Страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

o16.32. Преобразуйте заданное выражение ($ \sin t $ или $ \cos t $) к виду $ \sin t_0 $ или $ \cos t_0 $, так, чтобы выполнялось соотношение $ 0 < t_0 < 2\pi $:

a) $ \sin 8 $;

б) $ \cos (-10) $;

в) $ \sin (-25) $;

г) $ \cos 35 $.

Для решения задачи воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций $ \sin t $ и $ \cos t $. Их период равен $ 2\pi $, что означает $ \sin(t) = \sin(t + 2\pi k) $ и $ \cos(t) = \cos(t + 2\pi k) $ для любого целого числа $ k $. Наша цель — для каждого заданного угла $ t $ найти такое целое $ k $, чтобы новый угол $ t_0 = t + 2\pi k $ удовлетворял условию $ 0 < t_0 < 2\pi $. Для вычислений будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $, откуда $ 2\pi \approx 6.28318 $.

а) sin 8

Ищем такое целое число $ k $, чтобы выполнялось неравенство $ 0 < 8 + 2\pi k < 2\pi $.

Решим это неравенство относительно $ k $:

$ -8 < 2\pi k < 2\pi - 8 $

$ -\frac{8}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 8}{2\pi} $

$ -\frac{4}{\pi} < k < 1 - \frac{4}{\pi} $

Подставим приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $:

$ -\frac{4}{3.14} < k < 1 - \frac{4}{3.14} $

$ -1.27 < k < -0.27 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ -1 $.

Тогда $ t_0 = 8 + 2\pi(-1) = 8 - 2\pi $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 8 - 2 \cdot 3.14159 = 8 - 6.28318 = 1.71682 $. Действительно, $ 0 < 1.71682 < 2\pi $.

Следовательно, $ \sin 8 = \sin(8 - 2\pi) $.

Ответ: $ \sin(8 - 2\pi) $.

б) cos(-10)

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = -10 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < -10 + 2\pi k < 2\pi $

$ 10 < 2\pi k < 10 + 2\pi $

$ \frac{10}{2\pi} < k < \frac{10 + 2\pi}{2\pi} $

$ \frac{5}{\pi} < k < \frac{5}{\pi} + 1 $

Подставим приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $:

$ \frac{5}{3.14} < k < \frac{5}{3.14} + 1 $

$ 1.59 < k < 2.59 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ 2 $.

Тогда $ t_0 = -10 + 2\pi(2) = 4\pi - 10 $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 4 \cdot 3.14159 - 10 = 12.56636 - 10 = 2.56636 $. Действительно, $ 0 < 2.56636 < 2\pi $.

Следовательно, $ \cos(-10) = \cos(4\pi - 10) $.

Ответ: $ \cos(4\pi - 10) $.

в) sin(-25)

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = -25 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < -25 + 2\pi k < 2\pi $

$ 25 < 2\pi k < 25 + 2\pi $

$ \frac{25}{2\pi} < k < \frac{25 + 2\pi}{2\pi} $

$ \frac{25}{2\pi} < k < \frac{25}{2\pi} + 1 $

Подставим приближенное значение $ 2\pi \approx 6.28 $:

$ \frac{25}{6.28} < k < \frac{25}{6.28} + 1 $

$ 3.98 < k < 4.98 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ 4 $.

Тогда $ t_0 = -25 + 2\pi(4) = 8\pi - 25 $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 8 \cdot 3.14159 - 25 = 25.13272 - 25 = 0.13272 $. Действительно, $ 0 < 0.13272 < 2\pi $.

Следовательно, $ \sin(-25) = \sin(8\pi - 25) $.

Ответ: $ \sin(8\pi - 25) $.

