Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое числовая окружность?

Определение

Числовая окружность — это окружность, расположенная в декартовой системе координат, с центром в начале координат (точка $(0,0)$) и радиусом, равным единице ($R=1$). Основное назначение числовой окружности — установить наглядное соответствие между действительными числами и точками на этой окружности. Её также называют единичной или тригонометрической окружностью.

Сопоставление чисел и точек

Чтобы каждому действительному числу $t$ поставить в соответствие точку на окружности, используется метод "наматывания" числовой прямой. Представьте, что числовая прямая приложена к окружности в точке $A(1,0)$ так, что ноль на прямой совпадает с этой точкой. Положительная часть оси направлена вверх, а отрицательная — вниз.

• Если "наматывать" положительную часть прямой на окружность, движение будет происходить против часовой стрелки.

• Если "наматывать" отрицательную часть, движение будет по часовой стрелке.

Таким образом, каждое действительное число $t$ "попадает" в некоторую единственную точку $M$ на окружности, которую обозначают $M(t)$. Эта точка получается поворотом начальной точки $A(1,0)$ на угол, равный $t$ радиан.

Свойства и важные точки

Длина единичной окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$ и равна $2\pi$. Это приводит к важному свойству периодичности: если к числу $t$ прибавить целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то мы попадем в ту же самую точку: $M(t) = M(t + 2\pi k)$.

Некоторые ключевые точки на окружности:

• Числу $t=0$ соответствует начальная точка $A(1,0)$.

• Числу $t=\frac{\pi}{2}$ соответствует "верхняя" точка $B(0,1)$.

• Числу $t=\pi$ соответствует "левая" точка $C(-1,0)$.

• Числу $t=\frac{3\pi}{2}$ соответствует "нижняя" точка $D(0,-1)$.

• Число $t=2\pi$ соответствует полному обороту и возвращает нас в точку $A(1,0)$.

Связь с тригонометрией

Числовая окружность является фундаментальным инструментом для определения тригонометрических функций. Для любой точки $M(t)$ на окружности с координатами $(x, y)$ эти координаты по определению являются косинусом и синусом числа $t$:

$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Это определение расширяет понятия синуса и косинуса с острых углов прямоугольного треугольника на любые действительные числа. Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$ при такой замене превращается в основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$

Ответ: Числовая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат, которая служит для визуализации соответствия между действительными числами $t$ и точками на окружности $M(t)$. Движение на величину $t$ от начальной точки $(1,0)$ против часовой стрелки (для $t>0$) или по часовой стрелке (для $t<0$) определяет положение точки $M(t)$. Координаты этой точки $(x, y)$ по определению равны $(\cos t, \sin t)$, что делает числовую окружность основой для определения тригонометрических функций для любого числового аргумента.

2. Чему равна длина числовой окружности? её полуокружности?

Чему равна длина числовой окружности?

Числовая окружность, также известная как единичная окружность в тригонометрии, — это окружность, радиус которой по определению равен единице. Обозначим радиус как $R$, тогда $R=1$.

Длина любой окружности (периметр) вычисляется по формуле:
$C = 2 \pi R$
где $C$ — длина окружности, $R$ — её радиус, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.

Подставив значение радиуса числовой окружности $R=1$ в эту формулу, мы получим её длину:
$C = 2 \pi \cdot 1 = 2 \pi$.

Ответ: $2 \pi$

её полуокружности?

Полуокружность представляет собой ровно половину полной окружности. Соответственно, её длина будет равна половине длины всей окружности.

Если длина всей числовой окружности равна $2 \pi$, то для нахождения длины её полуокружности нужно разделить это значение на 2:
Длина полуокружности = $\frac{\text{Длина окружности}}{2} = \frac{2 \pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

3. Чему равна длина второй четверти числовой окружности?

Числовая окружность — это окружность, радиус которой принимается за единицу ($r=1$). Длина всей окружности вычисляется по формуле $L = 2 \pi r$. Для числовой окружности её полная длина равна $L = 2 \pi \cdot 1 = 2\pi$.

