Страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.41. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5$ на промежутке:

a) $\left[ \frac{\pi}{6}; \pi \right];$

б) $(1; 9);$

в) $[231; 238];$

г) $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5$ на заданных промежутках, сначала определим ее общие свойства. Область значений функции $\cos(z)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $-\cos(z)$ также является отрезком $[-1, 1]$. Таким образом, для функции $y = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5$ область значений будет $[-1 + 1.5, 1 + 1.5]$, то есть $[0.5, 2.5]$.

Глобальное наименьшее значение функции равно $0.5$. Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$, то есть при $x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Глобальное наибольшее значение функции равно $2.5$. Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$, то есть при $x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для анализа на отрезке найдем производную: $y' = \frac{d}{dx}(-\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Критические точки, в которых производная равна нулю ($y'=0$), соответствуют точкам экстремума функции. Это происходит при $x = k\pi - \frac{\pi}{3}$.

а) Найдем значения функции на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

1. Вычислим значения функции на концах промежутка.

При $x = \frac{\pi}{6}$: $y(\frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{\pi}{2}) + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5$.

При $x = \pi$: $y(\pi) = -\cos(\pi + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{4\pi}{3}) + 1.5 = -(-\frac{1}{2}) + 1.5 = 0.5 + 1.5 = 2$.

2. Найдем критические точки функции, попадающие в данный промежуток. Решим неравенство $\frac{\pi}{6} \le k\pi - \frac{\pi}{3} \le \pi$.

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le k\pi \le \pi + \frac{\pi}{3} \implies \frac{\pi}{2} \le k\pi \le \frac{4\pi}{3} \implies \frac{1}{2} \le k \le \frac{4}{3}$.

Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Критическая точка: $x = 1 \cdot \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

3. Вычислим значение функции в этой критической точке.

$y(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\pi) + 1.5 = -(-1) + 1.5 = 2.5$.

4. Сравнивая значения на концах отрезка ($1.5$ и $2$) и в критической точке ($2.5$), находим наименьшее и наибольшее значения.

Ответ: наименьшее значение $1.5$, наибольшее значение $2.5$.

б) Найдем значения функции на промежутке $(1; 9)$.

1. Найдем критические точки функции, попадающие в данный промежуток. Решим неравенство $1 < k\pi - \frac{\pi}{3} < 9$. Используя $\pi \approx 3.14$, получаем:

$1 + \frac{\pi}{3} < k\pi < 9 + \frac{\pi}{3} \implies 1 + 1.05 < 3.14k < 9 + 1.05 \implies 2.05 < 3.14k < 10.05 \implies 0.65 < k < 3.2$.

Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=1, 2, 3$.

2. Вычислим значения функции в этих точках.

При $k=1$: $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Это точка максимума ($k$ нечетное), $y(\frac{2\pi}{3}) = 2.5$.

При $k=2$: $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24$. Это точка минимума ($k$ четное), $y(\frac{5\pi}{3}) = 0.5$.

При $k=3$: $x = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. Это точка максимума ($k$ нечетное), $y(\frac{8\pi}{3}) = 2.5$.

3. Все эти точки лежат внутри интервала $(1; 9)$. Так как на данном промежутке функция достигает своего глобального минимума ($0.5$) и глобального максимума ($2.5$), то эти значения и будут наименьшим и наибольшим на данном промежутке.

Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $2.5$.

в) Найдем значения функции на промежутке $[231; 238]$.

1. Длина данного промежутка $238 - 231 = 7$. Период функции равен $2\pi \approx 6.283$.

2. Так как длина промежутка ($7$) больше периода функции ($2\pi$), на этом промежутке функция гарантированно примет свои глобальные наименьшее и наибольшее значения.

3. Глобальное наименьшее значение функции равно $0.5$. Глобальное наибольшее значение равно $2.5$. Убедимся, что точки, в которых они достигаются, попадают в интервал. Точка минимума $x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $231 \le 2k\pi - \frac{\pi}{3} \le 238$ выполняется для $k=37, 38$. Точка максимума $x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $231 \le (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3} \le 238$ выполняется для $k=37$. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке совпадают с ее глобальными экстремумами.

Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $2.5$.

г) Найдем значения функции на промежутке $[0; \frac{\pi}{2})$.

1. Найдем производную функции: $y' = \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Исследуем знак производной на данном промежутке. Если $x \in [0; \frac{\pi}{2})$, то аргумент синуса $x + \frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.

3. В промежутке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$ (от $60^\circ$ до $150^\circ$) синус положителен, то есть $\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0$. Следовательно, производная $y' > 0$ на всем промежутке $[0; \frac{\pi}{2})$, а значит функция является строго возрастающей.

4. Для возрастающей функции на полуинтервале $[a, b)$ наименьшее значение достигается в левой точке $x=a$, а наибольшее значение не достигается.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = -\cos(0 + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{\pi}{3}) + 1.5 = -0.5 + 1.5 = 1$.

Наибольшее значение на промежутке не существует, так как правая граница $\frac{\pi}{2}$ не включена в него. Функция стремится к значению $y(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{5\pi}{6}) + 1.5 = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.5 = 1.5 + \frac{\sqrt{3}}{2}$, но никогда его не достигает.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение не существует.

16.42. Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f(x + 2\pi)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

а) $f(-x)$

Чтобы найти $f(-x)$, подставим в исходную формулу функции $f(x) = -\frac{1}{2}\cos x$ значение $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos(-x)$.
Используем свойство четности функции косинус, согласно которому $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$.
Таким образом, получаем:
$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.
Ответ: $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

б) $2f(x)$

Чтобы найти $2f(x)$, необходимо умножить данную функцию $f(x) = -\frac{1}{2}\cos x$ на 2:
$2f(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$.
Выполним умножение коэффициентов:
$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos x = -1 \cdot \cos x = -\cos x$.
Ответ: $2f(x) = -\cos x$.

в) $f(x + 2\pi)$

Чтобы найти $f(x + 2\pi)$, подставим в исходную формулу функции $f(x) = -\frac{1}{2}\cos x$ выражение $x + 2\pi$ вместо $x$:
$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos(x + 2\pi)$.
Используем свойство периодичности функции косинус. Основной период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$.
Таким образом, получаем:
$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$.
Ответ: $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$.

г) $f(-x) - f(x)$

Чтобы найти разность $f(-x) - f(x)$, воспользуемся результатом, который был получен в пункте а), а именно $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.
Подставим известные выражения для $f(-x)$ и $f(x)$ в разность:
$f(-x) - f(x) = \left(-\frac{1}{2}\cos x\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$-\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = 0$.
Можно также заметить, что так как $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной, и разность $f(-x) - f(x)$ для любой четной функции всегда равна нулю.
Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.

16.43. Известно, что $f(x) = \cos \frac{x}{3}$. Найдите:

a) $f(-x)$;

б) $3f(x)$;

в) $f(-3x)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

Дана функция $f(x) = \cos\frac{x}{3}$.

а) f(-x)

Чтобы найти $f(-x)$, необходимо подставить $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$f(-x) = \cos\frac{-x}{3} = \cos\left(-\frac{x}{3}\right)$

Функция косинус является четной, что означает $\cos(-a) = \cos(a)$ для любого значения $a$. Применив это свойство, получаем:

$f(-x) = \cos\frac{x}{3}$

Ответ: $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$.

б) 3f(x)

Чтобы найти $3f(x)$, нужно умножить заданную функцию $f(x)$ на 3:

$3f(x) = 3 \cdot \cos\frac{x}{3} = 3\cos\frac{x}{3}$

Ответ: $3f(x) = 3\cos\frac{x}{3}$.

в) f(-3x)

Чтобы найти $f(-3x)$, необходимо подставить $-3x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$f(-3x) = \cos\frac{-3x}{3}$

Упростим аргумент косинуса:

$f(-3x) = \cos(-x)$

Снова используем свойство четности функции косинус, $\cos(-x) = \cos(x)$:

$f(-3x) = \cos x$

Ответ: $f(-3x) = \cos x$.

г) f(-x) - f(x)

Для нахождения этого выражения воспользуемся результатом, полученным в пункте а), где мы выяснили, что $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$.

Подставим известные выражения для $f(-x)$ и $f(x)$:

$f(-x) - f(x) = \cos\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{3}$

Вычитая одинаковые выражения, получаем:

$f(-x) - f(x) = 0$

Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.

16.44. Исследуйте функцию $y = \cos x$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $[3\pi; 4\pi];$

б) $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}];$

в) $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6});$

г) $(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}).$

Для исследования функции $y = \cos x$ на монотонность на заданных промежутках, мы будем использовать ее производную. Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает на тех, где ее производная отрицательна ($y' < 0$).

• $y' = -\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках функция $y = \cos x$ возрастает.
• $y' = -\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках функция $y = \cos x$ убывает.

Точки, в которых $\sin x = 0$, то есть $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$, являются точками экстремума.

а) Исследуем промежуток $[3\pi; 4\pi]$.
Найдем, какому стандартному промежутку монотонности соответствует данный отрезок.Промежуток возрастания функции $y = \cos x$ имеет вид $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$. При $k=1$ получаем промежуток $[\pi + 2\pi, 2\pi + 2\pi]$, то есть $[3\pi, 4\pi]$.Таким образом, заданный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.Можно также проверить с помощью производной. Для любого $x \in (3\pi, 4\pi)$, угол $x$ (если отбросить полный оборот $2\pi$) находится в интервале $(\pi, 2\pi)$. На этом интервале $\sin x < 0$.Следовательно, производная $y' = -\sin x > 0$. Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на всем промежутке $[3\pi; 4\pi]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[3\pi; 4\pi]$.

б) Исследуем промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
Этот промежуток содержит точку $x=0$, которая является точкой экстремума (максимума) для функции $y = \cos x$, так как $y'(0) = -\sin(0) = 0$. Наличие точки экстремума внутри промежутка означает, что функция не является монотонной на всем этом промежутке.Разобьем данный промежуток на два: $[-\frac{\pi}{3}, 0]$ и $[0, \frac{\pi}{3}]$.1. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}, 0]$. Для $x \in (-\frac{\pi}{3}, 0)$, угол находится в IV четверти, где $\sin x < 0$. Значит, $y' = -\sin x > 0$. Функция возрастает.2. На промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$. Для $x \in (0, \frac{\pi}{3})$, угол находится в I четверти, где $\sin x > 0$. Значит, $y' = -\sin x < 0$. Функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{3}, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$.

в) Исследуем промежуток $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$.
Упростим границы промежутка, используя периодичность функции ($\text{период } 2\pi$).$2\pi = \frac{12\pi}{6}$.$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.$\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.Исследование монотонности на $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$ эквивалентно исследованию на $(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.Этот промежуток целиком лежит внутри интервала $(0, \pi)$, на котором $\sin x > 0$.Следовательно, производная $y' = -\sin x < 0$ на всем промежутке $(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.Значит, функция $y = \cos x$ убывает на заданном промежутке.
Ответ: функция убывает на промежутке $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$.

г) Исследуем промежуток $(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6})$.
Проверим, есть ли внутри этого промежутка точки экстремума $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.При $k=1$ получаем точку $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{6} < \pi < \frac{11\pi}{6}$, точка экстремума (минимума) находится внутри заданного промежутка. Следовательно, функция не является монотонной на всем этом промежутке.Разобьем промежуток на два в точке экстремума: $(\frac{\pi}{6}, \pi]$ и $[\pi, \frac{11\pi}{6})$.1. На промежутке $(\frac{\pi}{6}, \pi)$. Этот промежуток лежит внутри интервала $(0, \pi)$, на котором $\sin x > 0$. Следовательно, $y' = -\sin x < 0$, и функция убывает.2. На промежутке $(\pi, \frac{11\pi}{6})$. Этот промежуток лежит внутри интервала $(\pi, 2\pi)$, на котором $\sin x < 0$. Следовательно, $y' = -\sin x > 0$, и функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(\frac{\pi}{6}, \pi]$ и возрастает на промежутке $[\pi, \frac{11\pi}{6})$.

16.45. На каких промежутках функция $y = \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$:

a) возрастает;

б) убывает?

а) возрастает
Для нахождения промежутков возрастания функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ можно использовать свойства стандартной функции косинуса $y = \cos(t)$.
Функция $y = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[-\pi + 2\pi k, 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$. Тогда функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ будет возрастать, когда ее аргумент $t$ будет принадлежать указанным промежуткам. Это приводит к двойному неравенству:
$-\pi + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le 2\pi k$
Чтобы найти промежутки для $x$, вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$-\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Таким образом, функция возрастает на этих промежутках.
Ответ: $\left[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) убывает
Аналогично, для нахождения промежутков убывания функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ обратимся к свойствам функции $y = \cos(t)$.
Функция $y = \cos(t)$ убывает на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сделав замену $t = x + \frac{\pi}{6}$, получим двойное неравенство для аргумента функции:
$2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \pi + 2\pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства, чтобы выразить $x$:
$2\pi k - \frac{\pi}{6} \le x \le \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Следовательно, функция убывает на этих промежутках.
Ответ: $\left[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

16.46. Докажите, что функция $y = \cos x$:

a) возрастает на отрезке $[-3; -0.5];$

б) убывает на интервале $(7; 9);$

в) достигает на интервале $(3; 7)$ наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале $(-3; -0.5)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а) Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-3; -0,5]$, найдём её производную и определим её знак на данном отрезке. Производная функции $y' = (\cos x)' = -\sin x$. Функция возрастает на отрезке, если её производная на соответствующем интервале положительна ($y' > 0$), а сама функция непрерывна на концах отрезка. Условие $y' > 0$ означает, что $-\sin x > 0$, что равносильно $\sin x < 0$. Известно, что синус отрицателен для углов, принадлежащих интервалу $(-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$ для любого целого $k$. При $k=0$ получаем интервал $(-\pi, 0)$. Так как $\pi \approx 3,14159$, этот интервал примерно равен $(-3,14159; 0)$. Отрезок $[-3; -0,5]$ целиком принадлежит интервалу $(-\pi, 0)$, поскольку $-\pi < -3$ и $-0,5 < 0$. Следовательно, на интервале $(-3; -0,5)$ производная $y' = -\sin x$ положительна. Так как функция $y=\cos x$ непрерывна на отрезке $[-3; -0,5]$, она возрастает на всём этом отрезке. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $y=\cos x$ положительна на интервале $(-3; -0,5)$, и функция непрерывна на отрезке $[-3; -0,5]$.

б) Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ убывает на интервале $(7; 9)$, также используем её производную $y' = -\sin x$. Функция убывает, если её производная отрицательна, то есть $y' < 0$. Условие $y' < 0$ означает, что $-\sin x < 0$, что равносильно $\sin x > 0$. Синус положителен для углов, принадлежащих интервалу $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ для любого целого $k$. При $k=1$ получаем интервал $(2\pi, 3\pi)$. Используя приближённое значение $\pi \approx 3,14159$, получаем, что $2\pi \approx 6,28318$ и $3\pi \approx 9,42477$. Таким образом, интервал, где $\sin x > 0$, — это примерно $(6,28; 9,42)$. Заданный интервал $(7; 9)$ целиком принадлежит интервалу $(2\pi, 3\pi)$, поскольку $2\pi < 7$ и $9 < 3\pi$. Следовательно, на интервале $(7; 9)$ производная $y' = -\sin x$ отрицательна, и функция $y = \cos x$ убывает на этом интервале. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $y=\cos x$ отрицательна на интервале $(7; 9)$.

в) Чтобы доказать, что функция $y = \cos x$ достигает на интервале $(3; 7)$ наименьшего и наибольшего значений, нужно показать, что точки, в которых достигаются глобальные экстремумы функции, лежат внутри этого интервала. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение, равное $1$, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, а наименьшее, равное $-1$, — в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Рассмотрим заданный интервал $(3; 7)$. Проверим, попадает ли в него точка, где достигается наибольшее значение. При $k=1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159$, то $2\pi \approx 6,28318$. Условие $3 < 2\pi < 7$ выполняется. Значит, в точке $x = 2\pi \in (3; 7)$ функция достигает своего наибольшего значения $y(2\pi) = 1$. Проверим, попадает ли в него точка, где достигается наименьшее значение. При $k=0$, $x = \pi$. Условие $3 < \pi < 7$ выполняется, так как $\pi \approx 3,14159$. Значит, в точке $x = \pi \in (3; 7)$ функция достигает своего наименьшего значения $y(\pi) = -1$. Поскольку точки, в которых функция достигает своих абсолютных минимума и максимума, находятся внутри интервала $(3; 7)$, то на этом интервале функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как точки $x=\pi$ и $x=2\pi$, в которых $\cos x$ принимает значения $-1$ и $1$ соответственно, принадлежат интервалу $(3; 7)$.

