Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

21.44. a) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \operatorname{arcctg} x, & \text{если } x \le 1, \\ \operatorname{arctg} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} \text{arctg } x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график функции $y = \text{arctg } x$. Это часть графика арктангенса. График проходит через начало координат $(0, 0)$. При $x \to -\infty$ значения функции асимптотически приближаются к $y = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $y = -\frac{\pi}{2}$ — левосторонняя горизонтальная асимптота. Контрольная точка на этом участке: $x=-1, y = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график квадратного корня, расположенный в первой координатной четверти. Он выходит из точки $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(4, 2)$.

3. Объединяем полученные части. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$. Значение функции в этой точке определяется первой формулой: $y(0) = \text{arctg}(0) = 0$. Пределы слева и справа также равны нулю: $\lim_{x \to 0^-} \text{arctg } x = 0$ и $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Так как пределы совпадают со значением функции, функция непрерывна в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции)

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Для $x \le 0$, значения $y$ лежат в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, 0]$. Для $x > 0$, значения $y$ лежат в промежутке $(0, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, +\infty)$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной. График несимметричен относительно оси Oy и начала координат.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0, 0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

6. Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения. Производная $y' = (\text{arctg } x)' = \frac{1}{1+x^2} > 0$ для $x<0$, и $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для $x>0$.

7. Экстремумы: Вследствие строгой монотонности на всей области определения, функция не имеет точек экстремума.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

9. Асимптоты: Имеется левосторонняя горизонтальная асимптота $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$. Других асимптот нет.

Ответ: График функции состоит из ветви $y = \text{arctg } x$ при $x \le 0$ и ветви $y = \sqrt{x}$ при $x > 0$. Функция непрерывна и возрастает на всей области определения. Область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, +\infty)$. Горизонтальная асимптота $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} \text{arcctg } x, & \text{если } x \le 1 \\ \text{arctg } x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график функции $y = \text{arcctg } x$. Это часть графика арккотангенса. Он убывает от горизонтальной асимптоты $y = \pi$ (при $x \to -\infty$) до точки $(1, \text{arcctg}(1)) = (1, \frac{\pi}{4})$.

2. На промежутке $(1, +\infty)$ строим график функции $y = \text{arctg } x$. Это часть графика арктангенса. Он возрастает от точки $(1, \text{arctg}(1)) = (1, \frac{\pi}{4})$ до горизонтальной асимптоты $y = \frac{\pi}{2}$ (при $x \to +\infty$).

3. Объединяем графики. В точке "стыка" $x=1$ имеем: $y(1) = \text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Пределы слева и справа также равны $\frac{\pi}{4}$: $\lim_{x \to 1^-} \text{arcctg } x = \frac{\pi}{4}$ и $\lim_{x \to 1^+} \text{arctg } x = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=1$. В этой точке убывание сменяется возрастанием, образуя точку минимума.

Чтение графика (свойства функции)

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Минимальное значение достигается в точке $x=1$ и равно $y(1) = \frac{\pi}{4}$. При $x \le 1$ значения лежат в $[\frac{\pi}{4}, \pi)$. При $x > 1$ значения лежат в $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$. Объединяя, получаем $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.

4. Нули функции: Нулей нет, так как область значений $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$ не содержит нуля. График не пересекает ось Ox.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.

6. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

7. Экстремумы: Точка $x=1$ является точкой минимума (глобального). $y_{min} = y(1) = \frac{\pi}{4}$. Максимума у функции нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

9. Асимптоты: Имеются две горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции состоит из ветви $y = \text{arcctg } x$ при $x \le 1$ и ветви $y = \text{arctg } x$ при $x > 1$. Функция непрерывна, убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Точка $(1, \frac{\pi}{4})$ является точкой глобального минимума. Область значений $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$. Горизонтальные асимптоты: $y=\pi$ (слева) и $y=\frac{\pi}{2}$ (справа).

21.45. a) $y = |\operatorname{arctg} x|$;

б) $y = \operatorname{arcctg} |x|$;

В) $y = -2 \operatorname{arcctg} |x|$;

Г) $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$.