Окружность разделена на четыре равные части, которые называются четвертями. Соответственно, длина каждой четверти будет равна одной четвертой от общей длины окружности.

Длина одной четверти = $\frac{L}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Первая четверть соответствует дуге от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.
Вторая четверть соответствует дуге от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.
Третья четверть соответствует дуге от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$.
Четвертая четверть соответствует дуге от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.

Длина дуги второй четверти равна разности между её конечной и начальной точками: $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, длина второй четверти числовой окружности равна $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

4. На числовой окружности отмечена точка $M(8)$. Как с её помощью найти точку $P(-8)$?

На числовой окружности точка, соответствующая числу $t$, получается путем перемещения из начальной точки (соответствующей числу 0) по дуге окружности. Если число $t$ положительное, движение происходит против часовой стрелки, а если отрицательное — по часовой стрелке. Длина пройденной дуги равна $|t|$.

Точка $M(8)$ находится на окружности в результате перемещения из начальной точки на дугу длиной 8 единиц в положительном направлении (против часовой стрелки).

Точка $P(-8)$ находится на окружности в результате перемещения из той же начальной точки на дугу длиной 8 единиц в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Поскольку длины дуг, ведущих к точкам $M(8)$ и $P(-8)$, одинаковы ($|8| = |-8| = 8$), а направления движения противоположны, эти точки будут расположены симметрично друг другу относительно горизонтальной оси (оси абсцисс Ox), которая проходит через начальную точку и центр окружности. Это означает, что если координаты точки $M(8)$ равны $(x; y)$, то координаты симметричной ей точки $P(-8)$ будут равны $(x; -y)$.

Ответ: Чтобы с помощью точки $M(8)$ найти точку $P(-8)$, необходимо построить точку, симметричную точке $M(8)$ относительно горизонтальной оси (оси абсцисс).

5. Объясните, почему числам $3 + 2\pi$ и $3 - 10\pi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности.

5.

На числовой окружности одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел, которые отличаются друг от друга на целое число полных оборотов. Длина одного полного оборота по числовой окружности равна $2\pi$.

Следовательно, два числа, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, соответствуют одной и той же точке числовой окружности тогда и только тогда, когда их разность равна $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Проверим это условие для заданных чисел: $\alpha_1 = 3 + 2\pi$ и $\alpha_2 = 3 - 10\pi$.

Найдем их разность:

$\alpha_1 - \alpha_2 = (3 + 2\pi) - (3 - 10\pi) = 3 + 2\pi - 3 + 10\pi = (3 - 3) + (2\pi + 10\pi) = 12\pi$.

Теперь представим полученную разность в виде $2\pi k$:

$12\pi = 6 \cdot 2\pi$.

В этом выражении $k=6$. Так как $k=6$ является целым числом, условие выполняется. Это означает, что число $3 - 10\pi$ получается из числа $3 + 2\pi$ путем вычитания 6 полных оборотов по окружности, и поэтому оба числа приводят в одну и ту же точку.

Ответ: Разность данных чисел равна $(3 + 2\pi) - (3 - 10\pi) = 12\pi$. Поскольку $12\pi = 6 \cdot 2\pi$, то есть разность является целым кратным числа $2\pi$ (при $k=6$), числам $3 + 2\pi$ и $3 - 10\pi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности.

16.18. Докажите, что функция $y = \sin x$:

а) возрастает на отрезке $[12; 13]$;

б) убывает на интервале $(8; 10)$;

в) достигает на интервале $(7; 12)$ наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале $(-1; 1)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а) Для того чтобы доказать, что функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$, найдем ее производную: $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Функция возрастает на интервале, где ее производная положительна, то есть, где $\cos x > 0$. Это выполняется на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число.

Оценим, в какой из этих интервалов попадает отрезок $[12; 13]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.1416$.

При $k=2$, интервал возрастания будет $(-\frac{\pi}{2} + 4\pi; \frac{\pi}{2} + 4\pi) = (\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2})$.

Вычислим границы этого интервала:
$\frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$
$\frac{9\pi}{2} \approx \frac{9 \times 3.1416}{2} \approx 14.1372$

Таким образом, интервал возрастания - это примерно $(10.9956; 14.1372)$.

Отрезок $[12; 13]$ полностью содержится в этом интервале: $[12; 13] \subset (\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2})$.

Поскольку производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[12; 13]$, функция $y = \sin x$ на этом отрезке возрастает, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что функция $y = \sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$, мы также используем ее производную $y' = \cos x$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $\cos x < 0$. Это происходит на интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число.

Найдем интервал, содержащий $(8; 10)$. Возьмем $k=1$.

Интервал убывания будет $(\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2})$.

Вычислим границы этого интервала:
$\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.1416}{2} \approx 7.854$
$\frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$

Таким образом, интервал убывания - это примерно $(7.854; 10.9956)$.

Интервал $(8; 10)$ полностью содержится в этом интервале: $(8; 10) \subset (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2})$.

Так как производная $y' = \cos x$ отрицательна на всем интервале $(8; 10)$, функция $y = \sin x$ на этом интервале убывает, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Необходимо доказать, что на интервале $(7; 12)$ функция $y = \sin x$ достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Область значений функции синус - это отрезок $[-1; 1]$. Наибольшее значение равно $1$, а наименьшее равно $-1$.

Наибольшее значение $1$ функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в интервал $(7; 12)$. При $k=1$:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.1416}{2} \approx 7.854$.
Поскольку $7 < 7.854 < 12$, точка $x = \frac{5\pi}{2}$ принадлежит интервалу $(7; 12)$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$.

Наименьшее значение $-1$ функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в интервал $(7; 12)$. При $k=1$:
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$.
Поскольку $7 < 10.9956 < 12$, точка $x = \frac{7\pi}{2}$ принадлежит интервалу $(7; 12)$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения $\sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$.

Так как на интервале $(7; 12)$ существуют точки, в которых функция принимает свои глобальные максимальное и минимальное значения, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

г) Необходимо доказать, что на интервале $(-1; 1)$ функция $y = \sin x$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Рассмотрим производную $y' = \cos x$. На интервале $(-1; 1)$, который является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57; 1.57)$, производная $\cos x$ строго положительна. Следовательно, функция $y = \sin x$ строго возрастает на всем интервале $(-1; 1)$.

Пусть функция достигает своего наибольшего значения $M$ в некоторой точке $x_0 \in (-1; 1)$. Тогда $M = \sin(x_0)$. Но так как $x_0 < 1$, можно выбрать точку $x_1$ такую, что $x_0 < x_1 < 1$. В силу строгого возрастания функции, $\sin(x_1) > \sin(x_0) = M$, что противоречит предположению о том, что $M$ - наибольшее значение. Следовательно, наибольшее значение на интервале $(-1; 1)$ не достигается.

Аналогично, пусть функция достигает своего наименьшего значения $m$ в некоторой точке $x_0 \in (-1; 1)$. Тогда $m = \sin(x_0)$. Но так как $x_0 > -1$, можно выбрать точку $x_1$ такую, что $-1 < x_1 < x_0$. В силу строгого возрастания функции, $\sin(x_1) < \sin(x_0) = m$, что противоречит предположению о том, что $m$ - наименьшее значение. Следовательно, наименьшее значение на интервале $(-1; 1)$ также не достигается.

Таким образом, на интервале $(-1; 1)$ функция $y = \sin x$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Доказано.

Решите графически уравнение:

16.19. а) $\sin x = x + \pi;$

б) $\sin x = 2x;$

в) $\sin x + x = 0;$

г) $\sin x = 2x - 2\pi.$

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) исходного уравнения.

