Страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

$y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

в) $y = -3 \sin 2x$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{3}$.

Для построения графиков данных функций, мы будем использовать метод преобразования графиков элементарных тригонометрических функций $y=\sin(x)$ и $y=\cos(x)$. Общий вид функций - $y=A \cdot f(kx)$, где $A$ - амплитуда (отвечает за растяжение/сжатие по вертикали и отражение), а $k$ - коэффициент, влияющий на период функции (отвечает за растяжение/сжатие по горизонтали).

1. Анализ функции.
Это синусоида. Сравним ее с функцией $y = A \sin(kx)$.
- Амплитуда $A=3$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Oy. Все значения y будут умножены на 3. Область значений функции: $E(y) = [-3, 3]$.
- Коэффициент при x равен $k=\frac{1}{2}$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. Построение графика.
Построение можно выполнить в несколько шагов:
- Строим график основной функции $y = \sin(x)$. Его период $2\pi$, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \sin\frac{x}{2}$. Период станет $4\pi$. Координаты x ключевых точек умножаются на 2: $(0, 0)$, $(\pi, 1)$, $(2\pi, 0)$, $(3\pi, -1)$, $(4\pi, 0)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить искомый график $y = 3 \sin\frac{x}{2}$. Амплитуда станет 3. Координаты y ключевых точек умножаются на 3: $(0, 0)$, $(\pi, 3)$, $(2\pi, 0)$, $(3\pi, -3)$, $(4\pi, 0)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (синусоидой) и повторяем ее с периодом $4\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3 \sin\frac{x}{2}$ нужно взять график $y=\sin(x)$, растянуть его в 2 раза по горизонтали (период станет $4\pi$) и в 3 раза по вертикали (амплитуда станет 3). Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$: нули в $x=0, 2\pi, 4\pi$; максимум $( \pi, 3)$; минимум $(3\pi, -3)$.

1. Анализ функции.
Это косинусоида. Сравним ее с функцией $y = A \cos(kx)$.
- Амплитуда $A=2,5$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 2,5 раза вдоль оси Oy. Область значений функции: $E(y) = [-2,5; 2,5]$.
- Коэффициент при x равен $k=2$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ сжат в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Построение графика.
- Строим график основной функции $y = \cos(x)$. Его период $2\pi$, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
- Применяем сжатие вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \cos 2x$. Период станет $\pi$. Координаты x ключевых точек делятся на 2: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 2,5 раза, чтобы получить искомый график $y = 2,5 \cos 2x$. Амплитуда станет 2,5. Координаты y ключевых точек умножаются на 2,5: $(0; 2,5)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}; -2,5)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi; 2,5)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой) и повторяем ее с периодом $\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2,5 \cos 2x$ нужно взять график $y=\cos(x)$, сжать его в 2 раза по горизонтали (период станет $\pi$) и растянуть в 2,5 раза по вертикали (амплитуда станет 2,5). Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: максимумы $(0; 2,5)$ и $(\pi; 2,5)$; минимум $(\frac{\pi}{2}; -2,5)$; нули в $x=\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

1. Анализ функции.
Это синусоида. Сравним ее с функцией $y = A \sin(kx)$.
- Амплитуда $|A|=|-3|=3$. Множитель -3 означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Oy и затем отражен симметрично относительно оси Ox. Область значений функции: $E(y) = [-3, 3]$.
- Коэффициент при x равен $k=2$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ сжат в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Построение графика.
- Строим график $y = \sin(x)$.
- Сжимаем его вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить $y = \sin 2x$. Период станет $\pi$. Ключевые точки на $[0, \pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$, $(\pi, 0)$.
- Растягиваем его вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить $y = 3 \sin 2x$. Амплитуда станет 3. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 3)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -3)$, $(\pi, 0)$.
- Отражаем полученный график относительно оси Ox, чтобы получить искомый график $y = -3 \sin 2x$. Максимумы становятся минимумами и наоборот. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -3)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, 3)$, $(\pi, 0)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой и повторяем с периодом $\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -3 \sin 2x$ нужно взять график $y=\sin(x)$, сжать его в 2 раза по горизонтали (период станет $\pi$), растянуть в 3 раза по вертикали (амплитуда станет 3), а затем отразить относительно оси Ox. Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: нули в $x=0, \frac{\pi}{2}, \pi$; минимум $(\frac{\pi}{4}, -3)$; максимум $(\frac{3\pi}{4}, 3)$.

