Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

22.53. а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$;

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$.

а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$

Для нахождения области значений функции сначала определим ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это дает нам следующее условие:

$-\cos^2 x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный:

$\cos^2 x \le 0$

С другой стороны, мы знаем, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $\cos^2 x \ge 0$ для любого значения $x$.

Единственное число, которое одновременно меньше или равно нулю и больше или равно нулю, — это ноль. Следовательно, единственным возможным решением является равенство:

$\cos^2 x = 0$

Отсюда следует, что $\cos x = 0$.

Это уравнение справедливо для значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции состоит из дискретного набора точек. Теперь подставим условие $\cos x = 0$ в исходную функцию:

$y = \sin x + \sqrt{-(\cos x)^2} = \sin x + \sqrt{-0^2} = \sin x + 0 = \sin x$

Итак, нам нужно найти значения, которые принимает $\sin x$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — четное число (т.е. $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение синуса равно $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Если $n$ — нечетное число (т.е. $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение синуса равно $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Таким образом, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции — это множество, состоящее из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-\sin^2 x \ge 0$

Умножив на -1, получаем:

$\sin^2 x \le 0$

Поскольку $\sin^2 x \ge 0$ для всех действительных $x$, единственное решение этого неравенства — это равенство:

$\sin^2 x = 0$

Отсюда следует, что $\sin x = 0$.

Это уравнение имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь, зная область определения, мы можем упростить исходную функцию для этих значений $x$. Подставляем $\sin x = 0$ в функцию:

$y = \cos x + \sqrt{-(\sin x)^2} = \cos x + \sqrt{-0^2} = \cos x + 0 = \cos x$

Теперь нам нужно найти, какие значения принимает $\cos x$ при $x = \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — четное число (т.е. $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = 2\pi k$. В этих точках значение косинуса равно $\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$.

2. Если $n$ — нечетное число (т.е. $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = (2k+1)\pi = \pi + 2\pi k$. В этих точках значение косинуса равно $\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.

22.54. a) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$;

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$.

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$\cos^2 3x - 1 \ge 0$

$\cos^2 3x \ge 1$

Известно, что для любого действительного аргумента значение функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$. Следовательно, квадрат косинуса, $\cos^2 3x$, не может быть больше 1, то есть $\cos^2 3x \le 1$.

Таким образом, неравенство $\cos^2 3x \ge 1$ может выполняться только в единственном случае, когда $\cos^2 3x = 1$.

При выполнении этого условия выражение под корнем обращается в ноль: $\sqrt{\cos^2 3x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Тогда исходная функция упрощается до вида: $y = \cos 3x + 0 = \cos 3x$.

Функция определена только для тех значений $x$, при которых $\cos^2 3x = 1$, что равносильно совокупности уравнений: $\cos 3x = 1$ или $\cos 3x = -1$.

Следовательно, значения, которые может принимать функция $y = \cos 3x$, это 1 и -1. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1; 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\sin^2 4x - 1 \ge 0$

$\sin^2 4x \ge 1$

Поскольку значение функции синус лежит в промежутке $[-1, 1]$, то $\sin^2 4x$ не может превышать 1, то есть $\sin^2 4x \le 1$.

Следовательно, неравенство $\sin^2 4x \ge 1$ выполняется только при условии, что $\sin^2 4x = 1$.

При этом условии подкоренное выражение равно нулю: $\sqrt{\sin^2 4x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Исходная функция принимает вид: $y = \sin 2x + 0 = \sin 2x$.

Найдем, при каких значениях $x$ выполняется условие $\sin^2 4x = 1$. Это равносильно тому, что $\sin 4x = 1$ или $\sin 4x = -1$.

Общее решение для $\sin 4x = \pm 1$ имеет вид $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим допустимые значения $x$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие значения принимает функция $y = \sin 2x$ при этих значениях $x$. Подставим выражение для $x$:

$2x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Итак, нам нужно найти значения выражения $y = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\right)$ для целых $k$.

