Страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.59. a) $\arccos x = \operatorname{arctg} x;$

б) $\arccos x = \arcsin x;$

в) $\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} x;$

г) $\arcsin x = \operatorname{arcctg} x.$

a) Решим уравнение $ \arccos x = \arctg x $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \arccos x $ определена при $ x \in [-1, 1] $. Функция $ \arctg x $ определена для всех действительных $ x $. Следовательно, ОДЗ для всего уравнения есть $ x \in [-1, 1] $.
Теперь рассмотрим области значений функций. Область значений $ \arccos x $ - это отрезок $ [0, \pi] $. Область значений $ \arctg x $ - это интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Для того чтобы равенство выполнялось, значение обеих функций должно находиться в пересечении этих областей, то есть в интервале $ [0, \frac{\pi}{2}) $.
Если $ \arctg x \ge 0 $, то $ x \ge 0 $. Учитывая ОДЗ, получаем, что возможное решение должно лежать в отрезке $ [0, 1] $.
Пусть $ y = \arccos x = \arctg x $. Из этого равенства следует система:
$ \cos y = x $
$ \tg y = x $
Приравнивая выражения для $ x $, получаем $ \cos y = \tg y $. Заменим $ \tg y $ на $ \frac{\sin y}{\cos y} $: $ \cos y = \frac{\sin y}{\cos y} $
$ \cos^2 y = \sin y $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 y = 1 - \sin^2 y $, получим: $ 1 - \sin^2 y = \sin y $
$ \sin^2 y + \sin y - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ \sin y $. Сделаем замену $ z = \sin y $: $ z^2 + z - 1 = 0 $
Находим корни по формуле: $ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Так как $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) $, то $ \sin y \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительный корень: $ \sin y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Нам нужно найти $ x $. Мы знаем, что $ x = \cos y $. Так как $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) $, то $ \cos y > 0 $. $ x = \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{5} - 2}{4}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.
Полученное значение $ x $ удовлетворяет условию $ x \in [0, 1] $.
Ответ: $ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.

б) Решим уравнение $ \arccos x = \arcsin x $.
ОДЗ для обеих функций $ \arccos x $ и $ \arcsin x $ - это $ x \in [-1, 1] $.
Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.
Подставим в это тождество $ \arccos x $ из данного уравнения: $ \arcsin x + \arcsin x = \frac{\pi}{2} $
$ 2\arcsin x = \frac{\pi}{2} $
$ \arcsin x = \frac{\pi}{4} $
Отсюда находим $ x $: $ x = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проверим, что корень входит в ОДЗ: $ -1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1 $. Условие выполняется. Подставив в исходное уравнение, получаем $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $ и $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, что является верным равенством.
Ответ: $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в) Решим уравнение $ \arcctg x = \arctg x $.
ОДЗ для обеих функций $ \arcctg x $ и $ \arctg x $ - это все действительные числа, $ x \in (-\infty, +\infty) $.
Воспользуемся тождеством: $ \arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2} $.
Подставим в это тождество $ \arcctg x $ из данного уравнения: $ \arctg x + \arctg x = \frac{\pi}{2} $
$ 2\arctg x = \frac{\pi}{2} $
$ \arctg x = \frac{\pi}{4} $
Отсюда находим $ x $: $ x = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.
Подставив в исходное уравнение, получаем $ \arcctg(1) = \frac{\pi}{4} $ и $ \arctg(1) = \frac{\pi}{4} $, что является верным равенством.
Ответ: $ x = 1 $.

