Страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.27. Решите неравенство:

a) $ \text{tg } x \le 1; $

б) $ \text{ctg } x > \sqrt{3}; $

в) $ \text{tg } x > - \frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \text{ctg } x \le -1. $

а) Решим неравенство $\operatorname{tg} x \le 1$.

1. Область определения тангенса ($y=\operatorname{tg} x$) — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках тангенс не определён, так как косинус равен нулю.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = 1$. Основное решение этого уравнения — $x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

3. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является периодической с периодом $\pi$ и возрастает на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал, например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x \le 1$. Так как функция возрастающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{4}$, но при этом находятся в рассматриваемом интервале. Левая граница интервала — это вертикальная асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение будет: $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{4}$.

5. Чтобы получить все решения, добавим к границам этого интервала $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$.

1. Область определения котангенса ($y=\operatorname{ctg} x$) — это все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках котангенс не определён, так как синус равен нулю.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$. Основное решение этого уравнения — $x = \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

3. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является периодической с периодом $\pi$ и убывает на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал, например, $(0, \pi)$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$. Так как функция убывающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые меньше $\frac{\pi}{6}$, но при этом находятся в рассматриваемом интервале. Левая граница интервала — это вертикальная асимптота $x = 0$.

Таким образом, для интервала $(0, \pi)$ решение будет: $0 < x < \frac{\pi}{6}$.

5. Чтобы получить все решения, добавим к границам этого интервала $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1. Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Основное решение этого уравнения — $x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как функция возрастающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые больше $-\frac{\pi}{6}$, до правой границы интервала (вертикальной асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$).

Таким образом, для интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение будет: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.

5. Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\operatorname{ctg} x \le -1$.

1. Область определения котангенса: $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = -1$. Основное решение этого уравнения — $x = \operatorname{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

3. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим интервал $(0, \pi)$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x \le -1$. Так как функция убывающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $\frac{3\pi}{4}$, до правой границы интервала (вертикальной асимптоты $x = \pi$).

Таким образом, для интервала $(0, \pi)$ решение будет: $\frac{3\pi}{4} \le x < \pi$.

5. Учитывая периодичность котангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

20.28. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} \operatorname{tg} x > 0, \\ \sin x > -\frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \operatorname{ctg} x < 1, \\ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ \cos x < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \operatorname{ctg} x > -\sqrt{3}, \\ \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы $\tg x > 0$. Тангенс положителен в I и III координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство $\sin x > -\frac{1}{2}$. Соответствующее уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. На единичной окружности неравенству удовлетворяют точки, лежащие выше прямой $y = -1/2$. Это соответствует интервалу $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение полученных множеств. Условие $\tg x > 0$ выделяет дуги $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ на единичной окружности (в пределах одного оборота). Условие $\sin x > -\frac{1}{2}$ выделяет дугу $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.

Пересечение этих областей состоит из двух интервалов. Первый — это первая четверть: $(0, \frac{\pi}{2})$. Второй — это часть третьей четверти от $\pi$ до $\frac{7\pi}{6}$. Этот интервал: $(\pi, \frac{7\pi}{6})$.

Объединяя эти интервалы и добавляя период $2\pi$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим первое неравенство $\ctg x < 1$. Уравнение $\ctg x = 1$ имеет решение $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Так как функция котангенса убывает на каждом интервале своей области определения $(\pi k, \pi(k+1))$, решением неравенства является $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. На единичной окружности неравенству удовлетворяют точки, расположенные правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует интервалу $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение решений. Рассмотрим промежуток $[0, 2\pi)$.
Решение первого неравенства: $(\frac{\pi}{4}, \pi) \cup (\frac{5\pi}{4}, 2\pi)$.
Решение второго неравенства: $[0, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}, 2\pi)$.
Пересекая эти множества, получаем: $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{4}, 2\pi)$.

Запишем общее решение, добавив период $2\pi$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим первое неравенство $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет решение $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$. Так как функция тангенса возрастает на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, решением неравенства является $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство $\cos x < 0$. Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Решением является $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение решений. Условие $\cos x < 0$ означает, что $x$ находится во II или III четверти, то есть в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ (на одном обороте).
Во II четверти $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ тангенс отрицателен, поэтому неравенство $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется для всех $x$ из этой четверти.
В III четверти $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ тангенс положителен и возрастает. Неравенство $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на интервале $(\pi, \pi + \frac{\pi}{6})$, то есть $(\pi, \frac{7\pi}{6})$.
Объединяя полученные интервалы, получаем $(\frac{\pi}{2}, \pi] \cup [\pi, \frac{7\pi}{6})$, что дает $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6})$.

