Страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

21.31. а) $ \text{arctg } 1 $;

б) $ \text{arctg } (-\sqrt{3}) $;

в) $ \text{arctg } \sqrt{3} $;

г) $ \text{arctg } \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

а) Арктангенсом числа $a$, обозначаемым как $\text{arctg } a$, является угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Чтобы вычислить $\text{arctg } 1$, нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\text{tg } \alpha = 1$. Известно, что тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1. Так как $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то искомое значение равно $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) Для вычисления $\text{arctg}(-\sqrt{3})$ можно использовать свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$ для любого действительного $x$. Таким образом, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$. Далее находим $\text{arctg}(\sqrt{3})$. Нам нужен угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Тогда $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

в) Чтобы вычислить $\text{arctg } \sqrt{3}$, необходимо найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит требуемому интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Для вычисления $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Таким образом, $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Теперь найдем значение $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Нам нужен угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Отсюда получаем, что $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

21.32. a) $\text{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3};$

б) $\text{arcctg} 1;$

в) $\text{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

г) $\text{arcctg} 0.$

а)

По определению, арккотангенс числа $a$, который обозначается как $\text{arcctg}(a)$, — это угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Таким образом, равенство $\text{arcctg}(a) = y$ равносильно системе: $\text{ctg}(y) = a$ и $y \in (0; \pi)$.

В данном случае нам нужно найти $\text{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это означает, что мы ищем такой угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, что $\text{ctg}(y) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Известно, что котангенс угла равен отношению его косинуса к синусу: $\text{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$. Для стандартного угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует 60°) имеем:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, он является искомым значением арккотангенса.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б)

Требуется найти $\text{arcctg} 1$. Согласно определению, мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = 1$.

Условие $\text{ctg}(y) = 1$ означает, что $\cos(y) = \sin(y)$. В интервале $(0; \pi)$ это равенство выполняется для угла $y = \frac{\pi}{4}$ (что соответствует 45°).

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит области значений арккотангенса $(0; \pi)$, следовательно, он является решением.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в)

Нужно вычислить $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа можно использовать формулу: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Из решения пункта а) мы знаем, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Применяя формулу, получаем:

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ (что соответствует 120°) лежит в интервале $(0; \pi)$ и его котангенс действительно равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому это верный ответ.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

г)

Требуется найти $\text{arcctg} 0$. Мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = 0$.

Котангенс угла равен нулю, когда его косинус равен нулю, а синус не равен нулю, так как $\text{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$.

Уравнение $\cos(y) = 0$ имеет решения $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Нам нужно выбрать такое решение, которое принадлежит интервалу $(0; \pi)$. Этому условию удовлетворяет только $y = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).

Для этого угла $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$, поэтому котангенс определен и равен нулю.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

21.33. a) $arcctg (-1) + arctg (-1)$;

б) $arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + arcctg (-\sqrt{3})$;

в) $arcctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - arcctg \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - arcctg (-\sqrt{3})$.

а) $arcctg(-1) + arctg(-1)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций и их свойствами.
Арккотангенс, $arcctg(x)$, является углом из интервала $(0, \pi)$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Арктангенс, $arctg(x)$, является углом из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и является нечетной функцией: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Складываем полученные значения:
$\frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi - \pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$

Вычислим каждое слагаемое отдельно.
Арксинус, $arcsin(x)$, является углом из интервала $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и является нечетной функцией: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь сложим результаты:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{-3\pi + 10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в) $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое.
Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
По определению, $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Найдем разность полученных значений:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi - \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3})$

Вычислим каждое значение в выражении.
Арккосинус, $arccos(x)$, является углом из интервала $[0, \pi]$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в пункте б): $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi - 5\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

21.34. a) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

в) $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1$;

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2} \arccos \frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а) Для вычисления значения выражения $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(-1) + \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ найдем значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства обратных тригонометрических функций и их табличные значения.

Вспомним свойства:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$
• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$

• $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$
• $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$

Теперь выполним вычисления:
1. $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot (-\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
2. $\arctan(-1) = -\arctan(1) = -\frac{\pi}{4}$.
3. $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Сложим полученные значения:
$-\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $3 \arcsin(\frac{1}{2}) + 4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ вычислим значение каждого члена выражения.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$
• $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$

Выполним вычисления:
1. $3 \arcsin(\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
2. $4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})) = 4 \cdot (\pi - \frac{\pi}{4}) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} = 3\pi$.
3. $-\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -(-\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Сложим результаты и приведем к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 18\pi + \pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{11\pi}{3}$.

