Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$?

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \cos x$ монотонной на отрезке $[-1; 1]$, необходимо проанализировать ее поведение на этом отрезке. Функция является монотонной на некотором промежутке, если на всем этом промежутке она только возрастает или только убывает (включая случаи нестрогого возрастания/убывания).

Один из способов определить монотонность — исследовать знак производной функции. Если производная на всем интервале не меняет знак, то функция на этом интервале монотонна.

Найдем производную функции $y = \cos x$:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь рассмотрим знак производной $y' = -\sin x$ на отрезке $[-1; 1]$. Этот отрезок включает в себя точку $x=0$.

• На интервале $[-1; 0)$: значения $x$ отрицательны. В четвертой четверти (куда попадает этот интервал), синус отрицателен ($\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-1; 0]$.
• На интервале $(0; 1]$: значения $x$ положительны. В первой четверти (куда попадает этот интервал), синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; 1]$.

Поскольку производная функции меняет знак внутри отрезка $[-1; 1]$ (в точке $x=0$), функция не является монотонной на всем этом отрезке. Она возрастает на части отрезка и убывает на другой его части.

В качестве проверки можно сравнить значения функции в трех точках отрезка, например, $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$.

$y(-1) = \cos(-1) = \cos(1)$ (поскольку $\cos x$ — четная функция)

$y(0) = \cos(0) = 1$

$y(1) = \cos(1)$

Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, значение $\cos(1)$ находится между $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ и $\cos(0)=1$. Таким образом, $\cos(1) < 1$.

Сравнивая значения, получаем: $y(-1) < y(0)$ и $y(0) > y(1)$. Это нарушает определение монотонной функции, так как функция сначала возрастает, а затем убывает.

Ответ: Нет, утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$, нельзя.

на отрезке $[-1, 1]$

12. Можно ли утверждать, что $8\pi$ – период функции $y=\sin x$, а $-162\pi$ – период функции $y=\cos x$?

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Основной (наименьший положительный) период функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$. Любое число вида $T = k \cdot T_0 = k \cdot 2\pi$, где $k$ — любое целое ненулевое число, также является периодом этой функции.
Проверим, является ли $8\pi$ периодом функции $y=\sin x$. Для этого найдем такое $k$, что $8\pi = k \cdot 2\pi$.
$k = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$.
Поскольку $k=4$ является целым ненулевым числом, $8\pi$ является периодом функции $y=\sin x$.
Это можно также проверить напрямую: $\sin(x + 8\pi) = \sin(x + 4 \cdot 2\pi) = \sin(x)$. Равенство выполняется для всех $x$.
Ответ: Да, можно утверждать, что $8\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

а Рассуждая аналогично для функции $y = \cos x$, ее основной период также равен $2\pi$. Любое число вида $T = k \cdot 2\pi$, где $k$ — целое ненулевое число, является периодом функции. Определение периода не требует, чтобы он был положительным.
Проверим число $-162\pi$. Его можно представить в виде $k \cdot 2\pi$:
$-162\pi = k \cdot 2\pi \implies k = \frac{-162\pi}{2\pi} = -81$.
Поскольку $k = -81$ является целым ненулевым числом, $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.
Проверим равенство $f(x+T) = f(x)$ напрямую:
$\cos(x - 162\pi) = \cos(x - 81 \cdot 2\pi)$. Поскольку функция косинус имеет период $2\pi$, вычитание из аргумента числа, кратного $2\pi$, не изменяет значение функции. Таким образом, $\cos(x - 81 \cdot 2\pi) = \cos(x)$.
Утверждение является верным.
Ответ: Да, можно утверждать, что $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

13. Что называют основным периодом периодической функции?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. При этом также требуется, чтобы вместе с точкой $x$ в область определения входили и точки $x+T$ и $x-T$.

Если $T$ является периодом функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также будет её периодом. Это означает, что у периодической функции существует бесконечное множество периодов.

Например, для функции $y = \sin(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots$, а также $-2\pi, -4\pi, \ldots$.

Основным периодом периодической функции называется наименьший из всех её положительных периодов. Если такой наименьший положительный период существует, его обычно обозначают $T_0$.

