Страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.7. На каких промежутках функция $y = -1.5 \sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = -1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$, необходимо найти ее производную и определить знаки этой производной.

Находим производную $y'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(-1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)'$

$y' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = -0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

а) возрастает;

Функция возрастает, когда ее производная $y'(x) \ge 0$.

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-0,75$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \le 0$

Это неравенство справедливо, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей координатной четверти. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим это неравенство относительно $x$. Сначала прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{6\pi + \pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь умножим все части на 2:

$\frac{3\pi}{2} + 4\pi n \le x \le \frac{7\pi}{2} + 4\pi n$

Ответ: $[\frac{3\pi}{2} + 4\pi n; \frac{7\pi}{2} + 4\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция убывает, когда ее производная $y'(x) \le 0$.

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-0,75$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Это неравенство справедливо, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой координатной четверти. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим это неравенство относительно $x$. Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{-2\pi + \pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь умножим все части на 2:

$-\frac{\pi}{2} + 4\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$

Ответ: $[-\frac{\pi}{2} + 4\pi n; \frac{3\pi}{2} + 4\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

19.8. На каких промежутках функция $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$:

a) возрастает;

б) убывает?

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 3 \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$, воспользуемся свойствами базовой функции $f(t) = \cos(t)$. Множитель 3 перед косинусом влияет только на амплитуду (растяжение по оси y) и не изменяет промежутки монотонности. Характер монотонности определяется поведением аргумента косинуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$.

а) возрастает;

Функция $f(t) = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, данная функция $y$ возрастает, когда её аргумент $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ принадлежит одному из этих промежутков. Составим и решим двойное неравенство относительно $x$:

$-\pi + 2\pi n \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сначала вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \le x \le -\frac{2\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \le x \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{5\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left[-\frac{5\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция $f(t) = \cos(t)$ убывает на промежутках вида $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, данная функция $y$ убывает, когда её аргумент $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ принадлежит одному из этих промежутков. Составим и решим соответствующее двойное неравенство:

$2\pi n \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$2\pi n - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le \pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{2\pi}{6} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi n$

Таким образом, функция убывает на промежутках $\left[-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left[-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

19.9. Чему равен основной период функции:

а) $y = -1,5\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$?

а) Основной (наименьший положительный) период функции вида $y = A\sin(kx + b) + C$ или $y = A\cos(kx + b) + C$ определяется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой тригонометрической функции. Для синуса и косинуса $T_0 = 2\pi$. Амплитуда $A$, сдвиг фазы $b$ и вертикальный сдвиг $C$ не влияют на значение периода.
Рассмотрим функцию $y = -1,5\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$.
Эта функция имеет вид $y = A\sin(kx + b)$, где коэффициент при переменной $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Подставим значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

б) Рассмотрим функцию $y = 3\cos(2x + \frac{2\pi}{3})$.
Эта функция имеет вид $y = A\cos(kx + b)$, где коэффициент при переменной $x$ равен $k = 2$.
Используем ту же формулу для нахождения периода, что и в пункте а), так как основной период функции косинус также равен $2\pi$.
$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

19.10. Исследуйте функцию $y = -1,5 \sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[0; 2\pi];$

б) $(2; 4);$

в) $\left[-\frac{4\pi}{3}; 0\right];$

г) $(-1; 2).$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции $y = -1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(-1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)'$

$y' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = -0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Монотонность функции зависит от знака ее производной. Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки):

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти точки являются точками экстремумов и разделяют числовую ось на промежутки монотонности.

а) Исследуем промежуток $[0; 2\pi]$.

Найдем критические точки, принадлежащие этому промежутку. Подставляя целые значения $n$ в формулу $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$, что больше $2\pi$.

При $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$, что меньше $0$.

Таким образом, на промежутке $[0; 2\pi]$ есть одна критическая точка $x = \frac{3\pi}{2}$. Она делит его на два промежутка: $[0; \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

Определим знак производной на каждом из них:

1. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ возьмем пробную точку $x=\pi$.

$y'(\pi) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Значит, функция убывает.

2. На промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ возьмем пробную точку $x=\frac{7\pi}{4}$.

$y'\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{2\pi}{8}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$, то $\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) < 0$. Следовательно, $y'\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot (\text{отрицательное число}) > 0$. Значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

б) Исследуем промежуток $(2; 4)$.

Критические точки функции: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Приближенное значение $x$ при $n=0$ равно $\frac{3 \cdot 3,14}{2} \approx 4,71$. При $n=-1$ значение $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Ни одна из критических точек не попадает в промежуток $(2; 4)$. Это означает, что на всем этом промежутке функция монотонна.

Определим знак производной в любой точке этого промежутка, например, при $x=3$.

$y'(3) = -0,75 \cos\left(\frac{3}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \approx -0,75 \cos(1,5 - 0,785) = -0,75 \cos(0,715)$.

