Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

17.1. a) $y = 3\sqrt{x}$;

В) $y = \frac{1}{3}x^4$;

б) $y = -2|x|$;

Г) $y = -\frac{2}{x^2}$.

а) Для построения графика функции $y = 3\sqrt{x}$ в качестве основы используется график функции $y = \sqrt{x}$. График базовой функции представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и проходящую через точки (1, 1) и (4, 2). График функции $y = 3\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения от оси Ox вдоль оси Oy в 3 раза. Это означает, что для каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$ ее ордината (координата y) умножается на 3.
1. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$, так как выражение под корнем не может быть отрицательным.
2. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $\sqrt{x} \ge 0$ и множитель 3 положителен.
3. Для построения найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 0$, $y = 3\sqrt{0} = 0$; точка (0, 0).
• при $x = 1$, $y = 3\sqrt{1} = 3$; точка (1, 3).
• при $x = 4$, $y = 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$; точка (4, 6).

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график.
Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Он получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения в 3 раза вдоль оси Oy.

б) График функции $y = -2|x|$ строится на основе графика $y = |x|$. График $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: биссектрисы первого ($y=x$ при $x \ge 0$) и второго ($y=-x$ при $x < 0$) координатных углов. Для получения графика $y = -2|x|$ нужно выполнить последовательно два преобразования:
1. Растяжение графика $y = |x|$ от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза. Получим график функции $y = 2|x|$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Получим искомый график $y = -2|x|$.
Также можно построить график, раскрыв модуль: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что равносильно $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Таким образом, график состоит из двух лучей, исходящих из точки (0, 0). Один луч — часть прямой $y=-2x$ для $x \ge 0$, другой — часть прямой $y=2x$ для $x < 0$. Возьмем по одной контрольной точке на каждом луче: (1, -2) и (-1, -2).
Ответ: График функции представляет собой два луча, выходящие из начала координат, симметричные относительно оси Oy и расположенные в III и IV координатных четвертях.

в) Функция $y = \frac{1}{3}x^4$ является степенной. Ее график можно построить, преобразовав график функции $y = x^4$. График $y = x^4$ напоминает параболу $y=x^2$, но он более плоский около нуля и растет быстрее при $|x| > 1$. График функции $y = \frac{1}{3}x^4$ получается из графика $y = x^4$ путем сжатия к оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза.
1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{3}(-x)^4 = \frac{1}{3}x^4 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $y \ge 0$, так как $x^4 \ge 0$.
4. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = 0$; точка (0, 0) — вершина.
• при $x = 1$, $y = 1/3$; точка (1, 1/3).
• при $x = -1$, $y = 1/3$; точка (-1, 1/3).
• при $x = 2$, $y = \frac{1}{3} \cdot 16 = \frac{16}{3}$; точка (2, 16/3).
• при $x = -2$, $y = 16/3$; точка (-2, 16/3).

Соединяем точки плавной кривой.
Ответ: График — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

г) Для построения графика функции $y = -\frac{2}{x^2}$ используется график функции $y = \frac{1}{x^2}$. График $y = \frac{1}{x^2}$ имеет две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$. График $y = -\frac{2}{x^2}$ получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза, что дает $y = \frac{2}{x^2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox, что дает искомый график $y = -\frac{2}{x^2}$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота.
2. Функция четная, так как $y(-x) = -\frac{2}{(-x)^2} = -\frac{2}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0)$. Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.
4. Контрольные точки:

• при $x=1, y=-2$; точка (1, -2).
• при $x=-1, y=-2$; точка (-1, -2).
• при $x=2, y=-2/4 = -0.5$; точка (2, -0.5).
• при $x=-2, y=-0.5$; точка (-2, -0.5).

При приближении $x$ к нулю с любой стороны, $y$ стремится к $-\infty$.
Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy. Оси координат являются асимптотами графика.

17.2. а) $y = -2(x - 1)^3$;

Б) $y = 3|x + 2|$;

В) $y = -2\sqrt{x} - 3$;

Г) $y = 0.5x^{-3}$.