а) $y = |\operatorname{arctg} x|$

Для построения графика этой функции сначала рассмотрим график базовой функции $y_1 = \operatorname{arctg} x$. Это стандартная функция арктангенса, определенная для всех действительных чисел, с областью значений $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. График является нечетной функцией, симметричной относительно начала координат, и возрастает на всей области определения. Он имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Затем к графику функции $y_1 = \operatorname{arctg} x$ применяется операция взятия модуля: $y = |y_1| = |\operatorname{arctg} x|$. Это преобразование означает, что та часть графика, которая лежит ниже оси абсцисс (Ох), отражается симметрично относительно этой оси, а та часть, что лежит выше или на оси, остается без изменений. Поскольку $\operatorname{arctg} x \ge 0$ при $x \ge 0$ и $\operatorname{arctg} x < 0$ при $x < 0$, то:

• При $x \ge 0$, график $y = |\operatorname{arctg} x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{arctg} x$.
• При $x < 0$, график $y = |\operatorname{arctg} x|$ получается отражением графика $y = \operatorname{arctg} x$ относительно оси Ох.

Основные свойства итоговой функции $y = |\operatorname{arctg} x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0, \frac{\pi}{2})$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = |\operatorname{arctg}(-x)| = |-\operatorname{arctg} x| = |\operatorname{arctg} x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (Оу).
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = y(0) = 0$.
• Асимптоты: Имеется одна горизонтальная асимптота $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{arctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{arctg} x$ путем отражения его части, лежащей в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость относительно оси Ox. Функция четная, область значений $E(y) = [0, \frac{\pi}{2})$, горизонтальная асимптота $y = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \operatorname{arcctg}|x|$

Для построения графика этой функции начнем с графика базовой функции $y_1 = \operatorname{arcctg} x$. Это функция арккотангенса, определенная для всех действительных чисел, с областью значений $(0, \pi)$. Функция является убывающей на всей области определения. Она имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to +\infty$ и $y = \pi$ при $x \to -\infty$.

Далее выполняется преобразование $y = f(|x|)$, где $f(x) = \operatorname{arcctg} x$. Это означает, что часть графика $y_1 = \operatorname{arcctg} x$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика для $x < 0$ удаляется и заменяется на симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси ординат (Оу). В результате получается четная функция.

• При $x \ge 0$, график $y = \operatorname{arcctg}|x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{arcctg} x$.
• При $x < 0$, график $y = \operatorname{arcctg}|x|$ является зеркальным отражением части графика $y = \operatorname{arcctg} x$ для $x > 0$ относительно оси Оу.

Основные свойства итоговой функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Поскольку при $x \ge 0$ значения $\operatorname{arcctg} x$ лежат в $(0, \frac{\pi}{2}]$, то для четной функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$ область значений будет такой же: $E(y) = (0, \frac{\pi}{2}]$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{arcctg}|-x| = \operatorname{arcctg}|x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Оу.
• Монотонность: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего максимума: $y_{max} = y(0) = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.
• Асимптоты: Имеется одна горизонтальная асимптота $y = 0$ при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$ получается из графика $y = \operatorname{arcctg} x$ путем сохранения его части при $x \ge 0$ и симметричного отражения этой части относительно оси Oy. Функция четная, область значений $E(y) = (0, \frac{\pi}{2}]$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

в) $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$

Для построения графика этой функции мы будем преобразовывать график функции $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$, который мы проанализировали в пункте б). Преобразование состоит из двух шагов:

1. Растяжение графика $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$ вдоль оси Оу в 2 раза. Это дает нам промежуточную функцию $y_3 = 2 \operatorname{arcctg}|x|$. Область значений $y_3$ будет $(0, \pi]$.
2. Отражение графика $y_3 = 2 \operatorname{arcctg}|x|$ симметрично относительно оси абсцисс (Ох). Это дает итоговый график $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$.