г) cos 35

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = 35 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < 35 + 2\pi k < 2\pi $

$ -35 < 2\pi k < 2\pi - 35 $

$ -\frac{35}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 35}{2\pi} $

$ -\frac{35}{2\pi} < k < 1 - \frac{35}{2\pi} $

Подставим приближенное значение $ 2\pi \approx 6.28 $:

$ -\frac{35}{6.28} < k < 1 - \frac{35}{6.28} $

$ -5.57 < k < 1 - 5.57 $

$ -5.57 < k < -4.57 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ -5 $.

Тогда $ t_0 = 35 + 2\pi(-5) = 35 - 10\pi $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 35 - 10 \cdot 3.14159 = 35 - 31.4159 = 3.5841 $. Действительно, $ 0 < 3.5841 < 2\pi $.

Следовательно, $ \cos(35) = \cos(35 - 10\pi) $.

Ответ: $ \cos(35 - 10\pi) $.

16.33. Вычислите:

а) $\cos (t + 4\pi)$, если $\cos (2\pi - t) = -\frac{3}{5}$;

б) $\sin (32\pi - t)$, если $\sin (2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

а) Для решения этой задачи используем свойства периодичности и четности функции косинус.

1. Функция $y = \cos(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.

В выражении $\cos(t + 4\pi)$ можно заметить, что $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Таким образом, мы можем применить свойство периодичности при $k=2$:

$\cos(t + 4\pi) = \cos(t + 2 \cdot 2\pi) = \cos(t)$.

Следовательно, задача сводится к нахождению значения $\cos(t)$.

2. Рассмотрим данное в условии равенство: $\cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Для упрощения выражения $\cos(2\pi - t)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $(2\pi - t)$ находится в IV четверти (если считать $t$ малым острым углом), где косинус положителен. Так как мы вычитаем из $2\pi$, название функции не меняется. Таким образом:

$\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.

Это же можно получить, используя свойства периодичности и четности: $\cos(2\pi - t) = \cos(-t)$, а так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos(-t) = \cos(t)$.

3. Сопоставляя полученные результаты, имеем:

Из условия: $\cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Из преобразований: $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.

Следовательно, $\cos(t) = -\frac{3}{5}$.

А поскольку нам нужно было найти $\cos(t + 4\pi)$, которое равно $\cos(t)$, то искомое значение также равно $-\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

б) Для решения этой задачи используем свойство периодичности функции синус.

1. Функция $y = \sin(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.

Рассмотрим выражение, которое нужно вычислить: $\sin(32\pi - t)$.

Представим $32\pi$ как $16 \cdot 2\pi$. Тогда выражение можно переписать так:

$\sin(32\pi - t) = \sin(-t + 16 \cdot 2\pi)$.

Применяя свойство периодичности при $k=16$, получаем:

$\sin(-t + 16 \cdot 2\pi) = \sin(-t)$.

2. Теперь рассмотрим данное в условии равенство: $\sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Упростим выражение $\sin(2\pi - t)$, используя свойство периодичности при $k=1$:

$\sin(2\pi - t) = \sin(-t + 2\pi) = \sin(-t)$.

3. Сопоставляя полученные результаты, имеем:

Из пункта 1: $\sin(32\pi - t) = \sin(-t)$.

Из пункта 2: $\sin(2\pi - t) = \sin(-t)$.

Следовательно, $\sin(32\pi - t) = \sin(2\pi - t)$.

Поскольку по условию нам дано, что $\sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$, то искомое значение равно этому же числу.

$\sin(32\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$.

16.34. Решите уравнение:

a) $\sin (t + 2\pi) + \sin (t - 4\pi) = 1$;

б) $3 \cos (2\pi + t) + \cos (t - 2\pi) + 2 = 0$;

в) $\sin (t + 4\pi) + \sin (t - 6\pi) = \sqrt{3}$;

г) $\cos (t + 2\pi) + \cos (t - 8\pi) = \sqrt{2}$.

а) $\sin(t + 2\pi) + \sin(t - 4\pi) = 1$

Воспользуемся свойством периодичности функции синус: $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$, где $k$ — любое целое число. Период синуса равен $2\pi$.