г) Решим уравнение $ \arcsin x = \arcctg x $.
ОДЗ: функция $ \arcsin x $ определена при $ x \in [-1, 1] $, а $ \arcctg x $ - для всех действительных $ x $. ОДЗ уравнения: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений $ \arcsin x $ - это $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Область значений $ \arcctg x $ - это $ (0, \pi) $. Пересечение этих областей дает интервал $ (0, \frac{\pi}{2}] $.
Из $ \arcsin x > 0 $ следует, что $ x > 0 $. Таким образом, искомое решение должно лежать в полуинтервале $ x \in (0, 1] $.
Пусть $ y = \arcsin x = \arcctg x $. Из этого равенства следует система:
$ \sin y = x $
$ \ctg y = x $
Приравнивая выражения для $ x $, получаем $ \sin y = \ctg y $. Заменим $ \ctg y $ на $ \frac{\cos y}{\sin y} $: $ \sin y = \frac{\cos y}{\sin y} $
$ \sin^2 y = \cos y $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 y = 1 - \cos^2 y $, получим: $ 1 - \cos^2 y = \cos y $
$ \cos^2 y + \cos y - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ \cos y $. Сделаем замену $ z = \cos y $: $ z^2 + z - 1 = 0 $
Находим корни: $ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Так как $ y \in (0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \cos y \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительный корень: $ \cos y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Нам нужно найти $ x $. Мы знаем, что $ x = \sin y $. Так как $ y \in (0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \sin y > 0 $. $ x = \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{5} - 2}{4}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.
Полученное значение $ x $ удовлетворяет условию $ x \in (0, 1] $.
Ответ: $ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.

Решите неравенство:

21.60. a) $ \arccos x > \frac{3\pi}{4}; $

б) $ \operatorname{arctg} x > -\frac{\pi}{4}; $

в) $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4}; $

г) $ \operatorname{arcctg} x \le \frac{5\pi}{6}. $

а) Дано неравенство $ \arccos x > \frac{3\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $y \in [0, \pi]$.
Совместим данное неравенство с областью значений арккосинуса. Так как $\arccos x \le \pi$, получаем двойное неравенство: $ \frac{3\pi}{4} < \arccos x \le \pi $.
Функция косинус является монотонно убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, изменив при этом знаки неравенства на противоположные: $ \cos(\pi) \le \cos(\arccos x) < \cos(\frac{3\pi}{4}) $.
Вычислим значения: $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Таким образом, получаем: $ -1 \le x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Этот интервал входит в область определения $x \in [-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) Дано неравенство $ \arctan x > -\frac{\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arctan x$ есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Область значений функции $y = \arctan x$ есть интервал $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Совместим данное неравенство с областью значений арктангенса. Так как $\arctan x < \frac{\pi}{2}$, получаем двойное неравенство: $ -\frac{\pi}{4} < \arctan x < \frac{\pi}{2} $.
Функция тангенс является монотонно возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применим тангенс ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки неравенства: $ \tan(-\frac{\pi}{4}) < \tan(\arctan x) < \tan(\frac{\pi}{2}) $.
Вычислим значения: $ \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1 $. Предел $ \tan(y) $ при $ y \to \frac{\pi}{2}^- $ равен $+\infty$.
Таким образом, получаем: $ -1 < x < +\infty $.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.

в) Дано неравенство $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Сравним правую часть неравенства с максимальным значением арксинуса. Максимальное значение функции $\arcsin x$ равно $\frac{\pi}{2}$.
Поскольку $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $, а $ \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} $, то любое значение из области значений арксинуса $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ всегда будет меньше, чем $\frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, неравенство $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4} $ справедливо для всех $x$, при которых функция $\arcsin x$ определена.
Областью определения функции является отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

г) Дано неравенство $ \text{arcctg } x \le \frac{5\pi}{6} $.
Область определения функции $y = \text{arcctg } x$ есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Область значений функции $y = \text{arcctg } x$ есть интервал $y \in (0, \pi)$.
Совместим данное неравенство с областью значений арккотангенса. Так как $\text{arcctg } x > 0$, получаем двойное неравенство: $ 0 < \text{arcctg } x \le \frac{5\pi}{6} $.
Функция котангенс является монотонно убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим котангенс ко всем частям двойного неравенства, изменив при этом знаки неравенства на противоположные: $ \cot(\frac{5\pi}{6}) \le \cot(\text{arcctg } x) < \lim_{y \to 0^+} \cot(y) $.
Вычислим значения: $ \cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} $. Предел $ \cot(y) $ при $ y \to 0^+ $ равен $+\infty$.
Таким образом, получаем: $ -\sqrt{3} \le x < +\infty $.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, +\infty)$.