Таким образом, число $T_0$ является основным периодом функции $f(x)$, если оно удовлетворяет трем условиям:

1. $T_0 > 0$ (период положителен).
2. $f(x+T_0) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (это период).
3. Не существует другого периода $T$ такого, что $0 < T < T_0$ (это наименьший положительный период).

Примеры:

• Основной период функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$.
• Основной период функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ равен $\pi$.

Важное замечание: не всякая периодическая функция имеет основной период. Например:

• Постоянная функция $f(x) = c$. Для неё периодом является любое действительное число $T \neq 0$. Так как не существует наименьшего положительного действительного числа, у этой функции нет основного периода.
• Функция Дирихле $D(x)$, которая равна 1 для рациональных $x$ и 0 для иррациональных $x$. Для неё периодом является любое рациональное число $T \neq 0$. Поскольку не существует наименьшего положительного рационального числа, у функции Дирихле также нет основного периода.

Ответ: Основным периодом периодической функции называют наименьшее положительное число $T$, для которого при всех значениях аргумента $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Решите уравнение:

23.9. a) $\left( \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \right) (\cos 2x + 1) = 0;$

б) $\left( \cos^2 \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \frac{3}{4} \right) \sin \frac{x}{2} = 0.$

a) Исходное уравнение: $(\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2})(\cos 2x + 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 0$

2) $\cos 2x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$\sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2(x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = 0$

Применим формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$\sin(2x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$\cos 2x = -1$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь объединим найденные решения. Вторая серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi(1+2n)}{2}$ представляет собой нечетные кратные $\frac{\pi}{2}$. Первая серия $x = \frac{\pi k}{2}$ включает в себя все целые кратные $\frac{\pi}{2}$ (как четные, так и нечетные). Следовательно, вторая серия является подмножеством первой.

Таким образом, общее решение исходного уравнения совпадает с решением первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $(\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) - \frac{3}{4})\sin\frac{x}{2} = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение равносильно совокупности:

1) $\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) - \frac{3}{4} = 0$

2) $\sin\frac{x}{2} = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos^2(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2(2x + \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{3}{4}$

$1 + \cos(4x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$

$\cos(4x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$4x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

- $4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$.

- $4x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 4x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$.

Решим второе уравнение:

$\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединим все решения. Серия корней $x = 2\pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (получается при $k=4n$). Значит, решения второго уравнения уже содержатся в решениях первого.

Итоговое решение является объединением двух серий, полученных из первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

23.10. a) $ \text{tg } x \sin 2x = 0; $

Б) $ (1 + \cos x) \left(\frac{1}{\sin x} - 1\right) = 0; $

В) $ \cos x \text{ tg } 3x = 0; $

Г) $ (1 + \cos x) \text{ tg } \frac{x}{2} = 0. $

а) $tg x \sin 2x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \ne 0$, что эквивалентно $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Рассмотрим два случая:

1. $tg x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \pi n, n \in Z$. Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ. $\cos(\pi n) = (-1)^n \ne 0$. Все решения подходят.

2. $\sin 2x = 0$. Решения этого уравнения: $2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Мы должны исключить значения, при которых $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Серия $x = \frac{\pi m}{2}$ содержит значения, при которых $m$ нечетное (например, $m=1, x=\frac{\pi}{2}$; $m=3, x=\frac{3\pi}{2}$), которые не входят в ОДЗ. Следовательно, из этой серии подходят только те решения, где $m$ — четное число. Пусть $m = 2n$, тогда $x = \frac{\pi(2n)}{2} = \pi n, n \in Z$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что они дают одну и ту же серию корней.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

б) $(1 + \cos x)(\frac{1}{\sin x} - 1) = 0$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. При $x = \pi + 2\pi n$, значение $\sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, они являются посторонними.

2. $\frac{1}{\sin x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, значение $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1 \ne 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$.

в) $\cos x \ tg 3x = 0$

ОДЗ: $\cos 3x \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$: $\cos(3(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi n)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} + 3\pi n$ всегда является нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$, поэтому косинус от этого аргумента всегда равен 0. Следовательно, все корни этой серии не входят в ОДЗ и являются посторонними.

2. $tg 3x = 0$. Решения: $3x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$: $\cos(3(\frac{\pi m}{3})) = \cos(\pi m) = (-1)^m$. Так как $(-1)^m \ne 0$, все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{3}, m \in Z$.