Аргумент синуса $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ соответствует углам, которые являются серединами координатных четвертей на единичной окружности ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ и т.д.). В этих точках синус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (в I и II четвертях) и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (в III и IV четвертях).

Например:

при $k=0$: $y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=1$: $y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=2$: $y = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=3$: $y = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, область значений функции состоит только из двух чисел.

Ответ: $E(y) = \left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

22.55. Решите уравнение:

а) $ |\sin x| = |\cos x|; $

б) $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2|\cos x|; $

в) $ |\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|; $

г) $ \sqrt{2} \operatorname{tg} x + 2|\sin x| = 0. $

а) $|\sin x| = |\cos x|$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней.

$|\sin x|^2 = |\cos x|^2$

$\sin^2 x = \cos^2 x$

Перенесем все в левую часть:

$\sin^2 x - \cos^2 x = 0$

Умножим на $-1$ и воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$\cos^2 x - \sin^2 x = 0$

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3}\ctg x = 2|\cos x|$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием котангенса: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем определение котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x} = 2|\cos x|$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

В этом случае $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подставим их в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{3}\ctg(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Правая часть: $2|\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)| = 2 \cdot |0| = 0$.

Поскольку $0=0$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является решением уравнения.

Случай 2: $\cos x \neq 0$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $|\cos x|$, что приводит к уравнению:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot |\cos x|} = 2$

Теперь нужно раскрыть модуль, рассмотрев знаки $\cos x$.

Подслучай 2.1: $\cos x > 0$. Тогда $|\cos x| = \cos x$. Уравнение упрощается:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot \cos x} = 2 \implies \frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы ищем углы, для которых $\cos x > 0$ (I и IV четверти) и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяют только углы из I четверти. Следовательно, решением будет серия $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Подслучай 2.2: $\cos x < 0$. Тогда $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot (-\cos x)} = 2 \implies -\frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы ищем углы, для которых $\cos x < 0$ (II и III четверти) и $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяют только углы из III четверти. Следовательно, решением будет серия $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (или, что то же самое, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3}\cos 2x|$

Используя свойство модуля $|ab|=|a||b|$, перепишем уравнение:

$|\sin 2x| = \sqrt{3}|\cos 2x|$

Заметим, что $\cos 2x \neq 0$, так как если $\cos 2x = 0$, то $|\sin 2x|=1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $|\cos 2x|$.

$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \sqrt{3}$

Используя свойство $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ и определение тангенса:

$|\tg 2x| = \sqrt{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $\tg 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Обе серии решений можно записать одной формулой.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2}\tg x + 2|\sin x| = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\tg x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x = 0$.

Это соответствует $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подстановка в уравнение дает:

$\sqrt{2}\tg(\pi n) + 2|\sin(\pi n)| = \sqrt{2} \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$.

Равенство $0=0$ верное, значит, $x = \pi n$ — это серия решений.

Случай 2: $\sin x \neq 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки:

$|\sin x| \left( \sqrt{2}\frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 \right) = 0$

Поскольку $|\sin x| \neq 0$, выражение в скобках должно быть равно нулю:

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев знаки $\sin x$.

Подслучай 2.1: $\sin x > 0$. Тогда $|\sin x| = \sin x$.

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{\sin x \cos x} + 2 = 0 \implies \frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем решения, удовлетворяющие условиям $\sin x > 0$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует II координатной четверти. Решением является $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Подслучай 2.2: $\sin x < 0$. Тогда $|\sin x| = -\sin x$.

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{(-\sin x) \cos x} + 2 = 0 \implies -\frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем решения, удовлетворяющие условиям $\sin x < 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует IV координатной четверти. Решением является $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

22.56. a) $(2x - 3) |\sin x| = \sin x;$

б) $(3x - 7) \cos x = 5 |\cos x|.$

а) Для решения уравнения $(2x - 3)|\sin x| = \sin x$ рассмотрим три случая, основанных на значении $\sin x$.