Угол $0,715$ радиан находится в первой четверти ($0 < 0,715 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$), где косинус положителен. Таким образом, $y'(3) < 0$.

Следовательно, функция убывает на всем промежутке $(2; 4)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(2; 4)$.

в) Исследуем промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$.

Приближенное значение промежутка: $[-\frac{4 \cdot 3,14}{3}; 0] \approx [-4,19; 0]$.

Найдем критические точки, попадающие в этот промежуток: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

При $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Эта точка принадлежит промежутку $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$.

Точка $x = -\frac{\pi}{2}$ делит промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$ на два: $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Определим знак производной на каждом из них:

1. На промежутке $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ возьмем пробную точку $x=-\pi \approx -3,14$.

$y'(-\pi) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$. Значит, функция возрастает.

2. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ возьмем пробную точку $x=0$, так как она является концом промежутка.

$y'(0) = -0,75 \cos\left(0 - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ и убывает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

г) Исследуем промежуток $(-1; 2)$.

Ближайшие к этому промежутку критические точки $x \approx -1,57$ и $x \approx 4,71$ не входят в него. Следовательно, на всем промежутке $(-1; 2)$ функция монотонна.

Для определения характера монотонности найдем знак производной в точке $x=0$, которая принадлежит этому промежутку.

$y'(0) = -0,75 \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Поскольку производная отрицательна, функция убывает на всем промежутке $(-1; 2)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; 2)$.

19.11. Исследуйте функцию $y = 3 \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность

на заданном промежутке:

а) $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$;

б) $(1; 2)$;

в) $\left[-\frac{7\pi}{12}; 0\right]$;

г) $(-1; 1)$.

Для исследования функции $y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность найдем ее производную. Производная функции определяет скорость ее изменения, а знак производной указывает на направление изменения (возрастание или убывание).

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = \left(3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\right) \cdot \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)' = -6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Интервалы монотонности определяются знаком производной. Функция возрастает, когда $y' > 0$, и убывает, когда $y' < 0$.

1. Найдем интервалы возрастания ($y' > 0$):

$-6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) > 0 \implies \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$

$\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < 2\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Итак, функция возрастает на интервалах вида $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем интервалы убывания ($y' < 0$):

$-6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) < 0 \implies \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < \pi + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Итак, функция убывает на интервалах вида $\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная равна нулю ($y'=0$), являются критическими точками (точками возможных экстремумов), где характер монотонности может меняться. Это точки $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Теперь исследуем функцию на заданных промежутках.

а) Исследуем промежуток $[0; \frac{2\pi}{3}]$.

При $n=0$ функция убывает на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$ и возрастает на интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$. Критическая точка $x = \frac{\pi}{6}$ разделяет эти два интервала. Проверим, принадлежит ли эта точка заданному промежутку: $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{2\pi}{3}$. Да, принадлежит. Следовательно, промежуток $[0; \frac{2\pi}{3}]$ содержит участки с разным характером монотонности. На отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$, который является частью интервала убывания, функция убывает. На отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$, который является частью интервала возрастания, функция возрастает. Таким образом, на всем промежутке $[0; \frac{2\pi}{3}]$ функция не является монотонной.

Ответ: функция убывает на отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$.

б) Исследуем промежуток $(1; 2)$.

Сравним этот промежуток с найденными интервалами монотонности. Воспользуемся приближенными значениями: $\pi \approx 3.14$. Интервал возрастания при $n=0$: $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}) \approx (\frac{3.14}{6}, \frac{2 \cdot 3.14}{3}) \approx (0.52, 2.09)$. Заданный промежуток $(1; 2)$ целиком содержится в этом интервале возрастания, так как $0.52 < 1$ и $2 < 2.09$. Значит, на всем промежутке $(1; 2)$ производная $y'$ сохраняет положительный знак.

Ответ: функция возрастает.

в) Исследуем промежуток $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$.

Найдем критические точки, которые могут лежать в этом промежутке. Интервал убывания при $n=0$: $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$. Интервал возрастания при $n=-1$: $(\frac{\pi}{6} - \pi, \frac{2\pi}{3} - \pi) = (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{3})$. Критическая точка $x = -\frac{\pi}{3}$ разделяет эти интервалы. Сравним ее с границами заданного промежутка: $-\frac{7\pi}{12} = -0.583...\pi$, а $-\frac{\pi}{3} \approx -0.333...\pi$. Так как $-\frac{7\pi}{12} < -\frac{\pi}{3} < 0$, критическая точка находится внутри промежутка $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$. На отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ функция возрастает. На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$ функция убывает. Таким образом, на всем промежутке $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$ функция не является монотонной.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$.

г) Исследуем промежуток $(-1; 1)$.