г) $(1 + \cos x) \ tg \frac{x}{2} = 0$

ОДЗ: $\cos \frac{x}{2} \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$. Сравнивая эти корни с ОДЗ, мы видим, что они в точности совпадают со значениями, которые исключены из области определения ($x \ne \pi + 2\pi k$). Следовательно, все корни этой серии являются посторонними.

2. $tg \frac{x}{2} = 0$. Решения: $\frac{x}{2} = \pi m \implies x = 2\pi m, m \in Z$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. При $x = 2\pi m$, значение $\cos(\frac{2\pi m}{2}) = \cos(\pi m) = (-1)^m \ne 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения является только вторая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi m, m \in Z$.

Решите уравнение:

23.11. a) $sin x = -\frac{3}{4} cos x$;

б) $3 sin x = 2 cos x$;

в) $2 sin x + 5 cos x = 0$;

г) $sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$.

а)

Дано уравнение $\sin x = -\frac{3}{4}\cos x$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в одну часть:

$\sin x + \frac{3}{4}\cos x = 0$

Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставим в уравнение:

$\pm 1 + \frac{3}{4} \cdot 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $\pm 1 = 0$.

Следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{3}{4}\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + \frac{3}{4} = 0$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\frac{3}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $3 \sin x = 2 \cos x$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в одну часть:

$3 \sin x - 2 \cos x = 0$

Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляя в уравнение, получаем:

$3(\pm 1) - 2 \cdot 0 = 0$, что дает неверное равенство $\pm 3 = 0$.

Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$3\frac{\sin x}{\cos x} - 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$3 \tan x - 2 = 0$

$3 \tan x = 2$

$\tan x = \frac{2}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{2}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $2 \sin x + 5 \cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущих случаях, проверим, может ли $\cos x$ равняться нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$.

$2(\pm 1) + 5 \cdot 0 = 0$, что дает неверное равенство $\pm 2 = 0$.

Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 5\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$2 \tan x + 5 = 0$

$2 \tan x = -5$

$\tan x = -\frac{5}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Или, используя свойство нечетности арктангенса:

$x = -\arctan(\frac{5}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\frac{5}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sin x - 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - 3 \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. В этом случае $\cos x \neq 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен был бы быть равен 0, что невозможно. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x - 3 = 0$

$\tan x = 3$

Решения этого уравнения:

$x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

23.12. a) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0;$

B) $\sin x - 3 \cos x = 0;$

б) $\sin x + \cos x = 0;$

Г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0.$

а) Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Это действие является корректным, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно быть равными нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Разделив уравнение на $\cos x$, получаем:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. По аналогии с предыдущим пунктом, разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - 3 = 0$
$\tan x = 3$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$
$\sqrt{3} \tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

23.13. a) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0;$

б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x;$

г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x.$

а) $ \sin^2 x + \sin x \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin x + \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $ \sin x = 0 $
Это частный случай, решениями которого являются $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + \cos x = 0 $
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $, предполагая, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ не выполняется. Поэтому деление на $ \cos x $ является корректным.
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + 1 = 0 $
$ \tan x = -1 $
$ x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \cos x = 0 $
Решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ (так как $ \cos x = 0 $ не является решением этого уравнения, что было показано в пункте а):
$ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = -1 $
$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k = -\frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2 x = 3 \sin x \cos x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \sin x = 0 $
Решениями являются $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x - 3 \cos x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ (как и ранее, $ \cos x \neq 0 $):
$ \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = 0 $
$ \tan x = 3 $
$ x = \arctan(3) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \pi n, \quad x = \arctan(3) + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sqrt{3} \cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = 0 $

Рассмотрим два случая:

1) $ \cos x = 0 $
Решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 $
Разделим обе части на $ \cos x $ ($ \cos x \neq 0 $):
$ \sqrt{3} - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x = \sqrt{3} $
$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad \text{где } n, k \in \mathbb{Z} $.

