Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6. Можно ли на числовой окружности найти точки с абсциссой $\sqrt{2}$? с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$? Если можно, то сколько имеется таких точек?

Уравнение числовой (или единичной) окружности в декартовой системе координат имеет вид $x^2 + y^2 = 1$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината точки на окружности. Для того чтобы точка с заданными координатами лежала на этой окружности, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это также означает, что для любой точки на единичной окружности должны выполняться условия $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$.

с абсциссой $\sqrt{2}$

Проверим, может ли абсцисса точки на числовой окружности быть равной $\sqrt{2}$.
Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Поскольку абсцисса $x$ любой точки на единичной окружности должна удовлетворять неравенству $-1 \le x \le 1$, точка с абсциссой $\sqrt{2}$ не может на ней лежать.
Также можно проверить это, подставив значение $x = \sqrt{2}$ в уравнение окружности:
$(\sqrt{2})^2 + y^2 = 1$
$2 + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - 2$
$y^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных решений для $y$, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, найти точку с абсциссой $\sqrt{2}$ на числовой окружности невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Проверим, может ли ордината точки на числовой окружности быть равной $\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Сначала сравним это значение с 1. Возведем в квадрат оба числа: $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$ и $1^2 = 1$. Поскольку $\frac{5}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Значение положительное, поэтому оно находится в допустимом диапазоне для ординаты: $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1$. Следовательно, такие точки существуют.
Чтобы найти их количество, подставим значение $y = \frac{\sqrt{5}}{3}$ в уравнение окружности и найдем соответствующие значения абсциссы $x$:
$x^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{5}{9} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{5}{9}$
$x^2 = \frac{4}{9}$
$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$
$x = \pm\frac{2}{3}$
Мы получили два различных действительных значения для абсциссы: $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Оба этих значения также лежат в допустимом диапазоне от -1 до 1.
Таким образом, на числовой окружности существуют две точки с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Это точки с координатами $\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ и $\left(-\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.
Ответ: да, можно, существует две такие точки.