в) Для вычисления значения выражения $\arctan(-\sqrt{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(1)$ вычислим каждое слагаемое.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$
• $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

Выполним вычисления:
1. $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
2. $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
3. $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем сумму этих значений, приведя к общему знаменателю 6:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos(\frac{1}{2}) + 3 \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ вычислим значение каждого члена выражения.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$
• $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$
• $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$
• $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$

Выполним вычисления:
1. $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
2. $-\frac{3}{2}\arccos(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
3. $3 \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 3 \cdot (\pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})) = 3 \cdot (\pi - \frac{\pi}{3}) = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Сложим полученные результаты:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi$.
Ответ: $\pi$.

21.35. a) $sin(arctg(-\sqrt{3}));$

б) $tg(arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}));$

в) $cos(arctg 0);$

г) $ctg(arctg(-1)).$

а) Чтобы вычислить $\sin(\arctan(-\sqrt{3}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения $\arctan(-\sqrt{3})$.

Пусть $\alpha = \arctan(-\sqrt{3})$. По определению арктангенса, это означает, что $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Известно, что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$. Так как тангенс — нечетная функция, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$, получаем $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\sin(\arctan(-\sqrt{3})) = \sin(-\frac{\pi}{3})$

Синус также является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$

Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для вычисления $\tan(\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$ воспользуемся основным свойством арктангенса.

По определению обратной тригонометрической функции, для любого действительного числа $x$ справедливо тождество: $\tan(\arctan(x)) = x$.

В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\tan(\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Чтобы вычислить $\cos(\arctan(0))$, сначала найдем значение $\arctan(0)$.

Пусть $\alpha = \arctan(0)$. По определению, это означает, что $\tan(\alpha) = 0$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Единственный угол в этом интервале, тангенс которого равен нулю, — это $0$. Таким образом, $\arctan(0) = 0$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos(\arctan(0)) = \cos(0)$

Значение $\cos(0)$ равно $1$.

Ответ: $1$

г) Чтобы вычислить $\cot(\arctan(-1))$, сначала найдем значение $\arctan(-1)$.

Пусть $\alpha = \arctan(-1)$. По определению, это означает, что $\tan(\alpha) = -1$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Так как тангенс — нечетная функция, $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\cot(\arctan(-1)) = \cot(-\frac{\pi}{4})$

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\cot(-x) = -\cot(x)$. Поэтому:

$\cot(-\frac{\pi}{4}) = -\cot(\frac{\pi}{4})$

Значение $\cot(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.

Следовательно, $\cot(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Другой способ решения — использовать тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ (при условии $\tan(x) \neq 0$).

Пусть $\alpha = \arctan(-1)$, тогда $\tan(\alpha) = -1$.

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$

21.36. a) $ \text{tg}(\text{arcctg } 1) $;

б) $ \sin(\text{arcctg } \sqrt{3}) $;

В) $ \cos(\text{arcctg } (-1)) $;

Г) $ \text{ctg}\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) $.

а) $\text{tg}(\text{arcctg } 1)$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } 1$ — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$.

Таким углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение исходного выражения:

$\text{tg}(\text{arcctg } 1) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Другой способ решения основан на тождестве $\text{tg}(\alpha) = \frac{1}{\text{ctg}(\alpha)}$.

Пусть $\alpha = \text{arcctg } 1$. Тогда по определению $\text{ctg}(\alpha) = 1$.

Следовательно, $\text{tg}(\text{arcctg } 1) = \text{tg}(\alpha) = \frac{1}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) $\text{sin}(\text{arcctg } \sqrt{3})$

Найдем угол $\alpha = \text{arcctg } \sqrt{3}$. По определению, это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.

Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим синус этого угла:

$\text{sin}(\text{arcctg } \sqrt{3}) = \text{sin}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\text{cos}(\text{arcctg}(-1))$

Найдем угол $\alpha = \text{arcctg}(-1)$. Это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $-1$.

Так как значение котангенса отрицательное, угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Известно, что $\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Таким образом, $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Значит, $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь вычислим косинус этого угла:

$\text{cos}(\text{arcctg}(-1)) = \text{cos}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{cos}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\text{ctg}\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)$

Способ 1: Нахождение угла.

Пусть $\alpha = \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Тогда по определению $\text{ctg } \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\alpha \in (0, \pi)$.

Поскольку котангенс отрицательный, угол $\alpha$ лежит во второй четверти.

Мы знаем, что $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Используя формулу $\text{ctg}(\pi-x) = -\text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значит, $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\text{ctg}\left(2 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Используя свойство периодичности котангенса $\text{ctg}(x+\pi) = \text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используем формулу котангенса двойного угла: $\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\text{ctg}^2\alpha - 1}{2\text{ctg}\alpha}$.

Пусть $\alpha = \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, тогда $\text{ctg}\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1}{2\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} = \frac{\frac{1}{3} - 1}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$