1. Анализ функции.
Это косинусоида. Сравним ее с функцией $y = A \cos(kx)$.
- Амплитуда $A=2$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 2 раза вдоль оси Oy. Область значений функции: $E(y) = [-2, 2]$.
- Коэффициент при x равен $k=\frac{1}{3}$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

2. Построение графика.
- Строим график основной функции $y = \cos(x)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Ox в 3 раза, чтобы получить график $y = \cos\frac{x}{3}$. Период станет $6\pi$. Координаты x ключевых точек умножаются на 3: $(0, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(3\pi, -1)$, $(\frac{9\pi}{2}, 0)$, $(6\pi, 1)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2 \cos\frac{x}{3}$. Амплитуда станет 2. Координаты y ключевых точек умножаются на 2: $(0, 2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(3\pi, -2)$, $(\frac{9\pi}{2}, 0)$, $(6\pi, 2)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой) и повторяем ее с периодом $6\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2 \cos\frac{x}{3}$ нужно взять график $y=\cos(x)$, растянуть его в 3 раза по горизонтали (период станет $6\pi$) и в 2 раза по вертикали (амплитуда станет 2). Ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$: максимумы $(0, 2)$ и $(6\pi, 2)$; минимум $(3\pi, -2)$; нули в $x=\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$.

18.4. a) $y = 3 \sin (-x)$;

Б) $y = -2 \cos (-3x)$;

В) $y = 2 \sin (-2x)$;

Г) $y = -3 \cos (-x)$.

а) Для упрощения функции $y = 3 \sin(-x)$ воспользуемся свойством нечетности синуса. Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ для любого угла $\alpha$. Применим это свойство к нашему выражению, где $\alpha = x$:

$y = 3 \sin(-x) = 3 \cdot (-\sin(x)) = -3 \sin(x)$.

Ответ: $y = -3 \sin(x)$

б) Для упрощения функции $y = -2 \cos(-3x)$ воспользуемся свойством четности косинуса. Функция косинус является четной, что означает $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого угла $\alpha$. Применим это свойство к нашему выражению, где $\alpha = 3x$:

$y = -2 \cos(-3x) = -2 \cos(3x)$.

Ответ: $y = -2 \cos(3x)$

в) Для упрощения функции $y = 2 \sin(-2x)$ снова используем свойство нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 2x$. Подставим в исходное уравнение:

$y = 2 \sin(-2x) = 2 \cdot (-\sin(2x)) = -2 \sin(2x)$.

Ответ: $y = -2 \sin(2x)$

г) Для упрощения функции $y = -3 \cos(-x)$ снова используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Здесь $\alpha = x$. Подставим в исходное уравнение:

$y = -3 \cos(-x) = -3 \cos(x)$.

Ответ: $y = -3 \cos(x)$

18.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin 2x$:

a) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0];$

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2});$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}];$

г) на полуинтервале $(0; \pi].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(2x)$ на заданных промежутках, мы будем использовать производную. Общий алгоритм следующий:
1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах промежутка (если они включены).
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Производная функции $y = \sin(2x)$ равна: $y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$2\cos(2x) = 0$
$\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

а) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит отрезку.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.
При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит отрезку.
Таким образом, на данном отрезке есть одна критическая точка: $x = -\frac{\pi}{4}$.

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin(-\pi) = 0$.
$y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

3. Сравнивая значения $\{-1, 0, 0\}$, находим, что наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее равно 0.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

б) на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$

1. Найдем критические точки, принадлежащие интервалу $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит интервалу $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$.
При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит интервалу (является его границей).
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит интервалу.
Таким образом, на данном интервале есть одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{4}$.

2. Вычислим значение функции в этой точке:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

3. Поскольку интервал открытый, мы должны исследовать поведение функции на его границах:
При $x \to -\frac{\pi}{4}^+$, $y \to \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
При $x \to \frac{\pi}{2}^-$, $y \to \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$.