а) Дана функция $y = -2(x - 1)^3$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность геометрических преобразований графика базовой функции $y = x^3$.
1. Базовая функция: $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и является нечетной (симметричной относительно начала координат).
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = (x - 1)^3$ получается из графика $y = x^3$ сдвигом на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$. Центр симметрии графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Функция $y = 2(x - 1)^3$ получается из предыдущего графика растяжением в $2$ раза вдоль оси $Oy$ (относительно оси $Ox$). Каждое значение ординаты умножается на $2$.
4. Симметричное отражение: Искомая функция $y = -2(x - 1)^3$ получается из графика $y = 2(x - 1)^3$ симметричным отражением относительно оси $Ox$, так как перед выражением стоит коэффициент $-1$.

Основные свойства функции $y = -2(x - 1)^3$:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -2(0 - 1)^3 = -2(-1)^3 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = -2(x - 1)^3 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1, 0)$.
Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = -2(x - 1)^3$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига на 1 единицу вправо, растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и отражения относительно оси $Ox$. Область определения и область значений - все действительные числа. Функция убывающая.

б) Дана функция $y = 3|x + 2|$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность преобразований графика базовой функции $y = |x|$.
1. Базовая функция: $y = |x|$. Это V-образный график с вершиной в начале координат.
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = |x + 2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Искомая функция $y = 3|x + 2|$ получается из предыдущего графика растяжением в $3$ раза вдоль оси $Oy$ (относительно оси $Ox$). Угол наклона ветвей графика увеличивается.

Основные свойства функции $y = 3|x + 2|$:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как модуль числа всегда неотрицателен.
Экстремумы: В точке $x=-2$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 3|0 + 2| = 3 \cdot 2 = 6$. Точка $(0, 6)$.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 3|x + 2| \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 3|x + 2|$ получается из графика $y=|x|$ путем сдвига на 2 единицы влево и растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$. Область определения: $x \in \mathbb{R}$, область значений: $y \in [0; +\infty)$. Минимальное значение функции равно 0 при $x=-2$.

в) Дана функция $y = -2\sqrt{x - 3}$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Базовая функция: $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$, расположенная в первой координатной четверти.
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = \sqrt{x - 3}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на $3$ единицы вправо вдоль оси $Ox$. Начальная точка графика перемещается из $(0, 0)$ в $(3, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Функция $y = 2\sqrt{x - 3}$ получается из предыдущего графика растяжением в $2$ раза вдоль оси $Oy$.
4. Симметричное отражение: Искомая функция $y = -2\sqrt{x - 3}$ получается из графика $y = 2\sqrt{x - 3}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Основные свойства функции $y = -2\sqrt{x - 3}$:
Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Итак, $D(y) = [3; +\infty)$.
Область значений: Так как $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-2\sqrt{x-3} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Экстремумы: В точке $x=3$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Начальная точка графика - $(3, 0)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$: пересечений нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = -2\sqrt{x - 3} \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.
Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения $[3; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{x - 3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо, растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и отражения относительно оси $Ox$. Область определения: $x \in [3; +\infty)$, область значений: $y \in (-\infty; 0]$. Функция убывающая.

г) Дана функция $y = 0,5x^{-3}$, которую можно записать в виде $y = \frac{0,5}{x^3}$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим преобразование графика базовой функции $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
1. Базовая функция: $y = \frac{1}{x^3}$. Это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось $Oy$) и $y=0$ (ось $Ox$).
2. Сжатие вдоль оси ординат: Искомая функция $y = 0,5 \cdot \frac{1}{x^3}$ получается из графика $y = \frac{1}{x^3}$ путем сжатия к оси $Ox$ в $2$ раза (или с коэффициентом $0,5$).

Основные свойства функции $y = 0,5x^{-3}$:
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. Итак, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Область значений: Функция не может принимать значение $0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Пересечения с осями координат: отсутствуют.
Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = 0,5(-x)^{-3} = -0,5x^{-3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 0,5x^{-3}$ получается из графика $y = x^{-3}$ путем сжатия в 2 раза к оси $Ox$. Область определения: $x \neq 0$, область значений: $y \neq 0$. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

17.3. а) $y = 2 \sin x;$

б) $y = 3 \cos x;$

В) $y = -\sin x;$

Г) $y = -\cos x.$

а) Для нахождения множества значений функции $y = 2 \sin x$ воспользуемся известным свойством функции синус. Множество значений (или область значений) функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Чтобы получить множество значений для функции $y = 2 \sin x$, необходимо умножить все части этого неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-1) \le 2 \cdot \sin x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin x \le 2$

Следовательно, множество значений функции $y = 2 \sin x$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $[-2, 2]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y = 3 \cos x$ используем свойство функции косинус. Множество значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного $x$ верно неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \cos x \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3 \cos x \le 3$

Таким образом, множество значений функции $y = 3 \cos x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $[-3, 3]$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\sin x$. Как и в предыдущих случаях, начнем с множества значений функции $y = \sin x$, которое является отрезком $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin x \le 1$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot \sin x \ge (-1) \cdot 1$

$1 \ge -\sin x \ge -1$

Запишем это неравенство в привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-1 \le -\sin x \le 1$

Следовательно, множество значений функции $y = -\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

г) Рассмотрим функцию $y = -\cos x$. Множество значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на -1. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot \cos x \ge (-1) \cdot 1$

$1 \ge -\cos x \ge -1$

Перепишем неравенство в стандартном порядке:

$-1 \le -\cos x \le 1$

Таким образом, множество значений функции $y = -\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

17.4. а) $y = -2 \sin x$;

б) $y = -3 \cos x$;

В) $y = 1.5 \sin x$;

Г) $y = -1.5 \cos x$.

а) $y = -2\sin x$

Областью значений функции синус является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Чтобы найти область значений для функции $y = -2\sin x$, необходимо умножить все части этого неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-2) \ge (\sin x) \cdot (-2) \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\sin x \ge -2$

Запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего значения к большему:

$-2 \le -2\sin x \le 2$

Следовательно, областью значений функции $y = -2\sin x$ является отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

б) $y = -3\cos x$

Областью значений функции косинус, как и функции синус, является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на -3. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (\cos x) \cdot (-3) \ge 1 \cdot (-3)$

$3 \ge -3\cos x \ge -3$

Перепишем неравенство в стандартном порядке:

$-3 \le -3\cos x \le 3$

Таким образом, область значений функции $y = -3\cos x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-3; 3]$.

в) $y = 1,5\sin x$

Мы знаем, что область значений для функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

$-1 \le \sin x \le 1$

Для нахождения области значений функции $y = 1,5\sin x$, умножим все части неравенства на 1,5. Поскольку 1,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$(-1) \cdot 1,5 \le (\sin x) \cdot 1,5 \le 1 \cdot 1,5$

$-1,5 \le 1,5\sin x \le 1,5$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-1,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-1,5; 1,5]$.

г) $y = -1,5\cos x$

Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -1,5. Так как -1,5 — это отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1,5) \ge (\cos x) \cdot (-1,5) \ge 1 \cdot (-1,5)$

$1,5 \ge -1,5\cos x \ge -1,5$

Запишем полученное неравенство в стандартном виде:

$-1,5 \le -1,5\cos x \le 1,5$

Таким образом, областью значений функции $y = -1,5\cos x$ является отрезок $[-1,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-1,5; 1,5]$.

17.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 2 \cos x:$

а) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$

б) на интервале $\left(0; \frac{3\pi}{2}\right);$

в) на полуинтервале $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}\right);$

г) на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}\right].$

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 \cos x$ на замкнутом отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.
1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
2. Найдем критические точки функции. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю:
$y' = (2 \cos x)' = -2 \sin x$.
$-2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \pi k$, где $k$ – целое число.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = 0$. Эта точка принадлежит данному отрезку.
При других целых $k$ (например, $k=1, x=\pi$ или $k=-1, x=-\pi$) точки не попадают в отрезок.
4. Вычислим значение функции в найденной критической точке:
$y(0) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.
5. Сравним все полученные значения: $0$ (на концах отрезка) и $2$ (в критической точке).
Наибольшее значение функции на отрезке – это $2$.
Наименьшее значение функции на отрезке – это $0$.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $0$.

