Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.22. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $ \cos x = \frac{1}{2} $, $ x \in [1; 6] $;

б) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right] $;

в) $ \cos x = -\frac{1}{2} $, $ x \in [2; 10] $;

г) $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right] $.

а) Общее решение уравнения $cos x = \frac{1}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[1; 6]$ рассмотрим каждую серию решений, подставляя целые значения $k$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
1. Серия $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1.05$. Так как $1 \le 1.05 \le 6$, этот корень подходит.
При $k \ge 1$, значения $x$ будут больше 6, а при $k \le -1$ – меньше 1.
2. Серия $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24$. Так как $1 \le 5.24 \le 6$, этот корень подходит.
При других целых значениях $k$ корни не попадают в заданный промежуток.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

б) Общее решение уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; 12]$ рассмотрим каждую серию решений. Приближенно, $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
1. Серия $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13.35$, что больше 12.
2. Серия $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень является левой границей промежутка и подходит.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.5$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=3$, $x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} \approx 18.06$, что больше 12.
Таким образом, найдено пять корней.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}$.

в) Общее решение уравнения $cos x = -\frac{1}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[2; 10]$ рассмотрим каждую серию решений.
1. Серия $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k \ge 2$, значения $x$ будут больше 10.
2. Серия $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ :
При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47$, что больше 10.
При $k \le 0$, значения $x$ будут меньше 2.
Таким образом, найдено три корня.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

г) Общее решение уравнения $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[-4; \frac{5\pi}{4}]$ рассмотрим каждую серию решений. Приближенно, $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$.
1. Серия $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
При $k=-1$, $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
2. Серия $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень является правой границей промежутка и подходит.
Таким образом, найдено четыре корня.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$.

22.23. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $ \cos x = \frac{1}{3} $, $ x \in [1; 6] $;

б) $ \cos x = -0,4 $, $ x \in [3; 11] $?

а)

Требуется найти количество корней уравнения $cos x = \frac{1}{3}$ на промежутке $x \in [1; 6]$.

Общее решение уравнения $cos x = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{1}{3}$, поэтому решения имеют вид: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

Чтобы определить, какие из этих корней попадают в заданный промежуток, оценим значение $arccos(\frac{1}{3})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, то угол $arccos(\frac{1}{3})$ находится между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,1416$. Тогда $\frac{\pi}{3} \approx 1,0472$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Следовательно, $1,0472 < arccos(\frac{1}{3}) < 1,5708$.

Теперь проверим, какие корни из общих серий решений попадают в интервал $[1; 6]$.

1. Рассмотрим серию корней $x = arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x_1 = arccos(\frac{1}{3})$. Так как $1 < 1,0472 < x_1 < 1,5708 < 6$, этот корень принадлежит промежутку $[1; 6]$.
• При $n=1$: $x = arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi > 1,0472 + 2 \cdot 3,1416 = 7,3304 > 6$. Этот и последующие корни ($n > 0$) не входят в промежуток.
• При $n<0$ корни будут отрицательными и также не войдут в промежуток.

2. Рассмотрим серию корней $x = -arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = -arccos(\frac{1}{3}) < 0$. Корень не входит в промежуток.
• При $n=1$: $x_2 = 2\pi - arccos(\frac{1}{3})$. Используя нашу оценку: $2\pi - 1,5708 < x_2 < 2\pi - 1,0472$. Это дает $6,2832 - 1,5708 < x_2 < 6,2832 - 1,0472$, то есть $4,7124 < x_2 < 5,236$. Этот корень принадлежит промежутку $[1; 6]$.
• При $n=2$: $x = 4\pi - arccos(\frac{1}{3}) > 4\pi - 1,5708 > 12,56 - 1,5708 = 10,9892 > 6$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня: $x_1 = arccos(\frac{1}{3})$ и $x_2 = 2\pi - arccos(\frac{1}{3})$.

Ответ: 2.

б)

Требуется найти количество корней уравнения $cos x = -0,4$ на промежутке $x \in [3; 11]$.

Общее решение уравнения: $x = \pm arccos(-0,4) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккосинуса: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. Тогда $arccos(-0,4) = \pi - arccos(0,4)$. Оценим значение $arccos(0,4)$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = 0,5$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $0 < 0,4 < 0,5$, то $\frac{\pi}{3} < arccos(0,4) < \frac{\pi}{2}$.

Используя $\pi \approx 3,1416$, получим $\frac{\pi}{3} \approx 1,0472$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Обозначим $\alpha = arccos(-0,4)$. Тогда $\alpha = \pi - arccos(0,4)$. Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi - \frac{\pi}{3}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{2\pi}{3}$. В числовом выражении: $1,5708 < \alpha < 2,0944$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[3; 11]$.

