Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как, зная значение $ \operatorname{tg} t $, найти значение $ \operatorname{ctg} t $?

1. Чтобы найти значение котангенса ($ \text{ctg } t $), зная значение тангенса ($ \text{tg } t $), необходимо воспользоваться их определением и связью через основное тригонометрическое тождество.

По определению, тангенс угла $ t $ — это отношение синуса этого угла к его косинусу:

$ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $

А котангенс угла $ t $ — это отношение косинуса к синусу:

$ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $

Из этих определений видно, что тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами. Если мы перевернем дробь для тангенса, мы получим котангенс:

$ \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t $

Таким образом, для нахождения значения $ \text{ctg } t $ нужно разделить единицу на известное значение $ \text{tg } t $. Это соотношение выражается основной формулой:

$ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} $

Эту же зависимость можно записать в виде произведения:

$ \text{tg } t \cdot \text{ctg } t = 1 $

Важное замечание: данная формула справедлива только при условии, что $ \text{tg } t \neq 0 $, так как на ноль делить нельзя. Если $ \text{tg } t = 0 $, то значение $ \text{ctg } t $ не определено.

Ответ: Чтобы найти значение $ \text{ctg } t $, зная значение $ \text{tg } t $, нужно использовать формулу $ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} $.

2. Как, зная значение $ \text{cos } t $, найти значение $ \text{tg } t $?

2. Чтобы найти значение $\tg t$, зная значение $\cos t$, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами. Существует два основных способа.

Способ 1: Использование тождества, связывающего тангенс и косинус.

Этот способ является наиболее прямым. Он основан на тождестве: $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ (при условии, что $\cos t \neq 0$).

Алгоритм действий:

1. Выражаем из этого тождества $\tg^2 t$:
$\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$

2. Подставляем в эту формулу известное значение $\cos t$ и вычисляем значение $\tg^2 t$.

3. Находим $\tg t$, извлекая квадратный корень из полученного результата:
$\tg t = \pm \sqrt{\frac{1}{\cos^2 t} - 1}$

Знак (плюс или минус) перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Если четверть не указана, то однозначно определить знак тангенса невозможно. Тангенс положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV четвертях.

Способ 2: Через нахождение синуса.

Этот способ состоит из двух шагов:

1. Сначала находим $\sin t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из него выражаем $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$, а затем и сам синус:
$\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^2 t}$
Здесь также необходимо знать четверть, чтобы определить знак синуса.

2. Затем используем определение тангенса как отношения синуса к косинусу:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$
Подставив найденное значение $\sin t$ и известное значение $\cos t$, получаем искомое значение тангенса.

Ответ: Чтобы найти значение $\tg t$ по известному значению $\cos t$, необходимо использовать одну из формул, полученных из тригонометрических тождеств, например, $\tg t = \pm \sqrt{\frac{1}{\cos^2 t} - 1}$. Для однозначного определения значения $\tg t$ требуется дополнительная информация, указывающая на знак тангенса (например, в какой координатной четверти находится угол $t$).

3. Как, зная значение $sin t$, найти значение $ctg t$?

3. Чтобы найти значение $ctg\;t$ (котангенса угла $t$), зная значение $sin\;t$ (синуса угла $t$), можно воспользоваться одним из следующих способов, которые основаны на базовых тригонометрических тождествах.

Способ 1: Через определение котангенса и основное тригонометрическое тождество

1. Сначала воспользуемся определением котангенса:
$ctg\;t = \frac{cos\;t}{sin\;t}$

2. Значение $sin\;t$ нам известно. Найдем значение $cos\;t$ из основного тригонометрического тождества: $sin^2\;t + cos^2\;t = 1$.
Выразим из этого тождества $cos\;t$:
$cos^2\;t = 1 - sin^2\;t$
$cos\;t = \pm\sqrt{1 - sin^2\;t}$
Знак "+" или "–" перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Косинус положителен в I и IV четвертях и отрицателен во II и III четвертях.

