Страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рис. 50 (с. 98), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите декартовы координаты точек, отмеченных на рис. 50.

Согласно условию, мы размещаем числовую (тригонометрическую) окружность в декартовой системе координат. Центр окружности находится в начале координат (0, 0), а её радиус равен 1 (это единичная окружность). Декартовы координаты $(x, y)$ любой точки на этой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, определяются формулами: $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

Поскольку изображение "рис. 50" не предоставлено, найдём координаты для стандартного набора точек, обычно отмечаемых на числовой окружности.

Точка, соответствующая числу 0 (или $2\pi$)
Эта точка лежит на положительной части оси Ox. Координаты: $(\cos(0), \sin(0)) = (1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{2}$
Эта точка лежит на положительной части оси Oy. Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.
Ответ: $(0, 1)$

Точка, соответствующая числу $\frac{2\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{2\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{3\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{6}), \sin(\frac{5\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\pi$
Эта точка лежит на отрицательной части оси Ox. Координаты: $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.
Ответ: $(-1, 0)$

Точка, соответствующая числу $\frac{7\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{7\pi}{6}), \sin(\frac{7\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{4\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{3\pi}{2}$
Эта точка лежит на отрицательной части оси Oy. Координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.
Ответ: $(0, -1)$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{7\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{7\pi}{4}), \sin(\frac{7\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{11\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{11\pi}{6}), \sin(\frac{11\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

2. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рис. 51 (с. 98), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите декартовы координаты точек $\frac{\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{6}$.

В задаче требуется найти декартовы координаты точек, расположенных на числовой окружности. Числовая окружность в декартовой системе координат — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. Для любой точки $P(t)$ на этой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, её декартовы координаты $(x, y)$ вычисляются по формулам:

$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Вычислим координаты для каждой из указанных точек.

Точка $\frac{\pi}{6}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{\pi}{6}$, находим её координаты:

$x = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Эта точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

Точка $\frac{2\pi}{3}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{2\pi}{3}$, находим её координаты. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти.

$x = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$y = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Эта точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Точка $\frac{4\pi}{3}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{4\pi}{3}$, находим её координаты. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти.

$x = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$y = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Эта точка находится в третьей координатной четверти.

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Точка $\frac{11\pi}{6}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{11\pi}{6}$, находим её координаты. Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой четверти.

$x = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Эта точка находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

3. Можно ли утверждать, что имеют одинаковые декартовы координаты точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$? точки $\pi$ и $-177\pi$?

Точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, имеют одинаковые декартовы координаты (то есть, представляют собой одну и ту же точку на окружности) тогда и только тогда, когда их углы отличаются на целое число полных оборотов. Математически это условие выражается формулой: $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$

Проверим выполнение условия для данной пары углов. Пусть $\alpha_1 = \frac{\pi}{3}$ и $\alpha_2 = -\frac{5\pi}{3}$. Найдем их разность: $ \alpha_1 - \alpha_2 = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi $. Разность равна $2\pi$, что соответствует условию при $k=1$. Это означает, что угол $-\frac{5\pi}{3}$ получается из угла $\frac{\pi}{3}$ путем одного полного оборота в отрицательном направлении. Следовательно, точки совпадают и их декартовы координаты одинаковы.
Действительно, координаты точки для $\frac{\pi}{3}$ равны $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Координаты точки для $-\frac{5\pi}{3}$ равны $(\cos(-\frac{5\pi}{3}), \sin(-\frac{5\pi}{3})) = (\cos(2\pi - \frac{5\pi}{3}), \sin(-\frac{5\pi}{3})) = (\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: да, можно утверждать, что эти точки имеют одинаковые декартовы координаты.

точки $\pi$ и $-177\pi$

Аналогично проверим условие для углов $\beta_1 = \pi$ и $\beta_2 = -177\pi$. Найдем их разность: $ \beta_1 - \beta_2 = \pi - (-177\pi) = \pi + 177\pi = 178\pi $. Представим полученную разность в виде, кратном $2\pi$: $178\pi = 89 \cdot 2\pi$. Разность является целым кратным $2\pi$ (при $k=89$). Это означает, что углы отличаются на 89 полных оборотов. Следовательно, точки, соответствующие этим углам, также совпадают и имеют одинаковые декартовы координаты.
Действительно, координаты точки для $\pi$ равны $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$.
Угол $-177\pi$ можно представить как $-177\pi = \pi - 178\pi = \pi - 89 \cdot 2\pi$. Это означает, что он соответствует той же точке на единичной окружности, что и угол $\pi$. Координаты точки для $-177\pi$ также равны $(-1, 0)$.