а) $ \sin x = x + \pi $

Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = x + \pi$.
График функции $y = \sin x$ — это синусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1.
График функции $y = x + \pi$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки $(-\pi; 0)$ и $(0; \pi)$.
Построим эти графики в одной системе координат. Для того чтобы графики пересеклись, значения функции $y = x + \pi$ также должны находиться в диапазоне $[-1, 1]$, так как значения синуса ограничены этим диапазоном.
Решим неравенство: $-1 \le x + \pi \le 1$, что равносильно $-1 - \pi \le x \le 1 - \pi$.
Подставим в исходное уравнение значение $x = -\pi$:
Левая часть: $\sin(-\pi) = 0$.
Правая часть: $-\pi + \pi = 0$.
Поскольку $0 = 0$, то $x = -\pi$ является корнем уравнения.
Чтобы определить, есть ли другие корни, рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - x - \pi$. Её производная $h'(x) = \cos x - 1$.
Так как $\cos x \le 1$ для любого $x$, то $h'(x) = \cos x - 1 \le 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей на всей числовой оси. Строго убывающей она является везде, кроме точек $x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, функция $h(x)$ может пересекать ось абсцисс (то есть равняться нулю) не более одного раза. Мы уже нашли один корень $x = -\pi$. Значит, это единственное решение.
Графически это означает, что прямая $y = x + \pi$ пересекает синусоиду $y = \sin x$ только в одной точке с абсциссой $x = -\pi$.
Ответ: $x = -\pi$.

б) $ \sin x = 2x $

Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = 2x$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = 2x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2.
Очевидно, что $x=0$ является решением, так как $\sin(0) = 0$ и $2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0;0)$ является точкой пересечения.
Сравним поведение функций вблизи нуля. Производная $(\sin x)' = \cos x$, в точке $x=0$ она равна $\cos(0) = 1$. Производная $(2x)' = 2$.
Поскольку в точке $x=0$ угловой коэффициент касательной к синусоиде (равный 1) меньше углового коэффициента прямой $y=2x$ (равного 2), для малых $x > 0$ будет выполняться неравенство $2x > \sin x$.
Более строго, рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - 2x$. Её производная $h'(x) = \cos x - 2$.
Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, производная $h'(x)$ всегда отрицательна ($h'(x) \le 1 - 2 = -1$).
Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой.
Строго монотонная функция может иметь не более одного корня. Так как мы нашли корень $x=0$, он является единственным.
Ответ: $x = 0$.

в) $ \sin x + x = 0 $

Перепишем уравнение в виде $\sin x = -x$.
Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = -x$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = -x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом -1 (биссектриса второго и четвертого координатных углов).
Очевидно, что $x=0$ является решением: $\sin(0) = 0$ и $-0 = 0$. Точка $(0;0)$ — точка пересечения.
Рассмотрим функцию $h(x) = \sin x + x$. Её производная $h'(x) = \cos x + 1$.
Поскольку $\cos x \ge -1$, производная $h'(x) \ge 0$ для всех $x$. Она равна нулю только в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей на всей числовой оси. Так как она не является константой ни на каком интервале, она может иметь только один корень.
Мы уже нашли корень $x=0$, следовательно, он единственный.
Ответ: $x = 0$.

г) $ \sin x = 2x - 2\pi $

Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = 2x - 2\pi$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = 2x - 2\pi$ — прямая с угловым коэффициентом 2. Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс: при $y=0$, $2x - 2\pi = 0 \implies x = \pi$. Прямая проходит через точку $(\pi, 0)$.
Проверим, является ли $x = \pi$ решением уравнения.
Левая часть: $\sin(\pi) = 0$.
Правая часть: $2\pi - 2\pi = 0$.
Так как $0 = 0$, $x = \pi$ является корнем. Точка $(\pi; 0)$ является точкой пересечения графиков.
Рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - (2x - 2\pi) = \sin x - 2x + 2\pi$. Её производная $h'(x) = \cos x - 2$.
Как и в пункте б), производная $h'(x)$ всегда отрицательна, так как $\cos x \le 1$.
Следовательно, функция $h(x)$ является строго убывающей, а значит, может иметь не более одного корня.
Поскольку мы нашли корень $x=\pi$, он является единственным.
Ответ: $x = \pi$.