3. Теперь подставим полученное выражение для $cos\;t$ в формулу для котангенса:
$ctg\;t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2\;t}}{sin\;t}$

Способ 2: Через тождество, напрямую связывающее котангенс и синус

1. Существует тождество, которое напрямую связывает $ctg\;t$ и $sin\;t$:
$1 + ctg^2\;t = \frac{1}{sin^2\;t}$

2. Выразим из него $ctg^2\;t$:
$ctg^2\;t = \frac{1}{sin^2\;t} - 1$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$ctg^2\;t = \frac{1 - sin^2\;t}{sin^2\;t}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $ctg\;t$:
$ctg\;t = \pm\sqrt{\frac{1 - sin^2\;t}{sin^2\;t}} = \pm\frac{\sqrt{1 - sin^2\;t}}{|sin\;t|}$

Оба способа приводят к результату, для нахождения которого требуется дополнительная информация. Само по себе значение $sin\;t$ не позволяет однозначно определить знак $ctg\;t$. Например, если $sin\;t = 0.5$, угол $t$ может находиться как в I четверти (где $ctg\;t > 0$), так и во II четверти (где $ctg\;t < 0$). Поэтому для однозначного ответа необходимо также знать, в какой четверти находится угол $t$.

Ответ: Зная значение $sin\;t$, значение $ctg\;t$ можно найти по формуле $ctg\;t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2\;t}}{sin\;t}$. Знак ("+" или "–") перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $t$, так как от этого зависит знак $cos\;t$.

4. Известно, что $sin t = a$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите $cos t$, $tg t$, $ctg t$.

cos t

Для нахождения $\cos t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2 t$:

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$

Подставим известное значение $\sin t = a$:

$\cos^2 t = 1 - a^2$

Отсюда следует, что $\cos t = \pm\sqrt{1 - a^2}$.

По условию задачи, угол $t$ находится в интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значение косинуса является положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: $\cos t = \sqrt{1 - a^2}$.

tg t

Тангенс угла определяется по формуле $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставим известное значение $\sin t = a$ и ранее найденное значение $\cos t = \sqrt{1 - a^2}$:

$\text{tg } t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$

Ответ: $\text{tg } t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$.

ctg t

Котангенс угла определяется по формуле $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим найденное значение $\cos t = \sqrt{1 - a^2}$ и известное значение $\sin t = a$:

$\text{ctg } t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

Ответ: $\text{ctg } t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$.

5. Известно, что $ \cos t = a $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Вычислите $ \sin t $, $ \operatorname{tg} t $, $ \operatorname{ctg} t $.

По условию задачи известно, что $\cos t = a$ и угол $t$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти на тригонометрической окружности.

Во второй четверти тригонометрические функции имеют следующие знаки: $\sin t > 0$, $\cos t < 0$, $\operatorname{tg} t < 0$ и $\operatorname{ctg} t < 0$. Из того, что $\cos t < 0$, следует, что параметр $a$ является отрицательным числом. Поскольку угол $t$ находится в строгом интервале, то $-1 < \cos t < 0$, следовательно, $-1 < a < 0$.

sin t

Для нахождения $\sin t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Подставим в тождество известное значение $\cos t = a$:

$\sin^2 t + a^2 = 1$

Выразим $\sin^2 t$:

$\sin^2 t = 1 - a^2$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для синуса: $\sin t = \pm\sqrt{1 - a^2}$.

Так как угол $t$ принадлежит второй координатной четверти, где синус положителен ($\sin t > 0$), мы выбираем значение со знаком «+».

Ответ: $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$

tg t

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставим найденное выражение для $\sin t$ и данное для $\cos t$:

$\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

Проверим знак: числитель $\sqrt{1 - a^2}$ положителен, а знаменатель $a$ отрицателен, значит, вся дробь отрицательна, что соответствует знаку тангенса во второй четверти.

Ответ: $\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

ctg t

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим известные значения:

$\operatorname{ctg} t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$

Также можно найти котангенс как величину, обратную тангенсу: $\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}} = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$.

Знак выражения отрицателен, что соответствует знаку котангенса во второй четверти.