Запишем общее решение, добавив период $2\pi$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим первое неравенство $\ctg x > -\sqrt{3}$. Уравнение $\ctg x = -\sqrt{3}$ имеет решение $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$. Так как котангенс убывает, решением неравенства является $x \in (\pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности ниже прямой $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением является $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, что можно записать как $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение решений на промежутке $[0, 2\pi)$.
Решение первого неравенства: $(0, \frac{5\pi}{6}) \cup (\pi, \frac{11\pi}{6})$.
Решение второго неравенства: $[0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, 2\pi)$.
Пересечение первого интервала $(0, \frac{5\pi}{6})$ со вторым множеством дает $(0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6})$.
Пересечение второго интервала $(\pi, \frac{11\pi}{6})$ со вторым множеством дает $(\pi, \frac{11\pi}{6})$, так как на этом интервале $\sin x \leq 0$, что меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Объединяя все полученные интервалы, получаем решение на одном периоде: $(0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\pi, \frac{11\pi}{6})$.

Запишем общее решение, добавив период $2\pi$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

$9x^2 - 6x + 6 = (\sqrt{5} - \operatorname{tg} 3\pi x)(\sqrt{5} + \operatorname{tg} 3\pi x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\text{tg}(3\pi x)$ определена, если ее аргумент $3\pi x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого числа $n$. Это эквивалентно условию $\cos(3\pi x) \neq 0$.

Условие $\cos(3\pi x) = 0$ выполняется при $3\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда получаем ограничения на $x$: $x \neq \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее, упростим правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt{5} - \text{tg } 3\pi x)(\sqrt{5} + \text{tg } 3\pi x) = (\sqrt{5})^2 - (\text{tg } 3\pi x)^2 = 5 - \text{tg}^2 3\pi x$.

Подставив это в исходное уравнение, получим:

$9x^2 - 6x + 6 = 5 - \text{tg}^2 3\pi x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$9x^2 - 6x + 6 - 5 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$,

что упрощается до

$9x^2 - 6x + 1 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$.

Заметим, что выражение $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(3x-1)^2 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$.

В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений, поскольку $(3x-1)^2 \ge 0$ и $\text{tg}^2 3\pi x \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:

$(3x-1)^2 = 0$

и

$\text{tg}^2 3\pi x = 0$.

Из первого уравнения, $(3x-1)^2 = 0$, следует, что $3x - 1 = 0$, откуда $x = \frac{1}{3}$.

Из второго уравнения, $\text{tg}^2 3\pi x = 0$, следует, что $\text{tg } 3\pi x = 0$. Это верно, когда $3\pi x = k\pi$ для любого целого $k$. Отсюда $x = \frac{k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение первого уравнения $x = \frac{1}{3}$ является частным случаем решения второго уравнения при $k=1$. Таким образом, $x=\frac{1}{3}$ является единственным решением системы.

Наконец, проверим, принадлежит ли найденный корень $x = \frac{1}{3}$ области допустимых значений, то есть выполняется ли условие $x \neq \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$.

Для этого проверим, может ли $x = \frac{1}{3}$ быть представлено в виде $\frac{1}{6} + \frac{n}{3}$ для какого-либо целого $n$. Решим уравнение $\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$ относительно $n$.

Умножив обе части на 6, получим: $2 = 1 + 2n$, что приводит к $1 = 2n$, или $n = \frac{1}{2}$.

Поскольку $n$ должно быть целым числом, а $\frac{1}{2}$ не является целым, то равенство невозможно. Это означает, что решение $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

20.30. a) Сколько целочисленных решений неравенства $ \frac{4 - x}{x + 5} \ge 0 $ удовлетворяют неравенству $ 1 + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0 $?

б) Сколько целочисленных решений неравенства $ 5x + 36 \ge x^2 $ удовлетворяют неравенству $ 4x^2 + 1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi x}{6} > 4x $?

а)

Сначала найдем целочисленные решения первого неравенства $\frac{4-x}{x+5} \ge 0$.

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

1. Числитель: $4-x=0 \implies x=4$.

2. Знаменатель: $x+5=0 \implies x=-5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne -5$.

Отметим точки $-5$ и $4$ на числовой оси. Точка $x=4$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое, а точка $x=-5$ — выколотой (исключенной).

Определим знак выражения $\frac{4-x}{x+5}$ на каждом из интервалов: $(-\infty, -5)$, $(-5, 4)$, $(4, \infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{4-5}{5+5} = -0.1 < 0$.
• При $-5 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{4-0}{0+5} = 0.8 > 0$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{4-(-6)}{-6+5} = -10 < 0$.

Нас интересует промежуток, где выражение больше или равно нулю. Это интервал $(-5, 4]$.

Целочисленными решениями, принадлежащими этому промежутку, являются: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0$.

Выражение $\ctg^2 \frac{\pi x}{2}$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0$. Следовательно, сумма $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2}$ всегда будет не меньше 1, то есть $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 1 > 0$.

Это неравенство справедливо для всех значений $x$, для которых существует $\ctg \frac{\pi x}{2}$.

Функция котангенса $y = \ctg(\alpha)$ не определена, когда $\sin(\alpha) = 0$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi x}{2}$. Условие $\sin \frac{\pi x}{2} = 0$ выполняется, когда $\frac{\pi x}{2} = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда получаем $x = 2k$.

Это означает, что второе неравенство не определено для всех четных целых чисел $x$. Значит, из найденного набора целочисленных решений $\{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}$ нужно исключить все четные числа.