16.20. a) $ \sin x = \frac{2}{\pi}x; $

б) $ \sin x + \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 + 1 = 0; $

В) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3; $

Г) $ \sin x = x^2 + 1. $

а) $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции: $ y_1 = \sin x $ и $ y_2 = \frac{2}{\pi}x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

Функция $ y_2 = \frac{2}{\pi}x $ — это прямая, проходящая через начало координат.

Проверим некоторые значения. При $ x = 0 $ имеем $ \sin(0) = 0 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0 $, значит $ x = 0 $ — корень. При $ x = \frac{\pi}{2} $ имеем $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $, значит $ x = \frac{\pi}{2} $ — корень. Так как обе функции, $ y_1(x) $ и $ y_2(x) $, нечетные ($ \sin(-x) = -\sin x $ и $ \frac{2}{\pi}(-x) = -\frac{2}{\pi}x $), то $ x = -\frac{\pi}{2} $ также является корнем, поскольку $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $.

Докажем, что других корней нет. Область значений функции синуса — отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ |\sin x| \le 1 $. Если $ |x| > \frac{\pi}{2} $, то $ |\frac{2}{\pi}x| > |\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}| = 1 $. Следовательно, при $ |x| > \frac{\pi}{2} $ равенство $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $ невозможно, так как левая часть по модулю не превосходит 1, а правая — строго больше 1.

Таким образом, все решения находятся на отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. На этом отрезке график функции $ y = \sin x $ на участке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ является выпуклым вверх, а прямая $ y = \frac{2}{\pi}x $ соединяет точки $ (0,0) $ и $ (\frac{\pi}{2}, 1) $. Из-за выпуклости функции $ \sin x $ на этом участке нет других точек пересечения кроме концов. Аналогично для участка $ [-\frac{\pi}{2}, 0] $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2} $.

б) $ \sin x + (x + \frac{\pi}{2})^2 + 1 = 0 $

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $ \sin x $:
$ \sin x = -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 $.

Оценим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $ \sin x $. Область значений функции синуса $ E(\sin x) = [-1, 1] $. Таким образом, $ \sin x \le 1 $ и $ \sin x \ge -1 $.
Правая часть: $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 $. Так как выражение $ (x + \frac{\pi}{2})^2 $ всегда неотрицательно ($ (x + \frac{\pi}{2})^2 \ge 0 $), то $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 \le 0 $. Вычитая 1 из обеих частей последнего неравенства, получаем: $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 \le -1 $.

Итак, мы имеем: левая часть $ \sin x \ge -1 $, а правая часть $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 \le -1 $. Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $ -1 $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Решим второе уравнение:
$ -(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0 $
$ (x + \frac{\pi}{2})^2 = 0 $
$ x + \frac{\pi}{2} = 0 $
$ x = -\frac{\pi}{2} $.

Теперь проверим, является ли $ x = -\frac{\pi}{2} $ решением первого уравнения $ \sin x = -1 $.
Подставляем: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Равенство верное.

Поскольку $ x = -\frac{\pi}{2} $ является единственным решением второго уравнения и удовлетворяет первому, это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} $.

в) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3 $

Рассмотрим функцию $ h(x) = \sin x + \frac{4}{\pi}x - 3 $. Решения исходного уравнения — это нули функции $ h(x) $.

Найдем производную этой функции:
$ h'(x) = (\sin x + \frac{4}{\pi}x - 3)' = \cos x + \frac{4}{\pi} $.

Оценим знак производной. Мы знаем, что $ -1 \le \cos x \le 1 $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{4}{\pi} > 1 $. Тогда наименьшее возможное значение производной: $ h'(x)_{min} = -1 + \frac{4}{\pi} > 0 $.
Поскольку производная $ h'(x) $ всегда положительна, функция $ h(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $ h(x) = 0 $ имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Проверим значение $ x = \frac{\pi}{2} $:
Левая часть: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Правая часть: $ -\frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + 3 = -2 + 3 = 1 $.
Поскольку $ 1 = 1 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $ x = \frac{\pi}{2} $ — единственное решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) $ \sin x = x^2 + 1 $

Оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть: $ \sin x $. Область значений синуса $ E(\sin x) = [-1, 1] $. Таким образом, $ \sin x \le 1 $ для любого $ x $.