Ответ: $\operatorname{ctg} t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$

6. Известно, что $\operatorname{tg} t = a, \pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите $\sin t, \cos t, \operatorname{ctg} t$.

ctg t
По определению, котангенс является обратной функцией к тангенсу: $ \ctg t = \frac{1}{\tg t} $.
Поскольку по условию $ \tg t = a $, мы можем сразу найти котангенс, подставив это значение в формулу.
$ \ctg t = \frac{1}{a} $.
Условие $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ t $ находится в третьей четверти. В этой четверти тангенс положителен, следовательно $ a > 0 $, и деление на $ a $ корректно.
Ответ: $ \ctg t = \frac{1}{a} $

cos t
Для вычисления косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $.
Подставим известное значение $ \tg t = a $:
$ 1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t} $
Выразим из этого уравнения $ \cos^2 t $:
$ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \cos t $:
$ \cos t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $
Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, в которой косинус принимает отрицательные значения ($ \cos t < 0 $).
Следовательно, мы выбираем знак "минус".
Ответ: $ \cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $

sin t
Синус можно найти, используя определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Отсюда выразим синус: $ \sin t = \tg t \cdot \cos t $.
Мы уже знаем, что $ \tg t = a $ и из предыдущего пункта $ \cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $. Подставим эти значения в формулу:
$ \sin t = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $
Проверим знак. В третьей четверти ($ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $) синус также отрицателен ($ \sin t < 0 $). Так как в этой же четверти $ \tg t = a > 0 $, а знаменатель $ \sqrt{1 + a^2} $ всегда положителен, то выражение $ -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $ действительно будет отрицательным, что соответствует нашему условию.
Ответ: $ \sin t = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $

7. Известно, что $ctg\ t = a$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Вычислите $\sin\ t$, $\cos\ t$, $\operatorname{tg}\ t$.

По условию $ctg t = a$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Это означает, что угол $t$ находится в IV координатной четверти. Для углов в IV четверти знаки тригонометрических функций следующие: $sin t < 0$, $cos t > 0$, $tg t < 0$ и $ctg t < 0$. Из того, что $ctg t = a$, следует, что параметр $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Для нахождения синуса используем основное тригонометрическое тождество, связывающее синус и котангенс: $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$. Подставим в это тождество известное значение $ctg t = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{sin^2 t}$ Отсюда выразим $sin^2 t$: $sin^2 t = \frac{1}{1 + a^2}$ Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $sin t$: $sin t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$ Поскольку угол $t$ принадлежит IV четверти, его синус должен быть отрицательным. Следовательно, выбираем решение со знаком "минус".

Ответ: $sin t = - \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Косинус можно найти, используя определение котангенса: $ctg t = \frac{cos t}{sin t}$. Из этого определения следует, что $cos t = sin t \cdot ctg t$. Подставим уже найденные значения для $sin t$ и $ctg t$: $cos t = \left(- \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) \cdot a = - \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$. Проверим знак полученного выражения. В IV четверти косинус положителен. Так как мы установили, что $a < 0$, то числитель $-a$ будет положительным. Знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен. Таким образом, вся дробь положительна, что соответствует знаку косинуса в IV четверти.

Ответ: $cos t = - \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции, поэтому $tg t = \frac{1}{ctg t}$. Подставляем заданное значение $ctg t = a$: $tg t = \frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, значение $tg t$ также будет отрицательным, что соответствует знаку тангенса для угла в IV четверти.

Ответ: $tg t = \frac{1}{a}$.

21.37. Найдите область определения функции:

a) $y = \arcsin x + \text{arctg } x;$

б) $y = \text{arcctg } \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2};$

в) $y = \text{arctg } \frac{1}{x} - \arccos (2x - 0,5);$

г) $y = \arcsin (x^2 - 1) + \text{arctg } 2x + \text{arcctg } (x - 1).$

а) $y = \arcsin x + \operatorname{arctg} x$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \arcsin x$ и $y_2 = \operatorname{arctg} x$.
Область определения функции $y_1 = \arcsin x$ задается неравенством $-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$.
Область определения функции $y_2 = \operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $D(y) = [-1, 1] \cap (-\infty, +\infty) = [-1, 1]$.
Ответ: $D(y) = [-1, 1]$.

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ и $y_2 = \arccos \frac{x}{2}$.
Для функции $y_1 = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ аргумент арккотангенса $\sqrt{x}$ должен быть действительным числом, а выражение под корнем — неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$.
Для функции $y_2 = \arccos \frac{x}{2}$ аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от -1 до 1 включительно: $-1 \le \frac{x}{2} \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получим $-2 \le x \le 2$.
Область определения исходной функции — это пересечение множеств решений этих условий. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ -2 \le x \le 2 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $[0, 2]$.
Ответ: $D(y) = [0, 2]$.