Поскольку $2\pi$ и $-4\pi$ являются целыми кратными периода $2\pi$, мы можем упростить уравнение:

$\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$

$\sin(t - 4\pi) = \sin(t - 2 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin(t) + \sin(t) = 1$

$2\sin(t) = 1$

$\sin(t) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$t = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $3\cos(2\pi + t) + \cos(t - 2\pi) + 2 = 0$

Воспользуемся свойством периодичности функции косинус: $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$, где $k$ — любое целое число. Период косинуса равен $2\pi$.

Упростим члены уравнения:

$\cos(2\pi + t) = \cos(t)$

$\cos(t - 2\pi) = \cos(t)$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$3\cos(t) + \cos(t) + 2 = 0$

$4\cos(t) + 2 = 0$

$4\cos(t) = -2$

$\cos(t) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

в) $\sin(t + 4\pi) + \sin(t - 6\pi) = \sqrt{3}$

Используем свойство периодичности функции синус $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.

Упростим члены уравнения:

$\sin(t + 4\pi) = \sin(t + 2 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

$\sin(t - 6\pi) = \sin(t - 3 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

Подставим в исходное уравнение:

$\sin(t) + \sin(t) = \sqrt{3}$

$2\sin(t) = \sqrt{3}$

$\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения:

$t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

г) $\cos(t + 2\pi) + \cos(t - 8\pi) = \sqrt{2}$

Используем свойство периодичности функции косинус $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.

Упростим члены уравнения:

$\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$

$\cos(t - 8\pi) = \cos(t - 4 \cdot 2\pi) = \cos(t)$

Подставим в исходное уравнение:

$\cos(t) + \cos(t) = \sqrt{2}$

$2\cos(t) = \sqrt{2}$

$\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения:

$t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найдите область значений функции:

16.35. а) $y = 2 \sin x;$
б) $y = (3 \cos x - 2)^4;$
в) $y = -3 \cos x + 2;$
г) $y = (1 + 4 \sin x)^2$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = 2 \sin x$, мы начнем с известной области значений для $\sin x$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.

Теперь умножим все части этого двойного неравенства на 2, чтобы получить выражение для $y$: $2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$.

Выполнив умножение, получаем: $-2 \le y \le 2$.

Таким образом, функция $y = 2 \sin x$ принимает все значения от -2 до 2 включительно.

Ответ: $[-2; 2]$.

б) Для нахождения области значений функции $y = (3 \cos x - 2)^4$ выполним последовательность действий.

1. Область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Запишем это в виде неравенства: $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot (-1) \le 3 \cos x \le 3 \cdot 1$, что дает $-3 \le 3 \cos x \le 3$.

3. Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-3 - 2 \le 3 \cos x - 2 \le 3 - 2$, откуда получаем $-5 \le 3 \cos x - 2 \le 1$.

4. Пусть $t = 3 \cos x - 2$. Тогда $-5 \le t \le 1$. Нам нужно найти область значений функции $y = t^4$.

5. Поскольку показатель степени (4) — четное число, значение $y$ всегда будет неотрицательным, то есть $y \ge 0$. Минимальное значение $y$ на отрезке $[-5; 1]$ достигается, когда основание степени $t$ равно нулю (так как $0 \in [-5; 1]$). Следовательно, $y_{min} = 0^4 = 0$.

6. Максимальное значение $y = t^4$ на отрезке $t \in [-5; 1]$ будет наибольшим из значений на концах отрезка: $\max((-5)^4, 1^4) = \max(625, 1) = 625$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок от 0 до 625.

Ответ: $[0; 625]$.

в) Рассмотрим нахождение области значений функции $y = -3 \cos x + 2$.

1. Исходная область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Умножим все части этого неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-3 \cdot 1 \le -3 \cos x \le -3 \cdot (-1)$, что приводит к $ -3 \le -3 \cos x \le 3$.

3. Теперь прибавим 2 ко всем частям полученного неравенства: $-3 + 2 \le -3 \cos x + 2 \le 3 + 2$.