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на открытом интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$, мы ищем значения в критических точках внутри интервала и исследуем поведение функции на границах интервала.
1. Критические точки функции $y = 2 \cos x$ – это $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем те, что лежат в интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$. (т.е. $0 < x < 4.71...$)
При $k=1$, $x=\pi$. Эта точка принадлежит интервалу.
Значение функции в этой точке: $y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
2. Исследуем поведение функции на границах интервала.
При $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\cos x \to 1$, и $y \to 2$. Однако, так как $x>0$, $\cos x < 1$, и $y < 2$. Таким образом, функция стремится к $2$, но не достигает этого значения.
При $x$, стремящемся к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), $\cos x \to 0$, и $y \to 0$.
3. Сравнивая значения, видим, что функция достигает своего минимального значения $-2$ в точке $x=\pi$. Наибольшего значения функция не достигает, так как она только стремится к $2$, но никогда не равна $2$ на данном интервале.
Ответ: наибольшего значения не существует, наименьшее значение $-2$.

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

Найдём значения функции на замкнутом конце, в критических точках внутри интервала и исследуем поведение на открытом конце.
1. Значение функции на левом конце полуинтервала:
$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
2. Критические точки $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В полуинтервал $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$ (т.е. $[1.04...; 4.71...)$) попадает точка $x = \pi$ (при $k=1$).
Значение функции в этой точке: $y(\pi) = 2 \cos(\pi) = -2$.
3. Поведение функции на правом, открытом конце:
При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, $\cos x \to 0$, и $y \to 0$.
4. Сравним полученные значения: $1$ (на левом конце) и $-2$ (в критической точке). Предельное значение на правом конце равно $0$.
Наибольшее из этих значений – $1$.
Наименьшее из этих значений – $-2$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$

Действуем так же, как и в пункте а), исследуя значения на концах отрезка и в критических точках внутри него.
1. Значения на концах отрезка:
$y(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
2. Критические точки $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$ (т.е. $[-4.71...; -0.78...]$) попадает точка $x = -\pi$ (при $k=-1$).
3. Значение функции в критической точке:
$y(-\pi) = 2 \cos(-\pi) = 2 \cos(\pi) = -2$.
4. Сравним все полученные значения: $0$, $\sqrt{2}$ (приблизительно $1.414$) и $-2$.
Наибольшее из них – $\sqrt{2}$.
Наименьшее из них – $-2$.
Ответ: наибольшее значение $\sqrt{2}$, наименьшее значение $-2$.

17.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -3 \sin x$:

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$;

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$;

г) на открытом луче $(-\infty; 0).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -3 \sin x$ на заданных промежутках, сначала определим её общую область значений.

Функция $\sin x$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$

Умножая это двойное неравенство на -3, мы меняем знаки неравенства на противоположные:
$(-3) \cdot 1 \le -3 \sin x \le (-3) \cdot (-1)$
$-3 \le y \le 3$

Таким образом, область значений функции $y = -3 \sin x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

• Наибольшее значение функции, равное 3, достигается, когда $\sin x = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
• Наименьшее значение функции, равное -3, достигается, когда $\sin x = 1$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