Ответ: да, можно утверждать, что эти точки имеют одинаковые декартовы координаты.

4. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

Точки на числовой окружности имеют координаты $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината. Для точки, соответствующей числу $t$, ее координаты равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых абсцисса $x = \cos(t)$ принимает заданные значения.

а) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки на числовой окружности равна 0. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = 0$. На единичной окружности абсцисса равна нулю в двух точках: в верхней точке $(0, 1)$ и в нижней точке $(0, -1)$. Верхней точке соответствуют числа вида $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, а нижней — числа вида $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу, так как точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полоборот (через $\pi$ радиан). Взяв за основу точку $\frac{\pi}{2}$, мы можем получать все остальные решения, прибавляя к ней целое число полуоборотов. Таким образом, общая формула имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки равна 1. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = 1$. На единичной окружности есть только одна точка с абсциссой 1 — это самая правая точка с координатами $(1, 0)$. Этой точке соответствует число $t = 0$. Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, все решения получаются путем добавления к $0$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$). Общая формула для всех таких чисел: $t = 0 + 2\pi k = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки равна -1. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = -1$. На единичной окружности есть только одна точка с абсциссой -1 — это самая левая точка с координатами $(-1, 0)$. Этой точке соответствует число $t = \pi$. Снова, учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), все решения получаются путем добавления к $\pi$ целого числа полных оборотов. Общая формула для всех таких чисел: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

Точки на числовой окружности имеют координаты $(x, y)$, где $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Число $t$ — это действительное число, соответствующее точке на окружности, равное длине дуги от точки $(1, 0)$ до данной точки. Ордината точки — это ее координата $y$. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых $\sin(t)$ принимает заданное значение.

a)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 0. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = 0$.

На единичной окружности ординату, равную нулю, имеют две точки: это точки пересечения окружности с осью абсцисс. Их координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Точке $(1, 0)$ соответствуют числа вида $t = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Точке $(-1, 0)$ соответствуют числа вида $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну общую формулу. Заметим, что это все точки, отстоящие друг от друга на пол-оборота ($\pi$ радиан), начиная с точки $t=0$. Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 1. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = 1$.

На единичной окружности ординату, равную единице, имеет только одна точка — самая верхняя точка с координатами $(0, 1)$.

Этой точке соответствует число $t = \frac{\pi}{2}$. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$).

Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой -1. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = -1$.

На единичной окружности ординату, равную минус единице, имеет только одна точка — самая нижняя точка с координатами $(0, -1)$.

Этой точке соответствует число $t = -\frac{\pi}{2}$ (также можно взять $t = \frac{3\pi}{2}$). Используя периодичность функции синуса с периодом $2\pi$, получаем общую формулу для всех чисел, соответствующих этой точке.

Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Постройте график функции:

17.8. а) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = -\sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

г) $y = 1,5 \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right).$

а) $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала строим график функции $y = 2 \sin(x)$. Для этого график $y = \sin(x)$ нужно растянуть от оси OX в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличится до 2, а область значений станет $[-2, 2]$.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Затем, для получения графика $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = 2 \sin(x)$ вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ вправо, так как вычитается положительное число.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \sin(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 2 раза}} y = 2\sin(x) \xrightarrow{\text{сдвиг вправо на } \frac{\pi}{3}} y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси ординат и последующего сдвига на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс.

б) $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала растягиваем график $y = \cos(x)$ от оси OX в 3 раза, получая график $y = 3\cos(x)$. Амплитуда становится равной 3, область значений $[-3, 3]$.
2. Отражение относительно оси OX. Знак "минус" перед функцией означает, что график нужно симметрично отразить относительно оси OX. Получаем график функции $y = -3\cos(x)$.
3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Выражение $x + \frac{\pi}{6}$ можно записать как $x - (-\frac{\pi}{6})$. Это означает, что график функции $y = -3\cos(x)$ нужно сдвинуть вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \cos(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 3 раза}} y = 3\cos(x) \xrightarrow{\text{отражение по OX}} y = -3\cos(x) \xrightarrow{\text{сдвиг влево на } \frac{\pi}{6}} y = -3\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат, последующего симметричного отражения относительно оси абсцисс и сдвига на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси абсцисс.

