Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.13. Докажите тождество:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$

б) $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t;$

в) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t;$

г) $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1.$

а)

Докажем тождество $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

Для этого преобразуем левую часть равенства.

1. Упростим числитель дроби. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$(\sin t + \cos t)^2 - 1 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t - 1 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t - 1 = 1 + 2 \sin t \cos t - 1 = 2 \sin t \cos t$.

2. Упростим знаменатель дроби. Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$ и основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.

$\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t \cos t = \frac{\cos t - \sin t \cos t \cdot \sin t}{\sin t} = \frac{\cos t - \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t (1 - \sin^2 t)}{\sin t} = \frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t}$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь.

$\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t \cos t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t}$.

4. Используем определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, откуда $\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.

$\frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

б)

Докажем тождество $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Раскроем скобки и подставим определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

$\sin^3 t \cdot (1 + \frac{\cos t}{\sin t}) + \cos^3 t \cdot (1 + \frac{\sin t}{\cos t}) = \sin^3 t + \sin^3 t \frac{\cos t}{\sin t} + \cos^3 t + \cos^3 t \frac{\sin t}{\cos t}$.

2. Сократим дроби.

$\sin^3 t + \sin^2 t \cos t + \cos^3 t + \cos^2 t \sin t$.

3. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки.

$(\sin^3 t + \cos^2 t \sin t) + (\sin^2 t \cos t + \cos^3 t) = \sin t (\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$.

4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\sin t \cdot 1 + \cos t \cdot 1 = \sin t + \cos t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$.

в)

Докажем тождество $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Упростим числитель дроби (аналогично пункту а)).

$(\sin t + \cos t)^2 - 1 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t - 1 = 1 + 2 \sin t \cos t - 1 = 2 \sin t \cos t$.

2. Упростим знаменатель дроби. Используем определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

$\operatorname{tg} t - \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} - \sin t \cos t = \frac{\sin t - \sin t \cos t \cdot \cos t}{\cos t} = \frac{\sin t - \sin t \cos^2 t}{\cos t} = \frac{\sin t (1 - \cos^2 t)}{\cos t} = \frac{\sin t \cdot \sin^2 t}{\cos t} = \frac{\sin^3 t}{\cos t}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь.

$\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\sin^3 t}{\cos t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin^3 t} = \frac{2 \sin t \cos^2 t}{\sin^3 t} = \frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t}$.

4. Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, откуда $\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.

$\frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

г)

Докажем тождество $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Преобразуем числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin t \cos t = \sin(2t)$.

$1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - (2 \sin t \cos t)^2 = (1 - 2 \sin t \cos t)(1 + 2 \sin t \cos t)$.

2. Преобразуем знаменатель первой дроби, используя формулу квадрата суммы.

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + 2 \sin t \cos t$.

3. Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества.

$\frac{(1 - 2 \sin t \cos t)(1 + 2 \sin t \cos t)}{1 + 2 \sin t \cos t} + 2 \sin t \cos t$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2 \sin t \cos t)$, при условии что он не равен нулю.

$(1 - 2 \sin t \cos t) + 2 \sin t \cos t$.

5. Приведем подобные слагаемые.

$1 - 2 \sin t \cos t + 2 \sin t \cos t = 1$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1$.

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

14.14. а) $\sin t = \frac{4}{5}, \frac{\pi}{2} < t < \pi$;

б) $\sin t = \frac{5}{13}, 0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\sin t = -0,6, -\frac{\pi}{2} < t < 0$;

г) $\sin t = -0,28, \pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано: $sin t = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти. В этой четверти $sin t > 0$ (что соответствует условию), а $cos t < 0$, $tan t < 0$ и $cot t < 0$.
Для нахождения $cos t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как угол $t$ находится во второй четверти, значение косинуса отрицательно, поэтому $cos t = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем значения тангенса и котангенса, используя их определения:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $cos t = -\frac{3}{5}$, $tan t = -\frac{4}{3}$, $cot t = -\frac{3}{4}$.

б) Дано: $sin t = \frac{5}{13}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует первой координатной четверти, где все тригонометрические функции ($sin t, cos t, tan t, cot t$) положительны.
Найдем $cos t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку угол $t$ находится в первой четверти, значение косинуса положительно: $cos t = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $cos t = \frac{12}{13}$, $tan t = \frac{5}{12}$, $cot t = \frac{12}{5}$.

