Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.6. а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x = 1$;

г) $\sin x = \frac{1}{2}$.

а) Решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

В данном случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Арксинус этого значения является табличным:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $

Подставляем это значение в общую формулу:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

б) Решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Используем ту же общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Здесь $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Находим арксинус этого табличного значения:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

в) Решение уравнения $ \sin x = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точках, соответствующих углу $ \frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, все решения можно записать, прибавляя к этому значению целые кратные периода.

Формула для этого частного случая:

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

г) Решение уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $

Снова применяем общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

В этом уравнении $ a = \frac{1}{2} $. Находим арксинус:

$ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $

Подставляем в общую формулу и получаем решение:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

22.7. a) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

б) $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

В) $ \sin x = -1; $

Г) $ \sin x = -\frac{1}{2}. $

а) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $ (при $ |a| \le 1 $) выглядит так: $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В нашем случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Поскольку арксинус является нечетной функцией, $ \arcsin(-y) = -\arcsin y $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $. Подставляем это значение в общую формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. Это выражение можно упростить, используя свойство степеней $ (-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1} $: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используем общую формулу для решения: $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса ($ \arcsin(-y) = -\arcsin y $), найдем $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $. Так как $ \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $, то $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $. Подставляем в формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. Упрощаем: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Дано уравнение $ \sin x = -1 $. Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен -1 в точках, соответствующих нижней точке единичной окружности. Первое такое значение угла (главное значение) — это $ x = -\frac{\pi}{2} $. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $ 2\pi $, все решения можно найти, прибавляя к главному значению целые кратные периода. Таким образом, решение имеет вид: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Применим общую формулу решения $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом уравнении $ a = -\frac{1}{2} $. Находим $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $. Благодаря нечетности арксинуса, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $. Подставляем значение в общую формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. После упрощения получаем: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

22.8. a) $ \sin x = \frac{1}{4}; $

В) $ \sin x = -\frac{1}{7}; $

б) $ \sin x = \frac{\pi}{4}; $

Г) $ \sin x = \frac{\pi}{3}. $

а)

Дано уравнение $sin x = \frac{1}{4}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin x = a$. Решение такого уравнения существует тогда и только тогда, когда $|a| \le 1$.
В нашем случае $a = \frac{1}{4}$. Проверим условие: $|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.
Общая формула для нахождения корней уравнения $sin x = a$ имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим значение $a = \frac{1}{4}$ в общую формулу:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{1}{4}$ не является табличным значением синуса, арксинус этого числа записывается в такой форме.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $sin x = \frac{\pi}{4}$.
Это также уравнение вида $sin x = a$, где $a = \frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.
Поскольку $|0.785| \le 1$, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу для корней уравнения $sin x = a$:
$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Подставляем наше значение $a = \frac{\pi}{4}$:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $sin x = -\frac{1}{7}$.
Здесь $a = -\frac{1}{7}$. Проверим условие существования решений $|a| \le 1$.
$|-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{7} \le 1$, решения существуют.
Используем общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Воспользуемся свойством арксинуса для отрицательного аргумента: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
Тогда $\arcsin(-\frac{1}{7}) = -\arcsin(\frac{1}{7})$.
Подставим это в решение:
$x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{1}{7})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $sin x = \frac{\pi}{3}$.
Здесь $a = \frac{\pi}{3}$. Проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le sin x \le 1$.
Оценим значение $a = \frac{\pi}{3}$, используя $\pi \approx 3.14159$:
$a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.
Так как $1.047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в область значений функции $sin x$.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

22.9. a) $ (2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0; $

б) $ 2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0; $

в) $ 4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0; $

г) $ 2 \sin^2 x - 1 = 0. $

Дано уравнение: $(2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2 \cos x + 1 = 0$

$2 \cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 - 3 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, его решения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 - 3 \sin x = 0$

$3 \sin x = 2$

$\sin x = \frac{2}{3}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (4 \sin x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, его решения:

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $4 \sin x - 3 = 0$

$4 \sin x = 3$

$\sin x = \frac{3}{4}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $2 \sin^2 x - 1 = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Выразим из формулы $2\sin^2 x - 1$:

