Страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.27. Упростите выражение:

а) $\sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t;$

б) $\sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{ctg} t - 1;$

в) $\sin^2 t - \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t;$

г) $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}. $

а) Для упрощения выражения $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg } t $ воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $. Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $

При условии, что $ \cos t \neq 0 $ (что необходимо для существования $ \text{tg } t $), можно сократить $ \cos t $. В результате получаем:

$ \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t $

Ответ: $ \sin^2 t $

б) Упростим выражение $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{ctg } t - 1 $. Используем определение котангенса: $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $.

Подставим это в выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $

При условии, что $ \sin t \neq 0 $ (область определения $ \text{ctg } t $), сокращаем $ \sin t $:

$ \cos t \cdot \cos t - 1 = \cos^2 t - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 t - \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $. Известно, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $ \text{tg } t \cdot \text{ctg } t = 1 $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).

Заменяем произведение на единицу:

$ \sin^2 t - 1 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, получаем $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.

Ответ: $ -\cos^2 t $

г) Упростим дробь $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Из этого тождества следуют два равенства:

$ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $

$ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} $

Это выражение можно записать как квадрат отношения синуса к косинусу, что по определению является квадратом тангенса:

$ \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = \text{tg}^2 t $

Ответ: $ \text{tg}^2 t $

Докажите тождество:

13.28. a) $1 + \tan^2 t = \cos^{-2} t$;

б) $1 + \cot^2 t = \sin^{-2} t$;

в) $\sin^2 t (1 + \cot^2 t) = 1$;

г) $\cos^2 t (1 + \tan^2 t) = 1$.

а)

Для доказательства тождества $1 + \text{tg}^2 t = \text{cos}^{-2} t$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением тангенса $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$1 + \text{tg}^2 t = 1 + \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos^2 t$:

$1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Подставим это значение в числитель:

$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t}$

По определению степени с отрицательным показателем, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, следовательно:

$\frac{1}{\cos^2 t} = \cos^{-2} t$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2 t = \text{sin}^{-2} t$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением котангенса $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$:

$1 + \text{ctg}^2 t = 1 + \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin^2 t$:

$1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$

По определению степени с отрицательным показателем, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, следовательно:

$\frac{1}{\sin^2 t} = \sin^{-2} t$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Для доказательства тождества $\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = 1$ преобразуем его левую часть. Можно пойти двумя путями.
Способ 1: Используем тождество, доказанное в пункте б): $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.

$\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = \sin^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t} = 1$

Способ 2: Раскроем скобки и используем определение котангенса.

$\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = \sin^2 t \cdot 1 + \sin^2 t \cdot \text{ctg}^2 t = \sin^2 t + \sin^2 t \cdot \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2$

$\sin^2 t + \sin^2 t \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \sin^2 t + \cos^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

В обоих случаях мы получили, что левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Для доказательства тождества $\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = 1$ преобразуем его левую часть.
Способ 1: Используем тождество, доказанное в пункте а): $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = \cos^2 t \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = 1$

Способ 2: Раскроем скобки и используем определение тангенса.

$\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = \cos^2 t \cdot 1 + \cos^2 t \cdot \text{tg}^2 t = \cos^2 t + \cos^2 t \cdot \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2$

$\cos^2 t + \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \cos^2 t + \sin^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

В обоих случаях мы получили, что левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

13.29. а) $tg(\pi - t) = -tg t$;

б) $tg(2\pi + t) = tg t$;

В) $ctg(\pi - t) = -ctg t$;

Г) $ctg(2\pi + t) = ctg t$.

а) tg(? ? t) = ?tg t;

Для доказательства данного тождества воспользуемся определением тангенса и формулами приведения.

Определение тангенса: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Применим это определение к левой части равенства:

$\text{tg}(\pi - t) = \frac{\sin(\pi - t)}{\cos(\pi - t)}$

Теперь используем формулы приведения для синуса и косинуса. Угол $(\pi - t)$ находится во второй координатной четверти (если считать $t$ малым острым углом), где синус положителен, а косинус отрицателен.