4. Значение функции в критической точке $y=1$ является максимальным значением функции синус, поэтому это наибольшее значение на интервале. Функция стремится к -1, но никогда не достигает этого значения, так как точка $x = -\frac{\pi}{4}$ не входит в интервал. Следовательно, наименьшего значения функция не имеет.

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 1$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.
Критические точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{4}$.
Обе эти точки являются концами данного отрезка. Внутри отрезка критических точек нет.

2. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке достаточно вычислить ее значения на концах отрезка.
$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

3. Сравнивая значения $\{-1, 1\}$, находим, что наименьшее значение равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 1$.

г) на полуинтервале $(0; \pi]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие полуинтервалу $(0; \pi]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит полуинтервалу.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка принадлежит полуинтервалу.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит полуинтервалу.
Таким образом, на данном полуинтервале есть две критические точки: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

2. Вычислим значения функции в критических точках и на правом (включенном) конце полуинтервала:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.
$y(\pi) = \sin(2 \cdot \pi) = \sin(2\pi) = 0$.

3. Рассмотрим поведение функции на левой (исключенной) границе:
При $x \to 0^+$, $y \to \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

4. Сравнивая значения, которые функция принимает на полуинтервале $\{1, -1, 0\}$, находим, что наименьшее значение равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 1$.

18.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \cos \frac{x}{3}$

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$;

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$;

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$.

Область значений функции $y = \cos(\frac{x}{3})$ совпадает с областью значений стандартной функции косинуса, то есть является отрезком $[-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ значение функции $y$ удовлетворяет неравенству $-1 \le y \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения на заданных промежутках, сделаем замену переменной $t = \frac{x}{3}$. Задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos(t)$ на промежутках, соответствующих заданным для $x$. Напомним, что $\cos(t)$ достигает наибольшего значения 1 при $t = 2\pi n$ и наименьшего значения -1 при $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) на луче $[0; +\infty)$

Если $x \in [0; +\infty)$, то аргумент $t = \frac{x}{3}$ принадлежит промежутку $[\frac{0}{3}; +\infty)$, то есть $t \in [0; +\infty)$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos(t)$ на промежутке $[0; +\infty)$. Проверим, достигаются ли на этом промежутке значения 1 и -1.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 \in [0; +\infty)$, наибольшее значение функции равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi \in [0; +\infty)$, наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$

Если $x \in (-\infty; \pi)$, то $t = \frac{x}{3} \in (-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 < \frac{\pi}{3}$, точка $t=0$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=-1$, $t=-\pi$. Так как $-\pi < \frac{\pi}{3}$, точка $t=-\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$

Если $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}]$, то $t = \frac{x}{3} \in (-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 \le \frac{\pi}{6}$, точка $t=0$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=-1$, $t=-\pi$. Так как $-\pi \le \frac{\pi}{6}$, точка $t=-\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Если $x \in (\frac{\pi}{3}; +\infty)$, то $t = \frac{x}{3} \in (\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=1$, $t=2\pi$. Так как $2\pi > \frac{\pi}{9}$, точка $t=2\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi > \frac{\pi}{9}$, точка $t=\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

18.7. Постройте график функции:

а) $y = \sin 2x - 1$;

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

в) $y = \cos 2x + 3$;

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$.

а) $y = \sin 2x - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Сначала выполним сжатие графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \sin 2x$. Период этой функции будет в 2 раза меньше периода синуса, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \sin 2x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \sin 2x - 1$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = -1$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1-1, 1-1] = [-2, 0]$. Период останется равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin 2x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 1 единицу вниз.

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Сначала выполним растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \cos \frac{x}{2}$. Период этой функции будет в 2 раза больше периода косинуса, то есть $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \cos \frac{x}{2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = 1$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1+1, 1+1] = [0, 2]$. Период останется равным $4\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения от оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 1 единицу вверх.

в) $y = \cos 2x + 3$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Сначала выполним сжатие графика $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \cos 2x$. Период этой функции будет в 2 раза меньше периода косинуса, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \cos 2x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \cos 2x + 3$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = 3$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1+3, 1+3] = [2, 4]$. Период останется равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 3$ получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 3 единицы вверх.