4. В результате получаем: $-1 \le y \le 5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от -1 до 5.

Ответ: $[-1; 5]$.

г) Для нахождения области значений функции $y = (1 + 4 \sin x)^2$ выполним следующие шаги.

1. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

2. Умножим все части неравенства на 4: $4 \cdot (-1) \le 4 \sin x \le 4 \cdot 1$, что дает $-4 \le 4 \sin x \le 4$.

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-4 + 1 \le 1 + 4 \sin x \le 4 + 1$, откуда $-3 \le 1 + 4 \sin x \le 5$.

4. Обозначим выражение в скобках как $t = 1 + 4 \sin x$. Мы получили, что $-3 \le t \le 5$. Теперь нам нужно найти область значений функции $y = t^2$.

5. Так как показатель степени (2) — четное число, значение $y$ всегда неотрицательно ($y \ge 0$). Минимальное значение функции $y = t^2$ на отрезке $[-3; 5]$ достигается при $t=0$ (так как $0 \in [-3; 5]$), поэтому $y_{min} = 0^2 = 0$.

6. Максимальное значение $y = t^2$ на отрезке $t \in [-3; 5]$ будет наибольшим из значений на концах отрезка: $\max((-3)^2, 5^2) = \max(9, 25) = 25$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок от 0 до 25.

Ответ: $[0; 25]$.

16.36. а) $y = \frac{1}{\sin x + 2};$

б) $y = \frac{8}{3 \cos x - 5};$

В) $y = \frac{2}{\sin x - 3};$

Г) $y = \frac{15}{4 + \cos x}.$

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{1}{\sin x + 2}$, сначала определим область значений ее знаменателя. Известно, что функция синуса $ \sin x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства:
$-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$
$1 \le \sin x + 2 \le 3$.
Таким образом, знаменатель функции принимает значения на отрезке $[1, 3]$. Так как знаменатель всегда положителен, а функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей для $t>0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции $y$, и наоборот.
Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении знаменателя: $y_{max} = \frac{1}{1} = 1$.
Наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении знаменателя: $y_{min} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{3}; 1]$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{8}{3 \cos x - 5}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция косинуса $ \cos x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le 3 \cos x \le 3$.
Теперь вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-3 - 5 \le 3 \cos x - 5 \le 3 - 5$
$-8 \le 3 \cos x - 5 \le -2$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[-8, -2]$. Так как знаменатель всегда отрицателен, а функция $f(t) = \frac{8}{t}$ является убывающей для $t<0$, то наименьшему значению знаменателя (наиболее отрицательному) будет соответствовать наибольшее значение функции, и наоборот.
Наибольшее значение функции (наименее отрицательное) достигается при знаменателе, равном -8: $y_{max} = \frac{8}{-8} = -1$.
Наименьшее значение функции (наиболее отрицательное) достигается при знаменателе, равном -2: $y_{min} = \frac{8}{-2} = -4$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4, -1]$.
Ответ: $E(y) = [-4; -1]$.

в) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2}{\sin x - 3}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция синуса $ \sin x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \sin x \le 1$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3$
$-4 \le \sin x - 3 \le -2$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[-4, -2]$. Так как знаменатель всегда отрицателен, а функция $f(t) = \frac{2}{t}$ является убывающей для $t<0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции.
Наибольшее значение функции достигается при знаменателе, равном -4: $y_{max} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Наименьшее значение функции достигается при знаменателе, равном -2: $y_{min} = \frac{2}{-2} = -1$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-1, -\frac{1}{2}]$.
Ответ: $E(y) = [-1; -\frac{1}{2}]$.

г) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{15}{4 + \cos x}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция косинуса $ \cos x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 - 1 \le 4 + \cos x \le 4 + 1$
$3 \le 4 + \cos x \le 5$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[3, 5]$. Так как знаменатель всегда положителен, а функция $f(t) = \frac{15}{t}$ является убывающей для $t>0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции.
Наибольшее значение функции достигается при знаменателе, равном 3: $y_{max} = \frac{15}{3} = 5$.
Наименьшее значение функции достигается при знаменателе, равном 5: $y_{min} = \frac{15}{5} = 3$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $E(y) = [3; 5]$.

16.37. a) $y = \sin^2 x - 6 \sin x + 8;$

б) $y = \sqrt{2 - \cos x};$

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2;$

г) $y = \sqrt{8 \sin x - 4}.$

а) $y = \sin^2 x - 6 \sin x + 8$

Для нахождения области значений функции ($E(y)$) введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$.

Область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, следовательно, новая переменная $t$ может принимать значения в пределах $t \in [-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $f(t) = t^2 - 6t + 8$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_в = -b/(2a)$:

$t_в = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$.

Поскольку вершина параболы $t_в = 3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$ и находится правее его, функция $f(t)$ на всем отрезке $[-1, 1]$ монотонно убывает.

Это означает, что наибольшее значение функция примет в левой границе отрезка ($t=-1$), а наименьшее — в правой ($t=1$).

Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(-1) = (-1)^2 - 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$.

Таким образом, область значений исходной функции — это отрезок $[3, 15]$.

Ответ: $E(y) = [3; 15]$.

б) $y = \sqrt{2 - \cos x}$

Чтобы найти область значений функции, проанализируем выражение под корнем.

Известно, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \cos x \le 2 + 1$.

$1 \le 2 - \cos x \le 3$.

Мы получили, что подкоренное выражение всегда находится в пределах от 1 до 3, то есть оно всегда положительно. Функция $y$ определена для любых $x$.

Функция $f(u) = \sqrt{u}$ является возрастающей. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из каждой части неравенства, сохранив его знаки:

$\sqrt{1} \le \sqrt{2 - \cos x} \le \sqrt{3}$.

$1 \le y \le \sqrt{3}$.

Область значений функции — это отрезок $[1, \sqrt{3}]$.

Ответ: $E(y) = [1; \sqrt{3}]$.

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2$

Для нахождения области значений функции введем замену $t = \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то переменная $t$ изменяется в пределах отрезка $[-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $f(t) = t^2 + t + 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы: $t_в = -b/(2a) = -1/(2 \cdot 1) = -0.5$.

Вершина параболы $t_в = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. В этой точке функция достигает своего минимума.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(-0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) + 2 = 0.25 - 0.5 + 2 = 1.75$ (или $7/4$).

Наибольшее значение функция достигает на одном из концов отрезка $[-1, 1]$. Найдем значения функции в этих точках:

$f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$.

$f(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение равно 4.

$y_{наиб} = 4$.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[1.75, 4]$.

Ответ: $E(y) = [1.75; 4]$.

г) $y = \sqrt{8 \sin x - 4}$

Сначала найдем область определения функции, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$8 \sin x - 4 \ge 0$.

$8 \sin x \ge 4$.

$\sin x \ge \frac{1}{2}$.

С учетом того, что $-1 \le \sin x \le 1$, получаем, что $\sin x$ может принимать значения только из отрезка $[\frac{1}{2}, 1]$.

Теперь найдем, какие значения принимает выражение $8 \sin x - 4$ при условии $\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$.

Это линейная возрастающая функция от $\sin x$. Ее наименьшее значение будет при $\sin x = 1/2$, а наибольшее при $\sin x = 1$.

Наименьшее значение подкоренного выражения: $8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$.

Наибольшее значение подкоренного выражения: $8 \cdot 1 - 4 = 8 - 4 = 4$.

Итак, $0 \le 8 \sin x - 4 \le 4$.

Так как функция $f(u) = \sqrt{u}$ возрастающая, то:

$\sqrt{0} \le \sqrt{8 \sin x - 4} \le \sqrt{4}$.

$0 \le y \le 2$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $E(y) = [0; 2]$.