23.14. a) $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0;$

г) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0.$

а) $ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка. Чтобы его решить, рассмотрим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$ 1 + 2 \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 0 $

$ 1 = 0 $

Получили неверное равенство, значит, $ \cos x \neq 0 $. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

Используя тождество $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0 $

Введем замену $ t = \tan x $. Уравнение примет вид квадратного:

$ t^2 + 2t - 3 = 0 $

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -3 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = -3 $. Отсюда $ x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $, поэтому разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = 3 $. Отсюда $ x = \arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = \arctan(3) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Так как $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -2 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = -2 $. Отсюда $ x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\arctan(2) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

г) $ 3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Так как $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 3 \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Пусть $ t = \tan x $, тогда:

$ 3t^2 + t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $

$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $

$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену:

1) $ \tan x = -1 $. Отсюда $ x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan x = \frac{2}{3} $. Отсюда $ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} $; $ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

23.15. a) $\sin 2x = \cos 2x$;

В) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$;

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$;

Г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$.

а) $\sin 2x = \cos 2x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$. Это можно сделать, так как если $\cos 2x = 0$, то из исходного уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$. Однако, из основного тригонометрического тождества $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ следует, что синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1$

$\tan 2x = 1$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 3x$. По аналогии с предыдущим пунктом, $\cos 3x \neq 0$, так как в противном случае и $\sin 3x$ должен быть равен нулю, что невозможно.

$\sqrt{3} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 1$

$\sqrt{3} \tan 3x = 1$

$\tan 3x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$3x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\cos \frac{x}{2}$. Мы можем это сделать, так как если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то и $\sin \frac{x}{2} = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

$\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \sqrt{3}$

$\tan \frac{x}{2} = \sqrt{3}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 17x$. Мы можем это сделать, так как если $\cos 17x = 0$, то из уравнения следует $\sqrt{2} \sin 17x = 0$, что означает $\sin 17x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 17x + \cos^2 17x = 1$.

$\sqrt{2} \frac{\sin 17x}{\cos 17x} = \sqrt{6}$

$\sqrt{2} \tan 17x = \sqrt{6}$

$\tan 17x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$17x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$17x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 17, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

23.16. a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0;$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0.$

a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка вида $A \sin^2(f(x)) + B \sin(f(x))\cos(f(x)) + C \cos^2(f(x)) = 0$.

Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равным нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ следует, что $\sin^2 2x = 1$. Подставив $\cos 2x = 0$ в исходное уравнение, получим:

$2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 0$

$2 \sin^2 2x = 0$, что означает $\sin 2x = 0$.

Получили противоречие, так как $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$.

$\frac{2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{5 \sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$2 \tan^2 2x - 5 \tan 2x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan 2x$. Сделаем замену $t = \tan 2x$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{2} \arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0$

Это уравнение также является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка.

Проверим, может ли $\cos 3x$ быть равным нулю. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив $\cos 3x = 0$ в уравнение, получаем:

$3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$

$3 \sin^2 3x = 0$, что означает $\sin 3x = 0$.

Это противоречит основному тригонометрическому тождеству, так как $\sin 3x$ и $\cos 3x$ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $\cos 3x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 3x$:

$\frac{3 \sin^2 3x}{\cos^2 3x} + \frac{10 \sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{3 \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$3 \tan^2 3x + 10 \tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan 3x$:

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$t_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan 3x = -3$

$3x = \arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{3} \arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 3x = -\frac{1}{3}$

$3x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3} \arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

23.17. a) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2}$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} = 3\cos^2\frac{x}{2} $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2\frac{x}{2} $. Предварительно заметим, что $ \cos^2\frac{x}{2} \neq 0 $, так как если $ \cos^2\frac{x}{2} = 0 $, то из исходного уравнения следует, что и $ \sin^2\frac{x}{2} = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выполнив деление, получим:

$ \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 3 $

$ \tan^2\frac{x}{2} = 3 $

Из этого следует, что $ \tan\frac{x}{2} = \sqrt{3} $ или $ \tan\frac{x}{2} = -\sqrt{3} $. Можно объединить эти два случая в одно уравнение:

$ \frac{x}{2} = \pm \arctan(\sqrt{3}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 4x = \cos^2 4x $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = 0 $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, тогда $ 2\alpha = 8x $.

Уравнение принимает вид:

$ \cos(8x) = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решения для $ \cos(y) = 0 $ имеют вид $ y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Применительно к нашему уравнению:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k $

Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.