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Сначала выполним растяжение графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 3 раза. В результате получим график функции $y_1 = \sin \frac{x}{3}$. Период этой функции будет в 3 раза больше периода синуса, то есть $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \sin \frac{x}{3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = -2$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1-2, 1-2] = [-3, -1]$. Период останется равным $6\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения от оси $Oy$ в 3 раза и последующего сдвига на 2 единицы вниз.

Постройте и прочитайте график функции:

18.8. a) $y = \begin{cases} \cos 2x, \text{ если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, \text{ если } x > \pi; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -\sin 3x, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi \end{cases}$

Построение графика:

График этой функции состоит из двух частей.

1. При $x \le \pi$ строим график функции $y = \cos 2x$. Это косинусоида, сжатая в 2 раза по оси Ox. Её период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда равна 1. Ключевые точки на отрезке $[0, \pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$. Этот узор повторяется для всех $x < 0$. В точке $x=\pi$ значение функции равно $y(\pi) = \cos(2\pi) = 1$, поэтому точка $(\pi, 1)$ принадлежит графику (закрашенная точка).
2. При $x > \pi$ строим график функции $y = -\frac{1}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), начинающаяся от точки $x=\pi$ и идущая вправо. В самой точке $x=\pi$ значение этой части не определено, поэтому на графике в точке $(\pi, -\frac{1}{2})$ будет выколотая точка.

В точке $x=\pi$ функция имеет разрыв (скачок) от значения 1 до значения $-1/2$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Для $x \le \pi$ значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для $x > \pi$ значение равно $-\frac{1}{2}$, что уже входит в отрезок $[-1, 1]$.
  $E(y) = [-1, 1]$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Например, $f(2\pi) = -1/2$, а $f(-2\pi) = \cos(-4\pi) = 1$.
• Нули функции ($y=0$): Нули могут быть только на участке $x \le \pi$, где $y = \cos 2x$.
  $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
  Условию $x \le \pi$ удовлетворяют все $k \le 1$.
  Нули функции: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{0} \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right]$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{0} \left(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n\right) \cup (\pi, +\infty)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на каждом из промежутков $[\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n]$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le -1$, и на $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.
  Функция убывает на каждом из промежутков $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 0$.
  Функция постоянна на промежутке $(\pi, +\infty)$.
• Экстремумы:
  Точки максимума: $x = \pi n$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 1$. $y_{max} = 1$.
  Точки минимума: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 0$. $y_{min} = -1$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, \pi)$ и $(\pi, +\infty)$. В точке $x=\pi$ она терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to\pi^-} f(x) = 1$, а $\lim_{x\to\pi^+} f(x) = -1/2$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = \cos(2x)$ на промежутке $(-\infty, \pi]$ и горизонтальный луч $y = -1/2$ на промежутке $(\pi, +\infty)$. Основные свойства функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = [-1, 1]$, нули $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для $k \le 1$, функция общего вида, имеет разрыв первого рода в точке $x=\pi$. Точки максимума $x = n\pi$ ($n \le 1$) со значением 1, точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n \le 0$) со значением -1.

б) $y = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

График этой функции также состоит из двух частей, которые "сшиваются" в точке $x=0$.

