Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.58. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } -\pi \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(\pi^2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Чтобы вычислить значения функции в заданных точках, нужно определить, для какого интервала выполняется условие, и применить соответствующую формулу из определения функции.

• Для вычисления $f(-\frac{\pi}{2})$: аргумент $x = -\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[-\pi, 0]$, так как $-\pi \le -\frac{\pi}{2} \le 0$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• Для вычисления $f(0)$: аргумент $x = 0$ принадлежит промежутку $[-\pi, 0]$. Используем первую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(0) = \sin(0) = 0$.
• Для вычисления $f(1)$: аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $x > 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
  $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
• Для вычисления $f(\pi^2)$: аргумент $x = \pi^2$ принадлежит промежутку $x > 0$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.87 > 0$). Используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
  $f(\pi^2) = \sqrt{\pi^2} = \pi$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$; $f(0) = 0$; $f(1) = 1$; $f(\pi^2) = \pi$.

б)

График функции $y = f(x)$ строится из двух частей:

1. На отрезке $[-\pi, 0]$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Это одна отрицательная полуволна синусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, 0)$, достигает минимума в точке $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ и заканчивается в начале координат $(0, 0)$.
2. На интервале $(0, +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$ и $(\pi^2, \pi)$.

Поскольку значение функции в точке $x=0$ по первой формуле равно $\sin(0) = 0$, и предел функции при $x \to 0$ справа по второй формуле равен $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$, обе части графика соединяются в точке $(0, 0)$, и функция является непрерывной.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в)

Основные свойства функции $y = f(x)$, прочитанные по её графику:

• Область определения: $D(f) = [-\pi; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.

• Нули функции (точки, где $f(x)=0$): $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
  • $f(x) < 0$ при $x \in (-\pi; 0)$.

• Монотонность функции:

  • функция убывает на отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$;
  • функция возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; +\infty)$.

• Экстремумы функции:

  • $x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка минимума;
  • $y_{min} = f(-\frac{\pi}{2}) = -1$ — наименьшее значение функции.
  • Наибольшего значения функция не имеет, так как она неограниченно возрастает при $x \to +\infty$.

• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $[-\pi; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

16.59. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(-2), f(0), f(1)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Постройте и прочитайте график функции:

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ в соответствии с определением кусочно-заданной функции.

1. Чтобы найти $f(-2)$, мы видим, что аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = \frac{1}{x}$.
$f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5$.

2. Чтобы найти $f(0)$, мы видим, что аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
$f(0) = \sin 0 = 0$.

3. Чтобы найти $f(1)$, мы видим, что аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14159$). Следовательно, мы также используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
$f(1) = \sin 1$. (Это значение синуса от 1 радиана, приблизительно равное 0.84).

Ответ: $f(-2) = -0.5$; $f(0) = 0$; $f(1) = \sin 1$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ мы строим две его части на разных участках оси $x$.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти. Она имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и вертикальную асимптоту $x=0$.

2. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Это "арка" синусоиды, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$. Обе конечные точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, принадлежат графику.

Итоговый график функции:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в)

Прочитаем график, то есть перечислим основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения функции ($D(f)$): множество всех допустимых значений $x$.
$D(f) = (-\infty; \pi]$.

2. Область значений функции ($E(f)$): множество всех значений, которые принимает $y$.
$E(f) = (-\infty; 1]$.

3. Нули функции ($f(x) = 0$):
$x=0$, $x=\pi$.

4. Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0; \pi)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

6. Экстремумы функции:
Точка максимума $x_{max} = \frac{\pi}{2}$.
Максимум функции $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Функция не ограничена снизу, поэтому глобального минимума не существует.

7. Четность/нечетность:
Область определения $D(f) = (-\infty; \pi]$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность:
Функция непрерывна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; \pi]$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода, так как левый предел равен бесконечности: $\lim_{x\to 0-} f(x) = -\infty$.

Ответ: Свойства функции, полученные при чтении графика, перечислены выше.