1. Пусть $\sin x = 0$.
В этом случае уравнение превращается в тождество: $(2x - 3) \cdot 0 = 0$, то есть $0 = 0$. Это верно для любого $x$, при котором $\sin x = 0$.
Следовательно, все корни уравнения $\sin x = 0$ являются решениями исходного уравнения.
Это серия решений $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Пусть $\sin x > 0$.
При этом условии $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:
$(2x - 3)\sin x = \sin x$
Поскольку $\sin x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:
$2x - 3 = 1$
$2x = 4$
$x = 2$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x = 2$ условию $\sin x > 0$. Угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$), а синус во второй четверти положителен. Таким образом, $\sin(2) > 0$, и $x = 2$ является решением.

3. Пусть $\sin x < 0$.
При этом условии $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:
$(2x - 3)(-\sin x) = \sin x$
Поскольку $\sin x \neq 0$, делим обе части на $\sin x$:
$-(2x - 3) = 1$
$-2x + 3 = 1$
$-2x = -2$
$x = 1$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = 1$ условию $\sin x < 0$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти (так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), а синус в первой четверти положителен. Таким образом, $\sin(1) > 0$, что противоречит условию $\sin x < 0$. Значит, $x = 1$ не является решением.

Объединяя все найденные решения из рассмотренных случаев, получаем полный ответ.
Ответ: $x = 2; x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $(3x - 7)\cos x = 5|\cos x|$ рассмотрим три случая, основанных на значении $\cos x$.

1. Пусть $\cos x = 0$.
В этом случае уравнение превращается в тождество: $(3x - 7) \cdot 0 = 5 \cdot 0$, то есть $0 = 0$. Это верно для любого $x$, при котором $\cos x = 0$.
Следовательно, все корни уравнения $\cos x = 0$ являются решениями исходного уравнения.
Это серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Пусть $\cos x > 0$.
При этом условии $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:
$(3x - 7)\cos x = 5\cos x$
Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$3x - 7 = 5$
$3x = 12$
$x = 4$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x = 4$ условию $\cos x > 0$. Угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти (так как $\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$), а косинус в третьей четверти отрицателен. Таким образом, $\cos(4) < 0$, что противоречит условию $\cos x > 0$. Значит, $x = 4$ не является решением.

3. Пусть $\cos x < 0$.
При этом условии $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:
$(3x - 7)\cos x = 5(-\cos x)$
Поскольку $\cos x \neq 0$, делим обе части на $\cos x$:
$3x - 7 = -5$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{2}{3}$ условию $\cos x < 0$. Угол в $\frac{2}{3}$ радиана ($\approx 0.67$ рад) находится в первой координатной четверти (так как $0 < \frac{2}{3} < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), а косинус в первой четверти положителен. Таким образом, $\cos(\frac{2}{3}) > 0$, что противоречит условию $\cos x < 0$. Значит, $x = \frac{2}{3}$ не является решением.

Таким образом, решениями являются только те значения $x$, при которых $\cos x = 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

22.57. a) $x^2 |\text{tg} x| + 9\text{tg} x = 0;$

б) $x^2 \text{ctg} x - 4|\text{ctg} x| = 0.$

а) $x^2 |\operatorname{tg} x| + 9 \operatorname{tg} x = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $\operatorname{tg} x$.

1. Если $\operatorname{tg} x = 0$.
Подставив в исходное уравнение, получим $x^2 \cdot |0| + 9 \cdot 0 = 0$, что равно $0 = 0$. Это верное равенство, следовательно, все $x$, для которых $\operatorname{tg} x = 0$, являются решениями уравнения.
Решением уравнения $\operatorname{tg} x = 0$ является серия корней $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения входят в ОДЗ.