Найдем критические точки, которые могут лежать в этом промежутке. Критическая точка $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$. Другая ближайшая критическая точка $x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047$ не принадлежит этому интервалу. Поскольку внутри промежутка $(-1; 1)$ есть критическая точка $x = \frac{\pi}{6}$, функция меняет на нем характер монотонности. На промежутке $(-1; \frac{\pi}{6}]$, который является частью интервала убывания $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$, функция убывает. На промежутке $[\frac{\pi}{6}; 1)$, который является частью интервала возрастания $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$, функция возрастает. Таким образом, на всем промежутке $(-1; 1)$ функция не является монотонной.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{\pi}{6}; 1)$.

19.12. При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$:

а) возрастает на $\left(a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right)$;

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{2}\right]$?

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$ найдем ее производную.

$y'(x) = \left(2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)' = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

а) Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, то есть $y'(x) \ge 0$.

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi + \pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Умножим все части на 2:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \frac{2\pi}{3} + 4\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы функция возрастала на интервале $\left(a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right)$, этот интервал должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков возрастания. Это эквивалентно тому, что отрезок $\left[a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right]$ является подмножеством одного из промежутков $\left[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \frac{2\pi}{3} + 4\pi k\right]$.

Запишем это в виде системы неравенств для некоторого целого $k$:

$\begin{cases} a - \frac{2\pi}{3} \ge -\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \\ a + \frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $a$:

$\begin{cases} a \ge -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le 4\pi k \end{cases}$

Следовательно, $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le a \le 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; 4\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

б) Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y'(x) \le 0$.

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в промежутке $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{9\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Умножим все части на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках $\left[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \frac{8\pi}{3} + 4\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы функция убывала на отрезке $\left[a; a + \frac{\pi}{2}\right]$, этот отрезок должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков убывания.

Запишем это в виде системы неравенств для некоторого целого $k$:

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a + \frac{\pi}{2} \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $a$:

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{16\pi - 3\pi}{6} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k \end{cases}$

Следовательно, $\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le a \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a \in \left[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{13\pi}{6} + 4\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

19.13. При каких положительных значениях параметра $a$ функ-ция $y = -3 \cos \left(3x - \frac{\pi}{2}\right)$:

a) возрастает на $(a; 2a)$;

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{3}\right]$?

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = -3\cos(3x - \frac{\pi}{2})$ преобразуем ее, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$.

$y = -3\sin(3x)$

Теперь найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (-3\sin(3x))' = -3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = -9\cos(3x)$

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.

$-9\cos(3x) > 0 \implies \cos(3x) < 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей четверти:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки возрастания функции $y(x)$:

$x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.

$-9\cos(3x) < 0 \implies \cos(3x) > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой четверти:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки убывания функции $y(x)$. Поскольку производная обращается в нуль только в граничных точках, функция строго убывает на замкнутых промежутках:

$x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

По условию задачи, параметр $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

а) возрастает на (a; 2a)

Чтобы функция возрастала на интервале $(a; 2a)$, этот интервал должен полностью содержаться в одном из промежутков возрастания $(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3})$.

Так как $a > 0$, интервал $(a; 2a)$ содержит только положительные числа, следовательно, и промежуток возрастания должен содержать положительные числа. Это требует, чтобы его левая граница была неотрицательной: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \ge 0$, что эквивалентно $1+4n \ge 0$, откуда $n \ge -1/4$. Так как $n$ — целое число, то $n \ge 0$.

Для некоторого целого $n \ge 0$ должны выполняться условия:

$\begin{cases} a \ge \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \\ 2a \le \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $a \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$. Объединяя, имеем:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le a \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$

Чтобы такой отрезок для значений $a$ существовал, его левая граница не должна превышать правую:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$

$\frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \implies \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{12} \implies n \le \frac{1}{4}$

Учитывая, что $n$ — целое неотрицательное число, единственное возможное значение — это $n = 0$.

Подставив $n=0$ в неравенство для $a$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \le a \le \frac{\pi}{4}$

Ответ: $a \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}]$.

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{3}\right]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[a; a + \frac{\pi}{3}]$, этот отрезок должен полностью содержаться в одном из промежутков убывания $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$.

Длина заданного отрезка равна $(a + \frac{\pi}{3}) - a = \frac{\pi}{3}$.

Длина промежутка убывания равна $(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}) - (-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку длины отрезков совпадают, заданный отрезок должен в точности совпадать с одним из промежутков убывания.

$\begin{cases} a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \\ a + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$

Оба уравнения дают одно и то же выражение для $a$: $a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

По условию $a > 0$, поэтому:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} > 0 \implies \frac{2\pi n}{3} > \frac{\pi}{6} \implies 2n > \frac{1}{2} \implies n > \frac{1}{4}$

Так как $n$ — целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ образуют последовательность. Для удобства записи можно ввести новый индекс $k=n-1$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

$a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi (k+1)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: $a = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.