а) на луче $[0; +\infty)$
Нам необходимо проверить, существуют ли на луче $[0; +\infty)$ точки, в которых функция достигает своих глобальных максимума и минимума.
Для наибольшего значения $y = 3$ (когда $\sin x = -1$), точки имеют вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли среди них те, что удовлетворяют условию $x \ge 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge \frac{\pi}{2} \implies n \ge \frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — $n=1$. При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y = -3$ (когда $\sin x = 1$), точки имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим условие $x \ge 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{2} \implies n \ge -\frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — $n=0$. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение также достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$
Проверим, достигаются ли на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < \pi \implies n < \frac{1}{2}$.
Подходит любое целое $n \le 0$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < \frac{\pi}{2}$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < 0 \implies n < 0$.
Подходит любое целое $n \le -1$. Например, при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Проверим, достигаются ли на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x \ge \frac{\pi}{4}$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge \frac{3\pi}{4} \implies n \ge \frac{3}{8}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию, — $n=1$. При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что больше $\frac{\pi}{4}$. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x \ge \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{4} \implies n \ge -\frac{1}{8}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию, — $n=0$. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что больше $\frac{\pi}{4}$. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

г) на открытом луче $(-\infty; 0)$
Проверим, достигаются ли на луче $(-\infty; 0)$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies n < \frac{1}{4}$.
Подходит любое целое $n \le 0$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < -\frac{\pi}{2} \implies n < -\frac{1}{4}$.
Подходит любое целое $n \le -1$. Например, при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

17.7. Постройте график функции:

a) $y = 2 \sin x - 1;$

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2;$

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3;$

г) $y = 3 \cos x - 2.$

Для построения графика функции $y = 2 \sin x - 1$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Выполним растяжение графика $y = \sin x$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получим график функции $y_1 = 2 \sin x$. Амплитуда колебаний увеличится до 2, а область значений станет $[-2, 2]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 2 \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = 2 \sin x - 1$.

Итоговый график является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-2 - 1, 2 - 1] = [-3, 1]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка $(0, -1)$, точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$, точка пересечения со средней линией $(\pi, -1)$, точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -3)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin x - 1$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и сдвигом на 1 единицу вниз. Амплитуда равна 2, период $2\pi$, область значений $[-3, 1]$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Выполним сжатие графика $y = \cos x$ к оси $Ox$ в 2 раза и отразим его относительно оси $Ox$. Получим график функции $y_1 = -\frac{1}{2}\cos x$. Амплитуда колебаний станет $\frac{1}{2}$, а область значений $[-0.5, 0.5]$.
3. Сдвинем график $y_1 = -\frac{1}{2}\cos x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$.

Итоговый график является косинусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-0.5 + 2, 0.5 + 2] = [1.5, 2.5]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка минимума $(0, 1.5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{\pi}{2}, 2)$, точка максимума $(\pi, 2.5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{3\pi}{2}, 2)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ сжатием в 2 раза к оси $Ox$, отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вверх. Амплитуда $\frac{1}{2}$, период $2\pi$, область значений $[1.5, 2.5]$.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Выполним растяжение графика $y = \sin x$ от оси $Ox$ в $\frac{3}{2}$ раза и отразим его относительно оси $Ox$. Получим график функции $y_1 = -\frac{3}{2}\sin x$. Амплитуда колебаний станет $1.5$, а область значений $[-1.5, 1.5]$.
3. Сдвинем график $y_1 = -\frac{3}{2}\sin x$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$.

Итоговый график является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-1.5 + 3, 1.5 + 3] = [1.5, 4.5]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка $(0, 3)$, точка минимума $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$, точка пересечения со средней линией $(\pi, 3)$, точка максимума $(\frac{3\pi}{2}, 4.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ растяжением в 1.5 раза от оси $Ox$, отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 3 единицы вверх. Амплитуда 1.5, период $2\pi$, область значений $[1.5, 4.5]$.

Для построения графика функции $y = 3\cos x - 2$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построим график функции $y = \cos x$.
2. Выполним растяжение графика $y = \cos x$ от оси $Ox$ в 3 раза. Получим график функции $y_1 = 3\cos x$. Амплитуда колебаний станет 3, а область значений $[-3, 3]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 3\cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = 3\cos x - 2$.

Итоговый график является косинусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-3 - 2, 3 - 2] = [-5, 1]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка максимума $(0, 1)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{\pi}{2}, -2)$, точка минимума $(\pi, -5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x - 2$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$ и сдвигом на 2 единицы вниз. Амплитуда 3, период $2\pi$, область значений $[-5, 1]$.