16.38. Найдите все целочисленные значения функции:

а) $y = 5 + 4 \cos x;$

б) $y = \sqrt{2 - 7 \cos x};$

в) $y = 3 - 2 \sin x;$

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}.$

а) $y = 5 + 4 \cos x$

Для нахождения всех целочисленных значений функции необходимо сначала определить ее область значений. В основе лежит функция косинуса, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$.

1. Запишем неравенство для $\cos x$:

$-1 \le \cos x \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 4:

$4 \cdot (-1) \le 4 \cos x \le 4 \cdot 1$

$-4 \le 4 \cos x \le 4$

3. Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - 4 \le 5 + 4 \cos x \le 5 + 4$

$1 \le y \le 9$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[1, 9]$. Все целые числа, входящие в этот отрезок, являются искомыми значениями.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) $y = \sqrt{2 - 7 \cos x}$

Найдем область значений подкоренного выражения $2 - 7 \cos x$, исходя из того, что $-1 \le \cos x \le 1$.

1. Умножим неравенство $-1 \le \cos x \le 1$ на -7. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-7) \cdot 1 \le -7 \cos x \le (-7) \cdot (-1)$

$-7 \le -7 \cos x \le 7$

2. Прибавим 2 ко всем частям:

$2 - 7 \le 2 - 7 \cos x \le 2 + 7$

$-5 \le 2 - 7 \cos x \le 9$

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2 - 7 \cos x \ge 0$. Совмещая это условие с полученным диапазоном, получаем, что область значений подкоренного выражения — это отрезок $[0, 9]$.

4. Теперь найдем область значений для $y$, взяв квадратный корень из границ этого отрезка:

$\sqrt{0} \le \sqrt{2 - 7 \cos x} \le \sqrt{9}$

$0 \le y \le 3$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[0, 3]$. Целые числа на этом отрезке: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

в) $y = 3 - 2 \sin x$

Аналогично пункту а), найдем область значений функции, используя свойство функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

1. Умножим неравенство на -2, меняя знаки неравенства:

$(-2) \cdot 1 \le -2 \sin x \le (-2) \cdot (-1)$

$-2 \le -2 \sin x \le 2$

2. Прибавим 3 ко всем частям:

$3 - 2 \le 3 - 2 \sin x \le 3 + 2$

$1 \le y \le 5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[1, 5]$. Целые числа на этом отрезке: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$

Найдем область значений подкоренного выражения $11 + 2 \sin x$, исходя из того, что $-1 \le \sin x \le 1$.

1. Умножим неравенство на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin x \le 2$

2. Прибавим 11 ко всем частям:

$11 - 2 \le 11 + 2 \sin x \le 11 + 2$

$9 \le 11 + 2 \sin x \le 13$

3. Подкоренное выражение всегда положительно. Найдем область значений для $y$, взяв квадратный корень:

$\sqrt{9} \le \sqrt{11 + 2 \sin x} \le \sqrt{13}$

$3 \le y \le \sqrt{13}$

4. Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$. Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[3, \sqrt{13}]$.

Единственное целое число, принадлежащее этому отрезку, — это 3.

Ответ: 3.

Постройте график функции:

16.39. а) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = \cos x - 2$;

в) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y = \cos x + 1,5$.

a) Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ используется график базовой функции $y = \cos x$, который подвергается преобразованию.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общий вид такого преобразования — $y = f(x+c)$. Поскольку в нашем случае $c = \frac{\pi}{6} > 0$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Таким образом, для построения искомого графика необходимо сначала построить график $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду), а затем сдвинуть его целиком влево на $\frac{\pi}{6}$.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0 - \frac{\pi}{6}, 1) \rightarrow (-\frac{\pi}{6}, 1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) \rightarrow (\frac{\pi}{3}, 0)$;
Минимум в точке $(\pi - \frac{\pi}{6}, -1) \rightarrow (\frac{5\pi}{6}, -1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) \rightarrow (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ влево.