г) Чтобы доказать, что функция $y = \cos x$ не достигает на интервале $(-3; -0,5)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений, воспользуемся результатом из пункта (а). В пункте (а) было показано, что на отрезке $[-3; -0,5]$ функция $y = \cos x$ строго возрастает. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\cos(x_1) < \cos(x_2)$. На открытом интервале $(a, b)$ строго монотонная функция не достигает своих экстремумов. Множество её значений на этом интервале есть открытый интервал $(\cos(-3), \cos(-0,5))$. Для любой точки $c \in (-3; -0,5)$ можно найти точку $c'$ такую, что $c < c' < -0,5$. Так как функция возрастает, $\cos(c) < \cos(c')$, следовательно, значение в точке $c$ не является наибольшим. Аналогично, можно найти точку $c''$ такую, что $-3 < c'' < c$, и тогда $\cos(c'') < \cos(c)$, следовательно, значение в точке $c$ не является наименьшим. Таким образом, функция $y = \cos x$ на интервале $(-3; -0,5)$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как на открытом интервале $(-3; -0,5)$ функция $y=\cos x$ является строго монотонной, и поэтому не может достигать своих граничных значений, которые являются её инфимумом и супремумом.

Решите графически уравнение:

16.47. а) $cos x = x + \frac{\pi}{2}$;

б) $-cos x = 3x - 1$;

в) $cos x = 2x + 1$;

г) $cos x = -x + \frac{\pi}{2}$.

а) Чтобы решить уравнение $ \cos x = x + \frac{\pi}{2} $ графически, необходимо построить графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$ в одной системе координат и найти абсциссы их точек пересечения.

График функции $y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1. График функции $y = x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, \frac{\pi}{2})$.

Построим эскизы графиков. Проверим, является ли точка $x = -\frac{\pi}{2}$ точкой пересечения.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Для $y = x + \frac{\pi}{2}$: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как значения $y$ совпали, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = -\frac{\pi}{2}$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим производные обеих функций. Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ она равна $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = 1$. Угловой коэффициент прямой $y = x + \frac{\pi}{2}$ также равен 1. Это означает, что прямая является касательной к графику косинуса в точке их пересечения. Рассмотрим функцию $h(x) = x + \frac{\pi}{2} - \cos x$. Её производная $h'(x) = 1 + \sin x \ge 0$ для всех $x$, причём равенство нулю достигается лишь в изолированных точках. Следовательно, функция $h(x)$ строго возрастает, а значит, уравнение $h(x)=0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = -\frac{\pi}{2}$ — единственное решение.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) Преобразуем уравнение к виду $\cos x = 1 - 3x$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 - 3x$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = 1 - 3x$ — прямая линия с угловым коэффициентом -3, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = 0$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(0) = 1$.
Для $y = 1 - 3x$: $y = 1 - 3(0) = 1$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (1 - 3x) = \cos x + 3x - 1$. Её производная $h'(x) = -\sin x + 3$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $2 \le -\sin x + 3 \le 4$. Поскольку $h'(x) > 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x=0$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $x = 0$.

в) Для графического решения уравнения $\cos x = 2x + 1$ построим графики функций $y = \cos x$ и $y = 2x + 1$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = 2x + 1$ — прямая с угловым коэффициентом 2, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = 0$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(0) = 1$.
Для $y = 2x + 1$: $y = 2(0) + 1 = 1$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$.

Для проверки единственности решения рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (2x + 1) = \cos x - 2x - 1$. Её производная $h'(x) = -\sin x - 2$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-3 \le -\sin x - 2 \le -1$. Поскольку $h'(x) < 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго убывающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x=0$ — единственное решение.
Ответ: $x = 0$.

г) Для графического решения уравнения $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$ построим графики функций $y = \cos x$ и $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = -x + \frac{\pi}{2}$ — прямая с угловым коэффициентом -1, проходящая через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = \frac{\pi}{2}$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Для $y = -x + \frac{\pi}{2}$: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (-x + \frac{\pi}{2}) = \cos x + x - \frac{\pi}{2}$. Её производная $h'(x) = -\sin x + 1$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $0 \le -\sin x + 1 \le 2$. Поскольку $h'(x) \ge 0$ для всех $x$ и обращается в ноль только в изолированных точках, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x = \frac{\pi}{2}$ — единственное решение.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

16.48. a) $cos x = \sqrt{x + 1}$;

б) $cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$;

В) $cos x = -(x - \pi)^2 - 1$;

Г) $cos x = |x| + 1$.

а) $ \cos x = \sqrt{x+1} $

Для решения данного уравнения оценим множества значений левой и правой частей.

1. Множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Правая часть уравнения, функция $y = \sqrt{x+1}$, определена при $x+1 \ge 0$, то есть при $x \ge -1$. Множество значений этой функции $y \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения равна правой, то $\cos x$ должен быть неотрицательным: $\cos x = \sqrt{x+1} \ge 0$. Следовательно, для обеих частей уравнения должно выполняться условие: $0 \le \cos x \le 1$ и $0 \le \sqrt{x+1} \le 1$.

Из неравенства $\sqrt{x+1} \le 1$ после возведения в квадрат получаем $x+1 \le 1$, откуда $x \le 0$. Учитывая область определения $x \ge -1$, получаем, что корень уравнения (если он существует) должен находиться в отрезке $[-1, 0]$.

Проверим одну из границ этого отрезка. При $x=0$:
Левая часть: $\cos(0) = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x=0$ является корнем уравнения.

Рассмотрим поведение функций $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \sqrt{x+1}$ на отрезке $[-1, 0]$. На этом отрезке обе функции возрастают. При $x=-1$ имеем $f(-1) = \cos(-1) = \cos(1) > 0$ и $g(-1) = \sqrt{-1+1} = 0$, то есть $f(-1) > g(-1)$. При $x=0$ имеем $f(0) = g(0) = 1$. Так как на отрезке $[-1, 0]$ одна функция "догоняет" другую и они встречаются на правом конце отрезка, и при этом обе функции являются вогнутыми на данном интервале, другого пересечения их графиков на этом отрезке нет. Таким образом, $x=0$ — единственный корень.

Ответ: $x=0$.

б) $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $

1. Множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

2. Правая часть, $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$, определена при $x - \frac{\pi}{2} \ge 0$, то есть $x \ge \frac{\pi}{2}$. Множество значений этой функции $y \ge 0$.

Из равенства следует, что $\cos x \ge 0$. Таким образом, для существования решения необходимо одновременное выполнение условий: $x \ge \frac{\pi}{2}$ и $\cos x \ge 0$.

Проверим точку $x = \frac{\pi}{2}$:
Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $\sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0$.
Так как $0 = 0$, то $x=\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения.

Рассмотрим случай $x > \frac{\pi}{2}$. Из условия $\cos x \le 1$ следует, что $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} \le 1$. Возведя в квадрат, получим $x - \frac{\pi}{2} \le 1$, откуда $x \le 1 + \frac{\pi}{2}$. Значит, если существуют другие решения, они должны лежать в интервале $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.

Однако для любого $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, значение $\cos x$ является отрицательным (кроме точки $x=3\pi/2$, где он 0). Наш интервал $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$ (примерно $(1.57, 2.57]$) полностью попадает в интервал, где $\cos x < 0$. При этом правая часть уравнения $\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$ для $x > \frac{\pi}{2}$ строго положительна. Отрицательное число не может быть равно положительному, следовательно, на интервале $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$ решений нет.

Для $x > 1 + \frac{\pi}{2}$ правая часть $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > 1$, в то время как левая часть $\cos x \le 1$. Равенство в этом случае невозможно. Следовательно, $x=\frac{\pi}{2}$ является единственным решением.

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

в) $ \cos x = -(x-\pi)^2 - 1 $

Оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

1. Левая часть: $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Правая часть: выражение $(x-\pi)^2$ всегда неотрицательно, $(x-\pi)^2 \ge 0$. Тогда $-(x-\pi)^2 \le 0$, и, следовательно, $-(x-\pi)^2 - 1 \le -1$.

Итак, мы имеем $\cos x \ge -1$ и $-(x-\pi)^2 - 1 \le -1$. Равенство между левой и правой частями возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $-1$.

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} \cos x = -1 \\ -(x-\pi)^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $-(x-\pi)^2 = 0$, что возможно только при $x-\pi=0$, то есть $x=\pi$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $\cos(\pi) = -1$. Условие выполняется. Следовательно, $x=\pi$ является единственным решением.

Ответ: $x=\pi$.

г) $ \cos x = |x| + 1 $

Оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

1. Левая часть: $-1 \le \cos x \le 1$. Максимальное значение равно 1.

2. Правая часть: выражение $|x|$ всегда неотрицательно, $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x|+1 \ge 1$. Минимальное значение равно 1.

Итак, мы имеем $\cos x \le 1$ и $|x|+1 \ge 1$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} \cos x = 1 \\ |x| + 1 = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $|x|=0$, что возможно только при $x=0$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $\cos(0) = 1$. Условие выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x=0$.