Страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Воспользовавшись рисунками 50 и 51 (см. с. 98), вычислите

$ \sin 45^\circ, \cos 120^\circ, \operatorname{tg} 225^\circ, \operatorname{ctg} 300^\circ $

sin 45°

Угол 45° находится в первой четверти единичной окружности. Синус в этой четверти положителен. Значение синуса для угла 45° является табличным.
$sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos 120°

Угол 120° находится во второй четверти (90° < 120° < 180°). Косинус в этой четверти отрицателен. Для вычисления воспользуемся формулой приведения:
$cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$
$cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60°$
Значение $cos 60°$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
$cos 120° = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

tg 225°

Угол 225° находится в третьей четверти (180° < 225° < 270°). Тангенс в этой четверти положителен. Воспользуемся формулой приведения:
$tg(180° + \alpha) = tg(\alpha)$
$tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45°$
Значение $tg 45°$ является табличным и равно 1.
$tg 225° = 1$
Ответ: 1

ctg 300°

Угол 300° находится в четвертой четверти (270° < 300° < 360°). Котангенс в этой четверти отрицателен. Воспользуемся формулой приведения:
$ctg(360° - \alpha) = -ctg(\alpha)$
$ctg 300° = ctg(360° - 60°) = -ctg 60°$
Значение $ctg 60°$ является табличным и равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$ctg 300° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 15^{\circ}$, $\cos 120^{\circ}$, $\text{tg } 225^{\circ}$, $\text{ctg } 300^{\circ}$.

2. Объясните, почему $\sin 390^{\circ} = \frac{1}{2}$, а $\cos 540^{\circ} = -1$.

sin 390° = 1/2

Тригонометрическая функция синус ($sin$) является периодической. Ее период составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Это означает, что значения синуса повторяются через каждый полный оборот. Данное свойство можно выразить формулой приведения:
$sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти значение $sin(390^\circ)$, представим угол $390^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$

Применяя формулу приведения (при $k=1$), мы отбрасываем полный оборот и получаем:
$sin(390^\circ) = sin(360^\circ + 30^\circ) = sin(30^\circ)$

Значение $sin(30^\circ)$ является табличным и широко известным:
$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, равенство $sin(390^\circ) = 1/2$ является верным.

Ответ: Равенство верно, так как функция синуса периодична с периодом $360^\circ$, и $sin(390^\circ) = sin(360^\circ + 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

cos 540° = -1

Функция косинус ($cos$) также является периодической с периодом $360^\circ$. Ее свойство периодичности выражается аналогичной формулой:
$cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота и остатка:
$540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$

Используя свойство периодичности для косинуса (при $k=1$), получаем:
$cos(540^\circ) = cos(360^\circ + 180^\circ) = cos(180^\circ)$

Значение $cos(180^\circ)$ — это табличное значение. На единичной окружности угол в $180^\circ$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус равен абсциссе (координате по оси X) этой точки.
$cos(180^\circ) = -1$

Следовательно, равенство $cos(540^\circ) = -1$ также является верным.

Ответ: Равенство верно, так как функция косинуса периодична с периодом $360^\circ$, и $cos(540^\circ) = cos(360^\circ + 180^\circ) = cos(180^\circ) = -1$.

Решите уравнение:

22.1. a) $\cos x = \frac{1}{2}$;

б) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Для решения уравнения $ \cos x = \frac{1}{2} $ используется общая формула для нахождения корней тригонометрического уравнения вида $ \cos x = a $: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Арккосинус этого значения является табличным: $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $. Подставляем это значение в общую формулу: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ применяется общая формула $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $. Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Подставляя найденное значение в общую формулу, получаем: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение для такого типа уравнений: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Используем свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $: $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Подставляем это значение в общую формулу решения: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ используем общую формулу $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) $ является табличным и равно $ \frac{\pi}{4} $. Подставляем это значение в общую формулу для получения всех корней уравнения: $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.2. a) $\cos x = \frac{1}{3}$;

б) $\cos x = -1,1$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

а)

Дано уравнение: $ \cos x = \frac{1}{3} $.

Для решения тригонометрического уравнения вида $ \cos x = a $ необходимо проверить, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $, так как область значений функции косинус $ E(\cos x) = [-1; 1] $.