$\sin(\pi - t) = \sin t$

$\cos(\pi - t) = -\cos t$

Подставим полученные выражения обратно в формулу для тангенса:

$\text{tg}(\pi - t) = \frac{\sin t}{-\cos t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$

Так как $\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg } t$, получаем:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg } t$ доказано с помощью определения тангенса и формул приведения.

б) tg(2? + t) = tg t;

Для доказательства этого тождества воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций.

Функция тангенс имеет основной период $\pi$. Это означает, что $\text{tg}(\alpha + k\pi) = \text{tg } \alpha$ для любого целого числа $k$.

В данном случае мы прибавляем $2\pi$, что является кратным периоду $\pi$ (при $k=2$). Следовательно, значение тангенса не изменится.

$\text{tg}(2\pi + t) = \text{tg}(t + 2\pi) = \text{tg } t$

Также можно доказать это через определение тангенса и периодичность синуса и косинуса (их период равен $2\pi$):

$\text{tg}(2\pi + t) = \frac{\sin(2\pi + t)}{\cos(2\pi + t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}(2\pi + t) = \text{tg } t$ является следствием периодичности функции тангенс.

в) ctg(? ? t) = ?ctg t;

Для доказательства данного тождества воспользуемся определением котангенса и формулами приведения.

Определение котангенса: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Применим это определение к левой части равенства:

$\text{ctg}(\pi - t) = \frac{\cos(\pi - t)}{\sin(\pi - t)}$

Используем те же формулы приведения, что и в пункте а):

$\cos(\pi - t) = -\cos t$

$\sin(\pi - t) = \sin t$

Подставим полученные выражения обратно в формулу для котангенса:

$\text{ctg}(\pi - t) = \frac{-\cos t}{\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$

Так как $\frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t$, получаем:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg } t$ доказано с помощью определения котангенса и формул приведения.

г) ctg(2? + t) = ctg t.

Для доказательства этого тождества воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций.

Функция котангенс, так же как и тангенс, имеет основной период $\pi$. Это означает, что $\text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg } \alpha$ для любого целого числа $k$.

В данном случае мы прибавляем $2\pi$, что является кратным периоду $\pi$ (при $k=2$). Следовательно, значение котангенса не изменится.

$\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg}(t + 2\pi) = \text{ctg } t$

Также можно доказать это через определение котангенса и периодичность синуса и косинуса (их период равен $2\pi$):

$\text{ctg}(2\pi + t) = \frac{\cos(2\pi + t)}{\sin(2\pi + t)} = \frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg } t$ является следствием периодичности функции котангенс.

Определите знак выражения:

13.30. a) $\cos \frac{5\pi}{9} - \tg \frac{25\pi}{18}$;

б) $\tg 1 - \cos 2$;

в) $\sin \frac{7\pi}{10} - \ctg \frac{3\pi}{5}$;

г) $\sin 2 - \ctg 5,5$.

а) Для того чтобы определить знак выражения $ \cos \frac{5\pi}{9} - \text{tg} \frac{25\pi}{18} $, определим знак каждого слагаемого. Угол $ \frac{5\pi}{9} $ находится в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $, а $ \pi = \frac{9\pi}{9} $. Это вторая координатная четверть, где косинус отрицателен, следовательно $ \cos \frac{5\pi}{9} < 0 $. Угол $ \frac{25\pi}{18} $ можно представить как $ \pi + \frac{7\pi}{18} $. Это третья координатная четверть, где тангенс положителен, следовательно $ \text{tg} \frac{25\pi}{18} > 0 $. Таким образом, мы вычитаем из отрицательного числа положительное, и результат будет отрицательным: $ (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0 $.
Ответ: минус.

б) Для выражения $ \text{tg} 1 - \cos 2 $ углы даны в радианах. Используем приближения $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Угол $ 1 $ радиан, так как $ 0 < 1 < 1.57 $, находится в первой четверти, где тангенс положителен: $ \text{tg} 1 > 0 $. Угол $ 2 $ радиана, так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, находится во второй четверти, где косинус отрицателен: $ \cos 2 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) $. Это эквивалентно сложению двух положительных чисел, поэтому результат положителен.
Ответ: плюс.