16.60. a) $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0, \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0, \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция: $y = f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как на первом она задана линейной функцией $y=x+2$, а на втором — функцией $y=\cos x$, которые обе непрерывны на всей числовой прямой. Единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться, — это точка $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x=0$, необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке были равны: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Найдем эти три значения:

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \ge 0$ функция равна $f(x) = \cos x$. Следовательно, $f(0) = \cos(0) = 1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): в этом случае $x < 0$, и функция равна $f(x) = x+2$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 0 + 2 = 2$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): в этом случае $x > 0$, и функция равна $f(x) = \cos x$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = \cos(0) = 1$.

Сравнивая полученные значения, видим, что левосторонний предел не равен правостороннему пределу: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$.

Поскольку односторонние пределы не равны, общий предел функции в точке $x=0$ не существует. Следовательно, функция терпит разрыв в точке $x=0$. Так как оба односторонних предела существуют и конечны, этот разрыв является разрывом первого рода (скачком). Величина скачка равна $|2-1|=1$.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

б) Дана кусочно-заданная функция: $y = f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $y=\frac{2}{x}$ непрерывна, так как $x \neq 0$. На интервале $(0, \infty)$ функция $y=-\cos x$ непрерывна. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

Для непрерывности в точке $x=0$ должно выполняться условие: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Найдем эти значения:

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \ge 0$ функция равна $f(x) = -\cos x$. Следовательно, $f(0) = -\cos(0) = -1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): в этом случае $x < 0$, и функция равна $f(x) = \frac{2}{x}$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{x} = -\infty$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): в этом случае $x > 0$, и функция равна $f(x) = -\cos x$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-\cos x) = -\cos(0) = -1$.

Так как левосторонний предел в точке $x=0$ равен бесконечности (т.е. не является конечным числом), функция терпит разрыв в этой точке.

Поскольку один из односторонних пределов бесконечен, этот разрыв является разрывом второго рода (бесконечным разрывом).

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.

16.61. a) $y = \begin{cases} \text{cos } x, \text{ если } x \le \frac{\pi}{2}; \\ \text{sin } x, \text{ если } x > \frac{\pi}{2}; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \text{-cos } x, \text{ если } x < 0, \\ 2x^2 - 1, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. На каждом из интервалов $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция непрерывна, так как она задана элементарными функциями $y = \cos x$ и $y = \sin x$, которые непрерывны на всей своей области определения.

Чтобы исследовать функцию на непрерывность на всей числовой прямой, необходимо проверить ее поведение в точке "стыка" $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$. Это условие, в свою очередь, требует, чтобы левосторонний и правосторонний пределы были равны значению функции в точке: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

Проверим эти условия для точки $x = \frac{\pi}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Согласно определению, при $x \le \frac{\pi}{2}$ используется формула $y = \cos x$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to \frac{\pi}{2}^-$, т.е. $x < \frac{\pi}{2}$). Используем ту же формулу $y = \cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to \frac{\pi}{2}^+$, т.е. $x > \frac{\pi}{2}$). Используем формулу $y = \sin x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Так как левосторонний предел ($0$) не равен правостороннему пределу ($1$), то предел функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполняется.

Ответ: функция имеет разрыв в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Эта функция также является кусочно-заданной. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$ она непрерывна, так как задана непрерывными элементарными функциями $y = -\cos x$ (тригонометрическая) и $y = 2x^2 - 1$ (полином).

Исследуем на непрерывность точку "стыка" $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $y = 2x^2 - 1$.
$y(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, т.е. $x < 0$). Используем формулу $y = -\cos x$:
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -\cos(0) = -1$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, т.е. $x > 0$). Используем формулу $y = 2x^2 - 1$:
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x^2 - 1) = 2(0)^2 - 1 = -1$.

Сравним полученные значения: $y(0) = -1$
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = -1$

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = 0$ равны между собой: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0) = -1$, то функция непрерывна в точке $x = 0$.

Поскольку функция непрерывна на каждом из интервалов и в точке их соединения, она непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой.

16.62. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$;

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$;

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$.

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$

Первым делом определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $\sin x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$.
В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$.
В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.