1. Рассмотрим серию корней $x = \alpha + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = \alpha$. Так как $1,5708 < \alpha < 2,0944$, этот корень не принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=1$: $x_1 = \alpha + 2\pi$. Используя оценку для $\alpha$: $1,5708 + 2 \cdot 3,1416 < x_1 < 2,0944 + 2 \cdot 3,1416$, то есть $7,854 < x_1 < 8,3776$. Этот корень принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=2$: $x = \alpha + 4\pi > 1,5708 + 4 \cdot 3,1416 > 14 > 11$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

2. Рассмотрим серию корней $x = -\alpha + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = -\alpha < 0$. Корень не входит в промежуток.
• При $n=1$: $x_2 = 2\pi - \alpha$. Используя оценку для $\alpha$: $2 \cdot 3,1416 - 2,0944 < x_2 < 2 \cdot 3,1416 - 1,5708$, то есть $4,1888 < x_2 < 4,7124$. Этот корень принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=2$: $x_3 = 4\pi - \alpha$. Используя оценку для $\alpha$: $4 \cdot 3,1416 - 2,0944 < x_3 < 4 \cdot 3,1416 - 1,5708$, то есть $10,472 < x_3 < 10,9956$. Этот корень также принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=3$: $x = 6\pi - \alpha > 6 \cdot 3,1416 - 2,0944 > 18 - 2,1 = 15,9 > 11$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет три корня.

Ответ: 3.

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

22.24. а) $\sin x = \frac{1}{2}$, $x \in [0; \pi]$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-\pi; \pi]$

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in [-\pi; 2\pi]$

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in [-2\pi; \pi]$

а) Решим уравнение $sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [0; \pi]$.
Общее решение уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; \pi]$:
- При $n=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$. Корень $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
- При $n=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Корень $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
- При $n=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$, что больше $\pi$.
- При отрицательных $n$ корни также не попадут в заданный промежуток.
Таким образом, на промежутке $[0; \pi]$ уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.
Общее решение уравнения $cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\pi; \pi]$:
- При $n=0$: $x = \pm \frac{2\pi}{3}$. Оба корня, $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$, принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
- При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Оба корня больше $\pi$.
- При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$. Оба корня меньше $-\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-\pi; \pi]$ уравнение имеет два корня.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 2\pi]$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то $x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\pi; 2\pi]$:
- При $n=-1$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + \pi(-1) = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Корень $-\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=0$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$. Корень $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=1$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень $\frac{5\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=2$: $x = (-1)^3 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень $\frac{7\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=3$: $x = (-1)^4 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 3 = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}$, что больше $2\pi$.
- При $n=-2$: $x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{4} + \pi(-2) = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$, что меньше $-\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-\pi; 2\pi]$ уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-2\pi; \pi]$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-2\pi; \pi]$:
- При $n=0$: $x = \pm \frac{\pi}{6}$. Оба корня, $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$, принадлежат промежутку $[-2\pi; \pi]$.
- При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Оба корня больше $\pi$.
- При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. Корень $-\frac{11\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-2\pi; \pi]$, так как $-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$.
$x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$. Этот корень меньше $-2\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-2\pi; \pi]$ уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$.

22.25. а) $\sin x = \frac{1}{2}, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$;

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$;

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in (-4; 3)$;

г) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x \in (-3; 6).$

a) Решим уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $ на интервале $ x \in (\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4}) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Это можно записать в виде двух серий решений:

$ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $ (\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4}) $. Оценим границы интервала в десятичной форме, используя $ \pi \approx 3.14 $: $ (\frac{1}{2}; \frac{11 \times 3.14}{4}) \approx (0.5; 8.635) $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 $. Так как $ 0.5 < 0.52 < 8.635 $, корень $ \frac{\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.8 $. Так как $ 0.5 < 6.8 < 8.635 $, корень $ \frac{13\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=2, x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09 $. Этот корень больше верхней границы интервала.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.62 $. Так как $ 0.5 < 2.62 < 8.635 $, корень $ \frac{5\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.9 $. Этот корень больше верхней границы интервала.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} $.

б) Решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $ на интервале $ x \in (-\frac{5\pi}{6}; 6) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-\frac{5\pi}{6}; 6) $. Оценим границы интервала: $ (-\frac{5 \times 3.14}{6}; 6) \approx (-2.62; 6) $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 $. Так как $ -2.62 < -0.52 < 6 $, корень $ -\frac{\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. Так как $ -2.62 < 5.76 < 6 $, корень $ \frac{11\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=2, x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \approx 12.04 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.8 $, что меньше -2.62.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 $. Так как $ -2.62 < 3.67 < 6 $, корень $ \frac{7\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 $. Этот корень совпадает с левой границей интервала, но интервал строгий (открытый), поэтому он не входит в решение.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $.

в) Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ x \in (-4; 3) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-4; 3) $. Используем $ \pi \approx 3.1416 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 $. Так как $ -4 < 0.785 < 3 $, корень $ \frac{\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07 $, что больше 3.
• При $ k=-1, x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -5.5 $, что меньше -4.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 $. Так как $ -4 < 2.356 < 3 $, корень $ \frac{3\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.64 $, что больше 3.
• При $ k=-1, x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927 $. Так как $ -4 < -3.927 < 3 $, корень $ -\frac{5\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=-2, x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4} \approx -10.21 $, что меньше -4.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} $.

г) Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ x \in (-3; 6) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-3; 6) $. Используем $ \pi \approx 3.1416 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 $. Так как $ -3 < -0.785 < 6 $, корень $ -\frac{\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498 $. Так как $ -3 < 5.498 < 6 $, корень $ \frac{7\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=2, x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.07 $, что меньше -3.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927 $. Так как $ -3 < 3.927 < 6 $, корень $ \frac{5\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356 $. Так как $ -3 < -2.356 < 6 $, корень $ -\frac{3\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=-2, x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8.64 $, что меньше -3.

Таким образом, на заданном интервале есть четыре корня.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $.