Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое $sin t$? Что такое $cos t$?

Синус ($ \sin t $) и косинус ($ \cos t $) — это основные тригонометрические функции, которые устанавливают связь между углами и сторонами в геометрических фигурах. Аргумент $t$ в этих функциях обычно представляет собой угол, измеряемый в радианах или градусах. Существует несколько способов определения этих функций.

Определение синуса угла $t$ зависит от контекста.

1. Определение через прямоугольный треугольник. Этот метод применяется для острых углов ($0^\circ < t < 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике синус острого угла $t$ равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы.
Математически это выражается формулой: $ \sin t = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

2. Определение через единичную окружность. Это более общее определение, которое подходит для любого угла $t$. Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1 (такая окружность называется единичной). Начальная точка движения — $(1,0)$ на оси абсцисс. Чтобы найти синус угла $t$, мы поворачиваем радиус-вектор из начальной точки на угол $t$ против часовой стрелки (для положительных $t$) или по часовой стрелке (для отрицательных $t$). Конечная точка на окружности будет иметь некоторые координаты $(x, y)$. Синусом угла $t$ называется ордината (координата $y$) этой точки.
Математически это выражается формулой: $ \sin t = y $

Таким образом, синус характеризует «вертикальную» координату точки на единичной окружности.

Ответ: Синус угла $t$ — это тригонометрическая функция, которая для острого угла в прямоугольном треугольнике равна отношению противолежащего катета к гипотенузе, а в общем случае — ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $t$.

Косинус угла $t$ определяется аналогично синусу.

1. Определение через прямоугольный треугольник. Для острого угла $t$ в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы.
Математически это выражается формулой: $ \cos t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

2. Определение через единичную окружность. В той же системе с единичной окружностью, после поворота на угол $t$ и получения точки с координатами $(x, y)$, косинусом угла $t$ называется абсцисса (координата $x$) этой точки.
Математически это выражается формулой: $ \cos t = x $

Таким образом, косинус характеризует «горизонтальную» координату точки на единичной окружности. Координаты любой точки на единичной окружности можно представить как $(\cos t, \sin t)$, где $t$ — угол поворота. Из теоремы Пифагора для этой точки следует основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Ответ: Косинус угла $t$ — это тригонометрическая функция, которая для острого угла в прямоугольном треугольнике равна отношению прилежащего катета к гипотенузе, а в общем случае — абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $t$.

2. Что такое $ \text{tg } t $? Что такое $ \text{ctg } t $?

Что такое tg t?

Тангенс угла $t$, обозначаемый как $\text{tg } t$ (или $\text{tan } t$), является одной из основных тригонометрических функций.

Определить тангенс можно несколькими способами:

• Через синус и косинус: Тангенс угла $t$ — это отношение синуса этого угла к его косинусу. Это наиболее общее определение, применимое для любого угла.
  Формула: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$.
• В прямоугольном треугольнике: Для острого угла $t$ в прямоугольном треугольнике тангенс равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
• Геометрически на единичной окружности: Тангенс угла $t$ — это ордината (координата y) точки пересечения прямой, содержащей конечную сторону угла, с "линией тангенсов" — касательной к единичной окружности, проведенной через точку $(1, 0)$.

Область определения: Тангенс определен для всех действительных чисел $t$, кроме тех, для которых косинус равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Это происходит при $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Тангенс угла $t$ — это тригонометрическая функция, равная отношению синуса угла $t$ к его косинусу: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Что такое ctg t?

Котангенс угла $t$, обозначаемый как $\text{ctg } t$ (или $\text{cot } t$), — это еще одна тригонометрическая функция, тесно связанная с тангенсом.

Определения котангенса:

• Через синус и косинус: Котангенс угла $t$ — это отношение косинуса этого угла к его синусу.
  Формула: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$.
• Через тангенс: Котангенс является обратной функцией к тангенсу: $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$.
• В прямоугольном треугольнике: Для острого угла $t$ в прямоугольном треугольнике котангенс равен отношению длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.
• Геометрически на единичной окружности: Котангенс угла $t$ — это абсцисса (координата x) точки пересечения прямой, содержащей конечную сторону угла, с "линией котангенсов" — касательной к единичной окружности, проведенной через точку $(0, 1)$.

Область определения: Котангенс определен для всех действительных чисел $t$, кроме тех, для которых синус равен нулю. Это происходит при $t = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Котангенс угла $t$ — это тригонометрическая функция, равная отношению косинуса угла $t$ к его синусу: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

3. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $tg t$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для какого-либо выражения — это множество всех значений переменной, при которых это выражение имеет смысл.

Выражение, которое мы рассматриваем, — это тангенс $t$, то есть $tg \ t$.

По определению, тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу: $$tg \ t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Дробное выражение имеет смысл только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель — это $\cos t$. Следовательно, для того чтобы выражение $tg \ t$ было определено, необходимо выполнение условия: $$\cos t \neq 0$$

Найдем, при каких значениях $t$ косинус обращается в ноль. Функция косинуса равна нулю для углов, соответствующих точкам на единичной окружности с абсциссой 0. Это происходит при углах, равных $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ и так далее, а также $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$ и так далее.

Эту последовательность значений можно описать общей формулой: $$t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$ (здесь $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел).

Таким образом, область допустимых значений для выражения $tg \ t$ включает все действительные числа, за исключением тех, при которых $\cos t = 0$.

Ответ: Областью допустимых значений для выражения $tg \ t$ является множество всех действительных чисел $t$, за исключением чисел вида $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

4. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $ctg t$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для некоторого выражения — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение определено (имеет смысл).

Рассмотрим тригонометрическую функцию котангенс, выраженную через отношение синуса и косинуса:

$ctg\ t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Это выражение является дробью. Главное ограничение для дробей — знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Следовательно, чтобы выражение $ctg\ t$ имело смысл, необходимо выполнение условия:

$\sin t \neq 0$

Теперь найдем, при каких значениях $t$ это условие нарушается, то есть решим уравнение:

$\sin t = 0$

Синус равен нулю в точках, соответствующих углам $0, \pi, 2\pi, -\pi, -2\pi$ и так далее. Обобщенная формула для всех таких значений $t$ имеет вид:

$t = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область допустимых значений для выражения $ctg\ t$ включает все действительные числа, кроме тех, которые можно представить в виде $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (все действительные числа, кроме $t = \pi n$, где $n$ — любое целое число).

5. Объясните, почему в четвёртой четверти числовой окружности синус отрицателен, а косинус положителен.

5. Объяснение знаков синуса и косинуса в четвертях числовой окружности основано на их определении в декартовой системе координат. Числовая окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным единице ($R=1$).

Любому углу $\alpha$ (или действитильному числу $t$) соответствует точка $M(x, y)$ на этой окружности. По определению, абсцисса этой точки равна косинусу угла, а ордината — синусу угла. Таким образом, мы имеем следующие соотношения: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Координатные оси делят плоскость на четыре четверти. Четвёртая четверть — это область плоскости, в которой все точки имеют положительную абсциссу ($x > 0$) и отрицательную ординату ($y < 0$).

Когда угол $\alpha$ таков, что соответствующая ему точка $M$ на числовой окружности попадает в четвёртую четверть (например, угол находится в интервале от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$), её координата $x$ будет положительной, а координата $y$ — отрицательной. Исходя из определений синуса и косинуса, это напрямую означает, что:

• Косинус этого угла положителен, так как $\cos(\alpha) = x$, а $x > 0$.
• Синус этого угла отрицателен, так как $\sin(\alpha) = y$, а $y < 0$.

Ответ: В четвёртой четверти числовой окружности любая точка имеет положительную абсциссу ($x>0$) и отрицательную ординату ($y<0$). Поскольку косинус угла по определению равен абсциссе точки на числовой окружности ($\cos(\alpha) = x$), а синус — ординате ($\sin(\alpha) = y$), то в четвёртой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.

6. Объясните, почему во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны.

Для того чтобы объяснить, почему тангенс и котангенс отрицательны во второй четверти числовой окружности, необходимо рассмотреть их определения и знаки координат точек в этой четверти.

В декартовой системе координат каждой точке $P(x, y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, сопоставляются тригонометрические функции. Синус угла определяется как ордината точки: $\sin(\alpha) = y$. Косинус угла определяется как абсцисса точки: $\cos(\alpha) = x$.

Тангенс и котангенс, в свою очередь, выражаются через синус и косинус. Тангенс — это отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}$. Котангенс — это отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y}$.

Вторая четверть координатной плоскости, которой соответствуют углы от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (или от 90° до 180°), характеризуется тем, что для любой точки $P(x, y)$ в этой области абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$).

Следовательно, для любого угла $\alpha$ из второй четверти знаки синуса и косинуса будут следующими: $\sin(\alpha) = y$ — положительный, а $\cos(\alpha) = x$ — отрицательный.

Теперь определим знаки тангенса и котангенса.Так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, мы делим положительное значение (синус) на отрицательное (косинус), что в результате даёт отрицательное число.Аналогично, так как $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, мы делим отрицательное значение (косинус) на положительное (синус), что также даёт в результате отрицательное число.

Таким образом, во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны, поскольку являются частным от деления синуса и косинуса, которые в этой четверти имеют противоположные знаки.

Ответ: Во второй четверти числовой окружности синус положителен (так как ордината $y > 0$), а косинус отрицателен (так как абсцисса $x < 0$). Тангенс, равный отношению $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, и котангенс, равный отношению $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, являются результатом деления чисел с разными знаками, поэтому их значения всегда отрицательны.

7. Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат $xOy$. Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат xOy.
Общее уравнение окружности в декартовой системе координат с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. По условию, центр окружности находится в начале координат, то есть $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Окружность является единичной, это означает, что ее радиус $R = 1$. Подставляем эти значения в общую формулу уравнения окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$
После упрощения получаем искомое уравнение:
$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$.

Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?
Основное тригонометрическое тождество является прямым следствием уравнения единичной окружности и определений тригонометрических функций. Рассмотрим произвольную точку $P(x, y)$, лежащую на единичной окружности. Положение этой точки на окружности можно задать углом $t$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси $Ox$.
Согласно определению тригонометрических функций через единичную окружность, абсцисса ($x$) и ордината ($y$) точки $P$ выражаются через угол $t$ следующим образом:
$x = \cos t$
$y = \sin t$
Поскольку точка $P(x, y)$ принадлежит единичной окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции:
$(\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1$
Это равенство, которое принято записывать в виде $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, и является основным тригонометрическим тождеством. Оно справедливо для любого значения угла $t$.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество получается путем подстановки в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ определений косинуса и синуса как координат точки на этой окружности: $x = \cos t$ и $y = \sin t$.

8. Объясните, почему $ \sin(-t) = -\sin t $, а $ \cos(-t) = \cos t $.

Данные равенства отражают свойства чётности и нечётности тригонометрических функций. Функция $y = \cos(t)$ является чётной, так как для любого $t$ выполняется равенство $f(-t) = f(t)$. Функция $y = \sin(t)$ является нечётной, так как для любого $t$ выполняется равенство $f(-t) = -f(t)$.

Объяснить эти свойства наиболее наглядно можно с помощью единичной тригонометрической окружности. Это окружность с радиусом $1$ и центром в начале координат.

Почему cos(-t) = cos t

По определению, косинус и синус угла $t$ — это абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1, 0)$ на угол $t$. Угол считается положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным при повороте по часовой стрелке.

Рассмотрим две точки на единичной окружности:

• Точка $P_1$, соответствующая углу $t$. Её координаты: $(\cos t, \sin t)$.
• Точка $P_2$, соответствующая углу $-t$. Её координаты: $(\cos(-t), \sin(-t))$.

Точки $P_1$ и $P_2$ получаются поворотом на один и тот же угол по величине, но в разных направлениях. Это означает, что эти точки симметричны относительно горизонтальной оси (оси абсцисс, Ox).

При симметрии относительно оси Ox абсцисса (координата $x$) точки не меняется, а ордината (координата $y$) меняет знак на противоположный.

Сравнивая абсциссы точек $P_1$ и $P_2$, получаем:

$x_{P_1} = x_{P_2}$

Поскольку $x_{P_1} = \cos t$, а $x_{P_2} = \cos(-t)$, то из этого следует равенство:

$\cos t = \cos(-t)$

Это свойство и означает, что косинус — чётная функция.

Ответ: Равенство $\cos(-t) = \cos t$ справедливо, потому что на единичной окружности углам $t$ и $-t$ соответствуют точки с одинаковой абсциссой (координатой x), а косинус угла по определению равен этой абсциссе. Это свойство называется чётностью функции косинус.

Почему sin(-t) = -sin t

Рассмотрим те же точки $P_1(\cos t, \sin t)$ и $P_2(\cos(-t), \sin(-t))$, соответствующие углам $t$ и $-t$. Как мы установили, эти точки симметричны относительно оси Ox.

При такой симметрии ординаты (координаты y) точек равны по модулю, но противоположны по знаку.

Сравнивая ординаты точек $P_1$ и $P_2$, получаем:

$y_{P_2} = -y_{P_1}$

Поскольку $y_{P_1} = \sin t$, а $y_{P_2} = \sin(-t)$, то из этого следует равенство:

$\sin(-t) = -\sin t$

Это свойство и означает, что синус — нечётная функция.

Ответ: Равенство $\sin(-t) = -\sin t$ справедливо, потому что на единичной окружности углам $t$ и $-t$ соответствуют точки с ординатами (координатами y), противоположными по знаку, а синус угла по определению равен этой ординате. Это свойство называется нечётностью функции синус.

Также эти тождества можно доказать алгебраически, используя формулы разности углов:

$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Подставим $a = 0$ и $b = t$. Учитывая, что $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$:

$\cos(0 - t) = \cos(0)\cos(t) + \sin(0)\sin(t) = 1 \cdot \cos(t) + 0 \cdot \sin(t) = \cos(t)$

$\sin(0 - t) = \sin(0)\cos(t) - \cos(0)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - 1 \cdot \sin(t) = -\sin(t)$

9. Докажите, что $\operatorname{tg}(-t)=-\operatorname{tg} t, \operatorname{ctg}(-t)=-\operatorname{ctg} t.$

Для доказательства данных тождеств мы воспользуемся определениями функций тангенса и котангенса через синус и косинус, а также свойствами четности этих функций.

Нам понадобятся следующие свойства:

1. Функция синус является нечетной, то есть $sin(-t) = -sin(t)$.

2. Функция косинус является четной, то есть $cos(-t) = cos(t)$.

Доказательство тождества $tg(-t) = -tg(t)$

По определению тангенса: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$.

Запишем левую часть доказываемого тождества, используя это определение:

$tg(-t) = \frac{sin(-t)}{cos(-t)}$

Теперь применим свойства нечетности для синуса и четности для косинуса:

$\frac{sin(-t)}{cos(-t)} = \frac{-sin(t)}{cos(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:

$\frac{-sin(t)}{cos(t)} = -\frac{sin(t)}{cos(t)}$

Так как по определению $\frac{sin(t)}{cos(t)} = tg(t)$, мы получаем:

$-\frac{sin(t)}{cos(t)} = -tg(t)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $tg(-t) = -tg(t)$. Это свойство означает, что тангенс является нечетной функцией.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство тождества $ctg(-t) = -ctg(t)$

По определению котангенса: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$.

Запишем левую часть доказываемого тождества, используя это определение:

$ctg(-t) = \frac{cos(-t)}{sin(-t)}$

Применим свойства четности для косинуса и нечетности для синуса:

$\frac{cos(-t)}{sin(-t)} = \frac{cos(t)}{-sin(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:

$\frac{cos(t)}{-sin(t)} = -\frac{cos(t)}{sin(t)}$

Так как по определению $\frac{cos(t)}{sin(t)} = ctg(t)$, мы получаем:

$-\frac{cos(t)}{sin(t)} = -ctg(t)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $ctg(-t) = -ctg(t)$. Это свойство означает, что котангенс является нечетной функцией.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10. Объясните, почему

$sin (t + 2\pi n) = sin t$, $cos (t + 2\pi n) = cos t$, где $n \in \mathbf{Z}$.

Равенства $sin(t + 2\pi n) = sin(t)$ и $cos(t + 2\pi n) = cos(t)$ верны, потому что тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими. Давайте разберем это подробнее с двух точек зрения.

Объяснение через единичную окружность (геометрическое)

1. По определению, синус и косинус угла $t$ – это координаты точки $P(t)$ на единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат), полученной поворотом точки $(1, 0)$ на угол $t$ против часовой стрелки. Координаты точки $P(t)$ равны $(cos(t), sin(t))$.

2. Угол в $2\pi$ радиан (или 360°) представляет собой один полный оборот вокруг окружности.

3. Когда мы к углу $t$ прибавляем $2\pi n$, где $n \in Z$ (то есть $n$ – любое целое число: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), мы фактически совершаем $n$ полных оборотов из точки $P(t)$ и возвращаемся в неё же.

• Если $n > 0$, мы делаем $n$ полных оборотов против часовой стрелки.
• Если $n < 0$, мы делаем $|n|$ полных оборотов по часовой стрелке.
• Если $n = 0$, мы остаемся на месте.

4. Во всех случаях точка, соответствующая углу $t + 2\pi n$, будет совпадать с точкой, соответствующей углу $t$. Поскольку точки на окружности совпадают, их координаты (абсцисса и ордината) также будут одинаковыми.

Следовательно, абсцисса точки $cos(t + 2\pi n)$ равна абсциссе $cos(t)$, а ордината $sin(t + 2\pi n)$ равна ординате $sin(t)$.

Объяснение через формулы сложения (алгебраическое)

Можно также доказать эти равенства, используя формулы сложения для синуса и косинуса:
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Для любого целого числа $n$, угол $2\pi n$ соответствует целому числу полных оборотов, поэтому значения синуса и косинуса для этого угла всегда одни и те же:
$cos(2\pi n) = 1$
$sin(2\pi n) = 0$

Теперь подставим эти значения в формулы сложения, взяв $\alpha = t$ и $\beta = 2\pi n$:

Для синуса:
$sin(t + 2\pi n) = sin(t)cos(2\pi n) + cos(t)sin(2\pi n) = sin(t) \cdot 1 + cos(t) \cdot 0 = sin(t)$

Для косинуса:
$cos(t + 2\pi n) = cos(t)cos(2\pi n) - sin(t)sin(2\pi n) = cos(t) \cdot 1 - sin(t) \cdot 0 = cos(t)$

Оба подхода показывают, что значения синуса и косинуса не изменяются при добавлении к их аргументу целого числа полных оборотов ($2\pi n$). Это свойство называется периодичностью, а $2\pi$ является основным (наименьшим положительным) периодом для этих функций.

Ответ: Равенства $sin(t + 2\pi n) = sin(t)$ и $cos(t + 2\pi n) = cos(t)$ верны из-за периодичности функций синуса и косинуса. Их основной период равен $2\pi$. Добавление к аргументу $t$ величины $2\pi n$ (где $n$ — целое число) соответствует совершению $n$ полных оборотов по единичной окружности, что всегда возвращает точку в ее исходное положение. Следовательно, координаты точки (косинус и синус) не изменяются.

21.17. a) $\cos \left(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right);$

б) $\frac{1}{3} \left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right).$

а) $cos\left(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Для решения этой задачи необходимо найти значения арккосинусов для табличных значений косинуса. Вспомним, что область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

1. Найдем значение $\arccos \frac{1}{2}$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдем значение $\arccos 0$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Найдем значение $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$. Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:
$cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)$.

5. Упростим выражение в скобках:
$cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right) = cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$.

6. Вычислим значение косинуса. Используя свойство четности косинуса ($cos(-a) = cos(a)$), получаем:
$cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: 0

б) $\frac{1}{3}\left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством арккосинуса, которое связывает значения функции для противоположных аргументов: $\arccos x + \arccos(-x) = \pi$, для любого $x \in [-1, 1]$.

1. В данном выражении $x = \frac{1}{3}$. Так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, мы можем применить это свойство.
$\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) = \pi$.

2. Подставим значение суммы в исходное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

21.18. а) $\sin \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

В) $\operatorname{ctg}(\arccos 0)$;

Г) $\sin \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

a) Пусть $ \alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) $. По определению арккосинуса, $ \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Требуется найти $ \sin(\alpha) $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $. Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, значение $ \sin(\alpha) $ неотрицательно, поэтому $ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} $.

Подставим значение $ \cos(\alpha) $:$ \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. По определению, это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$ \tg\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) $.

Это табличное значение: $ \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

в) Найдем значение $ \arccos(0) $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен нулю. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.

Теперь вычислим котангенс этого угла:

$ \ctg(\arccos(0)) = \ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) $.

По определению $ \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $, поэтому $ \ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.

Ответ: $ 0 $

г) Сначала вычислим $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол $ \alpha \in [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это известный угол $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

Теперь найдем синус этого угла:

$ \sin\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Это табличное значение: $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

21.19. a) $ \sin \left(2 \arcsin \frac{1}{2} - 3 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

б) $ \cos \left(\frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right); $

в) $ \operatorname{tg} \left(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

г) $ \operatorname{ctg} \left(3 \arccos (-1) - \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)\right). $

а) Чтобы вычислить значение выражения $ \sin\left(2 \arcsin\frac{1}{2} - 3 \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) $, сначала найдем значения обратных тригонометрических функций.
По определению, $ \arcsin\frac{1}{2} $ — это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
Также по определению, $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{2\pi}{3} $.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) $.
Синус является периодической функцией с периодом $ 2\pi $, поэтому $ \sin(\alpha - 2\pi) = \sin(\alpha) $.
Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Рассмотрим выражение $ \cos\left(\frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) $.
Найдем значения арксинусов:
$ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $ и $ \frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
Подставим значения в выражение:
$ \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos(0) $.
Значение косинуса нуля равно 1.
$ \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

в) Вычислим $ \text{tg}\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.
Найдем значения обратных тригонометрических функций:
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
$ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $, так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \frac{\pi}{4} \in [0, \pi] $.
Подставляем значения в выражение:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) $.
Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Вычислим тангенс полученного угла:
$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

г) Рассмотрим выражение $ \text{ctg}\left(3 \arccos(-1) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) $.
Найдем значения обратных тригонометрических функций:
$ \arccos(-1) = \pi $, так как $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \pi \in [0, \pi] $.
$ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
Подставляем значения в выражение:
$ \text{ctg}\left(3 \cdot \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \text{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) $.
Котангенс является периодической функцией с периодом $ \pi $, поэтому $ \text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha) $ для любого целого $ k $.
Следовательно, $ \text{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $

21.20. Докажите тождество:

a) $ \sin (\arccos x + \arccos (-x)) = 0; $

б) $ \cos (\arcsin x + \arcsin (-x)) = 1. $

а) Докажем тождество $sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$.

Для решения воспользуемся свойством обратной тригонометрической функции арккосинуса:

$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

Это равенство верно для любого $x$ из области определения арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

Подставим это свойство в левую часть исходного тождества:

$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = \sin(\arccos x + (\pi - \arccos x))$

Теперь упростим выражение в аргументе синуса:

$\arccos x + \pi - \arccos x = \pi$

В результате получаем:

$\sin(\pi) = 0$

Таким образом, левая часть тождества равна $0$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$ доказано.

б) Докажем тождество $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$.

Для решения воспользуемся свойством обратной тригонометрической функции арксинуса, которое заключается в том, что арксинус является нечетной функцией:

$\arcsin(-x) = -\arcsin x$

Это равенство верно для любого $x$ из области определения арксинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

Подставим это свойство в левую часть исходного тождества:

$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = \cos(\arcsin x + (-\arcsin x))$

Теперь упростим выражение в аргументе косинуса:

$\arcsin x - \arcsin x = 0$

В результате получаем:

$\cos(0) = 1$

Таким образом, левая часть тождества равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$ доказано.

21.21. Найдите область определения функции:

а) $y = \arccos x$;

б) $y = \arccos(x - 1)$;

в) $y = \arccos 2x$;

г) $y = \arccos(3 - 2x)$.

а) $y = \arccos x$
Область определения функции арккосинус — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для функции $y = \arccos(z)$ область определения задается неравенством $-1 \le z \le 1$.
В данном случае аргумент функции равен $x$. Следовательно, для нахождения области определения функции $y = \arccos x$ нужно решить неравенство:
$-1 \le x \le 1$.
Это и есть область определения функции.
Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

б) $y = \arccos(x - 1)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $x - 1$. Согласно определению арккосинуса, его аргумент должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно.
Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le x - 1 \le 1$.
Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$.
$0 \le x \le 2$.
Следовательно, область определения функции — это отрезок от 0 до 2.
Ответ: $D(y) = [0; 2]$.

в) $y = \arccos(2x)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $2x$. Область определения функции $y = \arccos(z)$ — это отрезок $[-1; 1]$.
Таким образом, должно выполняться условие:
$-1 \le 2x \le 1$.
Разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$\frac{-1}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
Область определения функции — это отрезок от -0.5 до 0.5.
Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

г) $y = \arccos(3 - 2x)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $3 - 2x$. Это выражение должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.
Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le 3 - 2x \le 1$.
Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le 3 - 2x - 3 \le 1 - 3$.
$-4 \le -2x \le -2$.
Теперь разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-4}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{-2}{-2}$.
$2 \ge x \ge 1$.
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$1 \le x \le 2$.
Таким образом, область определения функции — это отрезок от 1 до 2.
Ответ: $D(y) = [1; 2]$.

21.22. Имеет ли смысл выражение:

а) $arccos \sqrt{5}$;

б) $arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

в) $arccos \frac{\pi}{5}$;

г) $arccos (-\sqrt{3})$?

Выражение $\arccos(a)$ имеет смысл (определено) тогда и только тогда, когда его аргумент $a$ находится в пределах области определения функции арккосинус, то есть $a \in [-1, 1]$. Проверим это условие для каждого случая.

а) $arccos\sqrt{5}$
Проверим условие для аргумента $a = \sqrt{5}$.
Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{5} > 1$.
Поскольку аргумент не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

б) $arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$
Проверим условие для аргумента $a = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{1}$, что означает $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$.
Поскольку аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

в) $arccos\frac{\pi}{5}$
Проверим условие для аргумента $a = \frac{\pi}{5}$.
Используем известное приближение для числа $\pi$: $3,14 < \pi < 3,15$.
Разделив на 5, получаем: $\frac{3,14}{5} < \frac{\pi}{5} < \frac{3,15}{5}$, то есть $0,628 < \frac{\pi}{5} < 0,63$.
Значение $a = \frac{\pi}{5}$ находится в отрезке $[-1, 1]$, следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) $arccos(-\sqrt{3})$
Проверим условие для аргумента $a = -\sqrt{3}$.
Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{3} > 1$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется: $-\sqrt{3} < -1$.
Поскольку аргумент не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

21.23. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \arccos x;$

б) $y = 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2};$

в) $y = -\frac{1}{2} \arccos x;$

г) $y = \pi - 2 \arccos x.$

а) Для нахождения области значений функции $y = 2 \arccos x$ воспользуемся тем, что область значений функции арккосинус $E(\arccos x)$ есть отрезок $[0; \pi]$. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции, выполняется двойное неравенство:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части этого неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2 \arccos x \le 2 \cdot \pi$
$0 \le y \le 2\pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[0; 2\pi]$.
Ответ: $[0; 2\pi]$.

б) Для функции $y = 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2}$ начнем с того же неравенства:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим все части неравенства на 1,5:
$1,5 \cdot 0 \le 1,5 \arccos x \le 1,5 \cdot \pi$
$0 \le 1,5 \arccos x \le \frac{3\pi}{2}$.
Теперь вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$0 - \frac{\pi}{2} \le 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{2\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

в) Для функции $y = -\frac{1}{2}\arccos x$ снова используем исходное неравенство для арккосинуса:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 0 \ge -\frac{1}{2} \arccos x \ge -\frac{1}{2} \cdot \pi$
$0 \ge y \ge -\frac{\pi}{2}$.
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-\frac{\pi}{2} \le y \le 0$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

г) Для функции $y = \pi - 2 \arccos x$ начнем с неравенства для арккосинуса:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим все части на -2. Знаки неравенства меняются на противоположные:
$-2 \cdot 0 \ge -2 \arccos x \ge -2 \cdot \pi$
$0 \ge -2 \arccos x \ge -2\pi$.
Запишем в стандартном виде:
$-2\pi \le -2 \arccos x \le 0$.
Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства:
$\pi - 2\pi \le \pi - 2 \arccos x \le \pi + 0$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\pi; \pi]$.
Ответ: $[-\pi; \pi]$.