в) $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.
1. Отражение относительно оси OX. Знак "минус" перед функцией означает, что график $y = \sin(x)$ нужно симметрично отразить относительно оси OX. Получаем график функции $y = -\sin(x)$. Амплитуда остается равной 1.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Выражение $x + \frac{2\pi}{3}$ означает, что график функции $y = -\sin(x)$ нужно сдвинуть вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{3}$ влево.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \sin(x) \xrightarrow{\text{отражение по OX}} y = -\sin(x) \xrightarrow{\text{сдвиг влево на } \frac{2\pi}{3}} y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси абсцисс.

г) $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала строим график функции $y = 1,5 \cos(x)$. Для этого график $y = \cos(x)$ нужно растянуть от оси OX в 1,5 раза. Амплитуда колебаний увеличится до 1,5, а область значений станет $[-1,5; 1,5]$.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Затем, для получения графика $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = 1,5 \cos(x)$ вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \cos(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 1,5 раза}} y = 1,5\cos(x) \xrightarrow{\text{сдвиг вправо на } \frac{2\pi}{3}} y = 1,5\cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 1,5 раза вдоль оси ординат и последующего сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс.

17.9. a) $y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1;$

б) $y = -3 \cos \left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2;$

в) $y = -1,5 \sin \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2;$

г) $y = 2,5 \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5.$

Для нахождения области значений (множества всех значений, которые может принимать функция) для каждой из заданных функций, мы будем исходить из того, что базовые тригонометрические функции синус и косинус принимают значения в отрезке $[-1, 1]$.

а) $y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$

1. Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента выполняется неравенство:

$-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части этого двойного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 2$

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-2 + 1 \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 \le 2 + 1$

$-1 \le y \le 3$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

б) $y = -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2$

1. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на -3. Так как -3 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-3) \cdot (-1) \ge -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \ge (-3) \cdot 1$

$3 \ge -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \ge -3$

Запишем это неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:

$-3 \le -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \le 3$

3. Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-3 - 2 \le -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2 \le 3 - 2$

$-5 \le y \le 1$

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-5, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-5; 1]$.

в) $y = -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$

1. Используем свойство ограниченности функции синуса:

$-1 \le \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на -1,5. Так как -1,5 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1,5) \cdot (-1) \ge -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \ge (-1,5) \cdot 1$

$1,5 \ge -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \ge -1,5$

Перепишем в стандартном порядке:

$-1,5 \le -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \le 1,5$

3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-1,5 + 2 \le -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2 \le 1,5 + 2$

$0,5 \le y \le 3,5$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[0,5; 3,5]$.

Ответ: $E(y) = [0,5; 3,5]$.

г) $y = 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5$

1. Используем свойство ограниченности функции косинуса:

$-1 \le \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 2,5. Так как 2,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2,5 \cdot (-1) \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 2,5 \cdot 1$

$-2,5 \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 2,5$

3. Вычтем 1,5 из всех частей неравенства:

$-2,5 - 1,5 \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5 \le 2,5 - 1,5$

$-4 \le y \le 1$

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4; 1]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 1]$.

17.10. a) $y = 2 |\cos x|;$

В) $y = 3 \sin |x|;$

б) $y = -3 \cos \left|x + \frac{\pi}{6}\right|;$

Г) $y = -2 \left|\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right|.$

а) $y = 2|\cos x|$

Для построения графика и анализа свойств функции $y = 2|\cos x|$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

Шаг 1: $y = \cos x$. Строим график стандартной косинусоиды. Период $T = 2\pi$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

Шаг 2: $y = |\cos x|$. Применяем операцию взятия модуля ко всей функции. Это означает, что все части графика $y = \cos x$, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно этой оси. Части графика, которые уже находятся выше или на оси, остаются на месте. В результате этого преобразования область значений становится $E(y) = [0, 1]$, а наименьший положительный период функции уменьшается вдвое и становится равным $T = \pi$.

Шаг 3: $y = 2|\cos x|$. Умножаем функцию $y = |\cos x|$ на 2. Это соответствует растяжению графика вдоль оси ординат (оси $y$) в 2 раза. Каждое значение $y$ увеличивается в 2 раза.

Итоговые свойства функции $y = 2|\cos x|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).

Область значений: $E(y) = [0, 2]$.

Период: Наименьший положительный период $T = \pi$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = 2|\cos(-x)| = 2|\cos x| = y(x)$.