Четные числа в этом наборе: $-4, -2, 0, 2, 4$.

Оставшиеся решения, которые удовлетворяют обоим условиям: $-3, -1, 1, 3$.

Всего таких решений 4.

Ответ: 4

б)

Сначала найдем целочисленные решения первого неравенства $5x + 36 \ge x^2$.

Перепишем его в стандартном виде: $x^2 - 5x - 36 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 13}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 36$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 36 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-4, 9]$.

Целочисленными решениями, принадлежащими этому отрезку, являются: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Всего 14 решений.

Теперь рассмотрим второе неравенство $4x^2 + 1 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 4x$.

Перенесем $4x$ в левую часть и преобразуем выражение:

$(4x^2 - 4x + 1) + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $(2x-1)^2$. Неравенство принимает вид:

$(2x - 1)^2 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $\tg^2 \frac{\pi x}{6} \ge 0$. Эта сумма будет строго больше нуля всегда, кроме случая, когда оба слагаемых одновременно равны нулю.

Слагаемое $(2x-1)^2$ равно нулю при $x = 1/2$. Так как мы ищем целочисленные решения, $x$ не может быть равен $1/2$. Для любого целого $x$ значение $(2x-1)^2$ будет целым положительным числом (наименьшее значение равно 1 при $x=0$ и $x=1$).

Следовательно, неравенство $(2x - 1)^2 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$ будет верным для всех целых $x$, для которых определено выражение $\tg \frac{\pi x}{6}$.

Функция тангенса $y = \tg(\alpha)$ не определена, когда $\cos(\alpha) = 0$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi x}{6}$.

Условие $\cos \frac{\pi x}{6} = 0$ выполняется, когда $\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда получаем $x = 3 + 6k$.

Это означает, что второе неравенство не определено для целых чисел $x$ вида $3+6k$. Из найденного ранее набора целочисленных решений $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ нужно исключить числа, имеющие вид $3+6k$.

Найдем такие числа в нашем наборе:

• при $k = -1$: $x = 3 + 6(-1) = -3$.
• при $k = 0$: $x = 3 + 6(0) = 3$.
• при $k = 1$: $x = 3 + 6(1) = 9$.

Исключаем из набора решений числа $-3, 3, 9$.

Оставшиеся решения, которые удовлетворяют обоим условиям: $\{-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Подсчитаем их количество: 11.

Ответ: 11

Вычислите:

21.1. a) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\arcsin 1$;

в) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\arcsin 0$.

а) По определению, арксинус числа $x$ ($\arcsin x$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. То есть, $\arcsin x = \alpha$, если $\sin \alpha = x$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
В данном случае нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что синус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = 1$. Известно, что синус угла $\frac{\pi}{2}$ равен $1$. Этот угол является концом заданного промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а значит, принадлежит ему. Следовательно, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что синус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = 0$. Известно, что синус угла $0$ радиан равен $0$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin 0 = 0$.
Ответ: $0$

21.2. а) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right);$

в) $ \arcsin (-1);$

г) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

а)

По определению, арксинусом числа $a$ (где $|a| \le 1$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, $\arcsin(a) = \alpha$ равносильно $\sin(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Для нахождения значения $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Нам нужно найти угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы тригонометрических функций известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит указанному промежутку.

Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

б)

Для вычисления $\arcsin(-\frac{1}{2})$ используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Получаем: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$.

Найдем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Отсюда следует, что $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

в)

Для вычисления $\arcsin(-1)$ воспользуемся свойством нечетности: $\arcsin(-1) = -\arcsin(1)$.

Найдем значение $\arcsin(1)$. Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = 1$.

Таким углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2}$ является концом промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Тогда $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

г)

Для вычисления $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ применим свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Найдем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

21.3. Найдите область определения функции:

а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin (5 - 2x)$;

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

г) $y = \arcsin (x^2 - 3)$.

Область определения функции $y = \arcsin(f(x))$ задается неравенством $-1 \le f(x) \le 1$.

а) Для функции $y = \arcsin x$ аргументом является $x$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le x \le 1$.

Это неравенство уже является решением.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) Для функции $y = \arcsin(5 - 2x)$ аргументом является выражение $5 - 2x$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le 5 - 2x \le 1$.

Решим это двойное неравенство. Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -2x \le 1 - 5$

$-6 \le -2x \le -4$

Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-2} \ge x \ge \frac{-4}{-2}$

$3 \ge x \ge 2$

Запишем в стандартном виде:

$2 \le x \le 3$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) Для функции $y = \arcsin\frac{x}{2}$ аргументом является выражение $\frac{x}{2}$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства не меняются):

$-1 \cdot 2 \le x \le 1 \cdot 2$

$-2 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) Для функции $y = \arcsin(x^2 - 3)$ аргументом является выражение $x^2 - 3$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$.

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3 \ge -1 \\ x^2 - 3 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 3 \ge -1$

$x^2 \ge 2$

Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 3 \le 1$

$x^2 \le 4$

Решением этого неравенства является промежуток: $x \in [-2; 2]$.

Область определения исходной функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересекая эти множества, получаем:

$x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.