1. При $x < 0$ строим график функции $y = -\sin 3x$. Это синусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая в 3 раза по той же оси. Её период $T = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда равна 1. График представляет собой волну в левой полуплоскости, которая при $x \to 0^-$ стремится к $y = -\sin(0) = 0$.
2. При $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает вправо. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Поскольку $\lim_{x\to 0^-} (-\sin 3x) = 0$ и $y(0) = \sqrt{0} = 0$, обе части графика соединяются в начале координат, и функция является непрерывной.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Для $x < 0$ значения $y = -\sin 3x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для $x \ge 0$ значения $y = \sqrt{x}$ лежат в промежутке $[0, +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем область значений.
  $E(y) = [-1, +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Например, $f(1) = 1$, а $f(-1) = -\sin(-3) = \sin 3 \ne \pm 1$.
• Нули функции ($y=0$):
  При $x < 0$: $-\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Так как $x < 0$, то $k$ - отрицательное целое число. $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
  При $x \ge 0$: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.
  Нули функции: $x=0$ и $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{-1} \left(-\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi n}{3}\right) \cup (0, +\infty)$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{-1} \left(-\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\right)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, а также на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  Функция убывает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi (k-1)}{3}]$... нет, проще так: $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{2\pi k}{3}]$ при $k \le 0$ (до 0 не включая) и на $[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$ и т.д. Более строго: на каждом из промежутков $[-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}]$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
• Экстремумы:
  Точки максимума: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. $y_{max} = 1$.
  Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. $y_{min} = -1$.
  Точка $x=0$ является точкой локального минимума, $y(0)=0$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую $y = -\sin(3x)$ в левой полуплоскости ($x<0$) и ветвь параболы $y=\sqrt{x}$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$). Функция непрерывна на всей числовой оси. Основные свойства функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = [-1, +\infty)$, нули $x = 0$ и $x = \frac{\pi k}{3}$ для $k < 0$, функция общего вида. Глобального максимума нет, локальные максимумы $y=1$ в точках $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \le 0$. Глобальный минимум $y=-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, k \le 0$.

18.9. a) $y = \begin{cases} -2 \sin x, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{2x}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, \text{ если } x \le 0, \\ 3 \cos x - 3, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} -2 \sin x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{2x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=0$, где меняется ее аналитическое выражение.

1. Непрерывность в точке $x=0$.

Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. То есть, $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $y = \sqrt{2x}$.
$y(0) = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется формула $y = -2 \sin x$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(0) = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется формула $y = \sqrt{2x}$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{2x} = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу и равен значению функции в точке ($0=0=0$), функция является непрерывной в точке $x=0$. На остальных участках области определения функция также непрерывна, так как задана элементарными функциями.

2. Дифференцируемость в точке $x=0$.

Функция дифференцируема в точке, если в этой точке существуют равные друг другу левосторонняя и правосторонняя производные.

Найдем производные для каждой части функции.
Для $x < 0$: $y'(x) = (-2 \sin x)' = -2 \cos x$.
Для $x > 0$: $y'(x) = (\sqrt{2x})' = ((2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x=0$.
Левосторонняя производная:
$y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (-2 \cos x) = -2 \cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$.

Правосторонняя производная:
$y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt{2x}$ стремится к 0, оставаясь положительным, поэтому предел равен $+\infty$.

Так как левосторонняя производная $y'_{-}(0) = -2$, а правосторонняя производная $y'_{+}(0) = +\infty$, они не равны. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, но не дифференцируема в точке $x=0$.

б) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, & \text{если } x \le 0 \\ 3 \cos x - 3, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=0$.

1. Непрерывность в точке $x=0$.

Проверим выполнение условия $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \le 0$ используется формула $y = \sqrt{-x}$.
$y(0) = \sqrt{-0} = 0$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется формула $y = \sqrt{-x}$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = \sqrt{-0} = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется формула $y = 3 \cos x - 3$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (3 \cos x - 3) = 3 \cos(0) - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

Так как $y(0) = 0$, $\lim_{x \to 0^-} y(x) = 0$ и $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0$, все три значения равны. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=0$ и на всей области определения.

2. Дифференцируемость в точке $x=0$.

Найдем производные для каждой части функции.
Для $x < 0$: $y'(x) = (\sqrt{-x})' = ((-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
Для $x > 0$: $y'(x) = (3 \cos x - 3)' = -3 \sin x$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x=0$.
Левосторонняя производная:
$y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\right)$.
При $x \to 0^-$, $-x \to 0^+$, поэтому знаменатель $2\sqrt{-x}$ стремится к 0, оставаясь положительным. Следовательно, предел равен $-\infty$.

Правосторонняя производная:
$y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (-3 \sin x) = -3 \sin(0) = 0$.

Так как левосторонняя производная $y'_{-}(0) = -\infty$, а правосторонняя производная $y'_{+}(0) = 0$, они не равны. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, но не дифференцируема в точке $x=0$.