в) $y = \operatorname{arctg} \frac{1}{x} - \arccos(2x - 0,5)$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ и $y_2 = \arccos(2x - 0,5)$.
Для функции $y_1 = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ аргумент арктангенса $\frac{1}{x}$ должен быть определен, что требует $x \neq 0$.
Для функции $y_2 = \arccos(2x - 0,5)$ аргумент арккосинуса должен удовлетворять неравенству $-1 \le 2x - 0,5 \le 1$.
Прибавим 0,5 ко всем частям неравенства: $-1 + 0,5 \le 2x \le 1 + 0,5$, что дает $-0,5 \le 2x \le 1,5$.
Разделим все части на 2: $-0,25 \le x \le 0,75$.
Теперь найдем пересечение условий: $x \neq 0$ и $x \in [-0,25, 0,75]$.
Это дает нам объединение двух интервалов: $[-0,25, 0) \cup (0, 0,75]$.
Ответ: $D(y) = [-0,25, 0) \cup (0, 0,75]$.

г) $y = \arcsin(x^2 - 1) + \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arcctg}(x - 1)$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения слагаемых: $y_1 = \arcsin(x^2 - 1)$, $y_2 = \operatorname{arctg} 2x$ и $y_3 = \operatorname{arcctg}(x - 1)$.
Области определения функций $y_2 = \operatorname{arctg} 2x$ и $y_3 = \operatorname{arcctg}(x - 1)$ — все действительные числа, так как арктангенс и арккотангенс определены для любого действительного аргумента.
Для функции $y_1 = \arcsin(x^2 - 1)$ аргумент арксинуса должен находиться в диапазоне от -1 до 1:
$-1 \le x^2 - 1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 1 \le x^2 \le 1 + 1$, что равносильно $0 \le x^2 \le 2$.
Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.
Неравенство $x^2 \le 2$ равносильно $|x| \le \sqrt{2}$, или $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Пересечение всех условий дает $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

21.38. Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = \frac{\operatorname{arctg} x}{x^4};$

б) $y = \sin^2 x + x \operatorname{arctg} x;$

в) $y = \arcsin x + \operatorname{arcctg} x;$

г) $y = 2 \operatorname{arcctg} x + x^5 - 3 \arcsin 2x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Найти область определения функции $D(y)$ и убедиться, что она симметрична относительно точки $x=0$. То есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Найти значение функции в точке $-x$, то есть $f(-x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является нечётной.
   • Если не выполняется ни одно из этих условий, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Для решения нам понадобятся свойства чётности некоторых элементарных функций:

• $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная)
• $(-x)^n$: чётная, если $n$ - чётное; нечётная, если $n$ - нечётное.
• $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (нечётная)
• $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$ (нечётная)
• $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$ (ни чётная, ни нечётная)

а) $y = \frac{\text{arctg } x}{x^4}$

1. Найдём область определения $D(y)$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^4 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\text{arctg}(-x)}{(-x)^4}$

Так как $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$ (нечётная функция) и $(-x)^4 = x^4$ (чётная функция), получаем:

$y(-x) = \frac{-\text{arctg } x}{x^4} = - \frac{\text{arctg } x}{x^4} = -y(x)$

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б) $y = \sin^2 x + x \text{arctg } x$

1. Область определения $D(y)$ — все действительные числа, $R$, так как все функции в выражении определены на всей числовой прямой. Область $R$ симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \text{arctg}(-x)$

Рассмотрим каждое слагаемое. Первое слагаемое: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Второе слагаемое: $(-x) \text{arctg}(-x) = (-x) \cdot (-\text{arctg } x) = x \text{arctg } x$.

Таким образом:

$y(-x) = \sin^2 x + x \text{arctg } x = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

в) $y = \arcsin x + \text{arcctg } x$

1. Область определения функции $\arcsin x$ — отрезок $[-1, 1]$. Область определения функции $\text{arcctg } x$ — вся числовая прямая. Область определения $D(y)$ является пересечением этих областей, то есть $D(y) = [-1, 1]$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \arcsin(-x) + \text{arcctg}(-x)$

Используем свойства обратных тригонометрических функций: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ и $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$.

$y(-x) = -\arcsin x + \pi - \text{arcctg } x = \pi - (\arcsin x + \text{arcctg } x) = \pi - y(x)$

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная (общего вида).