Основные свойства итоговой функции $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Исходная область значений для $\operatorname{arcctg}|x|$ была $(0, \frac{\pi}{2}]$. После умножения на $-2$ она становится $[-\pi, 0)$. Итак, $E(y) = [-\pi, 0)$.
• Четность: Функция является четной, так как она получена из четной функции $\operatorname{arcctg}|x|$ умножением на константу. График симметричен относительно оси Оу.
• Монотонность: Функция $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$ возрастала на $(-\infty, 0]$ и убывала на $[0, +\infty)$. Умножение на отрицательное число $-2$ меняет характер монотонности на противоположный. Следовательно, функция $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$ убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: Максимум функции $y_2$ в точке $x=0$ превращается в минимум для функции $y$. $y_{min} = y(0) = -2 \operatorname{arcctg}(0) = -2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi$.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=0$ для функции $y_2$ остается асимптотой и для $y$, так как $-2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: График функции $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$ получается из графика $y = \operatorname{arcctg}|x|$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy с последующим отражением относительно оси Ox. Функция четная, область значений $E(y) = [-\pi, 0)$, точка минимума $(0, -\pi)$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

г) $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$

Построение графика этой функции выполним в несколько шагов, начиная с $y_1 = \operatorname{arctg} x$.

1. Строим график $y_1 = \operatorname{arctg} x$.
2. Сдвигаем график $y_1$ вверх на $\frac{\pi}{6}$ вдоль оси Оу, чтобы получить график функции $y_2 = \operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}$. Асимптоты смещаются на $\frac{\pi}{6}$ вверх и становятся $y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ и $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$. График пересекает ось Ох в точке, где $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6}$, то есть $x = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
3. Применяем операцию взятия модуля к функции $y_2$: $y = |y_2| = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси Ох (при $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$), отражается симметрично относительно оси Ох. Часть графика, лежащая выше или на оси (при $x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$), остается без изменений.

Основные свойства итоговой функции $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Область значений $y_2$ была $(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. После взятия модуля область значений становится $[0, \frac{2\pi}{3})$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = 0$.
• Асимптоты: Функция имеет две горизонтальные асимптоты:
  • $y = \lim_{x \to +\infty} |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}| = |\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}| = \frac{2\pi}{3}$.
  • $y = \lim_{x \to -\infty} |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}| = |-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}| = |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \operatorname{arctg} x$ путем сдвига вверх на $\frac{\pi}{6}$ и последующего отражения отрицательной части графика относительно оси Ox. Функция имеет область значений $[0, \frac{2\pi}{3})$, точку минимума $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0)$ и две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{2\pi}{3}$ (при $x \to +\infty$) и $y = \frac{\pi}{3}$ (при $x \to -\infty$).

21.46. a) $ \cos \left(\arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)\right); $

Б) $ \operatorname{tg}(\arcsin 0,6); $

В) $ \cos \left(\arcsin \frac{8}{17}\right); $

Г) $ \operatorname{ctg}(\arcsin (-0,8)). $

а) $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right) $. По определению арксинуса, это означает, что $ \sin(\alpha) = -\frac{5}{13} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) $ - отрицательное число, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти, то есть $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] $. В этом промежутке косинус является неотрицательной функцией, то есть $ \cos(\alpha) \geq 0 $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Отсюда $ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Тогда $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $ (выбираем положительное значение, так как $ \cos(\alpha) \geq 0 $).

Следовательно, $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $.

б) $ \text{tg}(\arcsin(0,6)) $

Пусть $ \alpha = \arcsin(0,6) $. Это значит, что $ \sin(\alpha) = 0,6 = \frac{3}{5} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти: $ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $. В этом промежутке косинус также положителен, $ \cos(\alpha) > 0 $.

Нам нужно найти $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $. Для этого сначала найдем $ \cos(\alpha) $ из основного тригонометрического тождества:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

$ \cos(\alpha) = \sqrt{0,64} = 0,8 $ (так как $ \cos(\alpha) > 0 $).

Теперь можем вычислить тангенс:

$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} $.

в) $ \cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\left(\frac{8}{17}\right) $. По определению, $ \sin(\alpha) = \frac{8}{17} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Так как $ \sin(\alpha) > 0 $, то $ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $. В этом интервале $ \cos(\alpha) \ge 0 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} $.

Так как $ \cos(\alpha) \ge 0 $, то $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} $.

Следовательно, $ \cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right) = \frac{15}{17} $.

Ответ: $ \frac{15}{17} $.