б) Для построения графика функции $y = \cos x - 2$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Общий вид такого преобразования — $y = f(x) + d$. Поскольку в нашем случае $d = -2$, сдвиг происходит вниз на 2 единицы.

Для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вниз на 2 единицы. При этом форма графика (период и амплитуда) сохраняется, но изменяется его положение и область значений.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0, 1 - 2) \rightarrow (0, -1)$;
Пересечение с осью симметрии в точке $(\frac{\pi}{2}, 0 - 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -2)$;
Минимум в точке $(\pi, -1 - 2) \rightarrow (\pi, -3)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-3, -1]$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \cos x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.

в) Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общий вид такого преобразования — $y = f(x-c)$. Поскольку в нашем случае $c = \frac{\pi}{3} > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Следовательно, для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вправо на $\frac{\pi}{3}$.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0 + \frac{\pi}{3}, 1) \rightarrow (\frac{\pi}{3}, 1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{5\pi}{6}, 0)$;
Минимум в точке $(\pi + \frac{\pi}{3}, -1) \rightarrow (\frac{4\pi}{3}, -1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{11\pi}{6}, 0)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

г) Для построения графика функции $y = \cos x + 1,5$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Общий вид такого преобразования — $y = f(x) + d$. Поскольку в нашем случае $d = 1,5 > 0$, сдвиг происходит вверх на 1,5 единицы.

Для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вверх на 1,5 единицы. Форма графика сохраняется, но изменяется его положение и область значений.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0, 1 + 1,5) \rightarrow (0, 2,5)$;
Пересечение с осью симметрии в точке $(\frac{\pi}{2}, 0 + 1,5) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 1,5)$;
Минимум в точке $(\pi, -1 + 1,5) \rightarrow (\pi, 0,5)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[0,5, 2,5]$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1,5$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси ординат на 1,5 единицы вверх.

16.40. a) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$;

б) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$;

В) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}$;

Г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$.

а) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{2}$ влево. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x + \frac{\pi}{2}$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. Это преобразование соответствует добавлению 1 ко всей функции.

Функцию можно упростить, используя формулу приведения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\alpha)$. В данном случае:

$y = -\sin(x) + 1$

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Стандартная область значений для функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \le 1$. Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства: $-1 + 1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1 \le 1 + 1$. Отсюда получаем $0 \le y \le 2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2]$.
• Период: Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Горизонтальные и вертикальные сдвиги не влияют на период функции, поэтому период данной функции также равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на 1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; 2]$. Период: $2\pi$. Упрощенный вид функции: $y = -\sin(x) + 1$.

б) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x - \frac{\pi}{3}$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вниз. Это преобразование соответствует вычитанию 2 из всей функции.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Известно, что $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$. Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-1 - 2 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2 \le 1 - 2$. Отсюда получаем $-3 \le y \le -1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-3; -1]$.
• Период: Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Сдвиги не влияют на период, поэтому период данной функции равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 2. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-3; -1]$. Период: $2\pi$.

в) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{2}$ вправо.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{1}{2}$ единицы вверх.

Функцию можно упростить, используя формулу приведения $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\alpha)$. В данном случае:

$y = \sin(x) + \frac{1}{2}$

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Область значений для $\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Прибавив $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \le 1$, получим: $-1 + \frac{1}{2} \le \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2} \le 1 + \frac{1}{2}$. Отсюда $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.
• Период: Период функции не изменяется при сдвигах и равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на $\frac{1}{2}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$. Период: $2\pi$. Упрощенный вид функции: $y = \sin(x) + \frac{1}{2}$.

г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{6}$ влево.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $-1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$, то для нахождения области значений исходной функции вычтем 3 из всех частей неравенства: $-1 - 3 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3 \le 1 - 3$. Отсюда получаем $-4 \le y \le -2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-4; -2]$.
• Период: Период функции не изменяется при сдвигах и равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ и вниз на 3. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-4; -2]$. Период: $2\pi$.