г) $y = 2 \text{arcctg } x + x^5 - 3 \arcsin 2x$

1. Область определения $D(y)$. Для $\text{arcctg } x$ и $x^5$ — все действительные числа. Для $\arcsin 2x$ должно выполняться условие $-1 \le 2x \le 1$, то есть $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = 2 \text{arcctg}(-x) + (-x)^5 - 3 \arcsin(2(-x))$

Используем свойства функций: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$, $(-x)^5 = -x^5$, $\arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$.

$y(-x) = 2(\pi - \text{arcctg } x) - x^5 - 3(-\arcsin(2x)) = 2\pi - 2 \text{arcctg } x - x^5 + 3 \arcsin(2x)$

Сравним с $y(x) = 2 \text{arcctg } x + x^5 - 3 \arcsin 2x$ и $-y(x) = -2 \text{arcctg } x - x^5 + 3 \arcsin 2x$.

Очевидно, что $y(-x)$ не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$ из-за наличия слагаемого $2\pi$. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная (общего вида).

21.39. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \operatorname{arctg} x;$

б) $y = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg} x;$

в) $y = 1,5 \operatorname{arctg} x - \frac{\pi}{2};$

г) $y = \pi - 2 \operatorname{arctg} x.$

Чтобы найти область значений каждой функции, мы будем исходить из известных областей значений для основных обратных тригонометрических функций:

• Область значений функции арктангенс $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. То есть, $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.
• Область значений функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0; \pi)$. То есть, $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$.

Применяя к этим базовым неравенствам соответствующие преобразования (умножение, сложение, вычитание), мы найдем область значений для каждой из заданных функций.

а) $y = 2 \operatorname{arctg} x$

1. Исходное неравенство для арктангенса:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$

2. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются.

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 2 \operatorname{arctg} x < 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

3. Упрощаем:

$-\pi < 2 \operatorname{arctg} x < \pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\pi$ до $\pi$.

Ответ: $E(y) = (-\pi; \pi)$.

б) $y = -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x$

1. Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

2. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$-\frac{1}{2} \cdot 0 > -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x > -\frac{1}{2} \cdot \pi$

3. Упрощаем:

$0 > -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x > -\frac{\pi}{2}$

4. Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{\pi}{2} < y < 0$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до 0.

Ответ: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; 0)$.

в) $y = 1,5 \operatorname{arcctg} x - \frac{\pi}{2}$

1. Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

2. Умножим все части неравенства на 1,5 (или $\frac{3}{2}$). Знак неравенства не меняется.

$1.5 \cdot 0 < 1.5 \operatorname{arcctg} x < 1.5 \cdot \pi$

$0 < 1.5 \operatorname{arcctg} x < \frac{3\pi}{2}$

3. Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:

$0 - \frac{\pi}{2} < 1.5 \operatorname{arcctg} x - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$

4. Упрощаем:

$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{2\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} < y < \pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

Ответ: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

г) $y = \pi - 2 \operatorname{arctg} x$

1. Исходное неравенство для арктангенса:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$

2. Умножим все части неравенства на -2. Знаки неравенства меняются на противоположные.

$-2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -2 \operatorname{arctg} x > -2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$\pi > -2 \operatorname{arctg} x > -\pi$

3. Прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства:

$\pi + \pi > \pi - 2 \operatorname{arctg} x > \pi - \pi$

4. Упрощаем:

$2\pi > y > 0$

5. Запишем неравенство в стандартном виде:

$0 < y < 2\pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от 0 до $2\pi$.

Ответ: $E(y) = (0; 2\pi)$.

Постройте график функции:

21.40. а) $y = \operatorname{arctg}(-x);$

б) $y = \operatorname{arcctg}(-x);$

в) $y = -\operatorname{arcctg}x;$

г) $y = -\operatorname{arctg}(-x).$

Для построения графика функции $y = \text{arctg}(-x)$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\text{arctg}(x)$.

График функции $y = -\text{arctg}(x)$ можно получить из графика основной функции $y = \text{arctg}(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ох). Также этот график можно получить, отразив $y = \text{arctg}(x)$ относительно оси ординат (Оу), так как преобразование $f(x) \to f(-x)$ соответствует именно отражению относительно оси Оу.