в) В выражении $ \sin \frac{7\pi}{10} - \text{ctg} \frac{3\pi}{5} $ определим знак каждого члена. Угол $ \frac{7\pi}{10} $ находится в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10} $, а $ \pi = \frac{10\pi}{10} $. Это вторая четверть, где синус положителен: $ \sin \frac{7\pi}{10} > 0 $. Угол $ \frac{3\pi}{5} $ также находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $, а $ \pi = \frac{5\pi}{5} $. Во второй четверти котангенс отрицателен: $ \text{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0 $. Вычитая из положительного числа отрицательное, мы получаем положительный результат: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: плюс.

г) В выражении $ \sin 2 - \text{ctg} 5.5 $ углы даны в радианах. Используем приближения $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $. Угол $ 2 $ радиана, так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, находится во второй четверти, где синус положителен: $ \sin 2 > 0 $. Угол $ 5.5 $ радиан, так как $ 4.71 < 5.5 < 6.28 $, находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен: $ \text{ctg} 5.5 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел, что всегда дает положительный результат: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: плюс.

13.31. a) $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4; $

б) $ \sin (-5) \cdot \operatorname{ctg} (-6) \cdot \operatorname{tg} (-7) \cdot \operatorname{ctg} (-8). $

а) Чтобы определить знак произведения $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 $, необходимо определить знак каждого множителя. Углы заданы в радианах. Для определения координатной четверти воспользуемся приближенными значениями: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

1. $ \sin 1 $: Так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, угол 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, значит, $ \sin 1 > 0 $ (знак «+»).

2. $ \cos 2 $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14 $, угол 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, значит, $ \cos 2 < 0 $ (знак «-»).

3. $ \operatorname{tg} 3 $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $, угол 3 радиана находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{tg} 3 < 0 $ (знак «-»).

4. $ \operatorname{ctg} 4 $: Так как $ \pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, угол 4 радиана находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен, значит, $ \operatorname{ctg} 4 > 0 $ (знак «+»).

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) $. Произведение двух отрицательных и двух положительных чисел является положительным числом.

Следовательно, значение выражения $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 $ положительно.

Ответ: знак «+».

б) Чтобы определить знак произведения $ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) $, сначала воспользуемся свойствами четности/нечетности тригонометрических функций.

Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными, то есть $ \sin(-x) = -\sin x $, $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x $, $ \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x $.

Преобразуем выражение:
$ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) = (-\sin 5) \cdot (-\operatorname{ctg} 6) \cdot (-\operatorname{tg} 7) \cdot (-\operatorname{ctg} 8) $.

Произведение содержит четыре знака «минус», поэтому итоговый знак выражения будет таким же, как у выражения $ \sin 5 \cdot \operatorname{ctg} 6 \cdot \operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 8 $. Определим знак каждого множителя в этом новом выражении. Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $.

1. $ \sin 5 $: Так как $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 5 радиан находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен, значит, $ \sin 5 < 0 $ (знак «-»).

2. $ \operatorname{ctg} 6 $: Так как $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 6 радиан находится в IV четверти. Котангенс в IV четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{ctg} 6 < 0 $ (знак «-»).

3. $ \operatorname{tg} 7 $: Так как $ 7 > 2\pi \approx 6.28 $, найдем эквивалентный угол в пределах первого оборота: $ 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72 $. Угол 0.72 радиан находится в I четверти ($ 0 < 0.72 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $). Тангенс в I четверти положителен, значит, $ \operatorname{tg} 7 > 0 $ (знак «+»).

4. $ \operatorname{ctg} 8 $: Так как $ 8 > 2\pi \approx 6.28 $, найдем эквивалентный угол: $ 8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72 $. Угол 1.72 радиан находится во II четверти ($ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 1.72 < \pi \approx 3.14 $). Котангенс во II четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{ctg} 8 < 0 $ (знак «-»).