2. Если $\operatorname{tg} x > 0$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{tg} x + 9 \operatorname{tg} x = 0$
$\operatorname{tg} x (x^2 + 9) = 0$
Так как по условию $\operatorname{tg} x > 0$, а выражение $x^2 + 9$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, то в этом случае уравнение не имеет решений.

3. Если $\operatorname{tg} x < 0$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 (-\operatorname{tg} x) + 9 \operatorname{tg} x = 0$
$\operatorname{tg} x (-x^2 + 9) = 0$
Так как по условию $\operatorname{tg} x < 0$, то множитель $\operatorname{tg} x$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство:
$-x^2 + 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x = 3$ или $x = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $\operatorname{tg} x < 0$.
Для $x=3$: число 3 находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$. Это вторая четверть, где тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg} 3 < 0$. Условие выполняется, $x=3$ является корнем.
Для $x=-3$: $\operatorname{tg}(-3) = -\operatorname{tg}(3)$. Так как $\operatorname{tg}(3) < 0$, то $-\operatorname{tg}(3) > 0$. Условие $\operatorname{tg}(-3) < 0$ не выполняется. Значит, $x=-3$ не является корнем.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$; $x = 3$.

б) $x^2 \operatorname{ctg} x - 4 |\operatorname{ctg} x| = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $\operatorname{ctg} x$.

1. Если $\operatorname{ctg} x = 0$.
Подставив в исходное уравнение, получим $x^2 \cdot 0 - 4 \cdot |0| = 0$, что равно $0 = 0$. Это верное равенство, следовательно, все $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 0$, являются решениями уравнения.
Решением уравнения $\operatorname{ctg} x = 0$ является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения входят в ОДЗ.

2. Если $\operatorname{ctg} x > 0$.
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{ctg} x - 4 \operatorname{ctg} x = 0$
$\operatorname{ctg} x (x^2 - 4) = 0$
Так как по условию $\operatorname{ctg} x > 0$, то множитель $\operatorname{ctg} x$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство:
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = 2$ или $x = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $\operatorname{ctg} x > 0$.
Для $x=2$: число 2 находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$. Это вторая четверть, где котангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{ctg} 2 < 0$. Условие не выполняется, $x=2$ не является корнем.
Для $x=-2$: $\operatorname{ctg}(-2) = -\operatorname{ctg}(2)$. Так как $\operatorname{ctg}(2) < 0$, то $-\operatorname{ctg}(2) > 0$. Условие $\operatorname{ctg}(-2) > 0$ выполняется. Значит, $x=-2$ является корнем.

3. Если $\operatorname{ctg} x < 0$.
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{ctg} x - 4(-\operatorname{ctg} x) = 0$
$x^2 \operatorname{ctg} x + 4 \operatorname{ctg} x = 0$
$\operatorname{ctg} x (x^2 + 4) = 0$
Так как по условию $\operatorname{ctg} x < 0$, а выражение $x^2 + 4$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, то в этом случае уравнение не имеет решений.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$; $x = -2$.

22.58. a) $(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3|\sin x|$;

б) $(x^2 + 8x + 11)|\cos 2x| = 4\cos 2x$.

a)

Рассмотрим уравнение $(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3|\sin x|$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x > 0$

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3\sin x$

Так как $\sin x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:

$2x^2 - 12x + 13 = 3$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Проверим выполнение условия $\sin x > 0$ для найденных корней:
Для $x=1$: $\sin 1 > 0$, так как $0 < 1 < \pi \approx 3.14$. Следовательно, $x=1$ является решением.
Для $x=5$: $\sin 5 < 0$, так как $\pi \approx 3.14 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $x=5$ не является решением.

Случай 2: $\sin x < 0$

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$(2x^2 - 12x + 13)\sin x = -3\sin x$

Так как $\sin x < 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:

$2x^2 - 12x + 13 = -3$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Проверим выполнение условия $\sin x < 0$ для найденных корней:
Для $x=2$: $\sin 2 > 0$, так как $0 < 2 < \pi \approx 3.14$. Следовательно, $x=2$ не является решением.
Для $x=4$: $\sin 4 < 0$, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $x=4$ является решением.