Основные свойства функции $y = \text{arctg}(-x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График проходит через точку $(0; 0)$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = \text{arctg}(-x)$ является отражением графика $y = \text{arctg}(x)$ относительно оси ординат (или, что то же самое, относительно оси абсцисс). Это убывающая кривая, проходящая через начало координат и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = \frac{\pi}{2}$ и $y = -\frac{\pi}{2}$.

Для построения графика функции $y = \text{arcctg}(-x)$ можно применить преобразование симметрии. График функции $y = f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ отражением относительно оси ординат (Оу). Следовательно, для построения искомого графика нужно отразить график функции $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси Оу.

Также можно воспользоваться тождеством: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$. Тогда построение выполняется в два этапа: сначала график $y = \text{arcctg}(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс (получаем $y_1 = -\text{arcctg}(x)$), а затем сдвигается вверх на $\pi$ единиц. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Основные свойства функции $y = \text{arcctg}(-x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; \pi)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График пересекает ось ординат в точке $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to -\infty$ и $y = \pi$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = \text{arcctg}(-x)$ является отражением графика $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси ординат. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0; \frac{\pi}{2})$ и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = 0$ и $y = \pi$.

Для построения графика функции $y = -\text{arcctg}(x)$ необходимо выполнить преобразование графика основной функции $y = \text{arcctg}(x)$. Преобразование вида $y = -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (Ох).

Исходный график $y = \text{arcctg}(x)$ является убывающей функцией, определенной на всей числовой оси, с областью значений $(0; \pi)$. Он пересекает ось Оу в точке $(0; \frac{\pi}{2})$ и имеет горизонтальные асимптоты $y = \pi$ (при $x \to -\infty$) и $y=0$ (при $x \to +\infty$).

После отражения относительно оси Ох получим график функции $y = -\text{arcctg}(x)$ со следующими свойствами:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\pi; 0)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График пересекает ось ординат в точке $(0; -\frac{\pi}{2})$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = -\pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = -\text{arcctg}(x)$ является отражением графика $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси абсцисс. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0; -\frac{\pi}{2})$ и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = -\pi$ и $y = 0$.

Рассмотрим функцию $y = -\text{arctg}(-x)$. Для ее анализа воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = -(-\text{arctg}(x)) = \text{arctg}(x)$.

Таким образом, график заданной функции полностью совпадает с графиком основной функции $y = \text{arctg}(x)$.

Основные свойства функции $y = \text{arctg}(x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График проходит через начало координат $(0; 0)$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = -\text{arctg}(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \text{arctg}(x)$. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = \frac{\pi}{2}$ и $y = -\frac{\pi}{2}$.

21.41. a) $y = \arctan(x - 1) - \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$

Для подробного анализа (исследования) данной функции рассмотрим её основные свойства: область определения, область значений, монотонность, точки пересечения с осями координат и асимптоты. Данная функция является результатом преобразований базовой функции $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$.

1. Область определения (D(y))
Функция арктангенс, $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$, определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
В нашем случае аргументом функции является выражение $x - 1$. Так как арктангенс определен для любого значения своего аргумента, то $x-1$ может быть любым действительным числом, а значит, и $x$ может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Это означает, что для любой допустимой переменной $x$ выполняется неравенство:
$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) < \frac{\pi}{2}$.
Наша функция $y$ получается из $\operatorname{arctg}(x - 1)$ путем вычитания константы $\frac{\pi}{2}$, что соответствует сдвигу графика вниз по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
$-\pi < y < 0$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\pi; 0)$.

3. Монотонность
Функция $\operatorname{arctg}(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Поскольку $x-1$ является возрастающей функцией от $x$, их композиция $\operatorname{arctg}(x-1)$ также строго возрастает. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$ строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \operatorname{arctg}(0 - 1) - \frac{\pi}{2} = \operatorname{arctg}(-1) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3\pi}{4})$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} \implies \operatorname{arctg}(x-1) = \frac{\pi}{2}$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции $\operatorname{arctg}(t)$ имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $t \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $t \to -\infty$.
Для нашей функции:
При $x \to +\infty$, $(x-1) \to +\infty$, следовательно $\operatorname{arctg}(x-1) \to \frac{\pi}{2}$. Тогда $y \to \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.
При $x \to -\infty$, $(x-1) \to -\infty$, следовательно $\operatorname{arctg}(x-1) \to -\frac{\pi}{2}$. Тогда $y \to -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi$. Горизонтальная асимптота $y=-\pi$.

Ответ: Для функции $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\pi; 0)$.
- Функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y=0$ (при $x \to +\infty$) и $y=-\pi$ (при $x \to -\infty$).
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3\pi}{4})$. Пересечений с осью Ox нет.

б) $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$

Проведем исследование данной функции, которая является преобразованием базовой функции арккотангенса $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$.

1. Область определения (D(y))
Функция арккотангенс, $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$, определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Аргументом функции является $x + 2$. Так как $x+2$ может принимать любые действительные значения, то и $x$ может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$ — это интервал $(0; \pi)$.
Это означает, что:
$0 < \operatorname{arcctg}(x + 2) < \pi$.
Наша функция $y$ получается из $\operatorname{arcctg}(x + 2)$ путем прибавления константы $\frac{\pi}{3}$, что соответствует сдвигу графика вверх по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:
$0 + \frac{\pi}{3} < \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} < \pi + \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{3} < y < \frac{4\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

3. Монотонность
Функция $\operatorname{arcctg}(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Так как $x+2$ — возрастающая функция от $x$, их композиция $\operatorname{arcctg}(x+2)$ является строго убывающей. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$ строго убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \operatorname{arcctg}(0 + 2) + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3})$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} \implies \operatorname{arcctg}(x+2) = -\frac{\pi}{3}$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс $(0; \pi)$ не содержит отрицательных чисел. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции $\operatorname{arcctg}(t)$ имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $t \to +\infty$ и $y = \pi$ при $t \to -\infty$.
Для нашей функции:
При $x \to +\infty$, $(x+2) \to +\infty$, следовательно $\operatorname{arcctg}(x+2) \to 0$. Тогда $y \to 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{\pi}{3}$.
При $x \to -\infty$, $(x+2) \to -\infty$, следовательно $\operatorname{arcctg}(x+2) \to \pi$. Тогда $y \to \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: Для функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.
- Функция строго убывает на $(-\infty; +\infty)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y=\frac{\pi}{3}$ (при $x \to +\infty$) и $y=\frac{4\pi}{3}$ (при $x \to -\infty$).
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3})$. Пересечений с осью Ox нет.

21.42. a) $y = 0,5 \text{arcctg } x;$

б) $y = \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x;$

в) $y = -\frac{1}{3} \text{arcctg } x;$

г) $y = 1,5 \text{arcctg } (x + 2).$

а) $y = 0,5 \text{arctg } x$

Для нахождения области определения и области значений данной функции проанализируем её структуру. Функция является произведением константы 0,5 на функцию арктангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arctg } x$ определена для всех действительных чисел. То есть, $x$ может принимать любое значение из интервала $(-\infty; +\infty)$. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arctg } x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого $x$ выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg } x < \frac{\pi}{2}$.
Чтобы найти область значений для $y = 0,5 \text{arctg } x$, умножим все части неравенства на 0,5. Так как 0,5 > 0, знак неравенства сохраняется: $0,5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 0,5 \cdot \text{arctg } x < 0,5 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{4} < y < \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

б) $y = \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x$

Эта функция является разностью между константой $\frac{2\pi}{3}$ и функцией арккотангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Вычитание из константы не влияет на область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arcctg } x$ есть интервал $(0; \pi)$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство: $0 < \text{arcctg } x < \pi$.
Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-\pi < -\text{arcctg } x < 0$.
Теперь прибавим ко всем частям неравенства константу $\frac{2\pi}{3}$: $\frac{2\pi}{3} - \pi < \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x < \frac{2\pi}{3} + 0$
$\frac{2\pi - 3\pi}{3} < y < \frac{2\pi}{3}$
$-\frac{\pi}{3} < y < \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.

в) $y = -\frac{1}{3} \text{arcctg } x$

Функция является произведением константы $-\frac{1}{3}$ на функцию арккотангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arcctg } x$ есть интервал $(0; \pi)$: $0 < \text{arcctg } x < \pi$.
Чтобы найти область значений для $y$, умножим все части неравенства на $-\frac{1}{3}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные: $-\frac{1}{3} \cdot \pi < -\frac{1}{3} \cdot \text{arcctg } x < -\frac{1}{3} \cdot 0$
$-\frac{\pi}{3} < y < 0$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{3}; 0)$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{3}; 0)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{3}; 0)$.

