Страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.2. Не выполняя построения, ответьте на вопрос: принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка с координатами:

а) $(-\frac{\pi}{2}; -1);$

б) $(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2});$

в) $(\pi; 1);$

г) $(\frac{3\pi}{2}; -1)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \sin x$, необходимо подставить координаты точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = \sin(x_0)$, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) Проверим, принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка с координатами $(-\frac{\pi}{2}; -1)$.
Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию:
$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$.
Зная, что функция синус является нечетной ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Равенство $-1 = -1$ верно.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка с координатами $(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2})$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию:
$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Полученное значение $y = 1$ не совпадает с ординатой данной точки, равной $\frac{1}{2}$. Равенство $1 = \frac{1}{2}$ неверно.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка с координатами $(\pi; 1)$.
Подставим $x = \pi$ в функцию:
$y = \sin(\pi) = 0$.
Полученное значение $y = 0$ не совпадает с ординатой данной точки, равной $1$. Равенство $0 = 1$ неверно.
Ответ: нет, не принадлежит.

г) Проверим, принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка с координатами $(\frac{3\pi}{2}; -1)$.
Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ в функцию:
$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Равенство $-1 = -1$ верно.
Ответ: да, принадлежит.

16.3. Принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$

точка:

а) $(0; \frac{3}{2});$

б) $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2);$

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2});$

г) $(4\pi; 2,5)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство $y_0 = -\sin(x_0 + \frac{\pi}{6}) + 2$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Проверим точку $(0; \frac{3}{2})$.

Подставим значение $x = 0$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = -\sin(0 + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$

Зная табличное значение синуса $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$.

Подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение функции:

$y = -\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{2\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 2$

Зная табличное значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$

Вычисленное значение $y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) Проверим точку $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$.

Подставим значение $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение функции:

$y = -\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2$

Приведем дроби в аргументе синуса к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

$y = -\sin(\frac{5\pi}{6}) + 2$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим значение синуса: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Тогда:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

Вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

г) Проверим точку $(4\pi; 2,5)$.

Подставим значение $x = 4\pi$ в уравнение функции:

$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2$

Так как период функции синус равен $2\pi$, то $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(2 \cdot 2\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$.

$y = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} = 1,5$

Вычисленное значение $y = 1,5$ не совпадает с ординатой данной точки $2,5$ ($1,5 \neq 2,5$). Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

16.4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin x:$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}];$

б) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty);$

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4});$

г) на полуинтервале $(-\pi; \frac{\pi}{3}].$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = \sin x$ на замкнутом отрезке, необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
1. Значения на концах отрезка:
$y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Поиск критических точек. Производная функции $y' = (\sin x)' = \cos x$. Критические точки находятся из уравнения $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ попадает только точка $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Значение функции в критической точке: $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
4. Сравниваем полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$.
Так как $1 > \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, то наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее — $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1$.

б) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Необходимо проверить, достигаются ли эти значения на заданном луче.
Наибольшее значение $1$ функция принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=0$ точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Наименьшее значение $-1$ функция принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=1$ точка $x = \frac{3\pi}{2}$ принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Следовательно, на данном луче функция достигает своих глобальных наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Проверим, достигаются ли значения $-1$ и $1$ на данном интервале.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{3}{2}\pi < \frac{1}{2}\pi < \frac{3}{4}\pi$. Таким образом, наибольшее значение функции на интервале равно $1$.
Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{3}{2}\pi < -\frac{1}{2}\pi < \frac{3}{4}\pi$. Таким образом, наименьшее значение функции на интервале равно $-1$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $(-\pi; \frac{\pi}{3}]$
Исследуем поведение функции $y = \sin x$ на данном полуинтервале.
1. Значение на правом (включенном) конце: $y(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Поведение на левом (исключенном) конце: $\lim_{x \to -\pi^+} \sin x = \sin(-\pi) = 0$. Значение $0$ не достигается в этой точке.
3. Поиск критических точек. Производная $y' = \cos x$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В интервал $(-\pi; \frac{\pi}{3}]$ попадает только корень $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$).
4. Значение функции в критической точке: $y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
5. Сравниваем все полученные значения (значение в критической точке, на конце отрезка и предел): $-1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0$.
На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ функция убывает от $0$ до $-1$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$ функция возрастает от $-1$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение, достигаемое на интервале, равно $-1$. Наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Исследуйте функцию на чётность:

16.5. а) $f(x) = x^5 \sin\frac{x}{2}$;

б) $f(x) = x^3 \sin x^2$;

в) $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

г) $f(x) = x^3 - \sin x$.

а) $f(x) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 \sin\frac{-x}{2}$

Используя свойства степенной функции с нечётным показателем $((-a)^n = -a^n$ для нечётного $n)$ и нечётность функции синус $(\sin(-a) = -\sin a)$, получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot (-\sin\frac{x}{2}) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

б) $f(x) = x^3 \sin x^2$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 \sin ((-x)^2)$

Используя свойства степенных функций с нечётным $((-a)^3 = -a^3)$ и чётным $((-a)^2 = a^2)$ показателями, получаем:

$f(-x) = (-x^3) \cdot \sin(x^2) = - (x^3 \sin x^2)$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{2 \sin\frac{-x}{2}}{(-x)^3}$

Используя нечётность функции синус и степенной функции с нечётным показателем, получаем:

$f(-x) = \frac{2 (-\sin\frac{x}{2})}{-x^3} = \frac{-2 \sin\frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Функция $y=x^3$ является нечётной, то есть $(-x)^3 = -x^3$. Функция $y=\sin x$ также является нечётной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = (-x^3) - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x)$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. (Также можно отметить, что это разность двух нечётных функций, которая всегда является нечётной функцией).

Ответ: функция нечётная.

16.6. a) $f(x) = x + \sin x$;

В) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$;

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$;

Г) $f(x) = \sin^2 x - x^4$.

а) $f(x) = x + \sin x$

Для исследования функции на четность необходимо найти ее область определения и проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции).

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x)$

Поскольку $f(x) = x + \sin x$, то $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства функций: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $(-x)^2 = x^2$. Подставим эти выражения:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 9$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{(-x)^2 - 9}$

Используя свойства функций: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = \frac{x^2(-\sin x)}{x^2 - 9} = - \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

г) $f(x) = \sin^2 x - x^4$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sin^2(-x) - (-x)^4$

Используем свойства функций: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $(-x)^4 = x^4$.

$f(-x) = \sin^2 x - x^4$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

16.7. Найдите все значения $x$, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число:

а) $(5 - 2 \sin x; 5 + 2 \sin x)$;

б) $[4 + 2 \cos x; 4 - 2 \cos x]$.

a) $(5 - 2 \sin x; 5 + 2 \sin x)$

Заданный промежуток является открытым интервалом. Для того чтобы интервал был определен, его левый конец должен быть меньше правого: $5 - 2 \sin x < 5 + 2 \sin x$. Это неравенство равносильно $4 \sin x > 0$, откуда следует, что $\sin x > 0$.

Центром интервала является число $\frac{(5 - 2 \sin x) + (5 + 2 \sin x)}{2} = 5$. Поскольку интервал симметричен относительно 5, единственным целым числом, которое может в нем содержаться, является 5.

Условие того, что число 5 принадлежит интервалу, имеет вид $5 - 2 \sin x < 5 < 5 + 2 \sin x$. Оба неравенства ($5 - 2 \sin x < 5$ и $5 < 5 + 2 \sin x$) сводятся к условию $\sin x > 0$.