Случай 3: $\sin x = 0$

Если $\sin x = 0$, то и $|\sin x| = 0$. Подставим в исходное уравнение:

$(2x^2 - 12x + 13) \cdot 0 = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Значит, все значения $x$, для которых $\sin x = 0$, являются решениями уравнения.
$\sin x = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $1; 4; \pi k, k \in Z$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x^2 + 8x + 11)|\cos 2x| = 4\cos 2x$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака $\cos 2x$.

Случай 1: $\cos 2x > 0$

В этом случае $|\cos 2x| = \cos 2x$. Уравнение принимает вид:

$(x^2 + 8x + 11)\cos 2x = 4\cos 2x$

Так как $\cos 2x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$x^2 + 8x + 11 = 4$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.
Проверим выполнение условия $\cos 2x > 0$ для найденных корней:
Для $x=-1$: $\cos(2 \cdot (-1)) = \cos(-2) = \cos 2$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < 3\pi/2 \approx 4.71$, то $\cos 2 < 0$. Условие не выполняется, $x=-1$ не является решением.
Для $x=-7$: $\cos(2 \cdot (-7)) = \cos(-14) = \cos 14$. Так как $4\pi \approx 12.57 < 14 < 9\pi/2 \approx 14.14$, то $\cos 14 > 0$. Условие выполняется, $x=-7$ является решением.

Случай 2: $\cos 2x < 0$

В этом случае $|\cos 2x| = -\cos 2x$. Уравнение принимает вид:

$(x^2 + 8x + 11)(-\cos 2x) = 4\cos 2x$

Так как $\cos 2x < 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$-(x^2 + 8x + 11) = 4$

$x^2 + 8x + 11 = -4$

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Проверим выполнение условия $\cos 2x < 0$ для найденных корней:
Для $x=-3$: $\cos(2 \cdot (-3)) = \cos(-6) = \cos 6$. Так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$, то $\cos 6 > 0$. Условие не выполняется, $x=-3$ не является решением.
Для $x=-5$: $\cos(2 \cdot (-5)) = \cos(-10) = \cos 10$. Так как $3\pi \approx 9.42 < 10 < 7\pi/2 \approx 10.99$, то $\cos 10 < 0$. Условие выполняется, $x=-5$ является решением.

Случай 3: $\cos 2x = 0$

Если $\cos 2x = 0$, то и $|\cos 2x| = 0$. Подставим в исходное уравнение:

$(x^2 + 8x + 11) \cdot 0 = 4 \cdot 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Значит, все значения $x$, для которых $\cos 2x = 0$, являются решениями уравнения.
$\cos 2x = 0$ при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $-7; -5; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

22.59. Сколько корней имеет уравнение:

a) $ \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{8x - x^2 - 7} = 0;$

б) $ \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0?$

а) $\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\sqrt{8x - x^2 - 7} = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом определен. Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 8x - x^2 - 7 \ge 0 \\ \left[\begin{array}{l} \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 \\ \sqrt{8x - x^2 - 7} = 0 \end{array}\right.\end{cases}$

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив первое неравенство системы:

$8x - x^2 - 7 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 8x + 7 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, 7]$.

2. Теперь решим уравнения из совокупности, учитывая найденную ОДЗ.

1) $\sqrt{8x - x^2 - 7} = 0$.

Это уравнение равносильно $8x - x^2 - 7 = 0$, корни которого $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Это дает нам 2 корня.

2) $\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Общее решение для этого тригонометрического уравнения: $3x - \frac{\pi}{4} = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выразим $x$: $3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi(1+4k)}{12}$.