г) $y = 1,5 \text{arctg}(x + 2)$

Данная функция является преобразованием функции арктангенс: сдвиг по оси абсцисс и растяжение по оси ординат.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arctg}(u)$ определена при любом действительном значении аргумента $u$. В данном случае $u = x + 2$. Выражение $x+2$ определено для любого $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, область определения функции $y$ - все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Сдвиг графика по горизонтали (замена $x$ на $x+2$) не влияет на область значений функции. Область значений $z = \text{arctg}(x+2)$ такая же, как и у $\text{arctg } x$, то есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$: $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg}(x+2) < \frac{\pi}{2}$.
Далее, умножим все части неравенства на 1,5. Так как 1,5 > 0, знак неравенства сохраняется: $1,5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 1,5 \cdot \text{arctg}(x+2) < 1,5 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{1,5\pi}{2} < y < \frac{1,5\pi}{2}$.
Так как $1,5 = \frac{3}{2}$, то: $-\frac{3\pi}{4} < y < \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.
$E(y) = (-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.

21.43. a) $y = \text{arctg } 3x;$

б) $y = \text{arctg } \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6};$

В) $y = \text{arcctg } \frac{3x}{4};$

Г) $y = \text{arcctg } 2(x - 1).$

Дана функция $y = \operatorname{arctg} 3x$.

Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{1+u^2}$.

Внутренняя функция $u = g(x) = 3x$, ее производная $g'(x) = 3$.

Тогда производная функции $y$ будет:

$y' = (\operatorname{arctg} 3x)' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = \frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{1+9x^2}$.

Дана функция $y = \operatorname{arctg}\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Производная разности функций равна разности их производных: $y' = (\operatorname{arctg}\frac{x}{2})' - (\frac{\pi}{6})'$.

Производная константы $\frac{\pi}{6}$ равна нулю: $(\frac{\pi}{6})' = 0$.

Для нахождения производной функции $\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ используем цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, внутренняя функция $u = g(x) = \frac{x}{2}$.

Производная внешней функции $f'(u) = \frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции $g'(x) = (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $(\operatorname{arctg}\frac{x}{2})' = \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\frac{4+x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{4+x^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4+x^2}$.

Объединяя результаты, получаем: $y' = \frac{2}{4+x^2} - 0 = \frac{2}{x^2+4}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x^2+4}$.

Дана функция $y = \operatorname{arcctg}\frac{3x}{4}$.

Для нахождения производной этой сложной функции применим цепное правило. Производная функции арккотангенс $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Здесь внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, а внутренняя функция $u = g(x) = \frac{3x}{4}$.

Производная внутренней функции $g'(x) = (\frac{3x}{4})' = \frac{3}{4}$.

Применяя цепное правило, получаем:

$y' = (\operatorname{arcctg}\frac{3x}{4})' = -\frac{1}{1+(\frac{3x}{4})^2} \cdot (\frac{3x}{4})' = -\frac{1}{1+\frac{9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4}$.

Упростим выражение: $y' = -\frac{1}{\frac{16+9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{16}{16+9x^2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{12}{16+9x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{12}{16+9x^2}$.

Дана функция $y = \operatorname{arcctg}2(x-1)$.

Это сложная функция. Упростим аргумент: $2(x-1) = 2x-2$. Итак, $y = \operatorname{arcctg}(2x-2)$.

Воспользуемся цепным правилом. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, ее производная $f'(u) = -\frac{1}{1+u^2}$.

Внутренняя функция $u = g(x) = 2x-2$, ее производная $g'(x) = 2$.

Тогда производная функции $y$ будет:

$y' = (\operatorname{arcctg}(2x-2))' = -\frac{1}{1+(2x-2)^2} \cdot (2x-2)' = -\frac{1}{1+(2(x-1))^2} \cdot 2 = -\frac{2}{1+4(x-1)^2}$.

Можно раскрыть скобки в знаменателе: $1+4(x-1)^2 = 1+4(x^2-2x+1) = 1+4x^2-8x+4 = 4x^2-8x+5$. Тогда $y' = -\frac{2}{4x^2-8x+5}$. Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $y' = -\frac{2}{1+4(x-1)^2}$.