Таким образом, график функции состоит из бесконечного набора горизонтальных линий. На интервалах, где синус положителен (например, $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$ и т.д.), график представляет собой прямую $y=1$. На интервалах, где синус отрицателен (например, $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$ и т.д.), график представляет собой прямую $y=-1$. В точках $x = \pi n$ функция не определена, поэтому на графике в этих точках будут выколотые (пустые) точки на концах отрезков.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=1$. На интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=-1$. Точки с абсциссами $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$ выколоты.

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot |\cos x|$.
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.

2. Если $\cos x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.

Итак, график функции состоит из "кусочков" синусоиды. На интервалах, где $\cos x > 0$ (например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), график совпадает с графиком $y=\sin x$. На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), график совпадает с графиком $y=-\sin x$. Функция периодическая с периодом $\pi$, так как $y(x+\pi) = \operatorname{tg}(x+\pi) \cdot |\cos(x+\pi)| = \operatorname{tg} x \cdot |-\cos x| = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = y(x)$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция не определена и имеет разрывы.

Ответ: График функции представляет собой повторяющийся узор. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ он совпадает с графиком $y=\sin x$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ он совпадает с графиком $y=-\sin x$. Этот узор повторяется с периодом $\pi$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ функция имеет разрывы первого рода (скачки).

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, значит $|\cos x| \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$.
Функция принимает вид: $y = \frac{2 \cos x}{\cos x} = 2$.

2. Если $\cos x < 0$, то есть $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$.
Функция принимает вид: $y = \frac{2 \cos x}{-\cos x} = -2$.

График этой функции, аналогично пункту а), является кусочно-постоянной функцией. Он состоит из горизонтальных линий на уровнях $y=2$ и $y=-2$. На интервалах, где косинус положителен (например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), график — это прямая $y=2$. На интервалах, где косинус отрицателен (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), график — это прямая $y=-2$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция не определена, на графике это выколотые точки.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=2$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=-2$. Точки с абсциссами $x=\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ выколоты.

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$

Представим $\operatorname{ctg} x$ как $\frac{\cos x}{\sin x}$: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot |\sin x|$.
Область определения функции: $\sin x \neq 0$, откуда $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.

2. Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.

Таким образом, график функции состоит из "кусочков" косинусоиды. На интервалах, где $\sin x > 0$ (например, $(0, \pi)$), график совпадает с графиком $y=\cos x$. На интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), график совпадает с графиком $y=-\cos x$.
Можно заметить, что функция периодична с периодом $2\pi$. На интервале $(0, \pi)$ график представляет собой арку косинуса, идущую от $y=1$ (в $x \to 0^+$) до $y=-1$ (в $x \to \pi^-$). На интервале $(\pi, 2\pi)$ график — это кривая $y=-\cos x$, идущая от $y=1$ (в $x \to \pi^+$) до $y=-1$ (в $x \to (2\pi)^-$). В точках $x = \pi n$ функция не определена и имеет разрывы (скачки).

Ответ: График функции состоит из повторяющихся фрагментов. На каждом интервале $(n\pi, (n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$, график представляет собой кривую, идущую от $y=1$ до $y=-1$. На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$ это часть графика $y=\cos x$, а на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ это часть графика $y=-\cos x$. В точках $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$ функция имеет разрыв: предел слева равен -1, а предел справа равен 1.

16.63. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} 2x - \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} - x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$

а)

Задана кусочно-линейная функция: $y = \begin{cases} 2x - \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} - x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из трех частей:

• При $x < \frac{\pi}{2}$ график является лучом прямой $y = 2x - \pi$. Он проходит через точку $(0, -\pi)$ и заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Конечная точка луча выколота, так как неравенство строгое.
• При $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ график совпадает с частью косинусоиды $y = \cos x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{2}, \cos(\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2}, 0)$, достигает минимума в точке $(\pi, \cos(\pi)) = (\pi, -1)$ и заканчивается в точке $(\frac{3\pi}{2}, \cos(\frac{3\pi}{2})) = (\frac{3\pi}{2}, 0)$. Обе конечные точки включены.
• При $x > \frac{3\pi}{2}$ график является лучом прямой $y = \frac{3\pi}{2} - x$. Он начинается в точке $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ (точка выколота) и идет вниз, проходя, например, через точку $(2\pi, -\frac{\pi}{2})$.