Чтобы в интервале не было других целых чисел, ближайшие к 5 целые числа, то есть 4 и 6, не должны в него входить. Это означает, что левая граница интервала должна быть не меньше 4, а правая — не больше 6:

$5 - 2 \sin x \geq 4$
$5 + 2 \sin x \leq 6$

Решим эти неравенства относительно $\sin x$:

Из первого неравенства получаем $1 \geq 2 \sin x$, то есть $\sin x \leq \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $2 \sin x \leq 1$, то есть $\sin x \leq \frac{1}{2}$.

Объединяя все полученные условия, приходим к двойному неравенству: $0 < \sin x \leq \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков, которое можно найти, рассмотрев единичную окружность. Решения находятся в первом и втором квадрантах:

$x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Единственное целое число в заданном промежутке при этих значениях $x$ — это 5.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$; целое число 5.

б) $[4 + 2 \cos x; 4 - 2 \cos x]$

Заданный промежуток является отрезком (замкнутым интервалом). Для того чтобы отрезок был определен, его левый конец не должен превышать правый: $4 + 2 \cos x \leq 4 - 2 \cos x$. Это неравенство равносильно $4 \cos x \leq 0$, откуда $\cos x \leq 0$.

Центром отрезка является число $\frac{(4 + 2 \cos x) + (4 - 2 \cos x)}{2} = 4$. Следовательно, если в отрезке есть только одно целое число, то это число 4.

Условие того, что число 4 принадлежит отрезку, имеет вид $4 + 2 \cos x \leq 4 \leq 4 - 2 \cos x$, что эквивалентно условию $\cos x \leq 0$.

Чтобы в отрезке не было других целых чисел, ближайшие к 4 целые числа, то есть 3 и 5, не должны в него входить. Так как отрезок замкнутый, его левая граница должна быть строго больше 3, а правая — строго меньше 5:

$4 + 2 \cos x > 3$
$4 - 2 \cos x < 5$

Решим эти неравенства относительно $\cos x$:

Из первого неравенства получаем $2 \cos x > -1$, то есть $\cos x > -\frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $-1 < 2 \cos x$, что также дает $\cos x > -\frac{1}{2}$.

Объединяя все условия, получаем двойное неравенство: $-\frac{1}{2} < \cos x \leq 0$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков. На единичной окружности это соответствует дугам во втором и третьем квадрантах:

$x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Единственное целое число в заданном промежутке при этих значениях $x$ — это 4.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$; целое число 4.

16.8. Постройте график функции:

а) $y = \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right);$

б) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right);$

в) $y = \sin (x - \pi);$

г) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right).$

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить горизонтальный сдвиг (сдвиг по фазе) графика базовой функции $y = \sin(x)$. Общее правило для преобразования вида $y = f(x - c)$ заключается в сдвиге графика $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, а если $c < 0$ — влево.

В данном случае $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ на исходной синусоиде переместится в точку $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1\right) = \left(\frac{5\pi}{6}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

б) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Для построения этого графика преобразуем график функции $y = \sin(x)$. Функцию можно представить в виде $y = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$. Это горизонтальный сдвиг, где константа сдвига $c = -\frac{\pi}{4}$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг происходит влево на величину $|c| = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, для получения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ переместится в точку $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

в) $y = \sin(x - \pi)$

Построение графика этой функции можно выполнить двумя способами. Первый способ — это сдвиг графика $y = \sin(x)$. В выражении $y = \sin(x - \pi)$ константа сдвига $c = \pi$. Так как $c > 0$, график $y = \sin(x)$ сдвигается на $\pi$ единиц вправо.

Второй способ — использование формул приведения. Согласно тригонометрическому тождеству, $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$. Это означает, что график функции $y = \sin(x - \pi)$ полностью совпадает с графиком функции $y = -\sin(x)$. График $y = -\sin(x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \pi)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\pi$ вправо, что эквивалентно симметричному отражению относительно оси абсцисс.

г) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика этой функции выполним горизонтальный сдвиг графика $y = \sin(x)$. Функцию можно записать как $y = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$, где константа сдвига $c = -\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг выполняется влево на величину $|c| = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, график $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается сдвигом графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ переместится в точку $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.