Страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.12. Подберите коэффициенты a и b так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \sin(x + b)$ или $y = a \cos(x + b)$:

а) рис. 50

б) рис. 51

в) рис. 52

г) рис. 53

Для нахождения коэффициентов a и b в функциях вида $y = a \sin(x + b)$ или $y = a \cos(x + b)$ проанализируем каждый график.

1. Определение амплитуды a. Амплитуда — это половина разности между максимальным и минимальным значениями функции. Из графика видно, что максимальное значение $y_{max} = 1$, а минимальное $y_{min} = -1$.
Следовательно, амплитуда $a = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Поскольку амплитуда положительна, принимаем $a = 1$.

2. Определение периода T. Период — это длина одного полного колебания. На графике видно, что функция пересекает ось x в точках $x = -2\pi/3$ и $x = \pi/3$. Расстояние между этими двумя последовательными нулями составляет половину периода: $T/2 = \frac{\pi}{3} - (-\frac{2\pi}{3}) = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
Таким образом, полный период $T = 2\pi$. Это соответствует функции с аргументом $(x+b)$, так как для $y = \cos(kx)$ период равен $2\pi/|k|$, и в нашем случае $k=1$.

3. Определение сдвига фазы b. Удобно представить функцию в виде косинуса $y = a \cos(x + b)$, так как сдвиг фазы легко определить по положению максимума. Стандартная функция $y = \cos(x)$ имеет максимум при $x=0$.
На данном графике максимум находится посередине между нулями $x = -2\pi/3$ и $x = \pi/3$. Координата максимума $x_{max} = \frac{-2\pi/3 + \pi/3}{2} = \frac{-\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{6}$.
Это означает, что график $y = \cos(x)$ сдвинут влево на $\pi/6$. Сдвиг влево на величину $c$ соответствует функции $y = \cos(x+c)$. Следовательно, $b = \pi/6$.
Получаем функцию $y = 1 \cdot \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Проверим: при $x = -\pi/6$, $y = \cos(-\pi/6 + \pi/6) = \cos(0) = 1$, что соответствует максимуму. При $x = \pi/3$, $y = \cos(\pi/3 + \pi/6) = \cos(\pi/2) = 0$, что соответствует пересечению с осью.

Ответ: $a = 1, b = \frac{\pi}{6}$. Функция: $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

1. Определение амплитуды a. Из графика $y_{max} = 2$ и $y_{min} = -2$.
Амплитуда $a = \frac{2 - (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

2. Определение периода T. На графике виден максимум в точке $x_{max} = -\pi/6$ и следующий за ним минимум в точке $x_{min} = 5\pi/6$. Расстояние между ними — половина периода: $T/2 = \frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Полный период $T = 2\pi$, что соответствует $k=1$.

3. Определение сдвига фазы b. Используем форму $y = a \cos(x + b)$.
Максимум функции находится в точке $x_{max} = -\pi/6$.
Для функции $y = 2\cos(x+b)$ максимум достигается, когда $x+b=0$ (или $2\pi n$). Возьмем $x_{max} + b = 0$, откуда $b = -x_{max} = -(-\pi/6) = \pi/6$.
Получаем функцию $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Проверим: при $x = 5\pi/6$, $y = 2\cos(5\pi/6 + \pi/6) = 2\cos(\pi) = 2(-1) = -2$, что соответствует минимуму.

Ответ: $a = 2, b = \frac{\pi}{6}$. Функция: $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

1. Определение амплитуды a. Из графика $y_{max} = 1.5$ и $y_{min} = -1.5$.
Амплитуда $a = \frac{1.5 - (-1.5)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

2. Определение периода T. На графике отмечены максимум в точке $x_{max} = -5\pi/6$ и следующий за ним минимум в точке $x_{min} = \pi/6$. Расстояние между ними — половина периода: $T/2 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}) = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Полный период $T = 2\pi$, что соответствует $k=1$.

3. Определение сдвига фазы b. Используем форму $y = a \cos(x + b)$.
Максимум функции находится в точке $x_{max} = -5\pi/6$.
$b = -x_{max} = -(-5\pi/6) = 5\pi/6$.
Получаем функцию $y = 1.5\cos(x + \frac{5\pi}{6})$.

Проверим: при $x = \pi/6$, $y = 1.5\cos(\pi/6 + 5\pi/6) = 1.5\cos(\pi) = 1.5(-1) = -1.5$, что соответствует минимуму.

Ответ: $a = 1.5, b = \frac{5\pi}{6}$. Функция: $y = 1.5\cos(x + \frac{5\pi}{6})$.

1. Определение амплитуды a. Из графика $y_{max} = 3$ и $y_{min} = -3$.
Амплитуда $a = \frac{3 - (-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Определение периода T. График пересекает ось x в точках $x = \pi/6$ (убывая) и $x = 7\pi/6$ (возрастая). Расстояние между этими нулями — половина периода: $T/2 = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Полный период $T = 2\pi$, что соответствует $k=1$.

3. Определение сдвига фазы b. Используем форму $y = a \cos(x + b)$.
Минимум функции находится посередине между нулями $x = \pi/6$ и $x = 7\pi/6$, то есть в $x_{min} = (\pi/6 + 7\pi/6)/2 = (8\pi/6)/2 = 2\pi/3$.
Максимум находится на расстоянии $T/2 = \pi$ от минимума. Найдем ближайший к нулю максимум: $x_{max} = x_{min} - T/2 = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$.
Сдвиг фазы $b = -x_{max} = -(-\pi/3) = \pi/3$.
Получаем функцию $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Проверим: при $x = 2\pi/3$, $y = 3\cos(2\pi/3 + \pi/3) = 3\cos(\pi) = 3(-1) = -3$, что соответствует минимуму.

Ответ: $a = 3, b = \frac{\pi}{3}$. Функция: $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{3})$.