Правая часть: $ x^2 + 1 $. Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 1 \ge 1 $.

Сравним полученные оценки:
$ \sin x \le 1 $
$ x^2 + 1 \ge 1 $

Равенство $ \sin x = x^2 + 1 $ возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение:
$ x^2 + 1 = 1 $
$ x^2 = 0 $
$ x = 0 $.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 0 $ первому уравнению $ \sin x = 1 $.
Подставляем $ x = 0 $ в первое уравнение: $ \sin(0) = 0 $.
Получаем $ 0 = 1 $, что является ложным равенством. Таким образом, $ x = 0 $ не является решением первого уравнения.

Поскольку не существует такого значения $ x $, которое бы удовлетворяло обоим уравнениям системы одновременно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

16.21. a) $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\pi-3 x$;

б) $\sin x-\sqrt{x-\pi}=0$;

в) $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2}+1$;

г) $-\sin x=\sqrt{x}$.

а) $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x$

Данное уравнение является трансцендентным. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях уравнения.

Пусть $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ и $y_2 = \pi - 3x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.

Для того чтобы уравнение имело решение, правая часть также должна принимать значения из этого диапазона:

$-1 \le \pi - 3x \le 1$

Решим это двойное неравенство:

1) $\pi - 3x \le 1 \implies \pi - 1 \le 3x \implies x \ge \frac{\pi - 1}{3}$.

2) $\pi - 3x \ge -1 \implies \pi + 1 \ge 3x \implies x \le \frac{\pi + 1}{3}$.

Таким образом, возможные решения должны лежать в интервале $\left[\frac{\pi - 1}{3}, \frac{\pi + 1}{3}\right]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3x - \pi$. Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$.

Поскольку $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то $f'(x) \ge -1 + 3 = 2$. Так как производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Проверим значение $x = \frac{\pi}{3}$.

Левая часть: $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin(0) = 0$.

Правая часть: $\pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi - \pi = 0$.

Левая и правая части равны, следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

б) $\sin x - \sqrt{x - \pi} = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = \sqrt{x - \pi}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - \pi \ge 0 \implies x \ge \pi$.

Проанализируем значения левой и правой частей уравнения.

Правая часть, $\sqrt{x - \pi}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Значит, левая часть также должна быть неотрицательной: $\sin x \ge 0$.

Кроме того, максимальное значение синуса равно 1, поэтому $\sqrt{x - \pi} \le 1$.

Возведя в квадрат обе части неравенства $\sqrt{x - \pi} \le 1$, получаем $x - \pi \le 1$, откуда $x \le \pi + 1$.

Итак, все решения должны находиться в отрезке $[\pi, \pi + 1]$.

Проверим значение $x = \pi$:

Левая часть: $\sin(\pi) = 0$.

Правая часть: $\sqrt{\pi - \pi} = \sqrt{0} = 0$.

Так как $0=0$, $x=\pi$ является решением.

Теперь рассмотрим интервал $(\pi, \pi + 1]$. Для любого $x$ из этого интервала угол $x$ находится в третьей четверти (поскольку $\pi < x < 3\pi/2$), где значение синуса отрицательно: $\sin x < 0$.

В то же время, правая часть уравнения, $\sqrt{x - \pi}$, для $x > \pi$ строго положительна.

Отрицательное число не может быть равно положительному, поэтому на интервале $(\pi, \pi + 1]$ решений нет.

Следовательно, единственным решением является $x = \pi$.

Ответ: $x = \pi$.

в) $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1$

Решим это уравнение методом оценки.

Рассмотрим левую часть уравнения: $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $y_1 \le 1$.

Рассмотрим правую часть уравнения: $y_2 = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1$.

Выражение $\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 \ge 0$.