г) $ \text{ctg}(\arcsin(-0,8)) $

Пусть $ \alpha = \arcsin(-0,8) $. Это означает, что $ \sin(\alpha) = -0,8 = -\frac{4}{5} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) < 0 $, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти, $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] $. В этом промежутке $ \cos(\alpha) \ge 0 $.

Для нахождения $ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ сначала найдем $ \cos(\alpha) $.

Из основного тригонометрического тождества:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

$ \cos(\alpha) = \sqrt{0,36} = 0,6 $ (выбираем положительное значение).

Теперь находим котангенс:

$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

21.47. a) $ \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right); $

б) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right); $

в) $ \sin \left( \arccos \left( -0.8 \right) \right); $

г) $ \operatorname{ctg} \left( \arccos \frac{4}{5} \right). $

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\sin\alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Подставим значение косинуса:

$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$.

Тогда $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение синуса для такого угла неотрицательно, то есть $\sin\alpha \ge 0$. Следовательно, мы выбираем положительное значение.

$\sin\alpha = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) $\text{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right)$. По определению, $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Сначала найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$. Значит, $\sin\alpha = \frac{12}{13}$.

Теперь можем вычислить тангенс:

$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$.

в) $\sin\left(\arccos(-0,8)\right)$

Пусть $\alpha = \arccos(-0,8)$. Тогда $\cos\alpha = -0,8$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\sin\alpha$. Используем тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение $\sin\alpha$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $\sin\alpha = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

г) $\text{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$. По определению, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Сначала найдем $\sin\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$. Значит, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$.

Теперь вычислим котангенс:

$\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

21.48. a) $sin \left(\text{arcctg} \frac{3}{4}\right);$

б) $cos \left(\text{arcctg} \frac{12}{5}\right);$

в) $sin \left(\text{arcctg} \left(-\frac{4}{3}\right)\right);$

г) $cos \left(\text{arcctg} \left(-\frac{5}{12}\right)\right).$

а)

Требуется найти значение выражения $sin\left(arctg\frac{3}{4}\right)$.
Пусть $\alpha = arctg\frac{3}{4}$. По определению арктангенса, это означает, что $tg\,\alpha = \frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $tg\,\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. В этой четверти синус положителен ($sin\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим значение тангенса:
$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.
Следовательно, $\frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{25}{16}$, откуда $cos^2\alpha = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Учитывая, что $sin\,\alpha > 0$, получаем $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, $sin\left(arctg\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б)

Требуется найти значение выражения $cos\left(arcctg\frac{12}{5}\right)$.
Пусть $\alpha = arcctg\frac{12}{5}$. По определению арккотангенса, $ctg\,\alpha = \frac{12}{5}$ и $\alpha \in (0; \pi)$.
Поскольку $ctg\,\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. В этой четверти косинус положителен ($cos\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
$1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$.
Следовательно, $\frac{1}{sin^2\alpha} = \frac{169}{25}$, откуда $sin^2\alpha = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
Теперь найдем косинус, используя тождество $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$:
$cos\,\alpha = ctg\,\alpha \cdot sin\,\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos\left(arcctg\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$

в)

Требуется найти значение выражения $sin\left(arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$.
Пусть $\alpha = arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)$. По определению арккотангенса, $ctg\,\alpha = -\frac{4}{3}$ и $\alpha \in (0; \pi)$.
Поскольку $ctg\,\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти синус положителен ($sin\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
$1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
Следовательно, $\frac{1}{sin^2\alpha} = \frac{25}{9}$, откуда $sin^2\alpha = \frac{9}{25}$.
Учитывая, что $sin\,\alpha > 0$, получаем $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, $sin\left(arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

г)

Требуется найти значение выражения $cos\left(arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$.
Пусть $\alpha = arctg\left(-\frac{5}{12}\right)$. По определению арктангенса, $tg\,\alpha = -\frac{5}{12}$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $tg\,\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится в четвертой четверти (в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$). В этой четверти косинус положителен ($cos\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
$1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
Следовательно, $\frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{169}{144}$, откуда $cos^2\alpha = \frac{144}{169}$.
Учитывая, что $cos\,\alpha > 0$, получаем $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos\left(arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$