Теперь необходимо найти все целые значения $k$, при которых полученные корни попадают в ОДЗ, то есть в отрезок $[1, 7]$:

$1 \le \frac{\pi(1+4k)}{12} \le 7$

Умножим все части на $12$ и разделим на $\pi$:

$\frac{12}{\pi} \le 1+4k \le \frac{84}{\pi}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$3.82 \le 1+4k \le 26.74$

$2.82 \le 4k \le 25.74$

$0.705 \le k \le 6.435$

Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому двойному неравенству: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Каждое из этих значений $k$ дает уникальный корень, который принадлежит ОДЗ. Таким образом, мы имеем 6 корней. Эти корни иррациональны, поэтому они не совпадают с корнями $x=1$ и $x=7$.

Общее число корней уравнения равно сумме корней, найденных в обоих случаях: $2 + 6 = 8$.

Ответ: 8.

б) $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 10 - x^2 - 3x \ge 0 \\ \left[\begin{array}{l} \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \\ \sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0 \end{array}\right.\end{cases}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$10 - x^2 - 3x \ge 0$, что эквивалентно $x^2 + 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.

Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.

Решением неравенства является отрезок $x \in [-5, 2]$.

2. Решим уравнения из совокупности на ОДЗ.

1) $\sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0$.

Это уравнение равносильно $x^2 + 3x - 10 = 0$. Корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Оба принадлежат ОДЗ. Это дает нам 2 корня.

2) $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Общее решение: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$: $2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi(1+6k)}{12}$.

Найдем все целые $k$, при которых корни принадлежат отрезку $[-5, 2]$:

$-5 \le \frac{\pi(1+6k)}{12} \le 2$

$\frac{-60}{\pi} \le 1+6k \le \frac{24}{\pi}$

Используя $\pi \approx 3.14159$:

$-19.1 \le 1+6k \le 7.64$

$-20.1 \le 6k \le 6.64$

$-3.35 \le k \le 1.11$

Целые значения $k$ в этом интервале: $-3, -2, -1, 0, 1$.

Это дает нам 5 корней. Все они иррациональны и не совпадают с корнями $x=-5$ и $x=2$.

Общее число корней уравнения составляет $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7.

Найдите область определения функции:

22.60. a) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}};$

б) $y = \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} + \operatorname{ctg} 2x;$

в) $y = \operatorname{tg} 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - 2\sin x}};$

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} - \sqrt{\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}}.$

а) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из системы неравенств, обеспечивающих существование каждого слагаемого:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение корня в числителе)}\\ \cos x > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля)} \end{cases}$

Неравенство $\sin x \ge 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти, включая границы: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos x > 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти, не включая границы на оси OY: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для одновременного выполнения обоих условий необходимо, чтобы угол $x$ находился в I координатной четверти. Рассмотрим граничные точки. Точка $x=2\pi n$ входит в область определения, так как $\sin(2\pi n) = 0$ и $\cos(2\pi n) = 1 > 0$. Точка $x=\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ не входит, так как $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$, что недопустимо в знаменателе.

Таким образом, область определения задается интервалом $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$.

Ответ: $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} + \operatorname{ctg} 2x$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \cos x - \frac{1}{2} \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)}\\ \sin 2x \ne 0 & \text{(условие существования котангенса)} \end{cases}$

Из первого условия получаем $\cos x \ge \frac{1}{2}$. Решением этого тригонометрического неравенства является множество $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе условие $\sin 2x \ne 0$ означает, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi k$. То есть, $2x \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо из найденных отрезков $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$ исключить точки вида $\frac{\pi k}{2}$. Для основного отрезка $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ единственной точкой такого вида является $x = 0$ (при $k=0$). Эту точку нужно исключить.