В данном случае $ a = \frac{1}{3} $.

Проверим условие: $ |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} $. Так как $ -1 \le \frac{1}{3} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $ \cos x = a $ имеет вид: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n - любое целое число).

Подставляя наше значение $ a = \frac{1}{3} $, получаем:

$ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \frac{1}{3} $ не является табличным значением для косинуса, ответ остается в таком виде.

Ответ: $ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение: $ \cos x = -1,1 $.

Область значений функции $ y = \cos x $ - это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \cos x \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти $ x $, для которого $ \cos x = -1,1 $.

Так как число $ -1,1 $ не принадлежит отрезку $ [-1; 1] $ (поскольку $ -1,1 < -1 $), данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано уравнение: $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сначала проверим, имеет ли уравнение решения. Для этого необходимо сравнить модуль правой части с единицей: $ |-\frac{\sqrt{5}}{3}| \le 1 $.

$ |-\frac{\sqrt{5}}{3}| = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сравним $ \frac{\sqrt{5}}{3} $ и $ 1 $. Это эквивалентно сравнению $ \sqrt{5} $ и $ 3 $.

Возведем оба числа в квадрат: $ (\sqrt{5})^2 = 5 $ и $ 3^2 = 9 $.

Так как $ 5 < 9 $, то $ \sqrt{5} < 3 $, и, следовательно, $ \frac{\sqrt{5}}{3} < 1 $.

Условие $ |a| \le 1 $ выполнено, значит, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу для решения: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подставляем $ a = -\frac{\sqrt{5}}{3} $:

$ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{5}}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Можно также использовать свойство арккосинуса $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $ для $ a \in [0, 1] $. Тогда решение можно записать в виде:

$ x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{5}}{3})) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Оба варианта записи ответа являются верными.

Ответ: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{5}}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение: $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Проверим, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $, где $ a = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Для этого сравним $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ с $ 1 $.

Сравним $ \sqrt{5} $ и $ 2 $.

Возведем оба числа в квадрат: $ (\sqrt{5})^2 = 5 $ и $ 2^2 = 4 $.

Так как $ 5 > 4 $, то $ \sqrt{5} > 2 $, и, следовательно, $ \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $.

Поскольку значение $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ выходит за пределы области значений функции косинуса $ [-1; 1] $, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

22.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, x \in [2\pi; 4\pi];$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [-\pi; 3\pi];$

г) $\cos x = -1, x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right].$

а) Дано уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.

Общее решение уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Это дает две серии корней:

1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
2. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; 2\pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $0 \le \frac{1}{6} + 2k \le 2$.

Вычитаем $\frac{1}{6}$: $-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{11}{6}$.

Делим на 2: $-\frac{1}{12} \le k \le \frac{11}{12}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=0$. При $k=0$ корень $x = \frac{\pi}{6}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$0 \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $0 \le -\frac{1}{6} + 2k \le 2$.

Прибавляем $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{13}{6}$.

Делим на 2: $\frac{1}{12} \le k \le \frac{13}{12}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=1$. При $k=1$ корень $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

б) Дано уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [2\pi; 4\pi]$.

Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, то общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[2\pi; 4\pi]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$

$2 \le \frac{2}{3} + 2k \le 4 \implies 2 - \frac{2}{3} \le 2k \le 4 - \frac{2}{3} \implies \frac{4}{3} \le 2k \le \frac{10}{3} \implies \frac{2}{3} \le k \le \frac{5}{3}$.

Единственное целое $k$ — это $k=1$. Корень: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$2\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$

$2 \le -\frac{2}{3} + 2k \le 4 \implies 2 + \frac{2}{3} \le 2k \le 4 + \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3} \le 2k \le \frac{14}{3} \implies \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}$.

Единственное целое $k$ — это $k=2$. Корень: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.

в) Дано уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 3\pi]$.

Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, то общее решение: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$.

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$-\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi$

$-1 \le \frac{3}{4} + 2k \le 3 \implies -1 - \frac{3}{4} \le 2k \le 3 - \frac{3}{4} \implies -\frac{7}{4} \le 2k \le \frac{9}{4} \implies -\frac{7}{8} \le k \le \frac{9}{8}$.