Проверим непрерывность в точках "стыковки".
При $x = \frac{\pi}{2}$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} (2x - \pi) = 0$; $y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Предел слева равен значению функции, разрыва нет.
При $x = \frac{3\pi}{2}$: $y(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$; $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}+} (\frac{3\pi}{2} - x) = 0$. Значение функции равно пределу справа, разрыва нет.
Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, -\pi)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, +\infty)$. Промежутков, где $y>0$, нет.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и на $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$; убывает на $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и на $[\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.
• Точки экстремума: $x_{max1} = \frac{\pi}{2}$ ($y_{max1} = 0$) и $x_{max2} = \frac{3\pi}{2}$ ($y_{max2} = 0$) — точки локального максимума; $x_{min} = \pi$ ($y_{min} = -1$) — точка локального минимума.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из двух лучей и участка косинусоиды между ними. Функция определена для всех действительных чисел, ее значения не превышают 0. Локальные максимумы достигаются в точках $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, локальный минимум — в точке $(\pi, -1)$.

б)

Задана кусочная функция: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из трех частей:

• При $x \le 0$ график совпадает с частью синусоиды $y = \sin x$. Он проходит через точки $(0, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(-\pi, 0)$ и так далее. Точка $(0,0)$ включена.
• При $0 < x < \frac{\pi}{2}$ график является частью параболы $y = x^2$ с вершиной в начале координат. Начальная точка $(0,0)$ и конечная точка $(\frac{\pi}{2}, (\frac{\pi}{2})^2)$ выколоты. Заметим, что $(\frac{\pi}{2})^2 \approx 2.47$.
• При $x \ge \frac{\pi}{2}$ график совпадает с частью косинусоиды $y = \cos x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{2}, \cos(\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2}, 0)$ (точка включена) и продолжается, проходя через точки $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$ и т.д.

Проверим непрерывность в точках "стыковки".
При $x = 0$: $y(0) = \sin(0) = 0$; $\lim_{x \to 0+} x^2 = 0$. Значение функции равно пределу справа, в точке $x=0$ разрыва нет.
При $x = \frac{\pi}{2}$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} x^2 = (\frac{\pi}{2})^2$; $y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $(\frac{\pi}{2})^2 \neq 0$, в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; (\frac{\pi}{2})^2)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x = \pi k$ для целых $k \le 0$, и при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для целых $n \ge 0$.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k\le -1} (2\pi k, (2k+1)\pi) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{Z}, n\ge 0} (-\frac{\pi}{2}+2\pi(n+1), \frac{\pi}{2}+2\pi(n+1))$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k\le -1} ((2k-1)\pi, 2k\pi) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{Z}, n\ge 0} (\frac{\pi}{2}+2\pi n, \frac{3\pi}{2}+2\pi n)$.
• Промежутки монотонности:
  Возрастает на каждом из промежутков $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \le 0$ (включая объединенный интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), и на каждом из промежутков $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ для $n \ge 0$.
  Убывает на каждом из промежутков $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \ge 0$, и на каждом из промежутков $[\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$ для $n \le -1$.
• Точки экстремума:
  Локальные максимумы: $y=1$ в точках $x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \le 0$ и $x = 2\pi n, n \ge 1$.
  Локальные минимумы: $y=-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \le 0$ и $x = \pi + 2\pi n, n \ge 0$. Точка $(0,0)$ также является точкой локального минимума. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ не является точкой экстремума.
• Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ имеет разрыв первого рода.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции состоит из трех частей: синусоиды при $x \le 0$, параболы на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ и косинусоиды при $x \ge \frac{\pi}{2}$. Функция непрерывна везде, кроме точки $x = \frac{\pi}{2}$, где происходит скачок от значения $(\frac{\pi}{2})^2$ к $0$. Область значений функции $E(y) = [-1; (\frac{\pi}{2})^2)$.