21.49. Докажите, что:

а) $\sin (\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$;

б) $\tg (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$;

в) $\sin (\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$;

г) $\tg (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

а) Докажем тождество $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg} \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\sin \alpha$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим $\operatorname{tg} \alpha = x$:
$1 + x^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + x^2}$
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, его косинус положителен: $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Теперь выразим синус через тангенс и косинус: $\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha$.
$\sin \alpha = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Так как $\alpha = \operatorname{arctg} x$, тождество доказано.
Ответ: $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

б) Докажем тождество $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Область определения левой и правой частей: $x \in (-1, 1)$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Поскольку $x \in (-1, 1)$, то $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - x^2$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, его косинус положителен: $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $\cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.
Теперь найдем тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Так как $\alpha = \arcsin x$, тождество доказано.
Ответ: $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

в) Докажем тождество $\sin(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha = x$ и $0 < \alpha < \pi$.
Нам нужно найти $\sin \alpha$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим $\operatorname{ctg} \alpha = x$:
$1 + x^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + x^2}$
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$, его синус положителен: $\sin \alpha > 0$. Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Так как $\alpha = \operatorname{arcctg} x$, тождество доказано.
Ответ: $\sin(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

г) Докажем тождество $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
Область определения левой части $x \in [-1, 1]$, правой части $x \in [-1, 1], x \neq 0$. Таким образом, тождество рассматривается для $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$. Поскольку $x \neq 0$, то $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - x^2$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$, его синус неотрицателен: $\sin \alpha \ge 0$. Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.
Теперь найдем тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
Так как $\alpha = \arccos x$, тождество доказано.
Ответ: $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

21.50. Постройте график функции:

а) $y = \arccos(\arccos x);$

б) $y = \text{arctg} x + \text{arctg}(-x);$

в) $y = \text{tg}(\text{arctg} x);$

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x).$

а) $y = \cos(\arccos x)$. По определению арккосинуса, $\arccos x$ — это число (угол) $\alpha \in [0; \pi]$ такое, что $\cos \alpha = x$. Область определения функции $\arccos x$ — это отрезок $D(\arccos) = [-1; 1]$. Следовательно, область определения данной функции $y = \cos(\arccos x)$ также $D(y) = [-1; 1]$. По определению обратной функции, для любого $x$ из области определения арккосинуса справедливо тождество $\cos(\arccos x) = x$. Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y=x$ на отрезке $[-1; 1]$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, концы которого находятся в точках $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.
Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x)$. Область определения функции $\operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, $D(\operatorname{arctg}) = \mathbb{R}$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = \mathbb{R}$. Функция арктангенс является нечетной, то есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$. Подставим это свойство в исходное уравнение функции: $y = \operatorname{arctg} x + (-\operatorname{arctg} x) = \operatorname{arctg} x - \operatorname{arctg} x = 0$. Таким образом, функция тождественно равна нулю для всех действительных значений $x$.
Ответ: График функции — это прямая $y=0$, то есть ось абсцисс (ось Ox).

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$. По определению арктангенса, $\operatorname{arctg} x$ — это число (угол) $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такое, что $\operatorname{tg} \alpha = x$. Область определения функции $\operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, $D(\operatorname{arctg}) = \mathbb{R}$. Так как область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ полностью входит в область определения тангенса, область определения исходной функции $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$ совпадает с областью определения арктангенса, то есть $D(y) = \mathbb{R}$. По определению обратной функции, для любого $x$ справедливо тождество $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x$. Таким образом, мы получаем функцию $y=x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: График функции — это прямая $y=x$.

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x)$. Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $D(\arcsin) = [-1; 1]$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1; 1]$. Функция арксинус является нечетной, то есть для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется равенство $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Подставим это свойство в исходное уравнение функции: $y = \arcsin x + (-\arcsin x) = \arcsin x - \arcsin x = 0$. Таким образом, функция равна нулю для всех $x$ из отрезка $[-1; 1]$.
Ответ: График функции — это отрезок оси абсцисс (оси Ox) от точки $(-1; 0)$ до точки $(1; 0)$.