Следовательно, для правой части имеем: $y_2 = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Мы получили систему оценок:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$

$\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 1$

Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \\ \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = 0$

$x = \frac{\pi}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Первое уравнение выполняется. Следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

г) $-\sin x = \sqrt{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Проверим $x=0$.

Левая часть: $-\sin(0) = 0$.

Правая часть: $\sqrt{0} = 0$.

Так как $0=0$, $x=0$ является решением.

Рассмотрим случай $x > 0$. Перепишем уравнение как $\sin x = -\sqrt{x}$.

Для $x > 0$, правая часть $-\sqrt{x}$ строго отрицательна. Следовательно, левая часть $\sin x$ тоже должна быть строго отрицательной.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\sin x \ge -1$.

Из уравнения $\sin x = -\sqrt{x}$ следует, что $-\sqrt{x} \ge -1$, что эквивалентно $\sqrt{x} \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем $x \le 1$.

Таким образом, если существуют другие решения, кроме $x=0$, они должны находиться в интервале $(0, 1]$.

Однако для любого $x \in (0, 1]$, мы имеем $x \in (0, \pi)$, а на этом интервале $\sin x > 0$.

Мы пришли к противоречию, так как для решения необходимо $\sin x < 0$, но на возможном интервале $(0, 1]$ имеем $\sin x > 0$.

Следовательно, на интервале $(0, 1]$ решений нет.

Для $x > 1$, имеем $\sqrt{x} > 1$, а значит $-\sqrt{x} < -1$. В то же время, $\sin x \ge -1$. Так как $-\sqrt{x} < -1 \le \sin x$, равенство невозможно.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

16.22. Найдите значение выражения $\frac{1}{\cos x}$, если:

a) $x = \frac{2\pi}{3}$;

б) $x = \frac{11\pi}{6}$.

а)

Требуется найти значение выражения $\frac{1}{\cos x}$ при $x = \frac{2\pi}{3}$.
Для этого сначала найдем значение $\cos(\frac{2\pi}{3})$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.

Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\frac{1}{\cos(\frac{2\pi}{3})} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = 1 \div (-\frac{1}{2}) = 1 \cdot (-2) = -2$.

Ответ: $-2$.

б)

Требуется найти значение выражения $\frac{1}{\cos x}$ при $x = \frac{11\pi}{6}$.
Для этого сначала найдем значение $\cos(\frac{11\pi}{6})$.

Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой координатной четверти, где значения косинуса положительны. Воспользуемся формулой приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos(\frac{11\pi}{6}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\frac{1}{\cos(\frac{11\pi}{6})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1 \div \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

16.23. Найдите значение выражения $2 \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

б) $x = \frac{\pi}{4}$.

а) Чтобы найти значение выражения $2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим данное значение $x$ в выражение:
$2 \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$
Упростим аргумент косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
Таким образом, получаем:
$2 \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$
Поскольку косинус является четной функцией, то есть $\cos(-y) = \cos(y)$, имеем:
$2 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
Значение косинуса для угла $\frac{3\pi}{4}$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}$
Ответ: $-\sqrt{2}$

б) Чтобы найти значение выражения $2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = \frac{\pi}{4}$, подставим данное значение $x$ в выражение:
$2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right)$
Упростим аргумент косинуса:
$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
Таким образом, получаем:
$2 \cos(0)$
Значение косинуса для угла 0 равно 1:
$2 \cdot 1 = 2$
Ответ: 2

16.24. Принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка с координатами:

а) $(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2});$

б) $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2});$

в) $(\frac{2\pi}{3}; -\frac{1}{2});$

г) $(\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})?$

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \cos x$, необходимо подставить абсциссу точки $x_0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$. Если полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{3})$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, косинус угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) равен $\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = \frac{1}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{6})$

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$. Равенство неверное.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим точку с координатами $(\frac{2\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Для вычисления можно использовать формулу приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = -\frac{1}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.

г) Проверим точку с координатами $(\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{5\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Угол $\frac{5\pi}{6}$ также находится во второй четверти. Используем ту же формулу приведения:

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.