в) Дано: $sin t = -0,6$ и $-\frac{\pi}{2} < t < 0$.
Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти. В этой четверти $sin t < 0$ (что соответствует условию) и $cos t > 0$, $tan t < 0$, $cot t < 0$.
Представим $sin t$ в виде обыкновенной дроби: $sin t = -0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Найдем $cos t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как угол $t$ находится в четвертой четверти, значение косинуса положительно: $cos t = \frac{4}{5} = 0,8$.
Вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $cos t = 0,8$, $tan t = -0,75$, $cot t = -\frac{4}{3}$.

г) Дано: $sin t = -0,28$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти $sin t < 0$ (что соответствует условию) и $cos t < 0$, а $tan t > 0$ и $cot t > 0$.
Представим $sin t$ в виде обыкновенной дроби: $sin t = -0,28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25}$.
Найдем $cos t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Поскольку угол $t$ находится в третьей четверти, значение косинуса отрицательно: $cos t = -\frac{24}{25} = -0,96$.
Вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $cos t = -\frac{24}{25}$, $tan t = \frac{7}{24}$, $cot t = \frac{24}{7}$.

14.15. a) $cos t = 0,8, 0 < t < \frac{\pi}{2};$

б) $cos t = -\frac{5}{13}, \frac{\pi}{2} < t < \pi;$

в) $cos t = 0,6, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi;$

г) $cos t = -\frac{24}{25}, \pi < t < \frac{3\pi}{2}.$

а) Дано: $cos \, t = 0,8$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал соответствует I четверти, где все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) положительны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
$sin \, t = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Так как $t$ находится в I четверти, $sin \, t > 0$, следовательно, $sin \, t = 0,6$.
2. Найдем $tg \, t$ по формуле $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
3. Найдем $ctg \, t$ по формуле $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $sin \, t = 0,6; tg \, t = 0,75; ctg \, t = \frac{4}{3}$.

б) Дано: $cos \, t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует II четверти, где синус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
$sin \, t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $sin \, t > 0$, следовательно, $sin \, t = \frac{12}{13}$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} = -2,4$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $sin \, t = \frac{12}{13}; tg \, t = -2,4; ctg \, t = -\frac{5}{12}$.

в) Дано: $cos \, t = 0,6$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти, где синус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
$sin \, t = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $sin \, t < 0$, следовательно, $sin \, t = -0,8$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $sin \, t = -0,8; tg \, t = -\frac{4}{3}; ctg \, t = -0,75$.

г) Дано: $cos \, t = -\frac{24}{25}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует III четверти, где синус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}$.
$sin \, t = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $sin \, t < 0$, следовательно, $sin \, t = -\frac{7}{25}$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $sin \, t = -\frac{7}{25}; tg \, t = \frac{7}{24}; ctg \, t = \frac{24}{7}$.

14.16. a) $tg t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $tg t = 2,4$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

В) $tg t = -\frac{3}{4}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Г) $tg t = -\frac{1}{3}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

В данной задаче необходимо найти значения трёх других основных тригонометрических функций ($\sin t$, $\cos t$, $\text{ctg } t$), зная значение $\text{tg } t$ и четверть, в которой находится угол $t$.

Основная формула, которая будет использоваться: $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

Также используются определения: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$ (откуда $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$) и $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$.

Дано: $\text{tg } t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Угол $t$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны: $\sin t > 0$, $\cos t > 0$, $\text{ctg } t > 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{16+9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos t > 0$, то $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = \frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = \frac{4}{3}$.

Дано: $\text{tg } t = 2,4$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $t$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти $\sin t < 0$, $\cos t < 0$, а $\text{ctg } t > 0$.

Представим $\text{tg } t$ в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Так как $\cos t < 0$, то $\cos t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$, $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\text{ctg } t = \frac{5}{12}$.

Дано: $\text{tg } t = -\frac{3}{4}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.

Угол $t$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти $\sin t > 0$, а $\cos t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos t < 0$, то $\cos t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = -\frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = -\frac{4}{3}$.

Дано: $\text{tg } t = -\frac{1}{3}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

Угол $t$ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти $\cos t > 0$, а $\sin t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.

Так как $\cos t > 0$, то $\cos t = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.

Ответ: $\sin t = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos t = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\text{ctg } t = -3$.