Ответ: График функции $y=2|\cos x|$ получается из графика $y=\cos x$ путем симметричного отражения части графика, лежащей под осью Ox, относительно этой оси, и последующего растяжения полученного графика от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[0, 2]$, наименьший положительный период равен $\pi$, функция является четной.

б) $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$

Рассмотрим функцию $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$. Важным свойством функции косинус является ее четность, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$ для любого $a$. В нашем случае, пусть $a = x + \frac{\pi}{6}$. Тогда $|a|$ может быть равно либо $a$, либо $-a$. В любом случае $\cos|a| = \cos(a)$, поскольку косинус от противоположных аргументов равен.

Таким образом, $\cos|x + \frac{\pi}{6}| = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Это позволяет упростить исходную функцию до вида: $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь построим график и определим свойства этой функции, выполняя преобразования над графиком $y = \cos x$.

Шаг 1: $y = \cos x$. График — стандартная косинусоида.

Шаг 2: $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Сдвигаем график $y = \cos x$ влево по оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Растягиваем предыдущий график вдоль оси ординат в 3 раза. Амплитуда колебаний становится равной 3.

Шаг 4: $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Отражаем график $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$ симметрично относительно оси абсцисс.

Итоговые свойства функции $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Поскольку область значений для $\cos(x + \frac{\pi}{6})$ — это отрезок $[-1, 1]$, то для $-3\cos(x + \frac{\pi}{6})$ она будет $[-3, 3]$. Итак, $E(y) = [-3, 3]$.

Период: Все выполненные преобразования не меняют период функции $\cos x$, поэтому наименьший положительный период $T = 2\pi$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Проверим: $y(-x) = -3\cos(-x + \frac{\pi}{6}) = -3\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Это не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: Функция тождественно равна $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Ее график получается из графика $y=\cos x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$, растяжения вдоль оси Oy в 3 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-3, 3]$, наименьший положительный период равен $2\pi$, функция является функцией общего вида.

в) $y = 3\sin|x|$

Для построения графика функции $y = 3\sin|x|$ и анализа её свойств, начнем с базовой функции $y = \sin x$ и применим к ней последовательные преобразования.

Шаг 1: $y = \sin x$. Строим график стандартной синусоиды. Это нечетная функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

Шаг 2: $y = \sin|x|$. Модуль применяется к аргументу функции. Чтобы построить график $y = f(|x|)$ из графика $y = f(x)$, нужно сохранить часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить её симметрично относительно оси ординат ($Oy$) на левую полуплоскость. Часть исходного графика для $x<0$ при этом отбрасывается. Применительно к $y = \sin x$: мы сохраняем часть синусоиды при $x \ge 0$ и отражаем ее влево относительно оси $y$. Полученный график симметричен относительно оси $y$, следовательно, функция $y = \sin|x|$ является четной.

Шаг 3: $y = 3\sin|x|$. Растягиваем график функции $y = \sin|x|$ вдоль оси ординат в 3 раза.

Итоговые свойства функции $y = 3\sin|x|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Для $x \ge 0$, функция $\sin|x| = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. Из-за симметрии, для $x < 0$ значения будут теми же. Таким образом, область значений для $y = \sin|x|$ — это $[-1, 1]$, а для $y = 3\sin|x|$ — это $E(y) = [-3, 3]$.

Периодичность: Функция не является периодической. Хотя для $x>0$ она ведет себя как синусоида, наличие "излома" в точке $x=0$ и симметрия нарушают строгую периодичность на всей числовой оси. Например, равенство $y(x) = y(x+2\pi)$ не выполняется для $x < 0$, когда $x+2\pi > 0$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = 3\sin|-x| = 3\sin|x| = y(x)$.

Ответ: Для построения графика $y = 3\sin|x|$ необходимо построить график $y = \sin x$ для $x \ge 0$, а затем отразить эту часть графика симметрично относительно оси Oy. После этого полученный график растянуть от оси Ox вдоль оси Oy в 3 раза. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-3, 3]$, функция не является периодической, функция является четной.

г) $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$

Построение графика и анализ свойств данной функции проведем путем последовательных преобразований графика функции $y = \sin x$.

Шаг 1: $y = \sin x$. Строим график стандартной синусоиды.

Шаг 2: $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Сдвигаем график $y = \sin x$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$. Период $T=2\pi$ и область значений $E(y)=[-1, 1]$ сохраняются.