21.61. a) $9 \arcsin^2 x \le \pi^2;$

Б) $36 \operatorname{arctg}^2 x > \pi^2;$

В) $16 \arccos^2 x > \pi^2;$

Г) $9 \operatorname{arcctg}^2 x \le \pi^2.$

а)

Решим неравенство $9\arcsin^2 x \le \pi^2$.

Сначала разделим обе части неравенства на 9:

$\arcsin^2 x \le \frac{\pi^2}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\arcsin x| \le \frac{\pi}{3}$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-\frac{\pi}{3} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{3}$

Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Полученный нами интервал $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ полностью принадлежит области значений.

Функция $y = \sin t$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, сохранив знаки неравенства:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) \le \sin(\arcsin x) \le \sin(\frac{\pi}{3})$

Вычисляя значения синусов, получаем:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

Область определения функции $y=\arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Полученное решение $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ полностью входит в область определения.

Ответ: $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$.

б)

Решим неравенство $36\operatorname{arctg}^2 x > \pi^2$.

Разделим обе части на 36:

$\operatorname{arctg}^2 x > \frac{\pi^2}{36}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$|\operatorname{arctg} x| > \frac{\pi}{6}$

Это неравенство распадается на два случая:

1) $\operatorname{arctg} x > \frac{\pi}{6}$

2) $\operatorname{arctg} x < -\frac{\pi}{6}$

Рассмотрим первый случай. Учитывая, что область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, имеем $\frac{\pi}{6} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$. Так как функция $y = \operatorname{tg} t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, получаем:

$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) < x < \lim_{t \to \frac{\pi}{2}-} \operatorname{tg} t$

$\frac{1}{\sqrt{3}} < x < +\infty$, или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим второй случай. Учитывая область значений, имеем $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < -\frac{\pi}{6}$. Применяем возрастающую функцию тангенс:

$\lim_{t \to -\frac{\pi}{2}+} \operatorname{tg} t < x < \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$

$-\infty < x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$, или $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный результат. Область определения арктангенса — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $16\arccos^2 x > \pi^2$.

Разделим обе части на 16:

$\arccos^2 x > \frac{\pi^2}{16}$

Извлечем квадратный корень:

$|\arccos x| > \frac{\pi}{4}$

Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке $\arccos x$ всегда неотрицателен, поэтому $|\arccos x| = \arccos x$.

Неравенство принимает вид:

$\arccos x > \frac{\pi}{4}$

С учетом области значений, получаем двойное неравенство: $\frac{\pi}{4} < \arccos x \le \pi$.

Функция $y = \cos t$ является монотонно убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим ее ко всем частям неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\cos(\pi) \le x < \cos(\frac{\pi}{4})$

Вычисляя значения косинусов, получаем:

$-1 \le x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Область определения функции $y=\arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Полученное решение полностью входит в область определения.

Ответ: $x \in [-1; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

г)

Решим неравенство $9\operatorname{arcctg}^2 x \le \pi^2$.

Разделим обе части на 9:

$\operatorname{arcctg}^2 x \le \frac{\pi^2}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$|\operatorname{arcctg} x| \le \frac{\pi}{3}$

Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это интервал $(0, \pi)$. На этом интервале $\operatorname{arcctg} x$ всегда положителен, поэтому $|\operatorname{arcctg} x| = \operatorname{arcctg} x$.

Неравенство принимает вид:

$\operatorname{arcctg} x \le \frac{\pi}{3}$

С учетом области значений, получаем двойное неравенство: $0 < \operatorname{arcctg} x \le \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = \operatorname{ctg} t$ является монотонно убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим ее ко всем частям неравенства, изменив знаки на противоположные:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) \le x < \lim_{t \to 0+} \operatorname{ctg} t$

Вычисляя значения, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{3}} \le x < +\infty$, или $\frac{\sqrt{3}}{3} \le x < +\infty$.

Область определения арккотангенса — все действительные числа.

Ответ: $x \in [\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

21.62. a) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x < \pi^2$;

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x \ge \pi^2$;

в) $9 \arccos^2 x \le 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \operatorname{arcctg} x$.

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x < \pi^2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x - \pi^2 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arcsin x$. Учитывая область значений арксинуса, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Получим квадратное неравенство относительно $t$:
$8t^2 + 2\pi t - \pi^2 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8t^2 + 2\pi t - \pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2 = (6\pi)^2$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2\pi - 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$
$t_2 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$
Так как ветви параболы $y = 8t^2 + 2\pi t - \pi^2$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{4}$.
Учтем ограничение на $t$: $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Пересечение множеств $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ и $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ дает интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$.
Выполним обратную замену: $-\frac{\pi}{2} < \arcsin x < \frac{\pi}{4}$
Функция $y = \sin x$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому, применив ее ко всем частям неравенства, знаки неравенства сохранятся:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) < \sin(\arcsin x) < \sin(\frac{\pi}{4})$
$-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x \in (-1; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x \ge \pi^2$

Перенесем все члены в левую часть:
$18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 \ge 0$
Сделаем замену. Пусть $t = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса: $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Получим неравенство: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2 = (9\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$
$t_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le -\frac{\pi}{6}$ или $t \ge \frac{\pi}{3}$.
Учтем ограничение $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Получаем совокупность: $-\frac{\pi}{2} < t \le -\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{3} \le t < \frac{\pi}{2}$.
Возвращаемся к $x$: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x \le -\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{3} \le \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{2}) < x \le \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$ или $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) \le x < \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$.
Поскольку $\operatorname{tg} y \to -\infty$ при $y \to -\frac{\pi}{2}^+$ и $\operatorname{tg} y \to +\infty$ при $y \to \frac{\pi}{2}^-$, получаем: $-\infty < x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\sqrt{3} \le x < +\infty$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$.

в) $9 \arccos^2 x \le 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перепишем неравенство в виде:
$9 \arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 \le 0$
Пусть $t = \arccos x$. Область значений арккосинуса: $t \in [0, \pi]$.
Получим неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 \le 0$
Найдем корни уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{9\pi - 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$
$t_2 = \frac{9\pi + 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$.
Этот отрезок полностью входит в область значений арккосинуса $[0, \pi]$.
Сделаем обратную замену: $\frac{\pi}{3} \le \arccos x \le \frac{2\pi}{3}$
Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0, \pi]$, поэтому при применении ее ко всем частям двойного неравенства знаки неравенства меняются на противоположные:
$\cos(\frac{\pi}{3}) \ge \cos(\arccos x) \ge \cos(\frac{2\pi}{3})$
$\frac{1}{2} \ge x \ge -\frac{1}{2}$
Или, в более привычном виде: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \operatorname{arcctg} x$

Перенесем все члены в левую часть:
$16 \operatorname{arcctg}^2 x - 16\pi \operatorname{arcctg} x + 3\pi^2 > 0$
Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса: $t \in (0, \pi)$.
Получим неравенство: $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 > 0$
Найдем корни уравнения $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 = 0$.
Найдем $D/4$ (формула для четного второго коэффициента): $D/4 = (-8\pi)^2 - 16 \cdot (3\pi^2) = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2 = (4\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{8\pi - 4\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$
$t_2 = \frac{8\pi + 4\pi}{16} = \frac{12\pi}{16} = \frac{3\pi}{4}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $t < \frac{\pi}{4}$ или $t > \frac{3\pi}{4}$.
Учтем ограничение $t \in (0, \pi)$. Получаем совокупность: $0 < t < \frac{\pi}{4}$ или $\frac{3\pi}{4} < t < \pi$.
Возвращаемся к $x$: $0 < \operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{4}$ или $\frac{3\pi}{4} < \operatorname{arcctg} x < \pi$.
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0, \pi)$, поэтому знаки неравенств меняются:
Для первого неравенства: $\operatorname{ctg}(0) > x > \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$. Поскольку $\operatorname{ctg} y \to +\infty$ при $y \to 0^+$, получаем $x > 1$.
Для второго неравенства: $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) > x > \operatorname{ctg}(\pi)$. Поскольку $\operatorname{ctg} y \to -\infty$ при $y \to \pi^-$, получаем $-1 > x$, то есть $x < -1$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

21.63. На сколько процентов:

а) число $\arccos (\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{7\pi}{3}\right)$;

б) число $\arccos (\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$;

в) число $\arcsin \left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$ меньше числа

$\arccos (\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$;

г) число $\arccos (\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)$?

а)

Чтобы определить, на сколько процентов первое число больше второго, сначала найдем значения этих чисел. Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 45^\circ + \cos 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{7\pi}{3})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$, по формуле: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{3\pi - \pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{6}{\pi} \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$.

Ответ: на 200%.

б)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$

Вычислим выражение в скобках:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

$\sin 30^\circ + \cos 120^\circ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{9\pi}{4})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi - \pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$.

Ответ: на 100%.

в)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arcsin(\cos \frac{9\pi}{4})$

Как мы вычислили в пункте б), $A = \frac{\pi}{4}$.

$B = \arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$

Как мы вычислили в пункте б), $B = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим, на сколько процентов число $A$ меньше числа $B$. За базу для сравнения принимаем число $B$. Формула: $\frac{B - A}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi - \pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

г)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$

Вычислим выражение в скобках:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 60^\circ + \cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{13\pi}{6})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\frac{3\pi - 2\pi}{6}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{\pi} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

21.64. На сколько:

а) число $ctg(arctg 4)$ меньше числа $tg(arcctg(0,8));$

б) число $tg^2(arccos(-0,25))$ больше числа $tg^2(arccos(-0,5));$

в) число $tg^2(arccos 0,5)$ меньше числа $ctg^2\left(arcsin \frac{1}{3}\right);$

г) число $ctg^2(arcsin(-0,2))$ больше числа $tg^2\left(arccos \frac{1}{3}\right)?$

а) Требуется найти разность между числом $tg(arcctg(0,8))$ и числом $ctg(arctg 4)$.
Воспользуемся известными тождествами: $ctg(arctg\,x) = \frac{1}{x}$ и $tg(arcctg\,x) = \frac{1}{x}$ при $x \neq 0$.
Вычислим значение первого выражения:
$ctg(arctg 4) = \frac{1}{4} = 0,25$.
Вычислим значение второго выражения:
$tg(arcctg(0,8)) = \frac{1}{0,8} = \frac{1}{8/10} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Найдем, на сколько первое число меньше второго, вычислив их разность:
$1,25 - 0,25 = 1$.
Ответ: на 1.

б) Требуется найти разность между числом $tg^2(arccos(-0,25))$ и числом $tg^2(arccos(-0,5))$.
Воспользуемся тождеством $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$, из которого следует, что $tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)} - 1$.
Вычислим значение первого выражения. Пусть $\alpha = arccos(-0,25)$, тогда $cos(\alpha) = -0,25 = -\frac{1}{4}$.
$tg^2(arccos(-0,25)) = \frac{1}{cos^2(arccos(-0,25))} - 1 = \frac{1}{(-1/4)^2} - 1 = \frac{1}{1/16} - 1 = 16 - 1 = 15$.
Вычислим значение второго выражения. Пусть $\beta = arccos(-0,5)$, тогда $cos(\beta) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
$tg^2(arccos(-0,5)) = \frac{1}{cos^2(arccos(-0,5))} - 1 = \frac{1}{(-1/2)^2} - 1 = \frac{1}{1/4} - 1 = 4 - 1 = 3$.
Найдем, на сколько первое число больше второго, вычислив их разность:
$15 - 3 = 12$.
Ответ: на 12.

в) Требуется найти разность между числом $ctg^2(arcsin\frac{1}{3})$ и числом $tg^2(arccos\,0,5)$.
Сначала вычислим $tg^2(arccos\,0,5)$. Известно, что $arccos\,0,5 = \frac{\pi}{3}$.
$tg(arccos\,0,5) = tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $tg^2(arccos\,0,5) = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Теперь вычислим $ctg^2(arcsin\frac{1}{3})$. Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)}$, из которого $ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)} - 1$.
Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$, тогда $sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.
$ctg^2(arcsin\frac{1}{3}) = \frac{1}{sin^2(arcsin\frac{1}{3})} - 1 = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = \frac{1}{1/9} - 1 = 9 - 1 = 8$.
Найдем, на сколько первое число меньше второго, вычислив их разность:
$8 - 3 = 5$.
Ответ: на 5.

г) Требуется найти разность между числом $ctg^2(arcsin(-0,2))$ и числом $tg^2(arccos\frac{1}{3})$.
Сначала вычислим $ctg^2(arcsin(-0,2))$. Воспользуемся тождеством $ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)} - 1$.
Пусть $\alpha = arcsin(-0,2)$, тогда $sin(\alpha) = -0,2 = -\frac{1}{5}$.
$ctg^2(arcsin(-0,2)) = \frac{1}{sin^2(arcsin(-0,2))} - 1 = \frac{1}{(-1/5)^2} - 1 = \frac{1}{1/25} - 1 = 25 - 1 = 24$.
Теперь вычислим $tg^2(arccos\frac{1}{3})$. Воспользуемся тождеством $tg^2(\beta) = \frac{1}{cos^2(\beta)} - 1$.
Пусть $\beta = arccos\frac{1}{3}$, тогда $cos(\beta) = \frac{1}{3}$.
$tg^2(arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{cos^2(arccos\frac{1}{3})} - 1 = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = \frac{1}{1/9} - 1 = 9 - 1 = 8$.
Найдем, на сколько первое число больше второго, вычислив их разность:
$24 - 8 = 16$.
Ответ: на 16.

21.65. Решите уравнение:

a) $2x^3 - x + 4 = 10x^2 + 2 \cos(\arccos(0,5x - 3));$

б) $\sin(\arcsin (5x - 4)) = \sqrt{10x + 16}.$

а) $2x^3 - x + 4 = 10x^2 + 2 \cos(\arccos(0,5x - 3))$

Решение начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от –1 до 1 включительно:
$-1 \le 0,5x - 3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$2 \le 0,5x \le 4$
Умножим все части на 2:
$4 \le x \le 8$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [4; 8]$.

На этой области справедливо тождество $\cos(\arccos(y)) = y$. Упростим правую часть уравнения:
$2 \cos(\arccos(0,5x - 3)) = 2(0,5x - 3) = x - 6$

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2x^3 - x + 4 = 10x^2 + x - 6$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить кубическое уравнение:
$2x^3 - 10x^2 - x - x + 4 + 6 = 0$
$2x^3 - 10x^2 - 2x + 10 = 0$
Разделим обе части на 2:
$x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x - 5) - 1(x - 5) = 0$
$(x^2 - 1)(x - 5) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 5$.

Теперь проверим, какие из найденных корней принадлежат области допустимых значений $x \in [4; 8]$.
Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ.
Корень $x = -1$ не принадлежит ОДЗ.
Корень $x = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $4 \le 5 \le 8$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 5.

б) $\sin(\arcsin(5x - 4)) = \sqrt{10x + 16}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется двумя условиями:
1. Аргумент функции арксинус должен быть в пределах от –1 до 1:
$-1 \le 5x - 4 \le 1$
$3 \le 5x \le 5$
$0,6 \le x \le 1$
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$10x + 16 \ge 0$
$10x \ge -16$
$x \ge -1,6$

Пересечением этих двух условий является отрезок $[0,6; 1]$.

На области $x \in [0,6; 1]$ справедливо тождество $\sin(\arcsin(y)) = y$. Уравнение принимает вид:
$5x - 4 = \sqrt{10x + 16}$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Поскольку правая часть (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:
$5x - 4 \ge 0$
$5x \ge 4$
$x \ge 0,8$

Объединяя это условие с найденной ранее ОДЗ $[0,6; 1]$, получаем итоговую область для корней уравнения: $x \in [0,8; 1]$.

Теперь возведем обе части уравнения $5x - 4 = \sqrt{10x + 16}$ в квадрат:
$(5x - 4)^2 = 10x + 16$
$25x^2 - 40x + 16 = 10x + 16$
$25x^2 - 50x = 0$

Вынесем общий множитель $25x$:
$25x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Проверим, принадлежат ли эти корни итоговой области допустимых значений $x \in [0,8; 1]$.
Корень $x = 0$ не принадлежит отрезку $[0,8; 1]$.
Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[0,8; 1]$.

Поскольку ни один из найденных корней не удовлетворяет ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.