Целые значения $k$: $0, 1$.

При $k=0, x = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$-\pi \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi$

$-1 \le -\frac{3}{4} + 2k \le 3 \implies -1 + \frac{3}{4} \le 2k \le 3 + \frac{3}{4} \implies -\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{15}{4} \implies -\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$.

Целые значения $k$: $0, 1$.

При $k=0, x = -\frac{3\pi}{4}$.

При $k=1, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

г) Дано уравнение $\cos x = -1$ на промежутке $x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение имеет вид: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \pi + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $-\frac{3}{2} \le 1 + 2k \le 2$.

Вычитаем 1: $-\frac{3}{2} - 1 \le 2k \le 2 - 1 \implies -\frac{5}{2} \le 2k \le 1$.

Делим на 2: $-\frac{5}{4} \le k \le \frac{1}{2}$, то есть $-1.25 \le k \le 0.5$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1, x = \pi + 2\pi(-1) = -\pi$.

При $k=0, x = \pi + 2\pi(0) = \pi$.

Ответ: $-\pi, \pi$.

Решите уравнение:

22.4. а) $\frac{8 \cos x - 3}{3 \cos x + 2} = 1;$

б) $\frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x - 1}{3} = 1,75.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{8 \cos x - 3}{3 \cos x + 2} = 1 $. Для упрощения введем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Поскольку область значений функции косинус $ [-1; 1] $, то должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $. После замены уравнение принимает вид: $ \frac{8t - 3}{3t + 2} = 1 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $ t $. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ 3t + 2 \neq 0 $, откуда $ t \neq -\frac{2}{3} $.

Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части на знаменатель $ (3t + 2) $, учитывая, что он не равен нулю: $ 8t - 3 = 1 \cdot (3t + 2) $
$ 8t - 3 = 3t + 2 $

Соберем слагаемые с переменной $ t $ в левой части, а константы — в правой: $ 8t - 3t = 2 + 3 $
$ 5t = 5 $
$ t = 1 $

Проверим, соответствует ли найденный корень $ t = 1 $ ранее установленным ограничениям. Условие $ -1 \le 1 \le 1 $ выполнено. Условие $ 1 \neq -\frac{2}{3} $ также выполнено. Следовательно, $ t = 1 $ является решением.

Теперь выполним обратную замену: $ \cos x = 1 $.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого: $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (где $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел).

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x - 1}{3} = 1,75 $. Введем замену $ t = \cos x $, с ограничением $ -1 \le t \le 1 $. Представим десятичную дробь $ 1,75 $ в виде обыкновенной: $ 1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4} $. Уравнение принимает вид: $ \frac{3t + 1}{2} + \frac{5t - 1}{3} = \frac{7}{4} $.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, которое равно 12: $ 12 \cdot \left(\frac{3t + 1}{2}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5t - 1}{3}\right) = 12 \cdot \left(\frac{7}{4}\right) $
$ 6(3t + 1) + 4(5t - 1) = 3(7) $

Раскроем скобки и упростим выражение: $ 18t + 6 + 20t - 4 = 21 $
$ 38t + 2 = 21 $

Решим полученное линейное уравнение: $ 38t = 21 - 2 $
$ 38t = 19 $
$ t = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ t = \frac{1}{2} $ ограничению $ -1 \le t \le 1 $. Условие $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $ выполнено. Значит, корень подходит.

Выполним обратную замену: $ \cos x = \frac{1}{2} $.

Общее решение этого тригонометрического уравнения находится по формуле $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

22.5. a) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0;$

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x.$

а) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$6t^2 + 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = -1/3$ и $t_2 = -1/2$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\cos x = -\frac{1}{3}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -\frac{1}{2}$

Это табличное значение. Решением является серия корней: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 + 9 \cos x = 5(1 - \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$3 + 9 \cos x = 5 - 5 \cos^2 x$

$5 \cos^2 x + 9 \cos x + 3 - 5 = 0$

$5 \cos^2 x + 9 \cos x - 2 = 0$

Снова получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$5t^2 + 9t - 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.

Корень $t_1 = 1/5$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как значение косинуса не может быть меньше -1. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня:

$\cos x = \frac{1}{5}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.