14.17. a) $ctg t = \frac{12}{5}, 3\pi < t < \frac{7\pi}{2};$

б) $ctg t = \frac{7}{24}, 2\pi < t < \frac{5\pi}{2};$

в) $ctg t = -\frac{5}{12}, \frac{7\pi}{2} < t < 4\pi;$

г) $ctg t = -\frac{8}{15}, \frac{5\pi}{2} < t < 3\pi.$

Дано: $ctg(t) = \frac{12}{5}$ и $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$.

Интервал $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$ соответствует III четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус и косинус отрицательны ($sin(t) < 0$, $cos(t) < 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

Подставим известное значение котангенса:

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{25}{169}$. Так как угол $t$ находится в III четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(t) = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Найдем $cos(t)$ из определения котангенса $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$, откуда $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

Найдем $tg(t)$ по формуле $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $sin(t) = -\frac{5}{13}$, $cos(t) = -\frac{12}{13}$, $tg(t) = \frac{5}{12}$.

Дано: $ctg(t) = \frac{7}{24}$ и $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$.

Интервал $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$ соответствует I четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус и косинус положительны ($sin(t) > 0$, $cos(t) > 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{576}{625}$. Так как угол $t$ находится в I четверти, его синус положителен, поэтому $sin(t) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $sin(t) = \frac{24}{25}$, $cos(t) = \frac{7}{25}$, $tg(t) = \frac{24}{7}$.

Дано: $ctg(t) = -\frac{5}{12}$ и $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$.

Интервал $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$ соответствует IV четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус отрицателен ($sin(t) < 0$), а косинус положителен ($cos(t) > 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (-\frac{5}{12})^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{144}{169}$. Так как угол $t$ находится в IV четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(t) = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = (-\frac{5}{12}) \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $sin(t) = -\frac{12}{13}$, $cos(t) = \frac{5}{13}$, $tg(t) = -\frac{12}{5}$.

Дано: $ctg(t) = -\frac{8}{15}$ и $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$.

Интервал $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$ соответствует II четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус положителен ($sin(t) > 0$), а косинус отрицателен ($cos(t) < 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (-\frac{8}{15})^2 = 1 + \frac{64}{225} = \frac{225+64}{225} = \frac{289}{225}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{225}{289}$. Так как угол $t$ находится во II четверти, его синус положителен, поэтому $sin(t) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = (-\frac{8}{15}) \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{-8/15} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $sin(t) = \frac{15}{17}$, $cos(t) = -\frac{8}{17}$, $tg(t) = -\frac{15}{8}$.

14.18. а) Дано: $\sin (4\pi + t) = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите: $\operatorname{tg} (\pi - t)$.

б) Дано: $\cos (2\pi + t) = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Вычислите: $\operatorname{ctg} (\pi - t)$.

а)

По условию дано, что $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

1. Упростим данное выражение, используя свойство периодичности синуса. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ для любого целого $k$.

$\sin(4\pi + t) = \sin(2 \cdot 2\pi + t) = \sin(t)$.

Следовательно, мы имеем $\sin(t) = \frac{3}{5}$.

2. Упростим выражение, которое нужно вычислить: $\text{tg}(\pi - t)$. Используем формулу приведения для тангенса:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t)$.

3. Теперь нам нужно найти значение $\text{tg}(t)$. Для этого сначала найдем $\cos(t)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.

$\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Отсюда $\cos(t) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

По условию, угол $t$ находится в первой четверти ($0 < t < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Значит, $\cos(t) = \frac{4}{5}$.

4. Теперь вычислим тангенс:

$\text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

5. Наконец, найдем искомое значение:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б)

По условию дано, что $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

1. Упростим данное выражение, используя свойство периодичности косинуса. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ для любого целого $k$.

$\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Следовательно, мы имеем $\cos(t) = \frac{12}{13}$.

2. Упростим выражение, которое нужно вычислить: $\text{ctg}(\pi - t)$. Используем формулу приведения для котангенса:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t)$.

3. Теперь нам нужно найти значение $\text{ctg}(t)$. Для этого сначала найдем $\sin(t)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.

$\sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.

Отсюда $\sin(t) = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

По условию, угол $t$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$), где синус отрицателен. Значит, $\sin(t) = -\frac{5}{13}$.

4. Теперь вычислим котангенс:

$\text{ctg}(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

5. Наконец, найдем искомое значение:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t) = -(-\frac{12}{5}) = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.