Шаг 3: $y = |\sin(x - \frac{\pi}{3})|$. Применяем модуль ко всей функции. Части графика $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$, находящиеся ниже оси абсцисс, отражаются симметрично относительно этой оси вверх. В результате область значений становится $E(y) = [0, 1]$, а наименьший положительный период функции уменьшается вдвое и становится равным $T = \pi$.

Шаг 4: $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$. Данное преобразование состоит из растяжения вдоль оси $y$ в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси $x$. Сначала растягиваем график $y = |\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ от оси абсцисс в 2 раза, получая $y = 2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ с областью значений $[0, 2]$. Затем отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс.

Итоговые свойства функции $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: После всех преобразований график целиком лежит ниже или на оси абсцисс. Максимальное значение равно 0, а минимальное -2. Таким образом, $E(y) = [-2, 0]$.

Период: Растяжение и отражение не влияют на период, поэтому наименьший положительный период $T = \pi$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. Проверка: $y(-x) = -2|\sin(-x - \frac{\pi}{3})| = -2|\sin(-(x + \frac{\pi}{3}))| = -2|-\sin(x + \frac{\pi}{3})| = -2|\sin(x + \frac{\pi}{3})|$. Это выражение не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: Для построения графика $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ необходимо: 1) построить график $y=\sin x$; 2) сдвинуть его вправо на $\frac{\pi}{3}$; 3) часть графика, лежащую под осью Ox, отразить симметрично относительно этой оси; 4) растянуть полученный график от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза; 5) отразить результат симметрично относительно оси Ox. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-2, 0]$, наименьший положительный период равен $\pi$, функция является функцией общего вида.

17.11. Подберите коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$:

а) рис. 46;

Рис. 46

б) рис. 47;

Рис. 47

в) рис. 48;

Рис. 48

г) рис. 49.

Рис. 49

Для определения коэффициентов $a$ и $b$ в функциях вида $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$ воспользуемся следующими свойствами:

• Коэффициент $b$ определяет вертикальный сдвиг графика и равен среднему арифметическому максимального ($y_{max}$) и минимального ($y_{min}$) значений функции: $b = \frac{y_{max} + y_{min}}{2}$. Эта величина соответствует ординате средней линии графика.
• Амплитуда колебаний равна $|a|$ и вычисляется как половина разности между максимальным и минимальным значениями: $|a| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2}$.
• Выбор между синусом и косинусом, а также знак коэффициента $a$ зависят от поведения функции в точке $x=0$.
  • Если в $x=0$ функция достигает своего максимума, то это $y=a \cos x + b$ с $a > 0$.
  • Если в $x=0$ функция достигает своего минимума, то это $y=a \cos x + b$ с $a < 0$.
  • Если в $x=0$ функция пересекает среднюю линию ($y=b$) и возрастает, то это $y=a \sin x + b$ с $a > 0$.
  • Если в $x=0$ функция пересекает среднюю линию ($y=b$) и убывает, то это $y=a \sin x + b$ с $a < 0$.

а) рис. 46;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 3$ и $y_{min} = -1$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{3 - (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
При $x=0$ функция достигает своего минимального значения $y = -1$. Это соответствует функции косинуса с отрицательным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = -2$.
Искомая функция имеет вид $y = -2 \cos x + 1$.
Ответ: $a = -2$, $b = 1$.

б) рис. 47;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 3,5$ и $y_{min} = 0,5$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
При $x=0$ график проходит через среднюю линию $y=2$ и убывает. Это соответствует функции синуса с отрицательным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = -1,5$.
Искомая функция имеет вид $y = -1,5 \sin x + 2$.
Ответ: $a = -1,5$, $b = 2$.

в) рис. 48;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = -1,25$ и $y_{min} = -1,75$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{-1,25 + (-1,75)}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{-1,25 - (-1,75)}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25$.
При $x=0$ функция достигает своего максимального значения $y = -1,25$. Это соответствует функции косинуса с положительным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = 0,25$.
Искомая функция имеет вид $y = 0,25 \cos x - 1,5$.
Ответ: $a = 0,25$, $b = -1,5$.

г) рис. 49;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 2,5$ и $y_{min} = -3,5$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{2,5 + (-3,5)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{2,5 - (-3,5)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
При $x=0$ график проходит через среднюю линию $y=-0,5$ и возрастает. Это соответствует функции синуса с положительным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = 3$.
Искомая функция имеет вид $y = 3 \sin x - 0,5$.
Ответ: $a = 3$, $b = -0,5$.