$2\sin^2 x - 1 = -(1 - 2\sin^2 x) = -\cos(2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$-\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

22.10. a) $6\sin^2 x + \sin x = 2;$

б) $3\cos^2 x = 7(\sin x + 1).$

а)

Дано уравнение $6\sin^2 x + \sin x = 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду квадратного уравнения относительно $\sin x$:

$6\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Подставив $t$ в уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:

$6t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = -2/3$ и $t_2 = 1/2$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\sin x = t_1 = -\frac{2}{3}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения записывается в виде: $x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можем переписать решение как: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = t_2 = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(1/2) = \pi/6$, получаем: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $3\cos^2 x = 7(\sin x + 1)$.

Это уравнение содержит две разные тригонометрические функции. Чтобы решить его, приведем все к одной функции, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3(1 - \sin^2 x) = 7(\sin x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3 - 3\sin^2 x = 7\sin x + 7$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (в правую, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным):

$0 = 3\sin^2 x + 7\sin x + 7 - 3$

$3\sin^2 x + 7\sin x + 4 = 0$

Снова введем замену переменной: пусть $t = \sin x$, с ограничением $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратное уравнение:

$3t^2 + 7t + 4 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = -4/3 \approx -1.33$ не входит в отрезок $[-1; 1]$, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $t_2 = -1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для допустимого корня:

$\sin x = -1$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

22.11. a) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1;$

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x.$

а) Дано уравнение:
$\sin^2\frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2\frac{3x}{4} + 1$
Перенесем все члены с аргументом $\frac{3x}{4}$ в левую часть, а остальные — в правую, чтобы сгруппировать их:
$\sin^2\frac{3x}{4} + \cos^2\frac{3x}{4} = \sin x + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ой, ошибка в переносе. Вернемся к исходному уравнению и перенесем $\cos^2\frac{3x}{4}$ в левую часть:
$\sin^2\frac{3x}{4} + \cos^2\frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{4}$:
$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$
Теперь вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то:
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение:
$\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x$
Перенесем член $-\sin^2 2x$ из правой части в левую:
$\cos^2 2x + \sin^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для $\alpha = 2x$:
$1 - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Упростим левую часть уравнения:
$-\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Умножим обе части на -1:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $n \in \mathbb{Z}$:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Значение арккосинуса равно $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем это значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

22.12. a) $tg x = 1;$

б) $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $tg x = -1;$

г) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнений вида $\operatorname{tg} x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $a = 1$.
Частное решение, или главное значение арктангенса, для $a=1$ равно $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем все решения уравнения:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу для решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Функция арктангенс является нечетной, что означает $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
Применим это свойство: $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.
Табличное значение для $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, частное решение равно $-\frac{\pi}{6}$.
Общее решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = -1$.
Общее решение находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности функции арктангенс, получаем: $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1)$.
Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, то частное решение равно $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в формулу для общего решения:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение имеет вид $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Находим табличное значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Записываем общее решение данного уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

22.13. а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = -2$;

В) $\operatorname{tg} x = -3$;

Г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$.

а)

Дано простейшее тригонометрическое уравнение $\tg x = 0$.

Общая формула для решения уравнения $\tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 0$. Подставляем это значение в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$.

Значение арктангенса от нуля равно нулю, поскольку $\tg(0) = 0$, и $0$ принадлежит главному промежутку для арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, решение уравнения: $x = 0 + \pi n = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\tg x = -2$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $\tg x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -2$. Подставляем в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$.

Значение $\operatorname{arctg}(-2)$ не является табличным, поэтому ответ записывается с использованием функции арктангенса. Также можно использовать свойство нечетности функции арктангенс: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Тогда решение можно записать как $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$. Обе формы записи являются верными.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\tg x = -3$.

Решение этого уравнения аналогично предыдущему. Применяем общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -3$.

$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$.

Так как $\operatorname{arctg}(-3)$ не является табличным значением, оставляем ответ в этой форме. Используя свойство нечетности, можно также записать ответ как $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\tg x = \frac{1}{2}$.

Снова используем общую формулу для решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$.

Число $\frac{1}{2}$ не соответствует какому-либо стандартному табличному значению угла, поэтому ответ записывается через арктангенс.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.