В результате для одного периода получаем объединение интервалов $[-\frac{\pi}{3}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{3}]$. С учетом периодичности $2\pi$ получаем общее решение.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \operatorname{tg} 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - 2\sin x}}$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \cos 2x \ne 0 & \text{(условие существования тангенса)}\\ 1 - 2\sin x > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе)} \end{cases}$

Из первого условия $\cos 2x \ne 0$ следует, что $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго условия $1 - 2\sin x > 0$ получаем $\sin x < \frac{1}{2}$. Решением этого неравенства является множество $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь из интервалов $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$ нужно исключить точки вида $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Рассмотрим основной интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$. Точки, которые нужно проверить на принадлежность этому интервалу: $\frac{5\pi}{4}$ (соответствует $k=2$) и $\frac{7\pi}{4}$ (соответствует $k=3$). Обе эти точки лежат внутри интервала $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$.

Следовательно, эти две точки необходимо исключить. Итоговый интервал разбивается на три части. С учетом периодичности получаем общее решение.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} - \sqrt{\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \sin 4x \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)}\\ \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)} \end{cases}$

Из первого условия $\sin 4x \ne 0$ следует, что $4x \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго условия $\cos x \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ (или $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$) получаем решение $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь из отрезков $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$ нужно исключить точки вида $\frac{\pi k}{4}$. Для основного отрезка $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ такими точками являются его концы $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, а также внутренняя точка $x=0$.

Исключение этих трех точек из отрезка $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ дает нам объединение двух открытых интервалов: $(-\frac{\pi}{4}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{4})$. Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

22.61. a) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}};$

б) $y = \arccos (2x - 1) + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}.$

а) Область определения функции $y = \arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}}$ находится как пересечение областей определения двух слагаемых.
1. Область определения функции $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$ задается условием для аргумента арксинуса:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$
Умножая все части двойного неравенства на 2, получаем:
$-2 \le x \le 2$, или $x \in [-2, 2]$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\sin x + \frac{1}{2} \ge 0$
$\sin x \ge -\frac{1}{2}$
Решением данного тригонометрического неравенства является совокупность промежутков:
$x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[-2, 2]$ и $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$.
Для этого рассмотрим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$: получаем промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$. Найдем пересечение $[-2, 2] \cap [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$.
Так как $-2 < -\frac{\pi}{6}$ (приближенно $-0.52$) и $2 < \frac{7\pi}{6}$ (приближенно $3.67$), то пересечением является промежуток $[-\frac{\pi}{6}, 2]$.
- При $k = -1$: получаем промежуток $[-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}]$ (приближенно $[-6.8, -2.6]$), который не пересекается с отрезком $[-2, 2]$.
- При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}]$ (приближенно $[5.76, 9.95]$), который также не пересекается с отрезком $[-2, 2]$.
При других значениях $k$ пересечения также не будет.
Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, полученный при $k=0$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{6}, 2]$.

б) Область определения функции $y = \arccos(2x - 1) + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}$ находится как пересечение областей определения двух слагаемых.
1. Область определения функции $f(x) = \arccos(2x - 1)$ задается условием для аргумента арккосинуса:
$-1 \le 2x - 1 \le 1$
Прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, получаем:
$0 \le 2x \le 2$
Разделив все части на 2, получаем:
$0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x \ge 0$
$\cos x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$
Решением данного тригонометрического неравенства является совокупность промежутков:
$x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[0, 1]$ и $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$.
Рассмотрим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$. Найдем пересечение $[0, 1] \cap [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$.
Так как $0 < \frac{\pi}{4}$ (приближенно $0.785$) и $1 < \frac{7\pi}{4}$ (приближенно $5.5$), то пересечением является промежуток $[\frac{\pi}{4}, 1]$.
- При $k = -1$: получаем промежуток $[-\frac{7\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}]$ (приближенно $[-5.5, -0.785]$), который не пересекается с отрезком $[0, 1]$.
- При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{9\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}]$ (приближенно $[7.07, 11.78]$), который также не пересекается с отрезком $[0, 1]$.
При других значениях $k$ пересечения также не будет.
Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, полученный при $k=0$.
Ответ: $[\frac{\pi}{4}, 1]$.