Перемножим знаки: $ (-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) $. Произведение трех отрицательных и одного положительного числа является отрицательным числом.

Следовательно, значение выражения $ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) $ отрицательно.

Ответ: знак «-».

13.32. Вычислите:

а) $\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13|;$

б) $\frac{\text{tg } 11 + |\text{tg } 11|}{|\text{ctg } 12| - \text{ctg } 12}.$

а) Для вычисления выражения $ \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13| $ необходимо раскрыть модули, определив знаки подмодульных выражений. Аргументы тригонометрических функций здесь и далее указаны в радианах.

1. Определим знак $ \sin 4 $. Для этого сравним число 4 с границами четвертей, выраженными через $ \pi \approx 3,14159... $.
Поскольку $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = 4,71 $, то выполняется неравенство $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол 4 радиана находится в III координатной четверти.
В III четверти синус имеет отрицательное значение, то есть $ \sin 4 < 0 $.
Согласно определению модуля, если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Следовательно, $ |\sin 4| = -\sin 4 $.

2. Определим знак $ \cos 13 $. Для этого найдем, в какой четверти находится угол 13 радиан.
$ 4\pi = 4 \times \pi \approx 4 \times 3,14 = 12,56 $.
$ 4\pi + \frac{\pi}{2} \approx 12,56 + \frac{3,14}{2} = 12,56 + 1,57 = 14,13 $.
Таким образом, $ 4\pi < 13 < 4\pi + \frac{\pi}{2} $. Угол 13 радиан находится в I координатной четверти (после совершения двух полных оборотов по $ 2\pi $).
В I четверти косинус имеет положительное значение, то есть $ \cos 13 > 0 $.
Следовательно, $ |\cos 13| = \cos 13 $.

3. Подставим полученные выражения в исходное равенство и упростим его:
$ \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13| = \sin 4 + (-\sin 4) + 2 \cos 13 - 2(\cos 13) = (\sin 4 - \sin 4) + (2 \cos 13 - 2 \cos 13) = 0 + 0 = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\mathrm{tg}\,11 + |\mathrm{tg}\,11|}{|\mathrm{ctg}\,12| - \mathrm{ctg}\,12} $.

Для его вычисления также необходимо определить знаки подмодульных выражений $ \mathrm{tg}\,11 $ и $ \mathrm{ctg}\,12 $.

1. Определим знак $ \mathrm{tg}\,11 $.
$ \frac{7\pi}{2} = 3,5\pi \approx 3,5 \times 3,14 = 10,99 $.
$ 4\pi \approx 12,56 $.
Поскольку $ \frac{7\pi}{2} < 11 < 4\pi $, угол 11 радиан находится в IV координатной четверти.
В IV четверти тангенс отрицателен ($ \mathrm{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} $, где $ \sin x < 0 $, а $ \cos x > 0 $), поэтому $ \mathrm{tg}\,11 < 0 $.
Следовательно, $ |\mathrm{tg}\,11| = -\mathrm{tg}\,11 $.

2. Определим знак $ \mathrm{ctg}\,12 $.
Используя те же приближения, видим, что $ \frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi $. Угол 12 радиан также находится в IV координатной четверти.
В IV четверти котангенс также отрицателен ($ \mathrm{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x} $, где $ \cos x > 0 $, а $ \sin x < 0 $), поэтому $ \mathrm{ctg}\,12 < 0 $.
Следовательно, $ |\mathrm{ctg}\,12| = -\mathrm{ctg}\,12 $.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь.
Числитель: $ \mathrm{tg}\,11 + |\mathrm{tg}\,11| = \mathrm{tg}\,11 + (-\mathrm{tg}\,11) = 0 $.

Знаменатель: $ |\mathrm{ctg}\,12| - \mathrm{ctg}\,12 = (-\mathrm{ctg}\,12) - \mathrm{ctg}\,12 = -2\,\mathrm{ctg}\,12 $.

Поскольку угол 12 не является точкой, где котангенс не определен (т.е. $ 12 \neq k\pi $ для целого $ k $), знаменатель не равен нулю.

Тогда все выражение равно:
$ \frac{0}{-2\,\mathrm{ctg}\,12} = 0 $.

Ответ: $0$.

Решите неравенство (относительно переменной $x$):

13.33. a) $ \cos 2 \cdot (2x - 1) < 0; $

б) $ \cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0. $

а)

В данном неравенстве $\cos 2 \cdot (2x - 1) < 0$ множитель $\cos 2$ является постоянным числом (константой). Чтобы решить неравенство, необходимо определить знак этой константы. Угол $2$ здесь задан в радианах.

Оценим значение угла, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$ и $\pi \approx 3,14159$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в $2$ радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти функция косинуса принимает отрицательные значения, следовательно, $\cos 2 < 0$.

Поскольку мы умножаем отрицательное число ($\cos 2$) на выражение $(2x - 1)$ и по условию произведение должно быть меньше нуля (отрицательным), то выражение $(2x - 1)$ должно быть положительным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему простому линейному неравенству:

$2x - 1 > 0$

Решим его:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Решением является открытый луч от $\frac{1}{2}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б)

В неравенстве $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$ произведение $\cos 3 \cdot \cos 5$ является постоянным коэффициентом. Определим знак этого коэффициента. Углы $3$ и $5$ заданы в радианах.

1. Определим знак $\cos 3$.

Используя значения $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, можно заключить, что $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Угол в $3$ радиана расположен во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 3 < 0$.

2. Определим знак $\cos 5$.

Используя значения $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, можно заключить, что $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол в $5$ радиан расположен в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos 5 > 0$.

3. Определим знак коэффициента $\cos 3 \cdot \cos 5$.

Произведение отрицательного числа ($\cos 3$) и положительного числа ($\cos 5$) является отрицательным числом. Таким образом, $\cos 3 \cdot \cos 5 < 0$.

Так как коэффициент $\cos 3 \cdot \cos 5$ отрицателен, то для выполнения исходного неравенства $(\text{отрицательное число}) \cdot (x^2 - 4) < 0$ необходимо, чтобы второй множитель $(x^2 - 4)$ был положительным.

Решим квадратичное неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -2$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

13.34. a) $(\cos t - 5)(3x - 1) \ge 0;$

б) $(2 + \sin t)(9 - x^2) \ge 0.$

а) Решим неравенство $(\cos t - 5)(3x - 1) \ge 0$.

Рассмотрим первый множитель $(\cos t - 5)$. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos t \le 1$. Вычтем 5 из всех частей этого двойного неравенства:

$-1 - 5 \le \cos t - 5 \le 1 - 5$

$-6 \le \cos t - 5 \le -4$

Таким образом, выражение $(\cos t - 5)$ всегда отрицательно при любом значении $t$. Произведение двух множителей неотрицательно $(\ge 0)$ в двух случаях: когда оба множителя неотрицательны или когда оба множителя неположительны. Поскольку первый множитель $(\cos t - 5)$ всегда отрицателен, для выполнения исходного неравенства второй множитель $(3x - 1)$ должен быть неположительным, то есть меньше или равен нулю.

$3x - 1 \le 0$

$3x \le 1$

$x \le \frac{1}{3}$

Следовательно, решением неравенства является промежуток $(-\infty; \frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}]$

б) Решим неравенство $(2 + \sin t)(9 - x^2) \ge 0$.

Рассмотрим первый множитель $(2 + \sin t)$. Область значений функции синус: $-1 \le \sin t \le 1$. Прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства:

$2 - 1 \le 2 + \sin t \le 2 + 1$

$1 \le 2 + \sin t \le 3$

Таким образом, выражение $(2 + \sin t)$ всегда положительно при любом значении $t$. Поскольку первый множитель $(2 + \sin t)$ всегда положителен, для выполнения исходного неравенства второй множитель $(9 - x^2)$ должен быть неотрицательным, то есть больше или равен нулю.

$9 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть:

$9 \ge x^2$ или $x^2 \le 9$

Это неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Решением является промежуток $[-3; 3]$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$

13.35. a) $\text{ctg } 5 \cdot (x - 1) \ge 0;$

б) $\frac{\text{tg } 7 \cdot \text{cos } 1}{\text{sin } 1}(2x^2 - 72) < 0;$

в) $(\text{tg } 2 \cdot \text{sin } 5) \cdot (7 - 5x) \le 0;$

г) $\text{tg } 1 \cdot \text{ctg } 2 \cdot \text{tg } 3 \cdot \text{ctg } 4 \cdot (x^2 + 2) > 0.$

a) $ctg 5 \cdot (x - 1) \ge 0$

Это неравенство вида $k \cdot (x-1) \ge 0$, где коэффициент $k = ctg 5$. Для его решения необходимо определить знак этого коэффициента. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах.

Оценим значение угла 5 радиан. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем: $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3.14 / 2 = 4.71$ $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$

Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол в 5 радиан находится в IV координатной четверти.

В IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, будет отрицательным: $ctg 5 < 0$.

Неравенство представляет собой произведение отрицательного числа ($ctg 5$) и выражения $(x-1)$. Чтобы произведение было неотрицательным (больше или равно нулю), множитель $(x-1)$ должен быть неположительным (меньше или равен нулю).

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $ctg 5$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1}(2x^2 - 72) < 0$

Это неравенство вида $k \cdot (2x^2 - 72) < 0$. Упростим коэффициент $k = \frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1}$, используя тождество $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Получим $k = \operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1$.

Определим знаки множителей в коэффициенте $k$.

Для $\operatorname{tg} 7$: так как $2\pi \approx 6.28$ и $5\pi/2 \approx 7.85$, то $2\pi < 7 < 5\pi/2$. Угол в 7 радиан находится в I четверти, значит $\operatorname{tg} 7 > 0$.

Для $\operatorname{ctg} 1$: так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$, угол в 1 радиан находится в I четверти, значит $\operatorname{ctg} 1 > 0$.

Коэффициент $k$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, $k > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент $k$, знак неравенства при этом не изменится:

$2x^2 - 72 < 0$

$2(x^2 - 36) < 0$

$x^2 - 36 < 0$

$(x - 6)(x + 6) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал между его корнями $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 - 5x) \le 0$

Это неравенство вида $k \cdot (7 - 5x) \le 0$, где $k = \operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5$. Определим знак коэффициента $k$.

Определим знаки множителей:

Для $\operatorname{tg} 2$: так как $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то $\pi/2 < 2 < \pi$. Угол в 2 радиана находится во II четверти, где тангенс отрицателен: $\operatorname{tg} 2 < 0$.

Для $\sin 5$: как было установлено в пункте а), угол в 5 радиан находится в IV четверти, где синус отрицателен: $\sin 5 < 0$.

Коэффициент $k$ является произведением двух отрицательных чисел, следовательно, он положителен: $k > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $k$, знак неравенства не изменится:

$7 - 5x \le 0$

$7 \le 5x$

$x \ge \frac{7}{5}$

$x \ge 1.4$

Ответ: $x \in [1.4; +\infty)$.

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$

Рассмотрим множители в левой части неравенства.

Множитель $(x^2 + 2)$: так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Следовательно, этот множитель всегда положителен.

Теперь определим знак числового коэффициента $k = \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4$.

• $\operatorname{tg} 1$: $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$ (I четверть) $\implies \operatorname{tg} 1 > 0$.
• $\operatorname{ctg} 2$: $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$ (II четверть) $\implies \operatorname{ctg} 2 < 0$.
• $\operatorname{tg} 3$: $\pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$ (II четверть) $\implies \operatorname{tg} 3 < 0$.
• $\operatorname{ctg} 4$: $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \operatorname{ctg} 4 > 0$.

Знак коэффициента $k$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Таким образом, $k > 0$.

Исходное неравенство сводится к виду: (положительное число) $\cdot$ (всегда положительное выражение) $> 0$.

Произведение двух положительных величин всегда положительно. Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.