 \\ \sin 2x = 0 \end{cases} $

Начнем с решения второго уравнения системы: $ \sin 2x = 0 $ Это уравнение имеет решения, когда аргумент синуса равен $ k\pi $, где $ k $ — любое целое число. $ 2x = k\pi $ $ x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Теперь подставим найденные значения $ x $ в первое уравнение системы, $ \cos 3x = \cos 2x $, чтобы найти те значения $ k $, которые удовлетворяют обоим условиям. $ \cos\left(3 \cdot \frac{k\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{k\pi}{2}\right) $ $ \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = \cos(k\pi) $

Известно, что $ \cos(k\pi) = (-1)^k $. Проверим, для каких целых $ k $ выполняется равенство $ \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = (-1)^k $.

1. Пусть $ k $ — четное число, т.е. $ k = 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ x = \frac{2n\pi}{2} = n\pi $. Равенство принимает вид: $ \cos\left(\frac{3 \cdot 2n\pi}{2}\right) = (-1)^{2n} $ $ \cos(3n\pi) = 1 $ Так как $ \cos(3n\pi) = (-1)^{3n} $, получаем $ (-1)^{3n} = 1 $. Это верно, только если показатель степени $ 3n $ является четным числом. Поскольку 3 — нечетное, это требует, чтобы $ n $ было четным. Пусть $ n = 2m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = n\pi = 2m\pi $.

2. Пусть $ k $ — нечетное число, т.е. $ k = 2n + 1 $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Равенство принимает вид: $ \cos\left(\frac{3(2n+1)\pi}{2}\right) = (-1)^{2n+1} $ $ \cos\left(3n\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = -1 $ Используя формулу косинуса суммы, левая часть равна $ \cos(3n\pi)\cos(\frac{3\pi}{2}) - \sin(3n\pi)\sin(\frac{3\pi}{2}) $. Поскольку $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $ и $ \sin(3n\pi) = 0 $, левая часть обращается в ноль. Мы приходим к неверному равенству $ 0 = -1 $. Значит, при нечетных $ k $ решений нет.

Итак, решения существуют только в первом случае, когда $ x $ имеет вид $ 2m\pi $, где $ m $ — любое целое число. Заменим $ m $ на $ k $ для стандартной записи ответа.

Ответ: $ x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $