Страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.14. а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;

г) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Решим уравнение $ctg x = 1$.
Общее решение уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 1$, поэтому $x = arcctg(1) + \pi n$.
Значение арккотангенса единицы — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg x = \sqrt{3}$.
Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдём значение $arcctg(\sqrt{3})$. Это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, решение уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $ctg x = 0$.
Общее решение имеет вид: $x = arcctg(0) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $arcctg(0)$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Подставляя это значение в формулу, получаем: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение: $x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.15. a) $ctg x = -\sqrt{3}$;

б) $ctg x = -1$;

В) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Г) $ctg x = -5$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$.

Общая формула для решения уравнения $ctg x = a$ имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Подставляем это значение в формулу:

$x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$.

Для нахождения значения арккотангенса отрицательного числа используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Следовательно, $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -1$.

Используем общую формулу для решения $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -1$, поэтому:

$x = arcctg(-1) + \pi n$.

Применяем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, значит $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значение: $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Общее решение уравнения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение ищется по формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.

Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Известно, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Находим значение: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение уравнения:

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -5$.

Общее решение уравнения $ctg x = a$ имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -5$, решение записывается как:

$x = arcctg(-5) + \pi n$.

Значение $arcctg(-5)$ не является табличным значением, поэтому ответ принято оставлять в такой форме, выраженной через функцию арккотангенса.

Также можно представить ответ, используя тождество $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$: $x = \pi - arcctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Обе формы записи эквивалентны и верны.

Ответ: $x = arcctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.16. a) $\text{tg}^2 x - 3 = 0;$

б) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x = 0;$

В) $4 \text{tg}^2 x - 9 = 0;$

Г) $3 \text{tg}^2 x - 2 \text{tg} x = 0.$

а) Дано уравнение $tg^2 x - 3 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $tg x$. Перенесем свободный член в правую часть: $tg^2 x = 3$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим два случая: $tg x = \sqrt{3}$ или $tg x = -\sqrt{3}$.
Найдем решения для каждого случая:
1. Для $tg x = \sqrt{3}$, серия решений имеет вид $x = arctg(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Для $tg x = -\sqrt{3}$, серия решений имеет вид $x = arctg(-\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $2tg^2 x + 3tg x = 0$.
Вынесем общий множитель $tg x$ за скобки: $tg x (2tg x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:
1. $tg x = 0$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(0) + \pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $2tg x + 3 = 0$. Отсюда $2tg x = -3$, и $tg x = -\frac{3}{2}$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(-\frac{3}{2}) + \pi k$, что можно записать как $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение имеет две серии решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $4tg^2 x - 9 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $tg x$. Выразим $tg^2 x$: $4tg^2 x = 9$
$tg^2 x = \frac{9}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим два случая: $tg x = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ или $tg x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$.
Найдем решения для каждого случая:
1. Для $tg x = \frac{3}{2}$, серия решений имеет вид $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Для $tg x = -\frac{3}{2}$, серия решений имеет вид $x = arctg(-\frac{3}{2}) + \pi k$, что равносильно $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить.
Ответ: $x = \pm arctg(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $3tg^2 x - 2tg x = 0$.
Вынесем общий множитель $tg x$ за скобки: $tg x (3tg x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:
1. $tg x = 0$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(0) + \pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $3tg x - 2 = 0$. Отсюда $3tg x = 2$, и $tg x = \frac{2}{3}$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение имеет две серии решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

22.17. a) $\operatorname{tg}^2 x - 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0;$

б) $\operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0.$

а) $tg^2x - 6tgx + 5 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $tgx$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = tgx$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Подбором находим корни:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 5$

Отсюда следует, что $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $t = 1$, то $tgx = 1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = arctg(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t = 5$, то $tgx = 5$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $tg^2x - 2tgx - 3 = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $tgx$. Произведем замену переменной: пусть $t = tgx$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -1$, то $tgx = -1$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t = 3$, то $tgx = 3$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Исходное уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

22.18. a) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0.$

а) $sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арксинуса от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса от $-\frac{1}{2}$ равно $\frac{2\pi}{3}$ (так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$).

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$

$x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin\frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{4}$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арксинуса от $\frac{1}{2}$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \cdot ((-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k)$

$x = (-1)^k \frac{4\pi}{6} + 4\pi k$

Сократив дробь, получаем:

$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 4x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\cos(t) = 0$.

Решение уравнения $\cos(t) = 0$ записывается формулой $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 4x$.

Подставляем $t$ в формулу решения:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

22.19. a) $\sin \left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\operatorname{tg}(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) = 1.$

а) $sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Используем свойство нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на -1:
$sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$
$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Используем свойство нечетности функции тангенс: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$4x = arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$
Поскольку $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$4x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(-\frac{x}{2}) = 1$
Используем свойство нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-ctg(\frac{x}{2}) = 1$
$ctg(\frac{x}{2}) = -1$
Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = -1$.
$\frac{x}{2} = arcctg(-1) + \pi n$
Поскольку $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.20. a) $2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$

б) $\sqrt{3} \tan \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3;$

в) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

г) $\sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0.$

а) Исходное уравнение: $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$. Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае, аргумент $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$. Значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.Подставляем значения в формулу:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.Теперь выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.Разобьем решение на два случая:1) С плюсом: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Умножая обе части на 2, получаем $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.2) С минусом: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$. Умножая обе части на 2, получаем $x = 4\pi n$.Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$. Разделим обе части на $\sqrt{3}$:$\tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$.Общее решение для уравнения вида $\tan(t) = a$ находится по формуле $t = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В данном случае $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$. Значение $\arctan(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$.Подставляем значения в формулу:$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi n$.Выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$.Теперь умножим обе части на 3:$x = 3 \cdot \left(\frac{\pi}{6} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$. Разделим обе части на 2:$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Общее решение для уравнения вида $\sin(t) = a$ записывается совокупностью двух серий решений: $t = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Аргумент $t = 3x - \frac{\pi}{4}$. Значение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ равно $-\frac{\pi}{4}$.Рассмотрим обе серии решений:1) $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.$3x = 2\pi n$.$x = \frac{2\pi n}{3}$.2) $3x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.$3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.$x = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$.Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -1$.Это частный случай решения уравнения для синуса. Равенство $\sin(t) = -1$ достигается при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В нашем уравнении аргумент $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.Приравниваем аргумент к решению:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.Умножим обе части на 2:$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

22.21. а) $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -1; $

б) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1; $

в) $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

г) $ 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sqrt{2}. $

а) Дано тригонометрическое уравнение $cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -1$. Это частный случай, решение которого находится из условия, что аргумент косинуса равен $\pi$ плюс целое число полных оборотов. То есть, $\frac{\pi}{6} - 2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Выразим $x$ из этого уравнения. Сначала изолируем слагаемое с $x$: $-2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $-2x = \frac{6\pi - \pi}{6} + 2\pi n$ $-2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ Теперь разделим обе части уравнения на -2: $x = -\frac{5\pi}{12} - \pi n$, где $n \in Z$. Поскольку $n$ может быть любым целым числом, то $-n$ также является любым целым числом. Для удобства можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in Z$. $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $tg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -1$. Общее решение уравнения $tg(t) = a$ записывается формулой $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$. В данном случае $a = -1$, и $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$. Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть: $-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $-\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi n$ $-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ Умножим обе части на -2: $x = (-\frac{\pi}{2}) \cdot (-2) + (\pi n) \cdot (-2)$ $x = \pi - 2\pi n$, где $n \in Z$. Заменяя $-n$ на $k$ (где $k$ - любое целое число), получим более стандартную форму записи: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

в) Дано уравнение $2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \sqrt{3}$. Сначала упростим его, разделив обе части на 2: $\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ представляет собой совокупность двух серий корней: $t = arcsin(a) + 2\pi n$ и $t = \pi - arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. Для $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Рассмотрим обе серии решений:
1) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = 2\pi n$
$x = -8\pi n$, где $n \in Z$.
2) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi n$, где $n \in Z$.
Заменив в обеих сериях $-n$ на $k$, где $k \in Z$, получим:
Ответ: $x = 8\pi k$; $x = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$, где $k \in Z$.

г) Дано уравнение $2\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \sqrt{2}$. Разделим обе части на 2: $\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ дается формулой $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. Для $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\frac{\pi}{4} - 3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Рассмотрим два случая, соответствующие знакам "+" и "-":
1) $\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = 2\pi n$
$x = -\frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
2) $\frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Запишем обе серии решений, заменив $-n$ на $k$, где $k \in Z$:
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.